2019年甘肃兰州中考数学真题--含解析

甘肃省2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．下列实数是无理数的是（ ）A．﹣2 B．C．D．【知识考点】算术平方根；无理数．【思路分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．【解题过程】解：＝3，则由无理数的定义可知，属于无理数的是．故选：D．2．若α＝70°，则α的补角的度数是（ ）A．130° B．110° C．30° D．20°【知识考点】余角和补角．【思路分析】根据补角的定义，两个角的和是180°即可求解．【解题过程】解：α的补角是：180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．故选：B．3．若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）A．2B．3 C．3D．4【知识考点】算术平方根．【思路分析】根据算术平方根的定义解答．【解题过程】解：∵正方形的面积是12，∴它的边长是＝2．故选：A．【总结归纳】本题考查了算术平方根，解题的关键是利用了正方形的性质和算术平方根的定义．4．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图矩形判断即可．【解题过程】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．5．下列各式中计算结果为x6的是（ ）A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．x12÷x2【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．【解题过程】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A 选项不符合题意；同理选项B不符合题意；x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；故选：C．6．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）A．1.24米B．1.38米C．1.42米D．1.62米【知识考点】黄金分割．【思路分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．【解题过程】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．7．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0【知识考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解．【思路分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．【解题过程】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．8．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（ ）A．90° B．100° C．120° D．150°【知识考点】全等图形；菱形的性质；解直角三角形的应用．【思路分析】连结AE，根据全等的性质可得AC＝20cm，根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ACB是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质即可求解．【解题过程】解：连结AE，∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，∴AC＝20cm，∵菱形的边长AB＝20cm，∴AB＝BC＝20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠DAB＝120°．故选：C．9．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（ ）A．2B．C．2D．【知识考点】圆周角定理．【思路分析】先根据圆周角得：∠BAC＝∠D＝90°，根据勾股定理即可得结论．【解题过程】解：∵点D在⊙O上且平分，∴，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2，∵点D在⊙O上，且平分，∴DC＝BD．Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC＝，故选：D．10．如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P 从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（ ）A．4B．4 C．3D．2【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE ＝2，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2，∴x2+（2x）2＝（2）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4，故选：A．二、填空题11．如果盈利100元记作+100元，那么亏损50元记作 元．【知识考点】正数和负数．【思路分析】根据盈利为正，亏损为负，可以将亏损50元表示出来，本题得以解决．【解题过程】解：∵盈利100元记作+100元，∴亏损50元记作﹣50元，故答案为：﹣50．12．分解因式：a2+a＝ ．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】直接提取公因式分解因式得出即可．【解题过程】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．13．暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价： 元暑假八折优惠，现价：160元【知识考点】一元一次方程的应用．【思路分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解题过程】解：设广告牌上的原价为x元，依题意，得：0.8x＝160，解得：x＝200．故答案为：200．【总结归纳】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．要使分式有意义，x需满足的条件是 ．【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x﹣1≠0．【解题过程】解：当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1，故答案为x≠1．15．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有 个．【知识考点】利用频率估计概率．【思路分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．【解题过程】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，∵假设有x个红球，∴＝0.85，解得：x＝17，经检验x＝17是分式方程的解，∴口袋中红球约有17个．故答案为：17．16．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，），则点E的坐标为 ．【知识考点】坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】利用平移的性质解决问题即可．【解题过程】解：∵A（3，），D（6，），∴点A向右平移3个单位得到D，∵B（4，0），∴点B向右平移3个单位得到E（7，0），故答案为（7，0）．17．若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为　cm （结果保留π）．【知识考点】弧长的计算；扇形面积的计算．【思路分析】首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积＝lR，即可得出弧长．【解题过程】解：设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得；＝，解得：R＝1，∵扇形的面积＝lR＝，解得：l＝π．故答案为：．18．已知y＝﹣x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是 ．【知识考点】规律型：数字的变化类；二次根式的性质与化简．【思路分析】直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案．【解题过程】解：当x＜4时，原式＝4﹣x﹣x+5＝﹣2x+9，当x＝1时，原式＝7；当x＝2时，原式＝5；当x＝3时，原式＝3；当x≥4时，原式＝x﹣4﹣x+5＝1，∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：7+5+3+1+1+…+1＝15+1×2017＝2032．故答案为：2032．三、解答题（一）19．计算：（2﹣）（2+）+tan60°﹣（π﹣2）0．【知识考点】平方差公式；零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用乘法公式以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解题过程】解：原式＝4﹣3+﹣1＝．【总结归纳】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：21．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【知识考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．【思路分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF 和AC的数量关系及位置关系．【解题过程】解：（1）如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，∴点E是AD的中点，∵点F是CD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴线段EF和AC的数量关系为：EF＝AC，位置关系为：EF∥AC．22．图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝﹣﹣铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志．在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑．某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直线上．α的度数β的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高度测量数据31°42°5米 1.5米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】在两个直角三角形中，用BG 表示DG 、FG ，进而用 DG ﹣FG ＝DF ＝5列方程求出BG 即可．【解题过程】解：如图，延长DF 与AB 交于点G ，设BG ＝x 米，在Rt △BFG 中，FG ＝＝，在Rt△BDG中，DG＝＝，由DG﹣FG＝DF得，﹣＝5，解得，x＝9，∴AB＝AG+BG＝1.5+9＝10.5（米），答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5米．23．2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．【知识考点】概率公式；列表法与树状图法．【思路分析】（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”只有1种，因此可求出概率；（2）列表法表示所有可能出现的结果，进而求出概率．【解题过程】解：（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”的概率是；（2）从A，B，C，D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个景区的有2种，∴P（选择A、D）＝＝．四、解答题（二）24．习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”．兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”．近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片．如图是根据兰州市环境保护局公布的2013～2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：（1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了 天；（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天；（3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上．试计算2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．【思路分析】（1）根据折线统计图可得2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加的天数；（2）先将这七年的全年空气质量优良天数从小到大排列，即可得中位数；（3）根据表格数据利用加权平均数公式即可求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）用80%×366即可得兰州市空气质量能达标的优良天数．【解题过程】解：（1）∵296﹣270＝26，∴2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；故答案为：26；（2）∵这七年的全年空气质量优良天数分别为：213，233，250，254，270，296，313，∴这七年的全年空气质量优良天数的中位数是254天；故答案为：254；（3）∵＝（213+233+250+254+270+296+313）≈261（天），则这七年的全年空气质量优良天数的平均天数为261天；（4）∵全年空气质量优良天数比率达80%以上．∴366×80%＝292.8≈293（天），则兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标．25．通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：x…012345…y…632 1.5 1.21…（1）当x＝ 时，y＝1.5；（2）根据表中数值描点（x，y），并画出函数图象；（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： ．【知识考点】函数值；函数的图象；函数的表示方法．【思路分析】（1）观察函数的自变量x与函数值y的部分对应值表可得当x＝3时，y＝1.5；（2）根据表中数值描点（x，y），即可画出函数图象；（3）观察画出的图象，即可写出这个函数的一条性质．【解题过程】解：（1）当x＝3时，y＝1.5；故答案为：3；（2）函数图象如图所示：（3）观察画出的图象，这个函数的一条性质：函数值y随x的增大而减小．故答案为：函数值y随x的增大而减小．26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再由等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；（2）设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．【解题过程】解：（1）连接OA，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°；（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴2OA＝OE，即2r＝r+2，∴r＝2，故⊙O的半径为2．27．（8分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：△AEM≌△ANM．（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．【思路分析】（1）想办法证明∠MAE＝∠MAN＝45°，根据SAS证明三角形全等即可．（2）设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解题过程】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM+DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2+CN2，∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得，x＝6或﹣1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC ＝8OB，则OA＝4，OB＝，确定点A、B、C的坐标；即可求解；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA，即可求解．【解题过程】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，设P（x，x2+﹣2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，∵﹣2＜0，∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．。

