高中数学人教A版选修1-2同步练习：第二章推理与证明章末过关检测卷含解析.doc

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f (x )＝sin x 满足f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，推出f (x )＝sin x 是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①② B.①③④ C ．①②④ D ．②④解析：选 C.合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．2．下面是一段“三段论”推理过程，若函数f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )>0恒成立．因为f (x )＝x 3在(－1，1)内可导且单调递增，所以在(－1，1)内，f ′(x )＝3x 2>0恒成立．以上推理中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论正确D ．推理形式错误解析：选A.f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )≥0恒成立，故大前提错误，故选A.3．三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r ，其中a ，b ，c 为三边的长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abc (a ，b ，c 为底面三角形的三边长)B ．V ＝13Sh (S 为四面体的底面积，h 为底面上的高)C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四面体4个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (a ，b ，c 为底面三角形的三边长，h 为底面上的高)解析：选C.三角形类比四面体，面积类比体积，则四面体的体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为( )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n2解析：选C.观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选C.5．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 至少有一个不小于12解析：选D.假设a ，b ，c 都小于12，则a ＋2b ＋c <2，所以a ，b ，c 至少有一个不小于12，故选D.6．已知数列{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3·…·b 9＝29，若数列{a n }为等差数列，a 5＝2，则数列{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3·…·a 9＝29B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3·…·a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9解析：选D.由等差数列的性质，知a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.故选D.7．通过圆与球的类比，由结论“半径为r 的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r 2”猜想关于球的相应结论为“半径为R 的球的内接六面体中，________”．( )A ．长方体的体积最大，最大值为2R 3B ．正方体的体积最大，最大值为3R 3C ．长方体的体积最大，最大值为43R 39D ．正方体的体积最大，最大值为83R 39解析：选D.类比可知半径为R 的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a ，正方体的体对角线的长度等于球的直径，即3a ＝2R ，得a ＝2R 3，体积V ＝a 3＝83R 39.故选D.8．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B.若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立．故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．9．对于奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3，5}，第三组有3个数{7，9，11}，…，以此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1)解析：选B.因为当n ＝1时，S 1＝1；当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33；所以归纳猜想S n ＝n 3，故选B.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，由正弦定理得， sin A a ＝sin B b ＝sin Cc， 所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c.所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形．11．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定( )A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．正负都可能解析：选A.f (x )为奇函数，也是增函数，因此由a ＋b >0可得a >－b .所以f (a )>f (－b )．即f (a )>－f (b )．于是f (a )＋f (b )>0，同理，f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.12．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆分为若干个不同的单位分数之和．如：1＝12＋13＋16， 1＝12＋14＋16＋112， 1＝12＋15＋16＋112＋120， …依此类推可得1＝12＋16＋112＋1m ＋1n ＋130＋142＋156＋172＋190＋1110＋1132＋1156，其中m <n ，m ，n ∈N *.设1≤x ≤m ，1≤y ≤n ，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A.78B.17C.87D ．7 解析：选C.