2018届高三理科数学(新课标)二轮复习专题整合高频突破习题：专题八 选修4系列 专题能力训练22

数 学N 单元 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲21．A.N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­7，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .图1­721．A.证明：在△ADB 和△ABC 中，因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角，所以△ADB ∽△ABC ，于是∠ABD ＝∠C .在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点，所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ，所以∠EDC ＝∠ABD .22．N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­6所示，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆． (1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .图1­622．证明：(1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切．(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D 四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.22．N1选修4­1：几何证明选讲如图1­6，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.图1­622．解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠PCD＋∠EFD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.22．N1选修4­1：几何证明选讲如图1­5，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.。

第23讲 选修4－4 选修4－5(对应学生用书第118页)一、选择题1.(2017·全国Ⅰ卷)选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【导学号：07804137】[解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16. 选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·山西五月模拟)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ(t 为参数，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．[解] 由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0， 设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12，∵φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]．(2017·郑州第一次质量预测)选修4－5：不等式选讲 已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4. (1)求a ＋b 的值； (2)求14a 2＋19b 2的最小值．[解] (1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )<0时，等号成立， 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ， 所以a ＋b ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ， 14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169 ＝1336⎝⎛⎭⎪⎫a －16132＋1613，当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2取到最小值为1613.3.(2016·全国Ⅰ卷)选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【导学号：07804138】[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2016·全国Ⅰ卷)选修4­5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图23­1[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 4．(2017·石家庄一模)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2. (1)求曲线C 2的参数方程；(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．[解](1)由ρ＝2，得ρ2＝4，因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.由题可得曲线C 2的方程为x 24＋y 2＝1.所以曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A (2cos θ，sin θ)，则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ＋15sin θ＝45sin (θ＋φ)， 其中cos φ＝15，sin φ＝25.所以当θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，l 取得最大值，最大值为4 5.此时θ＝2k π＋π2－φ(k ∈Z )，所以2cos θ＝2sin φ＝45，sin θ＝cos φ＝15，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，15.所以直线l 1的普通方程为y ＝14x .(2017·全国Ⅱ卷)选修4­5：不等式选讲 已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4， (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3a ＋b24(a ＋b )＝2＋3a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8， 因此a ＋b ≤2.。