2019年甘肃省兰州市初中毕业、升学考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共48分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019甘肃省兰州市，1，4分）－2019的相反数是A.12019B. 2019C. -2019D.12019-【答案】B【解析】解：－2019的相反数是2019，故选B.【知识点】相反数2．（2019甘肃省兰州市，2，4分）如图，直线a,b被直线c所截，a∥b，∠=80°，则∠2=A.130°B.120°C.110°D.100°【答案】D【解析】解：∵a∥b，∴∠3=∠1=80°，∠2+∠3=180°，∴∠2=100°，故选D.【知识点】对顶角的性质，平行线的性质3．（2019甘肃省兰州市，3，4分）计算：12－3=A. 3B. 23C. 3D. 43【答案】A【解析】解：原式=2333-=，故选A.【知识点】二次根式的化简，二次根式的运算4．（2019甘肃省兰州市，4，4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是3【答案】C【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的是C，故选C.【知识点】轴对称图形，中心对称图象5．（2019甘肃省兰州市，5，4分）x=1是关于x的一元二次方程220x ax b++=的解，则2a+4b=A. -2B. -3C.-1D. -6【答案】A【解析】解：把x=1代入x2+ax+2b=0，得：1+a+2b=0，∴a+2b=-1，∴2a+4b=2（a+2b）=-2，故选A. 【知识点】一元二次方程的解，整体代入6．（2019甘肃省兰州市，6，4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=A. 110°B.120°C.135°D.140°【答案】D【解析】解：根据圆内接四边形的对角互补，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=40°，∴∠C=140°，故选D. 【知识点】圆内接四边形的性质7．（2019甘肃省兰州市，7，4分）化简：21211 aa a+-++=A.a-1B.a+1C.11aa-+D.11a+【答案】A【解析】解：原式=221211111a aaa a a+--==-+++，故选A.【知识点】分式的加减，分式的约分8．（2019甘肃省兰州市，8，4分）已知△ABC≈△A′B′C′，AB=8，则BCB C''=A. 2B.43C. 3D.169【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴8463BC ABB C A B===''''，故选B.【知识点】相似三角形的性质9．（2019甘肃省兰州市，9，4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为A.⎩⎨⎧-=-=+xy y x y x 65165B.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156C.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165D.⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 54156【答案】C【解析】解：根据题意，得56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩，故选C.【知识点】二元一次方程组的应用10．（2019甘肃省兰州市，10，4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1,已知A （-3，5），B （-4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为 A.（1，2） B.（2，1） C.（1，4） D.（4，1）【答案】B【解析】解：∵A （－3，5），A 1（3，3），∴四边形ABCD 向右平移6个单位，向下平移2个单位，∵点B （－4，3），∴点B 1（2，1），故选B. 【知识点】图形的平移11．（2019甘肃省兰州市，11，4分）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线2)1(2++-=x y 上，则下列结论正确的是A.212y y >>B.122y y >>C. 221>>y yD.212>>y y【答案】A【解析】根据题意，可得：抛物线开口向下，对称轴为x=－1，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵－1＜1＜2，∴2＞y 1＞y 2，故选A. 【知识点】二次函数的图象和性质12．（2019甘肃省兰州市，12，4分）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM=A.12B.22C.31－D. 21－【答案】D【思路分析】根据正方形的性质，OC=OD ，AC ⊥BD ，根据折叠，DF ⊥EC ，CD=DE=2，利用△ODM ≌△OCE ，得OM=EF ，求出OD 的长，根据OE=DE －OD 即可.【解题过程】在正方形ABCD 中，OC=OD ，AC ⊥BD ，由折叠可知，DF ⊥EC ，CD=DE=2，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵OC=OD ，∠DOM=∠COE=90°，∴△ODM ≌△OCE （ASA ），∴OM=EF ，在Rt △BCD 中，BD=()()22222-=，∴OD=1，∴OE=DE －OD=21-，∴OM=21-，故选D.【知识点】正方形的性质、折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 13．（2019甘肃省兰州市，13，4分）因式分解：=++a a a 232 . 【答案】a （a+1）2【解析】解：原式=a （a 2+2a+1）= a （a+1）2，故答案为：a （a+1）2. 【知识点】提公因式法分解因式，公式法分解因式14．（2019甘肃省兰州市，14，4分）在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，则∠B= . 【答案】70【解析】解：∵AB=AC ，∴∠B+∠C ，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∴∠B=∠C=70°，故答案为：70°. 【知识点】等腰三角形的性质，三角形的内角和15．（2019甘肃省兰州市，15，4分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数)0(>=k xky 的图象上，6=OABC S 矩形，则k= .123【答案】6【解析】解：∵S 矩形OABC =6，∴OA ⋅AB=6，∴k=xy=6，故答案为：6. 【知识点】反比例函数中k 的几何意义 16．（2019甘肃省兰州市，16，4分）如图，矩形ABCD ，∠BAC=60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M,N 两点，再分别以点M,N 为圆心，以大于21MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE=1，则矩形ABCD 的面积等于 .【答案】33【思路分析】根据矩形的性质及角平分线的性质，求出∠BCA ，∠EAC 的度数，利用锐角三角函数，求出AE ，AB 的值，进而可得矩形ABCD 的面积. 【解题过程】解：在矩形ABCD 中，∠BAC=60°，∴∠B=90°，∠BCA=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠EAC=30°，∵在Rt △ABE 中，BE=1，∴AE=1sin30︒=2，AB=13tan30=︒，∵∠EAC=∠ECA=30°，∴EC=AE=2，∴S 矩形ABCD =AB ⋅BC=33.【知识点】矩形的性质，角平分线的性质，矩形的面积，锐角三角函数三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019甘肃省兰州市，17，5分）计算：︒--++--45tan )2()13(|2|20.【思路分析】根据绝对值、零指数幂、有理数的乘方、特殊角的函数值，将各式化简，在合并即可. 【解题过程】解：原式=2－1+4－1=4.【知识点】绝对值、零指数幂、有理数的乘方、特殊角的函数值18．（2019甘肃省兰州市，18，5分）化简：)1)(1(2)21(-++-a a a a .【思路分析】根据单项式乘单项式，平方差公式，去掉括号，再合并同类项即可. 【解题过程】解：原式=()22221a a a -+-=22222a a a -+-=2a -.【知识点】单项式乘单项式，平方差公式19．（2019甘肃省兰州市，19，5分）解不等式组：215113x xxx-<+⎧⎪+⎨<-⎪⎩.【思路分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得解.【解题过程】解：215113x xxx-<+⎧⎪⎨+<-⎪⎩①②，解不等式①，得：x<6，解不等式②，得：x＞2，∴不等式组的解集为：2＜x＜6.【知识点】解一元一次不等式组20．（2019甘肃省兰州市，20，6分）如图，AB=DE,BF=EC,∠B=∠E，求证：AC∥DF.【思路分析】利用BF=EC，易得BC=EF，根据SAS可得△ABC≌△DEF，进而可得∠ACB=∠CFE，即可得证.【解题过程】证明：∵BC=EF，∴BC+FC=EC+FC，即BC=EF，又∵AB=DE∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠CFE，∴AC∥DF.【知识点】全等三角形的性质和判定，平行线的判定21．（2019甘肃省兰州市，21，6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）.（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.【思路分析】（1）直接利用树状图表示出所有12种等可能的结果即可；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，根据概率公式计算即可.【解题过程】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率=212=16．【知识点】用树状图与列表法求概率 22．（2019甘肃省兰州市，22，7分）如图AC=8，分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D.依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O. （1）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由; （2）求BD 的长.【思路分析】（1）利用线段垂直平分线的性质，易得AB=BC ，AD=DC ，利用HL 证明△ABO ≌△ADO ，从而可证四边形ABCD 是菱形；（2）利用菱形的性质，求得OA 的长，再利用勾股定理，求得BO 的长，进而可得BD 的长. 【解题过程】解：（1）四边形ABCD 是菱形，理由：∵BD 垂直平分AC ，∴AB=BC ，AD=DC ，BD ⊥AC ，∴∠AOB=∠AOD=90°，∵AO=AO ，AB=AD ，∴△ABO ≌△ADO （HL ），∴AB=AD ，∴AB=BC=CD=DA ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是菱形，AC=8，∴OA=12AC=4，BD=2BO ，∵AB=5，∴BO=2254-=3，∴BD=6. 【知识点】垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，勾股定理23．（2019甘肃省兰州市，23，7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过等边三角形BOC 的顶点B ，OC=2，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，OA. （1）求反比例函数()0ky k x=≠的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33 ，求点A 的坐标.【思路分析】【解题过程】解：（1）作BD ⊥OC 于D ，∵△BOC 是等边三角形，∴OB=OC=2，OD=12OC=1，∴BD= 22OB OD -=3，∴S△OBD=12OD×BD=32，S△OBD=12|k|，∴|k|=3，∵反比例函数()0ky kx=≠的图象在第一三象限，的图象在一三象限，∴k=3，∴反比例函数的表达式为3yx =；（2）∵S△OBC=12OC•BD=12×2×3= 3，∴S△AOC=333-=23，∵S△AOC=12OC•y A=23，∴y A=23，把y=23代入3yx=，求得x=12，∴点A的坐标为（12，23）．【知识点】全等三角形的性质和判定，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质，反比例函数的解析式24．（2019甘肃省兰州市，24，7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：分析数据：小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.【思路分析】（1）根据中位数的定义找出第13个数，然后确定80≤x＜90这一组中最小的数即可；（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1班学生的成绩更为优异.【解题过程】解：（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x＜90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定.【知识点】中位数和众数，算术平均数，方差25．（2019甘肃省兰州市，25，7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC 最大（∠ADC=77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）.窗户的高度AB=2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长.（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）【思路分析】根据正切的定义，分别用CD表示出BC、AC，根据题意列式计算即可．【解题过程】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=BCCD，则BC=CD•tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA中，tan∠ADC=ACCD，则AC=CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC-BC=AB，即4.49CD-0.59CD=2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD的长约为0.5m．【知识点】解直角三角形及其应用26．（2019甘肃省兰州市，26，9分）如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，点D为BC的中点，BE=DE，将∠BDE 绕点D 顺时针旋转α度（︒≤≤830α），角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为xcm ，M,N 两点间的距离为ycm.小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小涛的探究过程，请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是B,M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量,分别得到了y 与x 的几组对应值：请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x ，y ）,并画出函数y 关于x 的图象.（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势： . （4）解决问题：当MN=2BM 时，BM 的长度大约是 cm.（保留两位小数）.【思路分析】【解题过程】解：（1）①当x=BM=0时，连接AD ，则AD ⊥BC ，BD=CD=12BC=4，cos ∠ABD=BD AB =23=cos α，则sin α= 53，则y=MN=BN=12BDCOS α=3；②x=BM=83，在△MBD中，BD=4，BM=83，cos∠B=23=cosα，tanα=52，过点M作MH⊥BD于点H，则BH=BMcosα=169，则EH=859，MD2=HD2+EH2=809，则BD2=BM2+MD2，故∠BMD=90°，则y=MN=MDtanα=（DBsinα）tanα=103；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：0≤x≤1.25时，y随x最大而减小，当1.25＜x≤4.10时，y随x最大而增大；（3）MN=2BM，即y=2x，在上图中作直线y=2x，直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45，故答案为：2.68或7.45．【知识点】27．（2019甘肃省兰州市，27，10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题.【模型呈现】如右图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点B作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE，我们把这个数学模型成为“K型”.推理过程如下：【模型应用】27.