因为1＝12＋13＋16＝12＋13＋⎝⎛⎭⎫12－13，1＝12＋14＋16＋112＝12＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14，1＝12＋15＋16＋112＋120＝12＋15＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15，依此类推，可得1＝12＋16＋112＋1m ＋1n ＋130＋142＋156＋172＋190＋1110＋1132＋1156＝12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋1m ＋1n ＋⎝⎛⎭⎫15－16＋⎝⎛⎭⎫16－17＋⎝⎛⎭⎫17－18＋⎝⎛⎭⎫18－19＋⎝⎛⎭⎫19－110＋⎝⎛⎭⎫110－111＋⎝⎛⎭⎫111－112＋⎝⎛⎭⎫112－113，所以1m ＝113，1n ＝14－15＝120，m ＝13，n ＝20，即1≤x ≤13，1≤y ≤20.又x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，把y ＋1x ＋1看成点(x ，y )，(－1，－1)连线的斜率，易知(13，1)，(－1，－1)连线的斜率最小，为1＋113＋1＝17，故x ＋y ＋2x ＋1的最小值为87.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．补充下列证明过程：要证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac (a ，b ，c ∈R )，即证______________，即证______________．因为a ，b ，c 为实数，上式显然成立，故命题结论成立．答案：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac (a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥014．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .答案：1和316．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 列的数，如a 42＝8.若a ij ＝2 018，则i 与j 的和为________．解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数，偶数行为偶数，2 018＝2×1 009，所以2 018为第1 009个偶数，又前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1 056，故2 018在第32个偶数行内，所以i ＝64.因为第64行的第一个数为2×993＝1 986，设2 018＝1 986＋2(m －1)，所以m ＝17，即j ＝17，所以i ＋j ＝81.答案：81三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，所以lg a ＋b2≥lg ab ，所以lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这显然是成立的，所以原不等式成立． 18．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② 由①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q，综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， 因为a 1≠0，所以2q k ＝q k －1＋q k ＋1.因为q ≠0，所以q 2－2q ＋1＝0， 所以q ＝1，这与已知矛盾．所以假设不成立，故数列{a n ＋1}不是等比数列．19．(本小题满分12分)定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b>0.证明：函数f (x )的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直．证明：假设函数f (x )的图象上存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直，则A ，B 两点的纵坐标相同．设它们的横坐标分别为x 1和x 2，x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1，1]，则f (x 1)＝f (x 2)． 又f (x )是奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）[x 1＋(－x 2)]．又由题意，得f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）>0，且x 1＋(－x 2)<0，所以f (x 1)＋f (－x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0， 这与f (x 1)＝f (x 2)矛盾， 故假设不成立，即函数f (x )的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直．20. (本小题满分12分)如图，在五面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，DA ⊥平面ABEF ，且DA ＝1，AB ∥EF ，AB ＝12EF ＝22，AF ＝BE ＝2，P ，Q ，M 分别为AE ，BD ，EF的中点．求证：(1)PQ ∥平面BCE ； (2) AM ⊥平面ADF .证明：(1)如图所示，连接AC .因为四边形ABCD 是矩形，Q 为BD 的中点，所以Q 为AC 的中点．又在△AEC 中，P 为AE 的中点， 所以PQ ∥EC .因为EC ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，所以PQ ∥平面BCE .(2)因为M 是EF 的中点，所以EM ＝AB ＝2 2. 又EF ∥AB ，所以四边形ABEM 是平行四边形， 所以AM ∥BE ，AM ＝BE ＝2. 又AF ＝2，MF ＝22，所以AM 2＋AF 2＝MF 2，所以∠MAF ＝90°，所以MA ⊥AF . 因为DA ⊥平面ABEF ，所以DA ⊥AM . 又AF ∩AD ＝A ，所以AM ⊥平面ADF .21．(本小题满分12分)阅读下列不等式的证法，并回答后面的问题．已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12. 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，则f (x )＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22. 