初二下册数学直升班培优讲义学生版第11讲几何变换之平移

轴对称图形两个图形成轴对称直观认识：4■直观认识：111定义：定义：如果一个平面图形沿一条直线把一个图形沿着某一条直线折叠，如折叠，直线两旁的部分能够互相重果它能够与另一个图形完全重合，那么就合，这个图形就叫做轴对称图形，说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.注意：轴对称图形指的是一个图形是轴对称图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形。

因此，轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，但是两个图形成轴对称只有一条对称轴。

模块二“将军饮马”问题“将军饮马”问题比较经典，在考试中出现的频率特别的高，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”问题和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试或者是考查比较难得“将军饮马”问题，考试的方法通常都是“将军饮马”的做法，综合考察。

模型I :最小问题第11讲几何变换之轴对称（一）模块一对轴对称的初步认识模块三常见轴对称的模型线的方法有以下三种。

但是在这三种中，同学们在运用的过程中， 往往第二种辅助线方式同 学们最容易出错，因为在出现第二种情况时，同学们往往看不出来；第三种做法最能体现轴翻折模型：其实可以这样说，翻折就是轴对称，轴对称就是翻折，而涉及到翻折往往不是单一考察，会和特殊四边形、一次函数中的图形结合考察，考察比较全面。

通常情况下， 和四边形结合，会考察求边倒角，而和一次函数结合，让你求点坐标，考察比较综合。

【教师备课提示】模块三是为了让孩子们复习回忆以前学过的知识， 所以老师可以略讲,重点是让孩子们练习。

角平分线模型：角平分线的中心思想应该是对称, 关于角平分线对称，因此常见做辅助模型II :最大问题BBAB模块一对轴对称的初步认识(1)如图1-1,直线I是四边形ABCD的对称轴，若AB CD，有下面的结论: ①AB II CD :②ACBD :③AO OC :④AB BC，其中正确的结论有_(2)(成外)如图1-2, △ABE和厶ACD是厶ABC分别沿着AB , AC边翻折180形成的, 若BAC 130，贝U EFC的度数是__________________________ .在正△ ABC内取一点BE BA，求BED .D，使DA DB，在△ ABC外取一点E,使BDE DBC，且L 121如图，已知 ABD ACD 60 ,且 ADB 90BDC .求证：△ ABC 是等腰三角形.2（1）如图4-1，在△ ABC 中， ACB 90，以AC 为一边在 △ ABC 外侧作等边 △ ACD ， 过点D作DE AC ，垂足为F , DE 与AB 相交于点E ,连接CE ，AB 15cm ，BC 9cm ， P 是射线DE 上的一点.连接 PC 、PB ,若△ PBC 的周长最小，则最小值为（ ）.A 21cmB 22cmC 24cmD 27cm（2）已知如图4-2，正方形 ABCD 的边长为3, E 在BC 边上，且 EC 1 , P 是BD 上一动“将军饮马”问题A A C点，贝V PE PC 的最小值（ ）. A . 5B .11E(1)(四川竞赛改编) 如图5-1所示，在等腰 Rt △ ABC 中，CA CB 3 , E 是BC 上一点， 满足BE 2，点P 是斜边AB 上任意一点，PC PE 的最大值和最小值分别记作 s 和t ,求 s 2t 2的值.(1) (2013-2014武侯区统考) 在锐角三角形 ABC 中，BC 3「2 ,ABC , M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，贝U CM MN 最小值是 __________________(2)如图， AOB 30 , OC 2，在OA 上找一点M ,在OB 上找一点N ,使得CM MN 最小，求出此最小值.(2)(全国初中联赛) 如图5-2，设正△ ABC 的边长为 2, M 是AB 边上的中点, P 是BC边上的任意一点，PA PM 的最大值和最小值分别记为ABC 45 , BD 平分例5图5-1 s 和t .求s 2 t 2的值. 图5-2I!A(1)如图7-1, Z AOB 30，点P位于/ AOB内，OP 3，点M、N分别是射线OA、OB 上的动点，求△ PMN的最小周长.I!例10如图，在矩形 ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接 C 恰好落在线段 AE 上的点F 处.P'(2)若/AOB 60，其它条件不变，则 △ PMN 的最小周长是多少.在△ ABC 中，Z A 45 , 求△ DEF 的最小周长.AAB 7 , AC 4.2，点 D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点,C-N模块三常见轴对称的模型么」例9 .〉 -------------------------- i如图，I 是厶ABC 的内心(三角形三条角平分线的交点) 求ABC 和 AIB 的大小.，且 CA AI BC .若 BAC 80 ,ADDM3I!(1)求证：BE AF ;DE、AE, 将△ DEC沿线段DE翻折，点E(2)如果AB 9 , EC: BE 1:4，求线段DE 的长.― ■JI - j三点 A(3,1)、B(4,1)、C(6, 0)，点 P 为 x 轴上一动点.当△ OAP 与△ CBP 周长的和取得最小值时，求点 求证： AOC BCO 45 ;当 APB模块一对轴对称的初步认识(2) —个汽车车牌在水中的倒影如图，该车的车牌照号码是()如图2-1,矩形MNPQ中，点E,F,G,H分别在NP, PQ, QM , MN 上，若12 3 4 ,则称四边形 EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形.图 2-2，图2-3，图2-4中，四边形 ABCD 为矩形，且AB 4 , BC 8 .(1)(2) (3)(1)下列图案中，有且只有三条对称轴的是(A . WJ0103922 C . WJ0103625B . 2593010WJ D . WJ0103925例11已知: P 的坐标; 演练1)(1) 在图2-2、图2-3中，点E , F 分别在BC , CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩 形ABCD 的反射四边形 EFGH .(2) 求图2-2，图2-3中反射四边形(3) 如图2-4,请你猜想矩形 ABCD • |-半-卜命-E图2-2图2EFGH 的周长. 的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明. G r图图-1模块二“将军饮马”问题(1)如图，正方形ABCD的边长是4, DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点，贝U DQ PQ的最小值是(2)已知AOB 30°，点P在AOB内部，P与P关于0B对称,及与P关于0A对称，则R、0、及三点确定的三角形是( ).B .等腰直角三角形D.等边三角形图E图2-「In—|InIn演练3(1)如图3-1，已知A、B两村分别距公路l 的距离AA' 10km , BB' 40km，且A' B' 50km .在公路l上建一中转站P使AP BP的最小，贝U APA. 100kmB. 80kmC. 60kmBP的最小值为(D . 50 2 km(2)如图3-2,正方形ABCD中，AB8 , M是DC上的一点，且DM 2 , N是AC上的一动点，求DN MN的最小值与最大值.图3-2A .直角三角形C .腰底不等的等腰三角形C如图所示，已知CA上的点，则12A .5Rt△ ABC 中，B 90 , AB 3 , BC 4, D, E, F 分别是三边AB, BC, DE EF FD的最小值为(24B .).BAC 90°, AB AC , BE 平分ABC , CE BE .求证: CE51 BD .2如图，在△ ABC中,。

