点到平面的距离计算(人教A版)

必修2知识点归纳第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''xOy∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R lr S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

1．4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题学习目标1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．知识点一点P 到直线l 的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP →在直线l 上的投影向量为AQ →＝a ，则点P 到直线l 的距离为a 2－(a ·u )2 (如图)．知识点二点P 到平面α的距离设平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为|AP →·n ||n |(如图)．思考怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？ 答案两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．1．空间内有三点A (2,1,3)，B (0,2,5)，C (3,7,0)，则点B 到AC 的中点P 的距离为() A.102B ．5C.3102D ．3 5 答案C2．已知直线l 过点A (1，－1,2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3,0,4)，则P (3,5,0)到l 的距离为()A ．5B ．14C.145D.45答案C解析∵P A →＝(－2，－6,2)，P A →·n ＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n |＝5， ∴点P 到直线l 的距离为d ＝|P A →·n ||n |＝145.3．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________． 答案54．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________． 答案103解析点P 到平面α的距离 d ＝|P A →·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1＝103.一、点到直线的距离例1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离．解因为AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，所以A ′(0,0,3)，C (1,2,0)，B (1,0,0)， 所以直线A ′C 的方向向量A ′C ———→＝(1,2, －3)． 又BC →＝(0,2,0)，所以BC →在A ′C ———→上的投影长为|BC →·A ′C ———→||A ′C ———→|＝414.所以点B 到直线A ′C 的距离d ＝|BC →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·A ′C ———→|A ′C ———→|2＝4－1614＝2357. 反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 跟踪训练1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1C ，D 1A 1的中点，求点A 到EF 的距离．解以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA ＝2，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，则EF →＝(1，－2,1)，F A →＝(1，0，－2)． |EF →|＝12＋(－2)2＋12＝6，F A →·EF →＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，F A →在EF →上的投影长为|F A →·EF →||EF →|＝16.所以点A 到EF 的距离d ＝|F A →|2－⎝⎛⎭⎫162＝296＝1746. 二、点到平面的距离与直线到平面的距离例2如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离． 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0. 设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH →＝xDE →＋yDF →＋zDP →＝⎝⎛⎭⎫x ＋12y ，12x ＋y ，z ， x ＋y ＋z ＝1，PE →＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1，PF →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1， 所以DH →·PE →＝x ＋12y ＋12⎝⎛⎭⎫12x ＋y －z ＝54x ＋y －z ＝0. 同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，解得x ＝y ＝417，z ＝917. 所以DH →＝317(2,2,3)，所以|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)连接AC ，则AC ∥EF ，直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离， 平面PEF 的一个法向量为n ＝(2,2,3)， 所求距离为|AE →·n ||n |＝117＝1717.反思感悟用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP →，α内两不共线向量，平面α的法向量n )． (4)求距离d ＝|AP →·n ||n |.跟踪训练2如图所示，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱．若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．解设正四棱柱的高为h (h >0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1,1，h )， 则AB 1—→＝(1,0，－h )，AD 1—→＝(0,1，－h )，AC →＝(1,1,0)， 设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －hz ＝0，y －hz ＝0，取z ＝1，得n ＝(h ，h ，1)，所以点C 到平面AB 1D 1的距离为d ＝|n ·AC →||n |＝h ＋h ＋0h 2＋h 2＋1＝43，解得h ＝2.故正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为2.1．已知A (0, 0, 2) ，B (1, 0, 2) ，C (0, 2, 0) ，则点A 到直线BC 的距离为() A.223B ．1C.2D.2 2答案A解析∵A (0, 0,2)，B (1, 0,2)，C (0, 2,0)， AB →＝(1, 0,0) ，BC →＝(－1, 2，－2) ， ∴点A 到直线BC 的距离为d ＝|AB →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|BC →|2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝223. 2．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足P A ＝PB ＝PC ＝1，则点P 到平面ABC 的距离是() A.66B.63C.36D.33答案D解析分别以P A ，PB ，PC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)．可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)， 则d ＝|P A →·n ||n |＝33.3．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离为() A.36B.33C.233 D.32答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0) , C 1(0,1,0) , D (0,0,1) , A (1,0,1) ，所以DA 1—→＝(1,0，－1) ，DC 1—→＝(0,1，－1) , AD →＝(－1,0,0) ，设平面A 1C 1D 的一个法向量为m ＝(x ，y ，1) ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥DA 1→，m ⊥DC 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故m ＝(1,1,1)，显然平面AB 1C ∥平面A 1C 1D ，所以平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离d ＝|AD →·m ||m |＝13＝33.4．已知直线l 经过点A (2,3,1)，且向量n ＝(1,0，－1)所在直线与l 垂直，则点P (4,3,2)到l 的距离为________． 答案22解析因为P A →＝(－2,0，－1)，又n 与l 垂直， 所以点P 到l 的距离为|P A →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，则点A 到平面EFG 的距离为________． 答案33解析建系如图，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)，所以AG →＝(0,1,0)， GE →＝(－2,1,1)，GF →＝(－1，－1,2)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，点A 到平面EFG 的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GE →＝0，n ·GF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z ，令z ＝1，此时n ＝(1,1,1)， 所以d ＝|AG →·n ||n |＝13＝33.即点A 到平面EFG 的距离为33.1．知识清单： (1)点到直线的距离．(2)点到平面的距离与直线到平面的距离． 2．方法归纳：数形结合、转化法．3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础．。