因为x ∈R ，f (x )≥0恒成立，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12. (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1(n ∈N *)，请写出上述结论的推广形式； (2)参考上述证法，请对你推广的结论加以证明．解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n (n ∈N *)． (2)构造函数g (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则g (x )＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n .因为x ∈R ，g (x )≥0恒成立，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n)≤0， 所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n(n ∈N *)． 22．(本小题满分12分)通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； …(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值． 解：23－13＝3×12＋3×1＋1， 33－23＝3×22＋3×2＋1， 43－33＝3×32＋3×3＋1， …(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 所以12＋22＋32＋…＋n 2＝13⎣⎡⎦⎤（n ＋1）3－1－n －3×n （n ＋1）2由Ruize收集整理。

高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题一选择题（5×12=60分）1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（）A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大SPS）是，故某奇数（的倍数（的倍数（M），某奇数（））是92．“所有9的倍数（M）都是3P）.”上述推理是（3的倍数（）．大前提错 DC．结论错．正确的 A．小前提错 B kknnk）7）真，现已知F）真，则F（）是一个关于自然数（的命题，若F（＋）（1∈N3．F（＋F）不真；⑥F（5）不真；④F（6）真；⑤F（8）不真；②F（8）真；③F（6不真，则有：①）.其中真命题是（（5）真．③④ DC．④⑥ B．①② A．③⑤）下面叙述正确的是（ 4. B．综合法是直接证法、分析法是间接证法 A．综合法、分析法是直接证明的方法．综合法、分析法所用语气都是假定的 DC．综合法、分析法所用语气都是肯定的．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，5 ）你认为比较恰当的是（各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；②各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

③D．③．①② C．①②③．①A B22axxRabacbac，有且”是“对－46．（05·春季上海，15）若∈，，＜是常数，则“0＞0cbx）0＋”的（＋＞BA．必要不充分条件．充分不必要条件DC．不充分不必要条件．充要条件1fxxfxfxRff）＋＋2）为奇函数，）＝（1）＝，7．（04·全国Ⅳ，理12）设（（）（（∈2f）5（）＝（（2），5DBCA5．．1 ．．0 211111nS）＋…＋＋ 8．设，则（（）＝＋＋2nnnnn3＋21＋＋11SnnnSA 2时，＋（．2（）共有）＝项，当＝32111SnnSBn 221．（）共有＋项，当＝时，（）＝＋＋432．1112SnCSnnn＋（（）共有2）＝－项，当＋＝2．时，4231112SnnnDSn＋．2（时，）共有＋（－2＋1项，当）＝＝432xaaxRxyxx的解集）⊙（）＞＋的不等式（19．在－上定义运算⊙：－⊙0＝，若关于y－2aRxxx｝的子集，则实数）的取值范围是（2，是集合｛∈｜－2≤≤aCAaBaaD2≤．1≤1 ．－1≤≤1 ≤．－．－2≤2≤2 ≤x nfxfxfxxfx∈时，2（2－，若），当－210．已知≤（）＝）为偶函数，且≤（2＋0）＝（*anaNf）），则，＝（＝（n20061DCAB4 ．－．．2006 ．4 4xffxfx是锐角三角形的β1］上满足）是减函数，（－α）＝－11．函数、（（）在［－1，，则下列不等式中正确的是（）两个内角，且α≠βsin fcsfAfsinfsinB （β．o（（α）＞α（）＞β））．sinDfsinfCfcsfcs．βo（α）＜）（αo）＜β）．（（．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：12。

人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2第二章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.有一段演推理是的:“若直平行于平面,直平行于平面内的所有直;已知直b? 平面α,a? 平面α,直 b∥平面α,直 b∥直 a”,个然是的,是因 ()A. 大前提B. 小前提C.推理形式D.非以上解析“若直平行于平面 ,直平行于平面内的所有直”是的 ,即大前提是的.故 A .答案 A已知∈ N* 猜想f( x)的表达式()2.f( x+1)),A .f(x)C.f(x)解析当 x= 1 ,f(2)当x=2 ,f(3)当x=3 ,f(4)故可猜想 f(x) B .答案 B3.如所示,4只小物座位,开始鼠,猴,兔,猫分坐1,2,3,4 号座位 ,如果第 1 次前后排物互座位 ,第 2 次左右列物互座位 ,第 3 次前后排物互座位⋯⋯交替行下去,那么第 2 018次互座位后 ,小兔坐在 ()号座位上 .A.1B.2C.3D.4解析由意得第 4 次互座位后 ,4 只小物又回到了原座位,即每 4 次互座位后,小物回到原座位 ,而 2 018= 4×504+ 2,所以第 2 018 次互座位后的果与第 2 次互座位后的果相同,故小兔坐在 2 号座位上 , B .答案 B4.已知x∈(0,+∞),不等式x≥ 2,x≥ 3,x≥ 4,⋯ ,可推广 x≥ n+ 1, a 的 ()n2C.22(n- 1)nA .2 B.n D.n123n 解析∵第一个不等式中 a= 1,第二个不等式中a= 2 ,第三个不等式中a= 3 ,∴第 n 个不等式中a=n .答案 D5.若△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 , ()A. △A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形C.△A1B1C1是角三角形 ,△A2B2 C2是角三角形D.△A1B1C1是角三角形 ,△A2 B2C2是角三角形解析因正弦在 (0° ,180°)内是正 ,所以△A1B1C1的三个内角的余弦均大于0,因此△A1B1C1是角三角形 .