范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(交换)
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第17章 交 换
1．考虑福利经济学第二定理的显示偏好观点。
证明：如果偏好严格凸时，对所有1i = ，…，
n 都有i i x x *'=。
Consider the revealed preference argument for the Second Welfare Theorem. Show that if preferences are strictly convex, then i i x x *'= for all 1i = ,…,n .
证明：令{}1n x x **
，…，是一个帕累托有效的分配，并且消费者的初始禀赋为{}{}11n n w w x x **
= ，…，，…，，假设在此初始禀赋下的竞争性均衡为{}1n x x ** ，…，，那么就有*i i x x '≥。
又因为{}1n x x ** ，…，是一个帕累托有效的分配，从而可以得到i i x x *' ~（否则，如
果存在某些i x '，使得*i i x x '
，这就和{}1n x x ** ，…，是帕累托有效的分配相矛盾）。
由于
{}
1
n
x x *
* ，…，和
{}1n
x x '' ，…，都是可行分配，从而可以知道()(){}
1
11 i
n
n
tx t x tx t x *
*''+- +-，…，也是一个可行分配。
下面来进一步证明
12i i x x i n *' == ，，，…，。
如果不是这样，那么一定存在某些()12i i n = ，，…，，使得i i x x *' ~，
但是i i x x *'≠，由于消费者具有严格凸的偏好，所以()1i i i tx t x x **'+->，这样
()(){}
1
11 i
n
n
tx t x tx t x *
*''+- +-，…，就是对{}1n x x **
，…，的一个帕累托改进，这就和
{}1
n
x x ** ，…，是帕累托有效的分配相矛盾，所以必有12i
i
x x i n *
' == ，，，
…，。
2．用无限数目的瓦尔拉斯均衡价格画出一个埃奇沃思方盒示例。
Draw an Edgeworth box example with an infinite number of prices that are Walrasian equilibrium.
答：采用里昂惕夫技术，并且采用22⨯模型，如图17-1所示。
图17-1 契约曲线上的任一点都是帕累托有效的
3．考虑图17-2。
此处X*是一个帕累托有效分配，但是X*不能被竞争性价格所支持。
福利经济学第二定理的哪一条假设未被满足呢？
图17-2 不存在竞争价格支持的帕累托有效的分配
Consider Figure 17-2. Here X*is a Pareto efficient allocation, but X*cannot be supported by competitive prices. Which assumption of the Second Welfare Theorem is violated?
答：福利经济学第二定理：假设X*是一个帕累托有效分配，其中每个当事人对每种商
品都持有正的数量。
假设偏好是凸的、连续的和单调的。
则X *是对应于初始禀赋i i w x *=的一个瓦尔拉斯均衡，此处1i n = ，…，。
在图17-2中，当事人2持有物品2的数量为零。
这位违背了“其中每个当事人对每种商品都持有正的数量”的假设。
4．两个消费者A 和B 具有下述效用函数和禀赋：
计算市场出清价格和均衡分配。
There are two consumers A and B with the following utility functions and endowments:
Calculate the market clearing prices and the equilibrium allocation.
答：由于对于A 的效用函数是柯布-道格拉斯函数的变形形式，且A 的禀赋收入为：
12201p p p ⨯+⨯=
因此有：
建立拉格朗日函数：
一阶条件是：
得到：
121
2
1A A x ap p x a
==-
对于B 的效用函数：
(){}1212
=min B B B B B u x x x x
，， 可以得到需求函数为：
12
B B x x =
对于B 的要素禀赋收入为：
()1121B p p x p +=
则B 对第一种商品的需求为：
11
12
B p x p p =
+ 将1p 正规化为1，则得到：
12
1
1B x
p =
+ 12A x ap =
在均衡价格下，对每种商品总需求等于总供给。
由瓦尔拉斯法则知，仅仅需要求商品1总供求相等的价格：
111A B x x +=
所以有：
22
1
11ap p +
=+ 可以得到：
21a
p a
-=
因此均衡时的需求数量为：
112211A B A B x a x a
x a x a
=-==-=
5．有具备相同的严格凹效用函数的n 个经济单位。
w 为初始商品束。
证明：均等分配为一个帕累托有效分配。
We have n agents with identical strictly concave utility functions. There is some initial bundle of goods w . Show that equal division is a Pareto efficient allocation.
证明：令1
x w n
*=
表示平均分配，()u x 表示消费者的效用函数。
下面来证明i x x *=是一个帕累托有效的分配。
如果不是这样，那么一定存在某个分配{}
1n x x ''，…，，使得()
()12i u x u x i n *≥= ' ，，
，…，，并且在这n 个不等式中有若干个严格成立。
由于()u x 是严格
凹的，因此：
这样就出现了矛盾，所以i x x *=一定是帕累托有效的分配。
6．有两个当事人，其间接效用函数为，
()()1121221212
l l n 1n n l v p p y y b p b p =---，，
初始禀赋为：
()()
121111ωω= = ，，
计算市场出清价格。
We have two agents with indirect utility functions:
()()()()1121221212
ln ln ln l l n 1n 1n l v p p y y a p a p v p p y y b p b p =--- =---，，，，
and initial endowments
()()
121111ωω= = ，，
Calculate the market clearing prices. 解：由罗伊恒等式有：
如果()x p m ，是马歇尔需求函数，则对于001i p m i k > > = ，，，…，，有：
对于参与人1的间接效用函数()()11212l n n l ln 1v p p y y a p a p =---，，的需求函数为：
同理，对于参与人2的间接效用函数()()212
1
2l n n l ln 1v p p y y b p b p =---，，的需求函数。