（10分）如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过AD作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO交⊙O于点F.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB.求证：2FG GO GB=•.【思路分析】（1）根据圆的直径所对的圆周角是直角，可得∠ABC+∠BAC=90°，根据等量代换，可得∠DAE+∠BAC=90°，进而易证AD是⊙O的切线；（2）延长DO交BC于点H，连接OC，利用AAS证明△DEA≌△ACB，再根据勾股定理，求出AD，AB的值，根据两边成比例，且夹角相等，易证△DAO∽△AED，再证明DH⊥BC，利用等腰三角形的性质，可得∠BOH=12∠BOC，又根据∠BFG=12∠BOC，可得∠FOG=∠BFG，进而可证△FGO∽△BGF，即可得证.【解题过程】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，∴O为斜边AB中点，AB为直径，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵∠DAE=∠ABC，∴∠DAE+∠BAC=90°，∴∠BAD=180°-（∠DAE+∠BAC）=90°，∴AD⊥AB，∴AD是⊙O的切线；（2）延长DO交BC于点H，连接OC，∵DE⊥AC于点E，∴∠DEA=90°，∵AB绕点A旋转得到AD，∴AB=AD，在△DEA与△ACB中，90DEA ACBDAE ABCDA AB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEA≌△ACB（AAS），∴AE=BC=2，AC=DE=1，∴AD=AB=225AC BC+=，∵O为AB中点，∴AO=12AB=52，∴52AO ADDE AE==，∵∠DAO=∠AED=90°，∴△DAO∽△AED，∴∠ADO=∠EAD，∴DO∥EA，∴∠OHB=∠ACB=90°，即DH⊥BC，∵OB=OC，∴OH平分∠BOC，即∠BOH=12∠BOC，∵∠FOG=∠BOH，∠BFG=12∠BOC，∴∠FOG=∠BFG，∵∠FGO=∠BGF，∴△FGO∽△BGF，∴FG GOBG GF=，∴FG2=GO•GB.【知识点】圆的有关概念及性质，与圆有关的位置关系，等腰三角形的性质和判定，相似的性质和判定，平移、旋转与对称28．（2019甘肃省兰州市，28，12分）【模型迁移】二次函数22y ax bx=++的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.（1）求二次函数22y ax bx=++的表达式；（2）连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=54时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q的坐标.【思路分析】（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2即可求出解析式；（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据题意，求出点M，点N，点D的坐标，利用S△DNB=S△DMB-S△MNB即可得解；（3）由已知可得M（2t-1，0），设P（2t-1，m），根据勾股定理可得PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，再由PB=PC，得到m与t的关系式：m=4t-5，因为PC⊥PB，则有474512125t tt t--•=---，求出t=1或t=2，即可求D点坐标；（4）当t=54时，M（32，0），可知点Q在抛物线对称性x=32上；过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=32的交点分别为Q1与Q2，由AB=5，可得圆半径AM=52，即可求Q点坐标分别为（32，52-），（32，52）．【解题过程】解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2，∴a=12-，b=32，∴213222y x x=-++；（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将点B（4，0），C（0，2）代入解析式，得：402k bb+=⎧⎨=⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC的直线解析式为122y x=-+，当t=32时，AM=3，∵AB=5，∴MB=2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴S△DNB =S△DMB -S△MNB =12×MB×DM-12×MB×MN=12×2×2=2；（3）∵BM=5-2t，∴M（2t-1，0），设P（2t-1，m），∵PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，∵PB=PC，∴（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，∴m=4t-5，∴P（2t-1，4t-5），∵PC⊥PB，∴47451 2125t tt t--•=---，∴t=1或t=2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）；（4）当t=54时，M（32，0），∴点Q在抛物线对称性x=32上，如图，过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=32的交点分别为Q1与Q2，∵AB=5，∴AM=52，∵∠AQ1C+∠OAC=90°，∠OAC+∠MAG=90°，∴∠AQ1C=∠MAG，又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG，∴Q1（32，52-），∵Q1与Q2关于x轴对称，∴Q2（32，52），∴Q点坐标分别为（32，52-），（32，52）.【知识点】二次函数图形的图象和性质，二次函数的综合题。

甘肃省兰州市2019年中考数学试题（word版,含解析）一、选择题：本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()230x y y=?，则下面结论成立的是()A.32xy= B.23xy= C.23xy= D.23x y=2.如图所示，该几何体的左视图是()A B C D3.如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()A.513B.1213C.512D.13124.如图，在O⊙中，AB BC=，点D在O⊙上，25CDB=∠°，则AOB=∠()A.45°B.50°C.55°D.60°5.下表是一组二次函数235y x x=+-的自变量x与函数值y的对应值：那么方程2350x x+-=的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.36.如果一元二次方程2230x x m++=有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为()A.98m> B.89m> C.98m= D.89m=7.一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为()A.20B.24C.28D.308.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点D ，30ADB =∠°，4AB =，则OC =()A.5B.4C.3.5D.39.抛物线233y x =-向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为()A.()2333y x =--B.23y x =C.()2332y x =+-D.236y x =-10.王叔叔从市场上买一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长cm x 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为23000cm 的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为()A.()()80703000x x --=B.2807043000x ?=C.()()8027023000x x --=D.()28070470803000x x ?-+= 11.如图，反比例函数()0k y x x =<与一次函数4y x =+的图像交于A 、B 两点的横坐标分别为3-、1-，则关于x 的不等式()40k x x x<+<的解集为()A.3x <-B.31x -<<-C.10x -<<D.3x <-或10x -<<12.如图，正方形ABCD 内接于半径为2的O ⊙，则图中阴影部分的面积为()A.1p +B.2p +C.1p -D.2p -13.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (0.5DE BC ==米，,,A B C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得15CG =米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得3CG =米，小明身高 1.6EF =米，则凉亭的高度AB 约为()A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米14.如图，在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，点G 在CD 上，2DE =，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转60°，得到正方形'''DE F G ，此时点'G 在AC 上，连接'CE ，则''CE CG +=()115.如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB BC →方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE AE ^，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC y =，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是()图1 图2 A.235 B.5 C.6 D.254二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.若反比例函数k y x=的图象过点()1,2-，则k = ． 17.如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，位似中心点是O ，35OE OA =，则FG BC = .18.如图，若抛物线2y ax bx c =++上的()4,0P ，Q 两点关于它的对称轴1x =对称，则Q 点的坐标为 .19.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件。

2019年甘肃省兰州市中考数学真题及答案解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）1. －2019的相反数是（）A. B.2019 C.－2019 D.－【答案】B【解析】－（－2019）＝2019.2.如图，直线a,b被直线c所截，a∥b, ∠1＝∠800，则∠2＝（）A.1300B.1200C.1100D.1000【答案】D【解析】∵∠1＝800，∴∠1的对顶角为800，又∵a∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补，∴∠2＝1800－800＝1000，答案为D．3. 计算：－＝（）A. B.2 C.3. D. 4【答案】A【解析】－＝2－＝.4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】C【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除A、B，中心对称图形是图形绕某一点旋转1800后与原图形重合的图形排除D.故选C.5. x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A. －2B. －3C. 4D. －6【答案】A【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.故选A.6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝400，则∠C＝（）A.1100B.1200C.1350D.1400【答案】D【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，∴∠C＝1800－400＝1400，故选D.7. 化简：＝（）A. a－1B. a+1C.D..【答案】A【解析】＝＝＝a－1.故选A.8.已知△ABC∽△A′B′C′, AB＝8，A’B’＝6，则＝（）A.2B.C.3D.【答案】B【解析】∵△ABC∽△A′B′C′,∴＝又∵AB＝8，A’B’＝6，∴＝.故选B.9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1.(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y ＝5y+x,故选C.10. 如图，平面直角坐标系xoy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（－3，5），B（－4，3），A1（3，3）.则点B1坐标为（）A.（1，2）B.（2，1）C.（1，4）D.（4，1）【答案】B【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到A1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B（－4，3）平移后B1（2，1）.故选B.11. 已知,点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（）A.2> y1> y2B.2 > y2 > y1C.y1> y2>2D.y2 > y1>2【答案】A【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y随x的增大而减小.因为－1<1<2.,所以2> y1> y2.故选A.12. 如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M,则DM＝（）A. B. C.－1 D.－1【答案】D【解析】过点M作MP⊥CD垂足为P，过点O作OQ⊥CD垂足为Q，∵正方形的边长为，∴OD＝1, OC＝1, OQ＝DQ＝,由折叠可知，∠EDF＝∠CDF.又∵AC⊥BD, ∴OM＝PM, 设OM＝PM＝x，∵OQ⊥CD，MP⊥CD，∴∠OQC＝∠MPC＝900，∠PCM＝∠QCO,∴△CMP∽△COQ，∴＝, 即，解得x＝－1，∴OM＝PM＝－1.故选D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 因式分解：a3 +2 a2+ a＝___________.【答案】a（a+1）2【解析】a3 +2 a2+ a＝a（a2 +2 a+1）＝a（a+1）2.14. 在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝400，则∠B＝___________.【答案】700【解析】∵AB＝AC,∠A＝400，∴∠B＝∠C＝700.15. 如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（x>0）的图象上，S矩形OABC＝6，则k＝___________.【答案】6【解析】|k|＝S矩形OABC＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k＝6.16. 如图，矩形ABCD, ∠BAC＝600. 以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、AC于点M、N两点，再分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧交于点P ,作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于___________.【答案】3【解析】由题可知AP是∠BAC的角平分线，∵∠BAC＝600，∴∠BAE＝∠EAC＝300，∴AE＝2 BE＝2. ∴AB＝，∴∠AEB＝600，又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA＝300，∴AE＝EC＝2，∴BC＝3，∴S矩形ABCD＝3．三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题5分）计算：|－2|－（+1）0+（－2）2－tan450 .解：原式＝2－1+4－1＝4.18.(本题5分)化简：a(1－2a)+2(a+1)(a－1).解：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)＝a－2a2+2a2－2＝a－2.19.（本题5分）解不等式组：解：由①得：x<6，由②得：x>2，所以原不等式组的解集为：2<x<6.20. （本题6分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E. 求证：AC∥DF.证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF (SAS) ，∴∠ACB＝∠EFD，∴AC∥DF.21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1,A2,A3,A4表示）;第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B1,B2,B3表示）.