由于△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 ,因此△A2B2C2不可能直角三角形 ,故假△A2 B2C2也是角三角形,并 cos A1= sin A2, cosA1= cos(90° -A2),所以 A1= 90° -A2 .同理 cos B1= sin B2,cos C1= sin C2,有 B1= 90° -B2 ,C1= 90° -C2 .又 A1+B 1+C 1= 180° ,(90° -A 2)+ (90°-B2)+(90° -C2)= 180° ,即A2+B 2+C 2= 90° .与三角形内角和等于180°矛盾 ,所以原假不成立.故 D .答案 D6.察下列各式:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4,a4+b 4= 7,a5+b 5= 11,⋯ , a10+b 10等于 ()A.28B.76C.123D.199解析利用法:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4= 3+ 1,a4+b 4= 4+3= 7,a5 +b 5= 7+ 4= 11,a6+b 6= 11+ 7= 18,a7+b 7= 18+ 11= 29,a8 +b 8= 29+ 18= 47,a9+b 9= 47+29= 76,a10+b 10= 76+ 47= 123.律从第三开始,其果前两果的和.答案 C7.大于或等于 2 的自然数的正整数运算有如下分解方式:2= 1+322= 1+3+ 5324= 1+ 3+ 5+ 723= 3+ 543= 13+ 15+ 17+ 19根据上述分解律23的分解中最小的正整数是21, m+n 等于 () ,若 m = 1+ 3+ 5+⋯ + 11,nA .10 B.11 C.12 D.132解析∵m = 1+ 3+ 5+ ⋯ + 11∴m=6.∵23= 3+ 5,33= 7+ 9+11, 43= 13+15+ 17+ 19,∴53= 21+ 23+25+ 27+ 29.又 n3的分解中最小的正整数是21,∴n3= 53,n= 5,∴ m+n= 6+ 5= 11.答案 B8.于奇数列1,3,5,7,9,⋯ ,在行如下分:第一有 1 个数 {1}, 第二有 2 个数 {3,5}, 第三有3个数 {7,9,11}, ⋯⋯ ,依此推 ,每内奇数之和S n与其的号数n(n∈N* )的关系是 ()A. S n=n 2B. S n =n 3C.S n=n 4D.S n=n (n+ 1)解析当 n= 1,S1=1;当n= 2 ,S2= 8= 23;当n= 3 ,S3= 27=33.猜想 S n=n 3.故 B .答案 B9.古希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数,比如 :(1)(2)他研究 (1) 中的 1,3,6,10,⋯ ,由于些数能表示成三角形,将其称三角形数;似地 ,称 (2)中的 1,4,9,16,⋯的数正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知 ,第 n 个三角形数为 a n第 n 个正方形数为 b n=n 2,由此可排除选项D(1 378 不是平方数 ),将选项 A,B,C 代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项 C,故选 C.答案 C10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示 ,在平行四边形ABCD 中 ,有2222AC +BD = 2(AB +AD ),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中,等于A.2( AB2+AD 2 +C.4(AB 2+AD 2 +解析如图 ,连接 A1C1,AC,则四边形 AA1C1C 是平行四边形,故A1C2+连接 BD ,B1D 1,则四边形 BB1D 1D 是平行四边形 ,故又在 ?ABCD 中 ,AC2+BD 2=2(AB 2+AD 2),则故选 C.答案 C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时 ,甲说 :我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市 ;乙说 :我没去过 C 城市 ;丙说 :我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B 城市 ,因此甲一定去过 A 城市和 C 城市 .又乙没去过 C 城市 ,所以三人共同去过的城市必为A, 故乙去过的城市就是 A .答案 A312.已知函数f(x)=x +x ,a,b,c∈R ,且 a+b> 0,b+c> 0,c+a> 0,则 f(a)+f (b)+f (c)的值一定比零(填“大”或“小”).3解析∵f(x)=x +x 是R上的奇函数 ,且是增函数 ,又由 a+b> 0 可得 a>-b ,∴f(a)>f ( -b)=-f (b),∴f(a)+f (b) >0.同理 ,得 f(b)+f (c)> 0,f(c) +f (a)> 0.三式相加 ,整理得 f(a)+f (b)+f (c) >0.答案大13.在平面几何中,△ABC 的内角平分线CE 分 AB 所成线段的比为把这个结论类比到空间在三棱锥中如图所示平面平分二面角且与相交于则类比后得到的结论是解析∵CE 平分∠ ACB,而平面 CDE 平分二面角A-CD-B ,可类比成△故结论为△△△答案△△14.已知集合{ a,b,c} = {0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b= 2;③c≠0有且只有一个正确,则 100a+ 10b+c 等于.解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时 ,则 a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立 ;(2)当②成立时 ,则 a= 2,b= 2,c=0,此种情况不成立 ;(3)当③成立时 ,则 a= 2,b≠2,c≠0,即 a= 2,b= 0,c=1,所以 100a+ 10b+c= 100×2+ 10×0+ 1=201.故答案为 201.答案 20115.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如下数表-1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2⋯第 k 行有 2k-1个数 ,第 t 行的第 s 个数 (从左数起 )A(t,s), A(6,10)=.01234个数 ,A(6,10) 数列的第41 .解析前 5 行共有 2+2 + 2 + 2 + 2 =31∵ a n-答案三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学中,以下五个式子的都等于同一个常数:①s in 213° +cos217° -sin 13° cos 17°;②s in 215° +cos215° -sin 15° cos 15°;③s in 218° +cos212° -sin 18° cos 12°;④s in 2(-18° )+ cos248° -sin( -18°)cos 48° ;⑤s in 2(-25° )+ cos255° -sin( -25°)cos 55° .