图的最小生成树

最小生成树例子
最小生成树是一个在图论中常见的问题，通常在计算机网络和电路设计中出现。

它是指一个连通无环图，它的一棵生成树，如果再添加任何一条边都会产生环。

以下是一个简单的最小生成树的例子：
假设我们有一个由五个节点（A、B、C、D、E）和七条边组成的网络，每条边的权重表示连接两个节点所需的成本或距离。

节点 A - B: 3
节点 A - C: 5
节点 A - D: 6
节点 B - C: 4
节点 B - D: 7
节点 C - D: 8
节点 C - E: 2
节点 D - E: 9
节点 E - A: 10
我们可以使用Kruskal算法或Prim算法找到这个图的最小生成树。

在这个例子中，最小生成树可能是：A - B - C - D - E，总权重为18。

这是所有可能的生成树中权重最小的。

需要注意的是，这个结果可能会因图的结构和使用的算法而变化。

在实际应用中，可能还需要考虑其他因素，如网络的拓扑结构、流量需求等。

最小生成树和最短路径-回复什么是最小生成树和最短路径？如何确定它们？这两个概念通常在计算机科学中被广泛应用于解决图论中的相关问题。

在这篇文章中，我们将一步一步地回答这些问题。

首先，让我们来了解最小生成树是什么。

在图论中，最小生成树是一个连通无向图的生成树，其所有边的权重之和最小，并且包含该图的所有顶点。

生成树是一种树状结构，它是由图中所有的顶点以及它们之间的一些边组成，并且这些边必须满足以下条件：它们连接图中的不同顶点，并且不形成环。

为了更好地理解这个定义，让我们通过一个简单的例子来说明最小生成树的概念。

假设我们有一个城市网络，城市之间的路径可以用边来表示，边上的权重表示两个城市之间的距离。

现在我们的目标是建设一条最小的路径，连接这些城市，使得整个网络的总距离最小。

这条路径就是最小生成树。

那么如何确定最小生成树呢？在解决这个问题时，我们可以使用一些经典的算法，其中最著名的是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

普里姆算法是一种贪心算法，在每一步中选择一个顶点并将其加入最小生成树中，然后选择一个连通该顶点的边权重最小的顶点，将其也加入最小生成树中。

这个过程会一直重复，直到所有的顶点都被添加到最小生成树中。

克鲁斯卡尔算法也是一种贪心算法，它首先将所有的边按权重进行排序，然后从最小权重的边开始，依次将边添加到最小生成树中，直到所有的顶点都被连接起来。

在添加每一条边时，需要判断是否会形成环，如果会形成环，则不选择该边。

当然，最小生成树不止有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法这两种求解方法，还有其他一些算法，例如克鲁斯卡尔算法的变体Prim-Dijkstra算法和Boruvka算法等等。

每种算法都有其自身的特点和适用场景，根据具体的问题需求选择合适的算法进行求解。

接下来，让我们来了解最短路径是什么。

在一个加权有向图中，最短路径是指两个顶点之间的路径，其边的权重之和最小。

最短路径问题在计算机科学中有许多应用，例如导航系统、网络路由以及大规模数据处理等领域。

最小生成树唯一的充要条件最小生成树是一种在图论中常见的概念，它是一个连通无向图中的一棵生成树，其所有边的权值之和最小。

在实际应用中，最小生成树有着广泛的应用，比如在通信网络、电力网络和交通运输等领域。

要确定一个图的最小生成树是否唯一，需要满足以下充要条件：图中的每条边的权值互不相同。

这个条件是非常重要的，因为只有当图中的每条边的权值都不相同时，才能确保最小生成树的唯一性。

如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么可能会有多个最小生成树。

为了更好地理解最小生成树唯一的充要条件，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设有一个无向图，其中包含4个顶点A、B、C、D，以及4条边AB、AC、BC、BD。

如果这些边的权值分别为1、2、3、4，那么根据最小生成树的算法，我们可以得到唯一的最小生成树，即连接顶点A、B、C的边AB、AC。

因为在这种情况下，每条边的权值都不相同，所以最小生成树是唯一的。

相反，如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么就会出现多个最小生成树的情况。

比如，如果在上面的例子中，边AC的权值改为1，那么就会有两个最小生成树，一个是连接顶点A、B、C的边AB、AC，另一个是连接顶点A、C、D的边AC、CD。

这是因为存在两条权值相同的边AB和AC，所以会有多个最小生成树。

因此，最小生成树的唯一性与图中每条边的权值是否相同密切相关。

只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。

这个充要条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。

最小生成树唯一的充要条件是图中的每条边的权值互不相同。

只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。

这个条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。

希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解最小生成树的唯一性条件，为实际应用提供参考。

图论算法二、最小生成树算法.什么是图的最小生成树（MST）？不知道大家还记不记得关于树的一个定理：N个点用N-1条边连接起来，形成的图形只可能是树，没有别的可能。