（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.解：（1）（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目)＝＝.22.（本题7分）如图，AC＝8,分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B和D，依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O.（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长.证明：（1）由图可知，BD垂直平分AC，且AB＝BC＝CD＝AD＝5,所以四边形ABCD是菱形.（2）∵AC＝8, BD⊥AC且BD平分AC，∴OA＝OC＝4，∴在Rt△AOB中，OB＝＝＝3,∴BD＝2 OB＝2×3＝6，∴BD的长为6.23. （本题7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B，OC＝2,点A在反比例函数图象上，连接AC、AO.（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标.解：（1）∵OC＝2,∴OM＝1, BM＝,∴点B(－1 ，－)，∴k＝(－1) ×（－) ＝,∴y＝.（2）∵S ACBO＝3，S ACBO＝S△AOC+ S△BOC，∵S△BOC ＝OC2＝,∴+ S△AOC＝3，∴S△AOC＝2.∵OC＝2，∴×OC×AN＝2，∴AN＝2，设A（t，2），∴2t ＝，∴t ＝，∴A （，2）.24. （本题7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：小丽用同样的方式对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：根据以上信息，解决下列问题：解：（1）已知八年级1班学生的成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85.根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.（1）（2）八年级1班更为优异.理由如下：可以从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，理由合理即可.25.（本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下：问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC的遮阳篷CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD 的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC 最小（∠BDC＝30.560）；窗户的高度AB＝2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长.（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59,sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22,tan77.440≈4.49）.解：在Rt△BCD中，∠BCD＝900，∠BDC＝30.560，∵tan∠BDC ＝,∴BC＝CD⋅tan∠BDC,在Rt△ACD中，∠ACD＝900，∠ADC＝77.440，∵tan∠ADC ＝,∴AC＝CD⋅tan∠ADC,∵AC－BC＝AB,∴CD⋅tan∠ADC－CD⋅tan∠BDC＝2，即CD⋅tan77.440－CD⋅tan30.560＝2，（4.49－0.59）CD＝2，∴CD＝0.5，答：遮阳篷CD长为0.5m.26.（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm,BC＝8cm,点D为BC的中点，BE＝DE.将∠BDE 绕点D顺时针旋转a度（00≤a≤830）.角的两边分别交直线AB于M、N两点.设B、M两点间的距离为x cm，M、N两点间的距离为y cm.小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y）.并画出函数y 关于x的图象：（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势__________.(4)解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是_________cm（保留两位小数）. 解：（1）当x＝0时，M点与N点分别和B点E点重合，MN＝BE＝3，当x＝时，假设DN交CA的延长线于点H，∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,又∵D为BC的中点，BE＝DE.∴∠B＝∠EDB,ED为AC边的中位线，根据旋转性质，∠B＝∠EDB＝∠C＝∠MDN,∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质)，∠NDB＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C，∴∠MDB＝∠H,∠B＝∠C,∴△MDB∽△DHC，∴＝,∴＝, CH＝6＝AC，即A点与H点重合，∴MN＝6－BM＝.(2)根据表格描点可得.（3）根据图象可得（4）∵MN＝2BM，设BM＝x，MN＝2x，EN＝3x－3，AN＝6－3x，∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质)，∠NDB＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C，∴∠MDB＝∠H, ∠B＝∠C,∴△MDB∽△DHC，∴＝,∴＝, ∴CH＝，HA＝HC－AC＝－6，又∵△HAN∽△DEN，∴＝,∴＝, 解得x1＝4，x2＝≈1.33，答：BM为4或1.33.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900,将斜边AB绕点A顺时针旋转900得到AD，过点D作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC＝DE, BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”.推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝900, BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC, DE＝1,连接DO交⊙O于点F.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB，求证：FG2＝GO•GB.（1）证明：∵∠DAE＝∠ABC且∠ABC+∠CAB＝900,∴∠EAD+∠CAB＝900,∴∠DAB＝900,∵AO为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB＝900,∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝,由模型可知，△AED≌△BCA,∴AD＝,∴AO＝,∴DO＝,∵＝＝＝,∴△AED∽△DAO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠ACF＝∠CFO＝∠ABF，∵∠FGO＝∠BGF,∴△FGO∽△BGF∴＝，∴FG2＝GO•GB.28.(本题12分)二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（－1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC 于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠QAC＝900,求点Q的坐标.解：（1）将点A（－1，0），点B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，所以，二次函数的表达式为：y＝－x2+x+2．（2）∵t＝，∴AM＝3，又∵OA＝1, ∴OM＝2,设BC的解析式为：y＝kx+b(k≠0),将点C（0,2）、B（4，0）代入，得：，解得：，所以直线BC的解析式为：y＝－x+2．将x＝2分别代入y＝－x2+x+2和y＝－x+2中，得：D（2，3）、N（2，1），∴DN＝2, ∴S△DNB＝×2×2＝2.(3)过点P作x轴的平行线，交y轴于点E，过点B作y轴的平行线，交EP的延长线于点F，设D（m，－m2+m+2）、E（0，n）、P（m,n）、F（4，n），由题意得：△PEC≌△BFP, ∴PE＝BF, CE＝PF，∴，∴，所以，点D的坐标为：（1，3）.（4）当t＝时，AM＝,此时M点在二次函数的对称轴上，以M点为圆心，AM长为半径作圆，交MN于Q1、Q2两点，∵C（0，2），M（，0），∴CM＝＝R,∴C点在该圆上，∴∠ACB＝900,∴∠CAB+∠CBA＝900,∵∠CQ1A＝∠CAB, (同弧所对的圆周角)∴∠C Q1A+∠CBA＝900,∠C Q2A+∠CBA＝900,∴Q（，）或Q（，－）.。

2019年甘肃省中考数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个图案中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在0，2，−3，−1这四个数中，最小的数是()2A. 0B. 2C. −3D. −123.使得式子x有意义的x的取值范围是()√4−xA. x≥4B. x>4C. x≤4D. x<44.计算(−2a)2⋅a4的结果是()A. −4a6B. 4a6C. −2a6D. −4a85.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是()A. 48°B. 78°C. 92°D. 102°6.已知点P(m+2,2m−4)在x轴上，则点P的坐标是()A. (4,0)B. (0,4)C. (−4,0)D. (0,−4)7.若一元二次方程x2−2kx+k2=0的一根为x=−1，则k的值为()A. −1B. 0C. 1或−1D. 2或08.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=()A. 54°B. 64°C. 27°D. 37°9.甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是()参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A. 甲、乙两班的平均水平相同B. 甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定D. 甲班成绩优异的人数比乙班多10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac>0，②2a+b>0，③4ac<b2，④a+b+c<0，⑤当x>0时，y随x的增大而减小，其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③④⑤二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.分解因式：x3y−4xy=______．12.不等式组{2−x≥02x>x−1的最小整数解是______．13.分式方程3x+1=5x+2的解为______．14.在△ABC中∠C=90°，tanA=√33，则cosB=______．15.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为______．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为______．17.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为______．18. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n =______．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）19. 计算：(−12)−2+(2019−π)0−√33tan60°−|−3|．四、解答题（本大题共9小题，共62.0分）20. 如图，在△ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)21. 中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22. 为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm ～300mm 含(300mm)，高度的范围是120mm ～150mm(含150mm).如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB =CD ，AC =900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)23.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；(2)若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？24.良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩(百分制)如下：七年级：74，81，75，76，70，75，75，79，81，70，74，80，91，69，82八年级：81，94，83，77，83，80，81，70，81，73，78，82，80，70，50整理数据：80906080及格，60分以下为不及格)分析数据：得出结论：(1)根据上述数据，将表格补充完整；(2)可以推断出______年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；(3)若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的图象相交于A(−1,n)、xB(2,−1)两点，与y轴相交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；(3)若M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=m上的两点，当x1<x2<0时，比较y2x与y1的大小关系．26.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB=FB．27.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．(1)求证：∠A=∠ADE；(2)若AD=8，DE=5，求BC的长．28.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.此图案是中心对称图形，符合题意；B.此图案不是中心对称图形，不合题意；C.此图案不是中心对称图形，不合题意；D.此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得<0<2，−3<−12所以最小的数是−3．故选：C．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子有意义，则：4−x≥0，且4−x≠0，√4−x解得：x<4，即x的取值范围是：x<4．故选D．4.【答案】B【解析】解：(−2a)2⋅a4=4a2⋅a4=4a6．故选：B．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】D【解析】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1=48°，∴∠2=∠3=180°−48°−30°=102°．故选：D．直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6.【答案】A【解析】解：∵点P(m+2,2m−4)在x轴上，∴2m−4=0，解得：m=2，∴m+2=4，则点P的坐标是：(4,0)．故选：A．直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．7.【答案】A【解析】解：把x=−1代入方程得：1+2k+k2=0，解得：k=−1，故选：A．把x=−1代入方程计算即可求出k的值．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8.【答案】C【解析】【分析】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由∠AOC=126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°−∠AOC=54°，∵∠CDB=1∠BOC=27°．2故选：C．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义无法得出选项B，即B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；A正确；B、题干所给的信息无法得到甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；B不正确；C、甲班的方差大于乙班的方差，所以乙班的成绩比甲班的成绩稳定；C不正确；D、乙班的中位数等于95大于甲班的中位数，甲班成绩优异的人数比乙班少；D不正确；故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：①由图象可知：a >0，c <0， ∴ac <0，故①错误； ②由于对称轴可知：−b2a <1，∴2a +b >0，故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点， ∴△=b 2−4ac >0，故③正确；④由图象可知：x =1时，y =a +b +c <0， 故④正确；⑤当x >−b2a 时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故选：C ．