(1)从上述五个式子中一个 ,求出个常数 ;(2) 根据 (1)的算果 ,将同学的推广三角恒等式,并明你的.解法一 (1)② 式,算如下:sin215° +cos215° -sin 15° cos 15°=130°= 1(2)三角恒等式sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)明如下 :sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= sin2α+(cos 30° cos α+ sin 30° sin α)2-sin α·(cos 30° cos α+ sin 30 °sin α)= sin2ααcosααcosα解法二 (1) 同解法一 .22(2)三角恒等式sin α+ cos (30° -α)-sin α·cos(30° - α)明如下 :22-°-2α60° cos 2α+ sin 60° sin 2α)αcosαsin 2α2α2α2α2α2α) = 12α2α17.(8分)已知函数f(x)=a x-(1)证明函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 ;(2)用反证法证明方程 f( x)=0 没有负数根 .分析对第 (1) 小题 ,可用定义法证明;对第 (2)小题 ,可按反证法证明命题的步骤加以证明.证明 (1)设 x1,x2是 (- 1,+ ∞)内的任意两个实数,且 x1<x 2.∵a> 1,又x1+ 1> 0,x2+ 1> 0,--于是 f(x2)-f(x1)故函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 .(2)假设存在x0<0( x0≠-1) 满足 f( x0)= 0,则于是 0<-且 0-即这与假设 x0< 0 矛盾 ,故方程 f(x)= 0 没有负数根 .18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证 :ta-(2)设 x∈R ,a 为非零常数 ,且 f(x+a )试问是周期函数吗证明你的结论-(1) 证明由两角和的正切公式得ta--即 ta命题得证 .-(2)解猜想 f(x)是以 4a 为周期的周期函数 . 证明过程如下 :∵ f(x+ 2a)=f [(x+a )+a ]∴f(x+ 4a)=f [(x+ 2a)+ 2a]=∴ f(x)是以 4a 为周期的周期函数.故 f(x) 是周期函数 ,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0<b<a< e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想 a b与 b a的大小关系 ;(2)证明你的结论 .(1) 解取 a= 2,b= 1 可知 a b>b a,又当 a= 1,b时,a b>b a,由此猜测 a b>b a对一切 0<b<a< e 成立 .(2)证明要证 a b >b a对一切 0<b<a< e 成立 ,需证 ln a b> ln b a,需证 bln a>a ln b,需证设函数 f(x)∈ (0,e),-f'(x)当x∈ (0,e)时 ,f'(x)> 0 恒成立 .所以 f(x)在(0,e)内单调递增,所以 f(a)>f (b), 即所以a b>b a.20.(10分)已知数列{ a n}和{ b n}满足:a1=λ,a n+1其中为常数为正整数(1)求证 :对任意实数λ,数列 { a n } 不是等比数列 ;(2)求证 :当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是等比数列 ;(3) 设 S n为数列 { b n} 的前 n 项和 ,是否存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 S n>- 12?若存在 ,求实数λ的范围 ;若不存在 ,请说明理由 .分析解答本题 ,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.(1) 证明假设存在实数λ,使得数列{ a n}是等比数列,则有又因为 a2所以--即则 9=0,这是不可能的.所以假设不成立,原结论成立 .故对任意实数λ,数列 { a n} 不是等比数列.(2)证明因为λ≠-18,所以 b1=- (λ+ 18)≠0.又b n+ 1= (-1)n+ 1[a n+ 1-3(n+ 1)+21]= (-1)n+-==所以 b n≠0,所以∈N *).故当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是以 -(λ+ 18)为首项 ,为公比的等比数列.(3)解当λ≠-18 时,由 (2)得-b n=- (λ+ 18) ·-所以 S n- -=当λ=- 18 时 ,b n= 0,从而 S n= 0,(* )式仍成立 .要使对任意正整数n,都有 S n>- 12,即解得λ- -令 f(n) =1-则当n为正奇数时,1<f (n)≤当n为正偶数时≤ f(n)< 1,故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)所以λ<20综上所述 ,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有 S n>- 12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6).。

第二章推理与证明章末小结新人教版选修合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．观察下图中各正方形图案，每条边上有(≥)个点，第个图案中圆点的总数是.，•,,,• • •)，•,,,••,,,• • • •)，…＝，＝；＝，＝；＝，＝；…，按此规律，推出与的关系式为．解析：依图的构造规律可以看出：＝×－，＝×－，＝×－(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：＝－(≥，∈*)．答案：＝－(≥，∈*)若数列{}是等比数列，且>，则有数列＝(∈*)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{}是等差数列，则有＝也是等差数列．解析：类比猜想可得＝也成等差数列，若设等差数列{}的公差为，则＝＝＝＋(－)·.可见{}是一个以为首项，为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：已知函数()＝，()＝.()证明()是奇函数，并求()的单调区间；()分别计算()－()·()和()－()·()的值，由此概括出涉及函数()和()的对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明．