一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。

图的最小生成树，就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。

这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。

.最小生成树用来解决什么问题？就是用来解决如何用最小的“代价”用N-1条边连接N个点的问题。

例如：城市公交网建设问题[问题描述]有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。

现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少？.1.Prim算法根据图的基本定义，一个有n个点的图，它的最小生成树必定含有n个点，（n-1）条边。

prime算法所采取的是每条向树中添加的边，都采取贪心算法选取权值最小的进行。

2).算法时间复杂度：O (N算法描述：假设从s点开始生成最小生成树（一般s都设为1），dis[v]表示从v点到已生成的树的最短路径,w[I,j]表示i到j的距离，如果i，j不相连就设为无穷大。

pre[v]为v的前驱节点，用来输出进入最小生成树的边。

a)初始化：dis[v]=maxint(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; 起点s标记为未进入最小生成树; tot=0;b)For i:=1 to n1.在没有进入最小生成树的点中找一个到树的距离（dis[u]）最小的点u。

2.u标记为已经进入最小生成树3.tot = tot + dis[u];4.For 与u相连的每个未进入最小生成树的顶点v doif w[u,v]<dis[v] thenbegindis[v]:=w[u,v];pre[v]:=u;end；c)算法结束：tot为最小生成树的总权值；pre[v]为v的前驱节点，用来输出进入最小生成树的边。

图的最短路径与最小生成树在图论中，最短路径和最小生成树是两个重要的概念，它们在解决实际问题中具有广泛的应用。

最短路径指的是在图中找到连接两个节点的路径中权重之和最小的路径；最小生成树则是指在一个连通图中找到一个生成树，所有边的权重之和最小。

一、最短路径在图中，每个节点可以看作一个点，边可以看作连接这些点的路径。

而这些边上的权重则表示了路径的长度或者消耗。

最短路径算法可以帮助我们找到连接两个节点之间最短的路径。

最短路径算法有很多种，其中最著名的是迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

迪杰斯特拉算法适用于解决单源最短路径问题，也就是从一个节点出发到其他所有节点的最短路径。

它通过不断更新起点到其他节点的距离，并选择距离最短的节点作为下一个起点，直到找到所有节点的最短路径。

弗洛伊德算法则适用于解决任意两个节点之间的最短路径问题。

它通过动态规划的思想，逐步计算出从任意节点到其他节点的最短路径。

具体来说，它会用一个矩阵表示任意两个节点之间的距离，然后逐步更新矩阵，直到找到最短路径。

二、最小生成树最小生成树是一个连通图的生成树中边的权重之和最小的树。

生成树是指由图中的节点和边组成的一个树，它包含了图中的所有节点，并且不存在环。

最小生成树算法常用的有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

普里姆算法以一个顶点作为起点开始，然后逐步找到与已经生成的树连接的权重最小的边，直到生成一棵包含图中所有节点的最小生成树。

克鲁斯卡尔算法则以边作为中心，首先将图中的边按照权重从小到大排序，然后逐步选择权重最小的边，当选择的边不构成环时，将其加入生成树，直到生成一棵包含图中所有节点的最小生成树。

总结：最短路径和最小生成树是图论中的两个重要概念，它们在许多实际问题中具有重要意义。

最短路径算法可以帮助我们找到两个节点之间最短的路径，而最小生成树算法则可以帮助我们找到一个连通图中边的权重之和最小的树。

在求解最短路径和最小生成树的过程中，我们可以使用迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法、普里姆算法或者克鲁斯卡尔算法等不同的算法。