初二数学竞赛讲义——几何变换：轴对称与平移例1、牧童在A处放牛, 家在B处, 天色将晚，需要回家了，但牛需要喝水。

则在何处饮水，所走路程最短？lABB解：作出A关于l的对称点C,连接CB,交l于P，则P就是所求的点。

证明：在l上任意取一点Q，只要证明QA+QB>PA+PB即可。

根据轴对称性，PC=PA,QC=QA,因此PA+PB=PC+PB=BC<QC+QB=QA+QB.说明：本题也可以换成以下物理背景：(1)l是一面镜子，A处的光线要想经过镜子反射以后照亮B处的物体，应如何选择入射点？(2)在A处击台球，要想经过桌子边缘反射以后击中B处的球，应如何选择入射点？这些问题的解决和上面是一样的。

例2、A、B在直线两侧，且到直线的距离不等，要在直线上找一点P,使得P到A、B的距离之差最大。

AB解：作B关于直线的对称点B’,连接AB’交直线于点P，则P就是所求的点。

证明：在直线上另外取点Q，连接QA、QB、QB’,那么QA-QB=QA-QB’<AB’=AP-B’P=AP-BP.说明：请你比较一下例1和例2的区别。

例3、锐角∠AOB内有一点P，求作△PEF，使E在OA 上，F在OB上，且使△PEF的周长最小.MC解：如图，分别作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN交OA、OB于E、F，则△PEF就是所求的三角形。