()证明：函数()的定义域(－∞，)∪(，＋∞)关于原点对称，又(－)＝＝－＝－()，∴()是奇函数．任取，∈(，＋∞)，设<，()－()＝－＝(－).∵－<，＋>，∴()－()<.∴()在(，＋∞)上单调递增．∴()的单调递增区间为(－∞，)和(，＋∞)．()解析：计算得()－()·()＝，()－()·()＝.由此概括出对所有不等于零的实数有()－()·()＝.∵()－()·()＝－··＝(－－)－(－－)＝，∴该等式成立．问题()的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题()实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性．►变式训练．已知数列{}的相邻两项－，是关于的方程－(＋)＋·＝的两个根且－≤(＝，，，…)．()求，，，及(≥)，不必证明；()求数列{}的前项和.解析：()方程－(＋)＋·＝的两根为＝，＝.当＝时，＝，＝，∴＝；当＝时，＝，＝，∴＝；当＝时，＝，＝，∴＝；当＝时，＝，＝，∴＝.∵当≥时，＞，∴＝(≥)．()＝＋＋…＋。

阶段质量检测（二）推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3,9) B．(4,8)C．(3,10) D．(4,9)解析：选D因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数， 所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立． 上述证明过程应用了( ) A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知D 成立． 8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2nn ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于114．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________． 解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b 2>a ＋b 2⇒lg a ＋b2>lg a ＋b2. 答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab ，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b ，b ＝62－1＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n， 解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．21．(本小题满分12分)已知：sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝32，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边．将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32也正确22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：(1)用分析法证明：已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2；(2)用反证法证明：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项．证明：(1)a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤ 2.只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．(2)假设1，2，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项(m，n，k∈N*)，则数列的公差d＝2－1n－m＝3－1k－m，即2－1＝2(n－m)k－m，因为m，n，k∈N*，所以(n－m)∈Z，(k－m)∈Z，所以2(n－m)k－m为有理数，所以2－1是有理数，这与2－1是无理数相矛盾．故假设不成立，所以1，2，3不可能是一个等差数列的三项．。

第二章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这个结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.2.已知f(x+1)=2f(x)f(x)+2,f(1)=1(f∈N*),猜想f(x)的表达式为()A.f(x)=42x+2B.f(f)=2x+1C.f(x)=1x+1D.f(f)=22x+1x=1时,f(2)=2f(1)f(1)+2=23=22+1;当x=2时,f(3)=2f(2)f(2)+2=24=23+1;当x=3时,f(4)=2f(3)f(3)+2=25=24+1,故可猜想f(x)=2x+1,应选B.3.如图所示,4只小动物换座位,开始时鼠,猴,兔,猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位……这样交替进行下去,那么第2 018次互换座位后,小兔坐在()号座位上.A.1B.2C.3D.44次互换座位后,4只小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 018=4×504+2,所以第2 018次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同,故小兔坐在2号座位上,应选B.4.已知x ∈(0,+∞),不等式x +1x≥2,x +4x2≥3,x +27x 3≥4,…,可推广为x +a x n≥n+1,则a 的值为( )A .2nB .n 2C .22(n-1)D .n n第一个不等式中a=11,第二个不等式中a=22,第三个不等式中a=33,∴第n 个不等式中a=n n .5.若△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形(0°,180°)内是正值,所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.由于△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,因此△A 2B 2C 2不可能为直角三角形,故假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形,并设cos A 1=sin A 2,则cos A 1=cos(90°-A 2), 所以A 1=90°-A 2.同理设cos B 1=sin B 2,cos C 1=sin C 2, 则有B 1=90°-B 2,C 1=90°-C 2. 又A 1+B 1+C 1=180°,则(90°-A 2)+(90°-B 2)+(90°-C 2)=180°, 即A 2+B 2+C 2=90°.