图的最⼩⽣成树（java实现）1.图的最⼩⽣成树（贪⼼算法）我两个算法的输出都是数组表⽰的，当前的索引值和当前索引对应的数据就是通路，⽐如parent[2] = 5;即2和5之间有⼀个通路，第⼆个可能⽐较好理解，第⼀个有点混乱是什么？将⼀个有权图中的所有顶点都连接起来，并保证连接的边的总权重最⼩，即最⼩⽣成树，最⼩⽣成树不唯⼀为什么？传⼊邻接矩阵，返回可以⽣成最⼩⽣成树的数据我们有两种⽅式⽣成图的最⼩⽣成树1.普⾥姆（Prim）算法2.克鲁斯卡尔（Kruskal）算法怎样做？图⽚参考博客：下⾯是普⾥姆算法的最⼩⽣成树下⾯是克鲁斯卡尔算法的最⼩⽣成树：图的邻接矩阵表⽰法（⽆向图，上三⾓矩阵）int[][] arr = new int[][]{{-1, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0},{0, -1, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0},{0, 0, -1, 7, 0, 4, 0, 0, 2},{0, 0, 0, -1, 9, 14, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, -1, 10, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 0, -1, 2, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 6},{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 7},{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1}};1.普⾥姆算法（加点法）需求：求出最⼩⽣成树的权值输⼊参数：⼆维数组arr（邻接矩阵），列表list（存放已经被加⼊的点），整型sum（存放权值）输出参数：整型数组parent1）先找⼀个起点，这个起点为任意⼀点，放⼊list中2）如果list中不包含全部节点，进⼊循环 1>遍历list中节点，查找不存在list中的邻接节点的最⼩值，记录下begin和end 2>将begin和end放⼊数组中，较⼩值节点赋值给较⼤值所在数组位置3）返回parent实现：import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.List;/*** 普⾥姆（Prim）算法** @author Xiong YuSong* 2019/3/22 16:02*/public class Prim {public static void main(String[] args) {int[][] arr = new int[][]{{-1, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0},{0, -1, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0},{0, 0, -1, 7, 0, 4, 0, 0, 2},{0, 0, 0, -1, 9, 14, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, -1, 10, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 0, -1, 2, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 6},{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 7},{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1}};List<Integer> list = new ArrayList<>();//先将0放置在list中list.add(0);int begin = 0, end = 0, weight;int[] parent = new int[arr.length];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {parent[i] = -1;}while (list.size() < arr.length) {weight = Integer.MAX_VALUE;for (Integer row : list) {for (int i = 0; i < arr.length; i++) {if (!list.contains(i)) {if (i >= row + 1) {if (arr[row][i] > 0 && arr[row][i] < weight) {begin = row;end = i;weight = arr[row][i];}} else if (i <= row - 1) {//我这⾥只⽤了上三⾓矩阵，所以这⾥需要画蛇添⾜写这⼀部分if (arr[i][row] > 0 && arr[i][row] < weight) {begin = row;end = i;weight = arr[i][row];}}}}}list.add(end);parent[end] = begin;}System.out.println(Arrays.toString(parent));}}2.克鲁斯卡尔算法（加边法）需求：求出最⼩⽣成树的权值构建类：Edge<begin,end,weight>三元组，根据weight（权值）排序输⼊参数：存放有Edge的列表list，并查集parent输出参数：并查集parent（最⼩⽣成树的数组表现形式）原理：贪⼼算法的实现，程序中使⽤了并查集（判断两个集合中是否存在相同的数据）这种特殊的数据结构，使⽤数组实现1）创建⼀个三元组<起始点，终⽌点，权值>，将邻接矩阵中数据放⼊三元组中，再放⼊list中，根据权值进⾏排序2）创建变量count=0，整型数组parent3）如果list中还存在值，则进⾏循环 1>判断begin和end是否存在于不同的集合中（判断是否在同⼀棵树中，即判断当前节点在并查集parent中的根节点是否为同⼀个） 2>如果存在不同的集合中，则将较⼩值节点赋值给较⼤值所在数组位置，较⼩值节点为较⼤值节点的⽗节点4）返回parent实现：import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.Collections;import java.util.List;/*** @author Xiong YuSong* 2019/3/22 17:04*/class Edge implements Comparable<Edge> {//起始点private int begin;//终⽌点private int end;//权值private int weight;public Edge(int begin, int end, int weight) {this.begin = begin;this.end = end;this.weight = weight;}public int getBegin() {return begin;}public void setBegin(int begin) {this.begin = begin;}public int getEnd() {return end;}public void setEnd(int end) {this.end = end;}public int getWeight() {return weight;}public void setWeight(int weight) {this.weight = weight;}@Overridepublic int compareTo(Edge o) {if (o.weight > this.weight) {return -1;} else {return 1;}}}public class Kruskal {public static void main(String[] args) {//默认以a为根节点的最⼩⽣成树List<Edge> list = new ArrayList<>();int[][] arr = new int[][]{{-1, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0},{0, -1, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0},{0, 0, -1, 7, 0, 4, 0, 0, 2},{0, 0, 0, -1, 9, 14, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, -1, 10, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 0, -1, 2, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 6},{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 7},{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1}};for (int i = 0; i < arr.length; i++) {for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {if (arr[i][j] > 0) {list.add(new Edge(i, j, arr[i][j]));}}}Collections.sort(list);//数组中每⼀个节点都只知道他的⽗节点是什么，-1表⽰不存在⽗节点，0位置是根节点int[] parent = new int[arr.length];for (int i = 1; i < arr.length; i++) {parent[i] = -1;}int m = 0, n = 0;for (Edge edge : list) {//寻找这两个点有没有相同的⽗节点m = find(parent, edge.getBegin());n = find(parent, edge.getEnd());if (m != n && parent[edge.getEnd()]>0) {parent[edge.getEnd()] = edge.getBegin();}}System.out.println(Arrays.toString(parent));}private static int find(int[] parent, int ch) {while (parent[ch] > 0) {ch = parent[ch];}return ch;}}。