11.【答案】xy(x +2)(x −2)【解析】解：x 3y −4xy ， =xy(x 2−4)，=xy(x +2)(x −2)．先提取公因式xy ，再利用平方差公式对因式x 2−4进行分解．本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式xy ，第二步再利用平方差公式对因式x 2−4进行分解，得到结果xy(x +2)(x −2)，在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式． 12.【答案】0【解析】解：不等式组整理得：{x ≤2x >−1，∴不等式组的解集为−1<x ≤2， 则最小的整数解为0， 故答案为：0求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13.【答案】12【解析】解：去分母得：3x +6=5x +5， 解得：x =12，经检验x =12是分式方程的解． 故答案为：12．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14.【答案】12【解析】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=√33，设a=√3x，b=3x，则c=2√3x，∴cosB=ac =12．故答案为：12．本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值．15.【答案】(18+2√3)cm2【解析】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为√3cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×12×2×√3=18+2√3(cm2).故答案为(18+2√3)cm2．由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16.【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，CA=CB=2，∴AB=2√2，∠A=∠B=45°，∵D是AB的中点，∴AD=DB=√2，，故答案为：．根据S阴影=S△ABC−2⋅S扇形ADE，计算即可．本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17.【答案】103【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，翻折问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．设CE=x，则BE=6−x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=10，所以AF=8，BF=AB−AF=10−8=2，在Rt△BEF中利用勾股定理列式求出x的值即可求解．【解答】解：设CE=x，则BE=6−x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=10，在Rt△DAF中，AD=6，DF=10，由勾股定理得AF=8，∴BF=AB−AF=10−8=2，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(6−x)2+22=x2，，解得x=103．故答案为10318.【答案】1010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2−1=3个．第3幅图中有2×3−1=5个．第4幅图中有2×4−1=7个．….可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有(2n−1)个．当图中有2019个菱形时，2n−1=2019，n=1010，故答案为：1010．根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2−1=3个，第3幅图中有2×3−1=5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．19.【答案】解：原式=4+1−√3×√3−3，3=1．【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：如图，点M即为所求．【解析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21.【答案】解：设共有x人，根据题意得：x3+2=x−92，去分母得：2x+12=3x−27，解得：x=39，∴39−92=15，答：共有39人，15辆车．【解析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．22.【答案】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD⋅cos65°=900×0.423≈381，DM=BD⋅sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120<127<150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260<272<300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23.【答案】解：(1)树状图如图所示：(2)方程x2−5x+6=0的解为x=2或者3，若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则m=2，n=2，或m=3，n=3，或m=2，n=3，或m=3，n=2若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则m=1，n=4，或m=4，n=4；由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2−5x+6=0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果有2个，小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，∴小明获胜的概率大．【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出m ，n 都是方程x 2−5x +6=0的解和m ，n 都不是方程x 2−5x +6=0的解的结果数，然后根据概率公式求解． 24.【答案】(1)76.8 81；(2) 八；(3)若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数=300×115=20(人)．【解析】解：(1)七年级的平均数为115(74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82)=76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；(2)八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；(3)见答案．【分析】(1)由平均数和众数的定义即可得出结果；(2)从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；(3)由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 25.【答案】解：(1)∵反比例函数y =m x 经过点B(2,−1)，∴m =−2，∵点A(−1,n)在y =−2x 上，∴n =2，∴A(−1,2)，把A ，B 坐标代入y =kx +b ，则有{−k +b =22k +b =−1， 解得{k =−1b =1， ∴一次函数的解析式为y =−x +1，反比例函数的解析式为y =−2x ．(2)∵直线y =−x +1交y 轴于C ，∴C(0,1)，∵D ，C 关于x 轴对称，∴D(0,−1)，∵B(2,−1)∴BD//x 轴，∴S△ABD=1×2×3=3．2(3)∵M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=−2上的两点，且x1<x2<0，此时y随xx的增大而增大，∴y1<y2．【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用反比例函数的性质，比较函数值的大小．(1)利用待定系数法即可解决求问题．(2)先求出C点，再根据对称性求出点D坐标，发现BD//x轴，利用三角形的面积公式计算即可．(3)利用反比例函数图象的性质即可解决问题．26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE=CE，又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH=DC=AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH=90°，AH=AB．∴Rt△AFH中，BF=12【解析】(1)依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；(2)延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB=FB．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及直角三角形斜边上中线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27.【答案】(1)证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．(2)解：连接CD．∵∠ADE=∠A，∴AE =DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED =EC ，∴AE =EC ，∵DE =5，∴AC =2DE =10，在Rt △ADC 中，DC =6，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+62，在Rt △ABC 中，BC 2=(x +8)2−102， ∴x 2+62=(x +8)2−102，解得x =92，∴BC =√62+(92)2=152．【解析】(1)只要证明∠A +∠B =90°，∠ADE +∠B =90°即可解决问题；(2)首先证明AC =2DE =10，在Rt △ADC 中，DC =6，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+62，在Rt △ABC 中，BC 2=(x +8)2−102，可得x 2+62=(x +8)2−102，解方程即可解决问题．本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)用交点式函数表达式得：y =(x −1)(x −3)=x 2−4x +3； 故二次函数表达式为：y =x 2−4x +3；(2)①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则AB =PE =2，则点P 坐标为(4,3)，当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形， 故：点P(4,3)或(0,3)；②当AB 是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为(2,0)设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：m+22，即：m+22=2，解得：m =2，故点P(2,−1)；故：点P(4,3)或(0,3)或(2,−1)； (3)直线BC 的表达式为：y =−x +3，设点E 坐标为(x,x 2−4x +3)，则点D(x,−x +3)，S 四边形AEBD =12AB(y D −y E )=−x +3−x 2+4x −3=−x 2+3x ， ∵−1<0，故四边形AEBD 面积有最大值，当x =32，其最大值为94，此时点E(32,−34).【解析】(1)用交点式函数表达式，即可求解；(2)分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；(3)利用S 四边形AEBD =12AB(y D −y E )，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．（4分）﹣2019的相反数是（）A．12019B．2019C．﹣2019D．−120192．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°3．（4分）计算：√12−√3=（）A．√3B．2√3C．3D．4√34．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣66．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°7．（4分）化简：a 2+1a+1−2a+1=（ ） A ．a ﹣1 B ．a +1 C ．a−1a+1 D ．1a+1 8．（4分）已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AB ＝8，A 'B '＝6，则BC B′C′=（ ）A ．2B ．43C ．3D ．1699．（4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ）A ．{5x +6y =15x −y =6y −xB ．{6x +5y =15x +y =6y +xC ．{5x +6y =14x +y =5y +xD ．{6x +5y =14x −y =5y −x 10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （﹣3，5），B （﹣4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为（ ）A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（1，4）D ．（4，1）11．（4分）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝﹣（x +1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）A ．2＞y 1＞y 2B ．2＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 2＞2D ．y 2＞y 1＞212．（4分）如图，边长为√2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM ＝（ ）A ．12B ．√22C ．√3−1D ．√2−1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ ．14．（4分）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠B ＝ °．15．（4分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y =k x（k ＞0）的图象上，S 矩形OABC ＝6，则k ＝ ．16．（4分）如图，矩形ABCD ，∠BAC ＝60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于 ．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）计算：|﹣2|﹣（√3+1）0+（﹣2）2﹣tan45°．18．（5分）化简：a （1﹣2a ）+2（a +1）（a ﹣1）．19．（5分）解不等式组：{2x −1＜x +5①x+13＜x −1②． 20．（6分）如图，AB ＝DE ，BF ＝EC ，∠B ＝∠E ，求证：AC ∥DF ．21．（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22．（7分）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y=kx（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3√3，求点A的坐标．24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分数段60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100班级八年级1班75103分析数据：表二平均数中位数众数极差方差统计量班级八年级1班788536105.28小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级2班75767344146.80根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.934.10x/m00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.5083y/m 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是cm．（保留两位小数）．27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O 于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．28．（12分）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=54时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．（4分）﹣2019的相反数是（）A．12019B．2019C．﹣2019D．−12019【解答】解：﹣2019的相反数为2019，故选：B．2．