课时教学设计用空间向量研究距离一、教学内容点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离。

二、教学目标2.1课前预习目标复习空间两点间的距离公式，向量夹角公式，向量投影概念及求法。

2.2课时目标（1）通过利用投影向量，勾股定理能够得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。

（2）通过点到直线的距离公式、点到平面的距离公式能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题，发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。

2.3内容层次能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离。

能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用。

提升学生直观想象和数学运算核心素养。

三、教学重点与难点重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．难点：利用投影向量统一研究空间距离问题.四、教学过程设计前面我们学习了用空间向量及其运算研究立体几何中点、直线、平面这些几何元素的平行、垂直的位置关系．除了上述平行、垂直这些特殊的位置关系外，立体几何中还经常需要研究距离、角度等度量问题．现在，我们仍然通过空间向量及其运算研究这些几何元素之间产生的距离与夹角等问题．进一步体会空间向量解决立体几何的向量法法。

距离是欧氏几何中最基本的度量，回顾立体几何的学习，我们发现空间中点、直线、平面之间的距离问题包括：两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离等．距离是这些几何要素之间最短的路径，除两点间距离外，其他距离都需要用垂直刻画．问题1：你能把这些空间中的距离问题归类吗？师生活动：首先学生思考讨论，教师引导得到结果，点到直线的距离、两条平行线之间的距离可以归结为一类，因为两条平行线之间的距离可以转化为一直线上的点到另一条直线的距离问题；其次，点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离可以归结为点（或直线上的点，或一平面上的点）到平面的距离．所有的距离问题，都可以归结为两点间的距离．追问：如何用空间向量研究距离？师生活动：学生思考讨论，类比平面向量的知识，距离可以通过向量的模获得．例如，空间两点间的距离可以转化为空间向量的模的计算．教师可进一步点拨，除两点间的距离外，其他距离问题都需要通过垂直来刻画，投影向量和勾股定理势必在这些距离的计算中发挥重要作用．设计意图:明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题问题2：如图，在空间中任取一点O ，作OM =a ，ON =b .（1）怎样表示向量b 方向上的单位向量u ？（2）如何作出向量a 在向量b 方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量u表示向量a 在向量b 方向上的投影向量及投影向量的模？师生活动：学生回忆已学的概念、讨论交流．给出结果预设的答案（1）||bu =b ； （2）过点M 作1MM 垂直于直线ON ，垂足为1M ，向量1OM 即为向量a 在向量b 方向上的投影向量；（3）1=cos =cos |)|(OM θθ|a |u |u u =a |u a u ，即1=()OM a u u ，1||=||OM a u .设计意图:投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.问题3：已知直线l的单位方向向量u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l的距离？师生活动：学生结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接AP，AQ.进而利用得到向量AP在直线直线l上的投影向量AQ，表示投影向量AQ，求||勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.预设的答案：如图，设AP =a ，则向量AP 在直线l 上的投影向量|cos |cos |()AQ PAQ PAQ =∠=∠=a |u a |u |u a u u .在Rt AQP △中，由勾股定理，得222||||)PQ AP AQ =-=a a u .设计意图：学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.追问1：若AP 与直线l 垂直，点P 到直线l 2)a u 吗？师生活动：学生思考后作答，若AP 与直线l 垂直，则0=a u ，2)||||PA PQ ==a u .追问2：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点P 以及直线l ，那么点A 应该如何确定？师生活动：学生思考后作答，点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点A 的变化而变化，故点A 可以是直线l 上的任意一点.追问3：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？师生活动：学生思考后作答，不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.设计意图：通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点P到直线l距离问题时，只需该点P和直线l上的任意一点A确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.师生活动：教师总结，要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点P到直线l距离问题时，只需直线l的方向向量及直线上l的任意一点A，这样得到参考向量AP或PA，再求得直线的单位方向向量带入公式即可.追问4：求点到直线距离的主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答，(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.问题4：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？2师生活动：教师引导学生分析，问题中条件是什么，如何利用条件实现问题转化，学生思考后作答，在其中一条直线上任取一点P，将求两条平行直线之间的距离转化为求点P到另一条直线的距离.设计意图：根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.