这与三角形内角和等于180°矛盾, 所以原假设不成立.故选D .6.观察下列各式:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10等于( ) A.28 B.76C.123D.199法:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4=3+1,a 4+b 4=4+3=7,a 5+b 5=7+4=11,a 6+b 6=11+7=18,a 7+b 7=18+11=29,a 8+b 8=29+18=47,a 9+b 9=47+29=76,a 10+b 10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.7.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7 23=3+5 33=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n等于()A.10B.11C.12D.13×6=36,m2=1+3+5+…+11=1+112∴m=6.∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29.又n3的分解中最小的正整数是21,∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=11.8.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和S n与其组的编号数n(n∈N*)的关系是()A.S n=n2B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33.归纳猜想S n=n3.故选B.9.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378,第n个正方形数为b n=n2,由此可排除选项,第n个三角形数为a n=n(n+1)2D(1 378不是平方数),将选项A,B,C代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,f C12+f D12+f A12+f B12等于()A.2(AB2+AD2+f A12)B.3(ff2+ff2+f A12)C.4(AB2+AD2+f A12)D.4(ff2+ff2),连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1C2+f C12=2(f A12+ff2).连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,故f D12+f B12=2(f B12+ff2).又在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2),f A12=f B12,则f C12+f D12+f A12+f B12=2(f A12+ff2)+2(f B12+ff2)=2(ff2+ff2+f B12+f A12) =2[2(ff2+ff2)+2f A12]=4(ff2+ff2+f A12).故选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B 城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.12.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零(填“大”或“小”).f(x)=x3+x是R上的奇函数,且是增函数,又由a+b>0可得a>-b,∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0.同理,得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.三式相加,整理得f(a)+f(b)+f(c)>0.13.在平面几何中,△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为AEEB =ACBC,把这个结论类比到空间:在三棱锥f−fff中(如图所示),平面fff平分二面角f−ff−f,且与ff相交于f,则类比后得到的结论是.CE平分∠ACB,而平面CDE平分二面角A-CD-B,∴ACBC可类比成S△ACDS△BCD.故结论为AEEB=S△ACDS△BCD.14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于.:(1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.15.把数列{12n-1}的所有项按照从大到小的原则写成如下数表:11 31 51 7191111131 15117119…129…第k行有2k-1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(6,10)=.5行共有20+21+22+23+24=31个数,A(6,10)为数列的第41项.∵a n=12n-1,∴f41=181.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1−12sin 30°=1−14=34.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α) =sin2α+3cos2f+√3sin αcos α+1sin2f−√3sin αcos α−1sin2f=34sin2f+34cos2f=34.同解法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos(60°-2α)2−sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=12−12cos 2α+12+12(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)−√32sin αcos α−12sin2α=12−12cos 2α+12+14cos 2α+√34sin 2α−√34sin 2α−14(1−cos 2α)=1−14cos 2α−14+14cos 2α=34.17.(8分)已知函数f(x)=a x+x-2x+1(f>1).(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.(1)小题,可用定义法证明;对第(2)小题,可按反证法证明命题的步骤加以证明.设x1,x2是(-1,+∞)内的任意两个实数,且x1<x2.∵a>1,∴a x1<a x2.∴a x2−a x1>0.又x1+1>0,x2+1>0,∴x2-2x2+1−x1-2x1+1=(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1) (x1+1)(x2+1)=3(x2-x1)(x1+1)(x2+1)>0.