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°【解答】解：如图，∵∠1＝80°，∴∠3＝80°，∵a∥b，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°．故选：D．3．（4分）计算：√12−√3=（）A．√3B．2√3C．3D．4√3【解答】解：√12−√3=2√3−√3=√3，故选：A．4．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．5．（4分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣6【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．6．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C +∠A ＝180°，∴∠C ＝180°﹣40°＝140°． 故选：D ． 7．（4分）化简：a 2+1a+1−2a+1=（ ）A ．a ﹣1B ．a +1C ．a−1a+1D ．1a+1【解答】解：原式=a 2−1a+1 =(a+1)(a−1)a+1＝a ﹣1， 故选：A ．8．（4分）已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AB ＝8，A 'B '＝6，则BC B′C′=（ ）A ．2B ．43C ．3D ．169【解答】解：∵△ABC ∽△A 'B 'C '， ∴BC B′C′=AB A′B′=86=43．故选：B ．9．（4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ） A ．{5x +6y =15x −y =6y −xB ．{6x +5y =15x +y =6y +xC ．{5x +6y =14x +y =5y +xD ．{6x +5y =14x −y =5y −x【解答】解：由题意可得， {5x +6y =14x +y =5y +x ， 故选：C ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （﹣3，5），B （﹣4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为（ ）A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（1，4）D ．（4，1）【解答】解：由A （﹣3，5），A 1（3，3）可知四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A 1B 1C 1D 1， ∵B （﹣4，3）， ∴B 1的坐标为（2，1）， 故选：B ．11．（4分）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝﹣（x +1）2+2上，则下列结论正确的是（ ） A ．2＞y 1＞y 2B ．2＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 2＞2D ．y 2＞y 1＞2【解答】解：当x ＝1时，y 1＝﹣（x +1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2； 当x ＝2时，y 1＝﹣（x +1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7； 所以2＞y 1＞y 2． 故选：A ．12．（4分）如图，边长为√2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM ＝（ ）A ．12B ．√22C ．√3−1D ．√2−1【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD =√2，∠DCB ＝∠COD ＝∠BOC ＝90°，OD ＝OC ， ∴BD =√2AB ＝2，∴OD ＝BO ＝OC ＝1，∵将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处， ∴DE ＝DC =√2，DF ⊥CE ，∴OE =√2−1，∠EDF +∠FED ＝∠ECO +∠OEC ＝90°， ∴∠ODM ＝∠ECO ，在△OEC 与△OMD 中，{ ∠EOC =∠DOC =90°OD =OC∠OCE =∠ODM ，△OEC ≌△OMD （ASA ）， ∴OM ＝OE =√2−1， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．（4分）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ a （a +1）2 ． 【解答】解：a 3+2a 2+a ，＝a （a 2+2a +1），…（提取公因式） ＝a （a +1）2．…（完全平方公式） 故答案为：a （a +1）2．14．（4分）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠B ＝ 70 °． 【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠B =12（180°﹣40°）＝70°． 故答案为70．15．（4分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上，S 矩形OABC ＝6，则k ＝ 6 ．【解答】解：根据题意，知S ＝|k |＝6，k ＝±6， 又因为反比例函数位于第一象限，k ＞0， 所以k ＝6， 故答案为6．16．（4分）如图，矩形ABCD ，∠BAC ＝60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于 3√3 ．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠BAD ＝90°， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠ACB ＝30°，由作图知，AE 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAE ＝∠CAE ＝30°， ∴∠EAC ＝∠ACE ＝30°， ∴AE ＝CE ， 过E 作EF AC 于F ， ∴EF ＝BE ＝1， ∴AC ＝2CF ＝2√3， ∴AB =√3，BC ＝3，∴矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝3√3， 故答案为：3√3．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）计算：|﹣2|﹣（√3+1）0+（﹣2）2﹣tan45°． 【解答】解：原式＝2﹣1+4﹣1＝4．18．（5分）化简：a （1﹣2a ）+2（a +1）（a ﹣1）． 【解答】解：原式＝a ﹣2a 2+2（a 2﹣1） ＝a ﹣2a 2+2a 2﹣2 ＝a ﹣219．（5分）解不等式组：{2x −1＜x +5①x+13＜x −1②．【解答】解：{2x −1＜x +5①x+13＜x −1②解不等式①得：x ＜6， 解不等式②得：x ＞2，所以，不等式组的解集为2＜x ＜6．20．（6分）如图，AB ＝DE ，BF ＝EC ，∠B ＝∠E ，求证：AC ∥DF ．【解答】证明：∵BF ＝EC ， ∴BF +FC ＝EC +FC ， ∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中， {AB =DE ∠B =∠E BC =EF， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）， ∴∠ACB ＝∠DFE ， ∴AC ∥DF ．21．（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率=2 12=16．22．（7分）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，OB=√52−42=3，∴BD＝2OB＝6．23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y=kx（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3√3，求点A的坐标．【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD=12OC＝1，∴BD=√OB2−OD2=√3，∴S△OBD=12OD×BD=√32，S△OBD=12|k|，∴|k|=√3，∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象在一三象限，∴k=√3，∴反比例函数的表达式为y=√3 x；（2）∵S△OBC=12OC•BD=12×2×√3=√3，∴S△AOC＝3√3−√3=2√3，∵S△AOC=12OC•y A＝2√3，∴y A＝2√3，把y ＝2√3代入y =√3x，求得x =12，∴点A 的坐标为（12，2√3）．24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据： 表一分数段 班级 60≤x ＜7070≤x ＜8080≤x ＜9090≤x ≤100八年级1班 75103分析数据： 表二统计量 班级 平均数中位数众数极差方差八年级1班78808536105.28小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下： 表三统计量 班级 平均数中位数众数极差方差八年级2班75767344146.80根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．【解答】解：（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x＜90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）【解答】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=BC CD，则BC＝CD•tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA中，tan∠ADC=AC CD，则AC＝CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC﹣BC＝AB，即4.49CD﹣0.59CD＝2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD的长约为0.5m．26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/m00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.50833.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.934.10y/m32.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.151033.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：0≤x≤1.65时，y随x最大而减小，当1.65＜x≤4.10时，y随x最大而增大．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是 1.33或4cm．（保留两位小数）．【解答】解：（1）①当x＝BM＝0时，连接AD，则AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝4，cos∠ABD=BDAB=23=cosα，则sinα=√53，则y＝MN＝BN=12BDcosα=3；②x＝BM=83，在△MBD中，BD＝4，BM=8 3，cos ∠B =23=cos α，tan α=√52， 过点M 作MH ⊥BD 于点H ，则BH ＝BM cos α=169，则EH =8√59， MD 2＝HD 2+EH 2=809， 则BD 2＝BM 2+MD 2， 故∠BMD ＝90°，则y ＝MN ＝MD tan α＝（DB sin α）tan α=103； 故：答案为3，103；（2）描点出如下图象，（3）从图象可以看出：0≤x ≤1.65时，y 随x 最大而减小， 当1.65＜x ≤4.10时，y 随x 最大而增大（数值是估值，不唯一）； （4）方法一： MN ＝2BM ，即y ＝2x ， 在上图中作直线y ＝2x ，直线与曲线交点的横坐标1.33和4故答案为：1.33或4． 方法二：如图3，DN 与CA 的延长线交于点H ．设BM ＝x ，MN ＝2x EN ＝3x ﹣3，AN ＝6﹣3x∵∠NDB ＝∠H +∠C （外角的性质） ∠NDB ＝∠MDB +∠NDM ∴∠MDB +∠NDM ＝∠H +∠C ∴∠MDB ＝∠H ，∠B ＝∠C ∴△MDB ∽△DHC ∴CH BD =DC BM∴CH4=4x，CH =16x ，HA ＝HC ﹣AC =16x −6 又∵△HAN ∽△DEN ∴AH ED =AN NE∴16x−63=6−3x3x−33x 3﹣16x +16＝0 解得x 1＝4，x 2=43． 故答案为：1.33或4．27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC ＝DE ，BC ＝AE ． 我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O 于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．【解答】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆∴O为斜边AB中点，AB为直径∵∠ACB＝90°∴∠ABC+∠BAC＝90°∵∠DAE＝∠ABC∴∠DAE+∠BAC＝90°∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90°∴AD⊥AB∴AD是⊙O的切线（2）延长DO交BC于点H，连接OC∵DE⊥AC于点E∴∠DEA＝90°∵AB 绕点A 旋转得到AD ∴AB ＝AD在△DEA 与△ACB 中 {∠DEA =∠ACB =90°∠DAE =∠ABC DA =AB∴△DEA ≌△ACB （AAS ） ∴AE ＝BC ＝2，AC ＝DE ＝1 ∴AD ＝AB =2+BC 2=√5 ∵O 为AB 中点 ∴AO =12AB =√52∴AO DE=√52=AD AE∵∠DAO ＝∠AED ＝90° ∴△DAO ∽△AED ∴∠ADO ＝∠EAD ∴DO ∥EA∴∠OHB ＝∠ACB ＝90°，即DH ⊥BC ∵OB ＝OC∴OH 平分∠BOC ，即∠BOH =12∠BOC ∵∠FOG ＝∠BOH ，∠BFG =12∠BOC ∴∠FOG ＝∠BFG ∵∠FGO ＝∠BGF ∴△FGO ∽△BGF ∴FG BG=GO GF∴FG 2＝GO •GB28．（12分）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=54时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a=−12，b=32，∴y=−12x2+32x+2；（2）C（0，2），∴BC的直线解析式为y=−12x+2，当t=32时，AM＝3，∵AB＝5，∴MB＝2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴△DNB 的面积＝△DMB 的面积﹣△MNB 的面积=12×MB ×DM −12×MB ×MN =12×2×2＝2；（3）∵BM ＝5﹣2t ， ∴M （2t ﹣1，0）， 设P （2t ﹣1，m ），∵PC 2＝（2t ﹣1）2+（m ﹣2）2，PB 2＝（2t ﹣5）2+m 2， ∵PB ＝PC ，∴（2t ﹣1）2+（m ﹣2）2＝（2t ﹣5）2+m 2， ∴m ＝4t ﹣5， ∴P （2t ﹣1，4t ﹣5）， ∵PC ⊥PB ， ∴4t−72t−1•4t−52t−5=−1∴t ＝1或t ＝2，∴M （1，0）或M （3，0）， ∴D （1，3）或D （3，2）； （4）当t =54时，M （32，0），∴点Q 在抛物线对称轴x =32上，如图：过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与x =32的交点分别为Q 1与Q 2， ∵AB ＝5， ∴AM =52，∵∠AQ 1C +∠OAC ＝90°，∠OAC +∠MAG ＝90°， ∴∠AQ 1C ＝∠MAG ，又∵∠AQ 1C ＝∠CGA ＝∠MAG ， ∴Q 1（32，−52），∵Q 1与Q 2关于x 轴对称， ∴Q 2（32，52），∴Q 点坐标分别为（32，−52），（32，52）；。

2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！落红不是无情物，化作春泥更护花。

出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》 青海一中 李清一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分. 1．（4分）（2019•兰州）2019-的相反数是( ) A ．12019B ．2019C ．2019-D ．12019-2．（4分）（2019•兰州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，//a b ，180∠=︒，则2(∠=)A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒3．（4分）（2019•兰州）计算：123(-= ) A ．3B ．23C ．3D ．434．（4分）（2019•兰州）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2019•兰州）1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24(a b += )A ．2-B ．3-C ．1-D ．6-6．（4分）（2019•兰州）如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则(C ∠= )A ．110︒B ．错误!未找到引用源。