问题5：已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点比点到直线距P作出平面α的垂线l，交平面α于点Q.类离的研究过程，如何用向量AP表示QP？追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定，确定一个平面的条件是什么？ 师生活动：由学生回答法向量追问2:你能类比求点到直线的距离的方法，利用向量投影求出点到平面的距离吗？师生活动：学生独立思考，然后分组讨论交流；教师巡视、点拨；学生分享研究成果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果，得出用空间向量求点到平面的距离的步骤第一步，确定平面α的法向量n ;第二步，选择“参考向量”AP ;第三步，确定“参考向量”AP 向法向量的n 的投影向量QP ;第四步，求投影向量QP 的模长，得到|||||||||cos |||||AP QP AP PAQ ⋅=∠=n n n n 设计意图 ：教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题6：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点P以及平面α，那么点A应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点P在平面α内的投影以及垂线段？师生活动：学生思考后作答，点A可以是平面α内的任意一点.不需要找出点P 在平面α内的投影以及垂线段.教师讲授：求解点P到平面α距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面α的法向量及平面α内的任意一点A，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.设计意图：类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.追问：如果直线l与平面α平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？师生活动：学生思考后作答，先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.设计意图：通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题7：求点到平面的距离主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答， (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.(1)求点B 到直线1AC 的距离；(2)求直线FC 到平面1AEC 的距离.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点A 在直线1AC 上，因此，可以选择AB 作为参考向量.事实上，可以选择直线1AC 上的任意一点和F 确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量1AEC 不唯一.解：以1D 为原点， 11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,1)A ，(1,1,1)B ，(0,1,1)C ，1(0,1,0)C ，1(1,,0)2E ，1(1,,1)2F ，所以(0,1,0)AB =，1(1,1,1)AC =--,1(0,,1)2AE =-,11(1,,0)2EC =-,1(1,,0)2FC =-,1(0,,0)2AF =.（1） 取(0,1,0)AB ==a ，1133||1,1,1)AC AC ==--u ，则 21=a ，3⋅=a u ．所以，点B 到直线1AC 2)13=-=a u ． (2) 因为11(1,,0)2FC EC ==-，所以1//FC EC ，又FC ⊄面1AEC ，1EC ⊂面1AEC ，所以//FC 平面1AEC ，所以点F 到平面1AEC 的距离，即为直线FC 到平面1AEC 的距离．设平面1AEC 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0.AE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩所以 2,.y z x z =⎧⎨=⎩取1z =，则1x =，2y =,所以，(1,2,1)=n 是平面1AEC 的一个法向量, 又因为1(0,,0)2AF=，所以点F到平面1AEC 的距离为 1|(0,,0)(1,2,1)|||||AF ⋅⋅==n n 即直线FC 到平面1AEC 的距离为6设计意图 ：通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问：求两种距离的步骤是怎样的？师生活动：学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.点P到直线l的距离：第一步：建系，在直线l上任取一点A (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量AP(或PA)”的坐标.第二步：依据图形先求出直线l的单位方向向量u.第三步：带入公式求解.点P到面α的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”AP；第二步：确定平面α的法向量n；第三步：带入公式求值.设计意图：总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 五、课堂检测与评价1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点A 到平面1B C 的距离等于_________；直线CD 到平面1AB 的距离等于________；平面1DA 到平面1CB 的距离等于__________．2．已知直线l 过定点(2,3,1)A ，且(0,1,1)=n 为其一个方向向量，则点()4,3,2P 到直线l 的距离为（ ） A ．322 B ．22 C ．102D ．2 3．已知平面α的一个法向量()2,2,1=--n ，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为（ ）A ．10B ．3C ．83D ．1034．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面1A DB 与平面11D CB 的距离．设计意图 ：作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.六、教学反思教学中主要突出了几个方面：一是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。