证明：在OA、OB上分别取异于E、F的点G、H，只要证明PG+GH+PH>PE+EF+PF即可。

事实上，PG+GH+PH=NG+GH+HM>NM=NE+EF+FM=PE+EF+PF.说明：(1)如果∠AOB是直角或钝角，那么图示的△PEF不复存在。

如果P看作一个锐角三角形的一边上的点，那么问题相当于求经过P点的△ABC的内接三角形，并使得周长最短。

(2)进一步的问题是：P在AC边上什么位置时，得到的内接三角形周长最短？答案是：当P 是AC边上的垂足时，内接三角形周长最短，这样的三角形叫做垂足三角形。

14 如图，△ABO的顶点B的坐标是(－2，0)，将 △ABO沿y轴向上平移3个单位长度后，点B的对 应点的坐标是___(_－__2_，__3_)___．
15 【中考真题】如图，将直线y＝－x沿y轴向下平 移后的直线恰好经过点A(2，－4)，且与y轴交
于点B，在x轴上存在一点P
使得PA＋PB的值最小，则点 P的坐标为____23_,_0__．
12 若一个四边形上的其中一点P在平移的过程中， 坐标变化为P(x，y)―→P′(x＋3，y)，则该四边 形的平移情况是( B ) A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度
13 如图，与图①中的三角形相比，图②中的三角 形发生的变化是A( ) A．向左平移了3个单位长度 B．向右平移了1个单位长度 C．向上平移了3个单位长度 D．向下平移了1个单位长度
4 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC后， 点A的对应点A′的坐标为(－3，－2)，则点B的 对应点B′的坐标为( C ) A．(2，1) B．(2，2) C．(1，0) D．(1，3)
5 已知点A(－2，－1)，将点A沿x轴方向平移2个 单位长度得到点B，则点B的坐标为( C ) A．(－4，－1) B．(0，－1) C．(－4，－1)或(0，－1) D．以上都不对
随堂练习
1 四边形ABCD的顶点坐标分别是A(0，3)，B(－3， 0)，C(0，－3)，D(3，0). 将四边形ABCD向右平移6个单位长度，得到四边 形A1B1C1D1，写出四边形A1B1C1D1各顶点的坐标；
解：A1(6，3)，B1(3，0)，C1(6，－3)，D1(9，0)．
2 【中考真题】在平面直角坐标系中，点P(－1，2)向

平移的性质：1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．2．平移前后，所对应的图形全等．1．平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．2．平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．A CD BPA CD BPQ如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．模块一 平行多边形和平移的构造如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠． 请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．F GHE1423 B A D C 5867P图2-1 图2-2【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠8765B DCA KPK8765PDCBA （6∠不动移5∠） （5∠不动移6∠）KA BCDP 5678K8765P D C BA （5∠，6∠均移动） （5∠，6∠均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？DE FGNMBCADE FGNMBCPA过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D F EC B AC 1E 12133A 1DF EC B A（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒， 易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ， 可得等边111AC E △，其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=． 在此基础上可求得EF 、AF 的长， 进而求得六边形的周长：11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，故六边形的周长是13322415+++++=． （方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △． 易得PQR △的边长为1337++=， 则7322EF =--=，7124FA =--=， 故六边形的周长是13322415+++++=．在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．FE DCBAPFE RQD CBA平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，PR PE RE AF CD =-=-．由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？2133RQPD F EC B AACDBFEACDBFEG将DEF △平移到BAG △的位置；将BCD △平移到GAF △的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积． 易知长方形BDFG 的面积等于2418432⨯=（平方厘米）， ∴六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．设凸六边形ABCDEF 的三组对边分别平行．求证：ACE △的面积与BDF △的面积相等．如图，将B 、D 、F 分别沿CD 、EF 、AB 平移至B '、D '、F '，则F '在BB '上，B '在DD '上，D '在FF '上，且D F AB DE ''=-，F B CD FA ''=-，B D EF BC ''=-．记六边形ABCDEF 的面积为S ，B D F '''△的面积为T ．因四边形FABF '、BCDB '、DEFD '均为平行四边形，于是，11()()22BDF S S T T S T =-+=+△．AB CDEFB'D'F'AB C DEFA'C'E'同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E '''，则有||A C AB DE ''=-，||C E CD FA ''=-，||E A EF BC ''=-．因而A C E '''△的面积也为T ，于是也有1()2ACE S S T =+△，故BDF ACE S S =△△．AB CDEF如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +≥．CAOBDCAO'B DB考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系． 作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=． 在BB D '△中可得BB BD B D ''+≥，（当AC BD ∥时，BB BD B D ''+=），即AC BD B D '+≥．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +≥．如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD CE =．求证：2DE BC ≥．EDCB AGHFEDC B AABC D EFHG H G HFEDC B A方法一：通过构造平行四边形把DE 和12BC 平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．模块二 共端点的平移构造方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点． 下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．图1图2图3图4ABCDE FABCDE F ABC DEFFE DC BA已知：ABC △．（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．C AEBD NFEDC BA（1）DB EC =；（2）结论：BC DE >．过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠． 在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =． 在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222AM CM BM DM+=+．CABDM CABDMFE过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM∥，AM BE∥∴AM BE=，AB EM=∵AB CD=，AB CD∥∴EM CD∥，EM CD=∴ECDM为平行四边形，∴CE DM=∵EM BC⊥∴222BM BF FM=+，222CE EF CF=+，222CM CF FM=+，222BE BF EF=+∴2222AM CM BM DM+=+．如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD⊥．AB CDEFMKKMFEDCBA AB CDEFMPK模块一平行多边形和平移的构造如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =． 连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线 且KM BC ⊥又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。