C ．135︒D ．错误!未找到引用源。

7．（4分）（2019•兰州）化简：212(11a a a +-=++A ．错误!未找到引用源。

B ．1a +C ．11a a -+ D ．错误!未找到引用源。

8．（4分）（2019•兰州）已知ABC ∆∽△A B C '''，8AB =，6A B ''=，则(BCB C ='')A ．2B ．43C ．3D ．1699．（4分）（2019•兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( ) A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩10．（4分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形1111A B C D ，已知(3,5)A -，(4,3)B -，1(3,3)A ，则1B 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,4)D ．(4,1)11．（4分）（2019•兰州）已知点1(1,)A y ，2(2,)B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是( ) A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>12．（4分）（2019•兰州）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = )A ．12B 2C 31D 21二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．（4分）（2019•兰州）因式分解：322a a a ++= ．14．（4分）（2019•兰州）在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，则B ∠= ︒． 15．（4分）（2019•兰州）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，6OABC S =矩形，则k = ．16．（4分）（2019•兰州）如图，矩形ABCD，60BAC∠=︒，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若1BE=，则矩形ABCD的面积等于．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）（2019•兰州）计算：02|2|(31)(2)tan45--++--︒．18．（5分）（2019•兰州）化简：(12)2(1)(1)a a a a-++-．19．（5分）（2019•兰州）解不等式组：215113x xxx-<+⎧⎪⎨+<-⎪⎩①②．20．（6分）（2019•兰州）如图，AB DE=，BF EC=，B E∠=∠，求证：//AC DF．21．（6分）（2019•兰州）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用1A，2A，3A，4A 表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用1B ，2B ，3B 表示）． （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果； （2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22．（7分）（2019•兰州）如图，8AC =，分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D ．依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O ．（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由； （2）求BD 的长．23．（7分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过等边三角形BOC 的顶点B ，2OC =，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，OA ．（1）求反比例函数(0)k y k x=≠的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标．24．（7分）（2019•兰州）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生(25名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据： 表一 7 5103分析数据： 表二小丽用同样的方法对八年级2班全班学生(25名）的成绩进行分析，数据如下： 表三 根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在8090x <这一组的数据如下： 85，87，88，80，82，85，83，85，87，85 根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25．（7分）（2019•兰州）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD ． 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角ADC ∠最大(77.44)ADC ∠=︒；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳蓬CD 的夹角BDC ∠最小(30.56)BDC ∠=︒．窗户的高度2AB m =．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560.51︒≈，cos30.560.86︒≈，tan30.560.59︒≈，sin77.440.98︒≈，cos77.440.22︒≈，tan77.44 4.49)︒≈26．（9分）（2019•兰州）如图，在ABC ∆中，6AB AC cm ==，8BC cm =，点D 为BC 的中点，BE DE =，将BDE ∠绕点D 顺时针旋转α度(083)α︒，角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为xcm ，M ，N 两点间的距离为ycm ．小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B ，M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值：/xm0 0.30.51.01.52.02.5833.03.53.683.813.93.934.10 /y m 2.882.812.692.672.83.153.855.246.016.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(,)x y，并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．（4）解决问题：当2MN BM=时，BM的长度大约是cm．（保留两位小数）．27．（10分）（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt ABC∆，90ACB∠=︒，将斜边AB绕点A顺时针旋转90︒得到AD，过点D作DE AC⊥于点E，可以推理得到ABC DAE∆≅∆，进而得到AC DE=，BC AE=．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt ABCBC=，将斜边AB绕点A顺时针旋∠=︒，2ACB∆内接于O，90转一定的角度得到AD，过点D作DE ACDE=，连接⊥于点E，DAE ABC∠=∠，1DO交O于点F．（1）求证：AD是O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：2=．FG GO GB28．（12分）（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt ABC∠=︒，将斜边AB绕点A顺时针旋转90︒得到AD，过点ACB∆，90D作DE AC=，BC AE=．⊥于点E，可以推理得到ABC DAE∆≅∆，进而得到AC DE我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数22=++的图象交x轴于点(1,0)y ax bx-，(4,0)B两点，交y轴于点C．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式； （2）连接BD ，当32t =时，求DNB ∆的面积；（3）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当54t =时，在直线MN 上存在一点Q ，使得90AQC OAC ∠+∠=︒，求点Q 的坐标．2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷） 参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分. 1．（4分）2019-的相反数是( ) A ．12019B ．2019C ．2019-D ．12019-【考点】14：相反数【分析】根据相反数的概念求解可得． 【解答】解：2019-的相反数为2019， 故选：B ．2．（4分）如图，直线a ，b 被直线c 所截，//a b ，180∠=︒，则2(∠= )A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【考点】平行线的性质【分析】先利用对顶角相等得到380∠=︒，然后根据平行线的性质，利用12180∠+∠=︒可计算出2∠的度数．【解答】解：如图，180∠=︒，380∴∠=︒， //a b ， 23180∴∠+∠=︒， 218080100∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．3．（4分）计算：123(-=)A．3B．23C．3 D．43【考点】二次根式的加减法【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解：1232333-=-=，故选：A．4．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180︒能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D 、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180︒不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C ．5．（4分）1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24(a b += ) A ．2-B ．3-C ．1-D ．6-【考点】一元二次方程的解【分析】先把1x =代入方程220x ax b ++=得21a b +=-，然后利用整体代入的方法计算24a b +的值．【解答】解：把1x =代入方程220x ax b ++=得120a b ++=， 所以21a b +=-，所以242(2)2(1)2a b a b +=+=⨯-=-． 故选：A ．6．（4分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则(C ∠= )A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒【考点】圆内接四边形的性质【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算C ∠的度数． 【解答】解：四边形ABCD 内接于O ，180C A ∴∠+∠=︒， 18040140C ∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．7．（4分）化简：212(11a a a +-=++ )A ．1a -B ．1a +C ．11a a -+ D ．11a + 【考点】分式的加减法【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．【解答】解：原式211a a -=+(1)(1)1a a a +-=+ 1a =-，故选：A ．8．（4分）已知ABC ∆∽△A B C '''，8AB =，6A B ''=，则(BCB C='' ) A ．2B ．43C ．3D ．169【考点】相似三角形的性质【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，∴8463BC AB B C A B ===''''． 故选：B ．9．（4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为()A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得，56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩， 故选：C ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形1111A B C D ，已知(3,5)A -，(4,3)B -，1(3,3)A ，则1B 的坐标为()A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,4)D ．(4,1)【考点】坐标与图形变化-平移【分析】根据A 和1A 的坐标得出四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形1111A B C D ，则B 的平移方法与A 点相同，即可得到答案． 【解答】解：由(3,5)A -，1(3,3)A 可知四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形1111A B C D ，(4,3)B -， 1B ∴的坐标为(2,1)，故选：B ．11．（4分）已知点1(1,)A y ，2(2,)B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是( ) A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【解答】解：当1x =时，221(1)2(11)22y x =-++=-++=-； 当2x =时，221(1)2(21)27y x =-++=-++=-； 所以122y y >>． 故选：A ．12．（42ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = )A ．12B 2C 31D 21【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【分析】根据正方形的性质得到2AB AD BC CD ====90DCB COD BOC ∠=∠=∠=︒，OD OC =，求得22BD AB ==，得到1OD BO OC ===，根据折叠的性质得到2DE DC ==，DF CE ⊥，求得21OE ，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，2AB AD BC CD ∴===，90DCB COD BOC ∠=∠=∠=︒，OD OC =， 22BD ∴==，1OD BO OC ∴===，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，2DE DC ∴==DF CE ⊥，21OE ∴，90EDF FED ECO OEC ∠+∠=∠+∠=︒，ODM ECO ∴∠=∠，在OEC ∆与OMD ∆中，90EOC DOC OD OC OCE ODM ∠=∠=︒⎧⎪=⎪⎪∠=∠⎨⎪⎪⎪⎩，()OEC OMD ASA ∆≅∆，21OM OE ∴==-，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．（4分）因式分解：322a a a ++= 2(1)a a + ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式a ，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±． 【解答】解：322a a a ++，2(21)a a a =++，⋯（提取公因式） 2(1)a a =+．⋯（完全平方公式）故答案为：2(1)a a +．14．（4分）在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，则B ∠= 70 ︒． 【考点】等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算B ∠的度数． 【解答】解：AB AC =，B C ∴∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒，1(18040)702B ∴∠=︒-︒=︒．故答案为70．15．（4分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，6OABC S =矩形，则k = 6 ．【考点】反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质【分析】因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即||S k =．【解答】解：根据题意，知||6S k ==，6k =±， 又因为反比例函数位于第一象限，0k >， 所以6k =， 故答案为6．16．（4分）如图，矩形ABCD ，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若1BE =，则矩形ABCD 的面积等于 33 ．