于是f(x2)-f(x1)=a x2−a x1+x2-2x2+1−x1-2x1+1>0,故函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数. (2)假设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则a x0=−x0-2x0+1,且0<a x0<1,于是0<−x0-2x0+1<1,即12<f0<2.这与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证:ta n(x+π4)=1+tanx1-tanx.(2)设x∈R,a为非零常数,且f(x+a)=1+f(x)1-f(x),试问f(f)是周期函数吗?证明你的结论.ta n(x+π4)=tanx+tanπ41-tanx·tanπ4=tanx+11-tanx,即ta n(x+π4)=1+tanx1-tanx,命题得证.f(x)是以4a为周期的周期函数.证明过程如下:∵f(x+2a)=f[(x+a)+a]=1+f(x+a)1-f(x+a)=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=−1f(x),∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=−1f(x+2a)=f(f).∴f(x)是以4a为周期的周期函数.故f(x)是周期函数,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0<b<a<e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想a b与b a的大小关系;(2)证明你的结论.a=2,b=1可知a b>b a,又当a=1,b=12时,a b>b a,由此猜测a b>b a对一切0<b<a<e成立.a b>b a对一切0<b<a<e成立,需证ln a b>ln b a,需证b ln a>a ln b,需证lnaa >lnbb.设函数f(x)=lnxx,f∈(0,e),f'(x)=1-lnxx2,当x∈(0,e)时,f'(x)>0恒成立.所以f(x)=lnxx在(0,e)内单调递增,所以f(a)>f(b),即lnaa >lnbb,所以a b>b a.20.(10分)已知数列{a n}和{b n}满足:a1=λ,a n+1=23ff+f−4,ff=(−1)f(ff−3f+21),其中f为常数,f为正整数.(1)求证:对任意实数λ,数列{a n}不是等比数列;(2)求证:当λ≠-18时,数列{b n}是等比数列;(3)设S n为数列{b n}的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有S n>-12?若存在,求实数λ的范围;若不存在,请说明理由.,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.λ,使得数列{a n }是等比数列,则有a 22=f 1f 3.又因为a 2=23f 1−3=23f −3,f 3=23f 2−2=49f −4,所以(23λ-3)2=f (49λ-4),即49f 2−4f +9=49f 2−4f , 则9=0,这是不可能的. 所以假设不成立,原结论成立.故对任意实数λ,数列{a n }不是等比数列.λ≠-18,所以b 1=-(λ+18)≠0.又b n+1=(-1)n+1[a n+1-3(n+1)+21] =(-1)n+1(23a n -2n +14) =−23(−1)f (ff −3f +21) =−23ff , 所以b n ≠0, 所以b n+1b n =−23(f ∈N *).故当λ≠-18时,数列{b n }是以-(λ+18)为首项,−23为公比的等比数列.λ≠-18时,由(2)得b n =-(λ+18)·(-23)n -1,所以S n =−35(f +18)[1-(-23)n].(∗)当λ=-18时,b n =0,从而S n =0,(*)式仍成立. 要使对任意正整数n ,都有S n >-12,即−35(f +18)[1-(-23)n]>−12,解得λ<201-(-23)n−18.令f (n )=1−(-23)n ,则当n 为正奇数时,1<f (n )≤53;当n 为正偶数时,59≤f (n )<1,故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)=5 3 ,所以λ<20×35−18=−6.综上所述,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有S n>-12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6).。

第二章推理与证明一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．．①②③．②③④．②④⑤．①③⑤解析：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，故①③⑤正确．答案：．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．．①．①②．①②③．③解析：比较恰当的是①②，而③中边对面时，内角应对应面面所成的角．答案：．已知△中，∠＝°，∠＝°，求证＜.证明：∵∠＝°，∠＝°，∴∠＜∠，∴＜，画线部分是演绎推理的( )．大前提．小前提．结论．三段论解析：由题意知，该推理中的大前提为：三角形中大角对大边；小前提为：∠＜∠；结论为＜.故选.答案：．观察式子：＋＜，＋＋＜，＋＋＋＜，…，则可归纳出一般式子为( )＋＋＋…＋＜(≥)＋＋＋…＋＜(≥)＋＋＋…＋＜(≥)＋＋＋…＋＜(≥)解析：由合情推理可得．答案：．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数()，如果′()＝，那么＝是函数()的极值点，因为()＝在＝处的导数值′()＝，所以＝是函数()＝的极值点．以上推理中()．大前提错误．小前提错误．推理形式错误．结论正确解析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数()，如果′()＝，那么＝是函数()的极值点”，不难得到结论．因为大前提是：“对于可导函数()，如果′()＝，那么＝是函数()的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数()，如果′()＝，且满足当>时和当<时的导函数值异号，那么＝是函数()的极值点，所以大前提错误．答案：．用反证法证明“方程＋＋＝(≠)至多有两个解”的假设中，正确的是( )．至多有一个解．有且只有两个解．至少有三个解．至少有两个解解析：“至多个”的反设应为“至少＋个”．故选.答案：．若，，均为实数，则下面四个结论均是正确的：①＝；②()＝()；③若＝，≠，则－＝；④若＝，则＝或＝.对向量，，，用类比的思想可得到以下四个结论：①·＝·；②(·)＝(·)；③若·＝·，≠，则＝；④若·＝，则＝或＝.其中结论正确的有( )．个．个．个．个解析：利用类比思想结合向量的定义及性质，特别是向量的数量积的定义可知①正确，②③④不正确．答案：。