【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质【分析】根据矩形的性质得到90B BAD ∠=∠=︒，求得30ACB ∠=︒，由作图知，AE 是BAC ∠的平分线，得到30BAE CAE ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到AE CE =，过E 作EFAC 于F ，求得1EF BE ==，求得223AC CF ==角形得到3AB 3BC =，于是得到结论． 【解答】解：四边形ABCD 是矩形，90B BAD ∴∠=∠=︒， 60BAC ∠=︒， 30ACB ∴∠=︒，由作图知，AE 是BAC ∠的平分线，30BAE CAE ∴∠=∠=︒，30EAC ACE ∴∠=∠=︒， AE CE ∴=，过E 作EFAC 于F ，1EF BE ∴==，2AC CF ∴==AB ∴，3BC =，∴矩形ABCD 的面积33AB BC ==，故答案为：三、解答题：本大题共12小题，共86分. 17．（5分）计算：02|2|1)(2)tan 45--+--︒． 【考点】零指数幂；实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【解答】解：原式21414=-+-=． 18．（5分）化简：(12)2(1)(1)a a a a -++-． 【考点】单项式乘多项式；平方差公式【分析】先去括号，再注意到(1)(1)a a +-可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可 【解答】解： 原式2222(1)a a a =-+-22222a a a =-+- 2a =-19．（5分）解不等式组：215113x x x x -<+⎧⎪⎨+<-⎪⎩①②． 【考点】解一元一次不等式组【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：215113x x x x -<+⎧⎪⎨+<-⎪⎩①②解不等式①得：6x <， 解不等式②得：2x >，所以，不等式组的解集为26x <<．20．（6分）如图，AB DE =，BF EC =，B E ∠=∠，求证：//AC DF ．【考点】全等三角形的判定与性质【分析】要证明//AC DF ，只要证明ACB DFE ∠=∠即可，要证明ACB DFE ∠=∠，只要证明ABC DEF ∆≅∆即可，根据题目中的条件可以证明ABC DEF ∆≅∆，本题得以解决．【解答】证明：BF EC =，BF FC EC FC ∴+=+， BC EF ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC DEF SAS ∴∆≅∆， ACB DFE ∴∠=∠， //AC DF ∴．21．（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用1A ，2A ，3A ，4A 表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用1B ，2B ，3B 表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．【考点】列表法与树状图法【分析】（1）利用画树状图展示所有12种等可能的结果数；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率21==．12622．（7分）如图，8AC=，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD为菱形；（2）根据菱形的性质得4=，AC BD⊥，然后利用勾股定理计==，OB ODOA OC算出OB，从而得到BD的长．【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得5AB AD CB CD ====， 所以四边形ABCD 为菱形； （2）四边形ABCD 为菱形，4OA OC ∴==，OB OD =，AC BD ⊥，在Rt AOB ∆中，22543OB =-=，26BD OB ∴==．23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过等边三角形BOC 的顶点B ，2OC =，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，OA ． （1）求反比例函数(0)ky k x=≠的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标．【考点】等边三角形的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征【分析】（1）作BD OC ⊥于D ，根据等边三角形的性质和勾股定理求得1OD =，3BD BOD 的面积，根据系数k 的几何意义即可求得3k =从而求得反比例函数的表达式；（2）求得三角形AOC 的面积，即可求得A 的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A 的坐标．【解答】解：（1）作BD OC ⊥于D ，BOC ∆是等边三角形， 2OB OC ∴==，112OD OC ==，223BD OB OD ∴=-132OBD S OD BD ∆∴=⨯=， 1||2OBD S k ∆=，||3k ∴=，反比例函数(0)k y k x=≠的图象在一三象限，3k ∴=，∴反比例函数的表达式为3y =； （2）1123322OBC S OC BD ∆==⨯⨯=，33323AOC S ∆∴=-=，1232AOC A S OC y ∆==，23A y ∴=，把23y =代入3y =，求得12x =， ∴点A 的坐标为1(2，23)．24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生(25名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据： 表一 分数段6070x <7080x <8090x <90100x分析数据： 表二小丽用同样的方法对八年级2班全班学生(25名）的成绩进行分析，数据如下： 表三 根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在8090x <这一组的数据如下： 85，87，88，80，82，85，83，85，87，85 根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．【考点】中位数；算术平均数；方差；极差；频数（率)分布表；众数 【分析】（1）根据中位数的定义找出第13个数，然后确定8090x <这一组中最小的数即可；（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1班学生的成绩更为优异．【解答】解：（1）共有25个数据，第13个数落在8090x <这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80； 故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD ． 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角ADC ∠最大(77.44)ADC ∠=︒；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳蓬CD 的夹角BDC ∠最小(30.56)BDC ∠=︒．窗户的高度2AB m =．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560.51︒≈，cos30.560.86︒≈，tan30.560.59︒≈，sin77.440.98︒≈，cos77.440.22︒≈，tan77.44 4.49)︒≈【考点】解直角三角形的应用【分析】根据正切的定义分别用CD 表示出BC 、AC ，根据题意列式计算即可．【解答】解：在Rt DCB ∆中，tan BCBDC CD∠=， 则tan 0.59BC CD BDC CD =∠≈， 在Rt DCA ∆中，tan ACADC CD∠=， 则tan 4.49AC CD ADC CD =∠≈，由题意得，AC BC AB -=，即4.490.592CD CD -=， 解得，0.5CD m ≈，答：遮阳蓬CD 的长约为0.5m ．26．（9分）如图，在ABC ∆中，6AB AC cm ==，8BC cm =，点D 为BC 的中点，BE DE =，将BDE ∠绕点D 顺时针旋转α度(083)α︒，角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为xcm ，M ，N 两点间的距离为ycm ．小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B ，M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值：请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点(,)x y ，并画出函数y 关于x 的图象．（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势：． （4）解决问题：当2MN BM =时，BM 的长度大约是 cm ．（保留两位小数）．【考点】动点问题的函数图象【分析】（1）①当0x BM ==时，则123cos BDy MN BN α====；②222809MD HD EH =+=，则tan y MN MD α==，即可求解；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势；（3）2MN BM =，即2y x =，在上图中作直线2y x =，即可求解． 【解答】解：（1）①当0x BM ==时， 连接AD ，则AD BC ⊥，142BD CD BC ===，2cos cos 3BD ABD ABα∠===，则5sin α=， 则123cos BD y MN BN α====； ②83x BM ==，在MBD ∆中，4BD =，83BM =，2cos cos 3B α∠==，5tan α=， 过点M 作MH BD ⊥于点H ，则16cos 9BH BM α==，则85EH =，222809MD HD EH =+=，则222BD BM MD =+， 故90BMD ∠=︒，则10tan (sin )tan 3y MN MD DB ααα====； 故：答案为3，103； （2）描点出如下图象，从图象可以看出：0 1.25x 时，y 随x 最大而减小， 当1.25 4.10x <时，y 随x 最大而增大； （3）2MN BM =，即2y x =， 在上图中作直线2y x =，直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45， 故答案为：2.68或7.45．27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】如图，在Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，可以推理得到ABC DAE ∆≅∆，进而得到AC DE =，BC AE =． 我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt ABC ∆内接于O ，90ACB ∠=︒，2BC =，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AD ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，DAE ABC ∠=∠，1DE =，连接DO 交O 于点F ．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G ，连接FB ．求证：2FG GO GB =． 【考点】MR ：圆的综合题【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在AB 上，AB 为O 直径，故只需证AD AB ⊥即可．由90ABC BAC ∠+∠=︒和DAE ABC ∠=∠可证得90DAE BAC ∠+∠=︒，而E 、A 、C 在同一直线上，用180︒减去90︒即为90BAD ∠=︒，得证．（2）依题意画出图形，由要证的结论2FG GO GB =联想到对应边成比例，所以需证FGO BGF ∆∆∽．其中FGO BGF ∠=∠为公共角，即需证FOG BFG ∠=∠．BFG ∠为圆周角，所对的弧为弧BC ，故连接OC 后有12BFG BOC ∠=∠，问题又转化为证12FOG BOC ∠=∠．把DO 延长交BC 于点H 后，有FOG BOH ∠=∠，故问题转化为证12BOH BOC ∠=∠．只要OH BC ⊥，由等腰三角形三线合一即有12BOH BOC ∠=∠，故问题继续转化为证//DH CE ．联系【模型呈现】发现能证DEA ACB ∆≅∆，得到2AE BC ==，1AC DE ==，即能求5AD AB ==O 为AB 中点，可得到5AO ADDE AE ==，再加上第（1）题证得90BAD ∠=︒，可得DAO AED ∆∆∽，所以ADO EAD ∠=∠，//DO EA ，得证．【解答】证明：（1）O 为Rt ABC ∆的外接圆O ∴为斜边AB 中点，AB 为直径 90ACB ∠=︒ 90ABC BAC ∴∠+∠=︒ DAE ABC ∠=∠ 90DAE BAC ∴∠+∠=︒180()90BAD DAE BAC ∴∠=︒-∠+∠=︒AD AB ∴⊥ AD ∴是O 的切线（2）延长DO 交BC 于点H ，连接OCDE AC ⊥于点E 90DEA ∴∠=︒AB 绕点A 旋转得到ADAB AD ∴=在DEA ∆与ACB ∆中90DEA ACB DAE ABCDA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DEA ACB AAS ∴∆≅∆ 2AE BC ∴==，1AC DE ==AD AB ∴==O 为AB 中点12AO AB ∴==∴AO ADDE AE ==90DAO AED ∠=∠=︒DAO AED ∴∆∆∽ ADO EAD ∴∠=∠ //DO EA ∴90OHB ACB ∴∠=∠=︒，即DH BC ⊥ OB OC =OH ∴平分BOC ∠，即12BOH BOC ∠=∠FOG BOH ∠=∠，12BFG BOC ∠=∠FOG BFG ∴∠=∠FGO BGF ∠=∠FGO BGF ∴∆∆∽∴FG GO BG GF=2FG GO GB∴=28．（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt ABC∆，90ACB∠=︒，将斜边AB绕点A顺时针旋转90︒得到AD，过点D作DE AC⊥于点E，可以推理得到ABC DAE∆≅∆，进而得到AC DE=，BC AE=．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx=++的图象交x轴于点(1,0)-，(4,0)B两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN x⊥轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式； （2）连接BD ，当32t =时，求DNB ∆的面积；（3）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当54t =时，在直线MN 上存在一点Q ，使得90AQC OAC ∠+∠=︒，求点Q 的坐标．【考点】二次函数综合题【分析】（1）将点(1,0)-，(4,0)B 代入22y ax bx =++即可；（2）由已知分别求出(2,0)M ，(2,1)N ，(2,3)D ，根据DNB ∴∆的面积DMB =∆的面积MNB -∆的面积即可求解；（3）由已知可得(21,0)M t -，设(21,)P t m -，根据勾股定理可得222(21)(2)PC t m =-+-，222(25)PB t m =-+，再由PB PC =，得到m 与t 的关系式：45m t =-，因为PC PB ⊥，则有474512125t t t t --=---求出1t =或2t =，即可求D 点坐标；（4）当54t =时，3(2M ，0)，可知点Q 在抛物线对称性32x =上；过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与32x =的交点分别为1Q 与2Q ，由5AB =，可得圆半径52AM =，即可求Q 点坐标分别为3(2，5)2-，3(2，5)2． 【解答】解：（1）将点(1,0)-，(4,0)B 代入22y ax bx =++，12a ∴=-，32b =，213222y x x ∴=-++；（2）(0,2)C ，BC ∴的直线解析式为122y x =-+，当32t =时，3AM =，5AB =，2MB ∴=，(2,0)M ∴，(2,1)N ，(2,3)D ，DNB ∴∆的面积DMB =∆的面积MNB -∆的面积111222222MB DM MB MN =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯=； （3）52BM t =-，(21,0)M t ∴-，设(21,)P t m -，222(21)(2)PC t m =-+-，222(25)PB t m =-+， PB PC =，2222(21)(2)(25)t m t m ∴-+-=-+， 45m t ∴=-，(21,45)P t t ∴--， PC PB ⊥，∴474512125t t t t --=---1t ∴=或2t =，(1,0)M ∴或(3,0)M ， (1,3)D ∴或(3,2)D ；（4）当54t =时，3(2M ，0)，∴点Q 在抛物线对称性32x =上， 如图：过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与32x =的交点分别为1Q 与2Q ，5AB =， 52AM ∴=， 190AQ C OAC ∠+∠=︒，90OAC MAG ∠+∠=︒， 1AQ C MAG ∴∠=∠，又1AQ C CGA MAG ∠=∠=∠，13(2Q ∴，5)2-，1Q 与2Q 关于x 轴对称，23(2Q ∴，5)2，Q ∴点坐标分别为3(2，5)2-，3(2，5)2；【素材积累】1、黄鹂方才唱罢，摘村庄的上空，摘树林子里，摘人家的土场上，一群花喜鹊便穿戴着黑白相间的朴素裙裾而闪亮登场，然后，便一天喜气的叽叽喳喳，叽叽喳喳叫起来。