参数方程专题[基础达标](35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知曲线C的参数方程为x=2cos t，y=2sin t(t为参数)，C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为() A.ρ=2sin θ+π4B.ρsin θ+π4=2C.ρsin θ+π4=2D.ρ=sin θ+π4B【解析】把曲线C的参数方程x=2cos t，y=2sin t(t为参数)消去参数，化为普通方程为x2+y2=2，曲线C在点(1，1)处的切线为l：x+y=2，化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2，即ρsin θ+π4=2.2x=t cosα，y=t sinα(t是参数)与圆x=4+2cosθ，y=2sinθ(θ是参数)相切，则直线的倾斜角α为()A.π6B.5π6C.π6或5π6D.π2C【解析】直线x=t cosα，y=t sinα(t是参数)的普通方程为y=x tanα，圆x=4+2cosθ，y=2sinθ(θ是参数)的普通方程为(x-4)2+y2=4，由于直线与圆相切，则1+tan2α=2，即tan2α=13，解得tan α=±33，由于α∈[0，π)，故α=π6或5π6.二、填空题(每小题5分，共10分)3.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ，直线l的参数方程为x=t+a，y=-22t(t为参数)，若直线l将曲线C的周长分为1∶5，则实数a=.-1或5【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x，标准方程为(x-2)2+y2=4，直线l的普通方程为x+y-a=0，直线l将曲线C的周长分为1∶5，则弦所对的圆心角是60°，则圆心(2，0)到直线l的距离为3，即3=3，解得a=-1或5.4.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线x=7cosφ，y=7sinφ(φ为参数，φ∈R)上的点到曲线ρ(cosθ+sinθ)=4(ρ，θ∈R)的最短距离是.22−7【解析】曲线x=7cosφ，y=7sinφ的普通方程为x2+y2=7，曲线ρ(cosθ+sinθ)=4的直角坐标方程为x+y=4，圆心(0，0)到直线x+y=4的距离d=2>，所以圆x2+y2=7上的点到直线x+y=4的最短距离为d-r=2−.三、解答题(共50分)5.(10分C的直角坐标方程是x2+y2=2x，直线l的参数方程是x=32t+m，y=12t(t为参数).(1)求直线l的普通方程；(2)设点P(m，0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|=1，求实数m 的值.【解析】(1)直线l的参数方程是x=32t+m，y=12t(t为参数)，消去参数t可得x=3y+m.(2)把x=32t+m，y=12t(t为参数)代入方程x2+y2=2x，得t2+(3m-3)t+m2-2m=0，由Δ>0，解得-1<m<3，∴t1t2=m2-2m.∵|PA|·|PB|=1=|t1t2|，∴m2-2m=±1，解得m=1±2，1.又∵Δ>0，∴实数m=1±2，1.6.(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2-k，y=3-2k(k为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系.圆C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为(2，3)，求|MA|·|MB|的值.【解析】(1)由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ，即x2+y2-2y=0，标准方程为x2+(y-1)2=1.故圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.(2)直线l的参数方程为x=2-k，y=3-2k(k为参数)，可化为x=2-55t，y=3-255t其中k=55t ，代入圆C的直角坐标方程，得2-55t2+2-255t2=1，即t2-1255t+7=0.由于Δ=12552-4×7=45>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=1255，t1·t2=7，又直线l过点M(2，3)，故由上式及t的几何意义，得|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=7.7.(10分xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为x=t，y=at(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ-4sinθ)=12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围.【解析】(1)根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12，设点P(x'，y')，Q(x，y).根据中点坐标公式，得x'=2x-6，y'=2y，代入x2+y2-4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4. (2)直线l的直角坐标方程为y=ax，根据题意，得圆心(3，1)到直线的距离d≤22-(3)2=1，即2≤1，解得0≤a≤34，∴实数a的取值范围为0，34.8.(10分xOy中，曲线C1：x=t cosα，y=t sinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sin θ，C3：ρ=23cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立x2+y2-2y=0，x2+y2-23x=0，解得x=0，y=0或x=32，y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α).所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sin α-π3.当α=5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.9.(10分)已知直线l的参数方程为x=-1-32t，y=3+12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ-π6.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin θ-π6的公共点，求3x+y的取值范围.【解析】(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ-π6，所以ρ2=4ρsin θ-π6=4ρ32sinθ-12cosθ .又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x2+y2=23y-2x，所以圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-23y=0.(2)设z=3x+y，由圆C的方程x2+y2+2x-23y=0，得(x+1)2+(y-3)2=4，所以圆C的圆心是(-1，3)，半径是2.将x=-1-32t，y=3+12t代入z=3x+y，得z=-t.又由题可知点P在圆C内，所以有-1-32t+12+3+12t-32≤4，解得-2≤t≤2，所以-2≤-t≤2，即3x+y的取值范围是[-2，2].[高考冲关](20分钟45分)1.(5分C：ρ=2sin θ，A，B为曲线C上的两点，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴的直角坐标系中，曲线E：x=4t+2，y=-3t-3上一点P，则∠APB的最大值为()A.π4B.π3C.π2D.2π3B【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1，曲线E的普通方程为3x+4y+6=0，易得直线E与圆C相离，且圆心C到直线E的距离d=2，则∠APB 取最大值时，PA，PB与圆C相切，且PC最短，此时在Rt△PAC中，sin ∠APC=12，故∠APC=π6，所以∠APB=π3.2.(10分)已知直线C1：x=1+t cosα，y=t sinα(t为参数)，曲线C2：x=cosθ，y=sinθ(θ为参数).(1)当α=π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.【解析】(1)当α=π3时，C1的普通方程为y=3(x-1)，C2的普通方程为x2+y2=1，联立方程组y=3(x-1)，x2+y2=1，解得C1与C2的交点坐标分别为(1，0)，12，-32.(2)依题意，C1的普通方程为x sinα-y cosα-sin α=0，则A点的坐标为(sin2α，-sin αcosα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x=12sin2α，y=-12sinαcosα(α为参数)，所以1-4x=cos2α，-4y=sin2α，所以P点轨迹的普通方程为 x-142+y2=116.故P点的轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆.3.(10分)已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ，y=3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3+π2，2sinπ3+π2，C2cosπ3+π ，2sinπ3+π ，D2cosπ3+3π2，2sinπ3+3π2，即A(1，3)，B(-3，1)，C(-1，-3)，D(3，-1).(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52].4.(10分C ：x 24+y 29=1，直线l ：x =2+t ，y =2-2t(t为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值.【解析】(1)曲线C 的参数方程为 x =2cos θ，y =3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d= 55|4cos θ+3sin θ-6|. 则|PA|=dsin 30°=2 55|5sin(θ+α)-6|，其中α为锐角，且tan α=43，当sin(θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为22 55；当sin(θ+α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.5.(10分l ： x =1+12t ，y = 32t (t 为参数)，曲线C 1：x =cos θ，y =sin θ(θ为参数).(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的 32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【解析】(1)由题意得l 的普通方程为y= 3(x-1)，C 1的普通方程为x 2+y 2=1. 联立方程y = 3(x -1)，x 2+y 2=1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B 12，-32，则|AB|=1.(2)由题意可得C2的参数方程为x=12cosθ，y=32sinθ(θ为参数)，故点P的坐标是12cosθ，32sinθ .从而点P到直线l的距离d=32cosθ-32sinθ-32=342sin θ-π4+2，当sin θ-π4=-1时，d取得最小值，最小值为64(2-1).。

选修4-4:坐标系与参数方程选修4-5:不等式选讲1..在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，将1C 上的所有点的横坐标、纵坐2倍后得到曲线2C . 以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=. （Ⅰ）试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 2.(Ⅰ)已知,x y 都是正实数，求证：3322x y x y xy +≥+； (Ⅱ)已知,,a b c 都是正实数，求证：3332221()()3a b c a b c a b c ++≥++++. 3.（2）直线12()t x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数与圆22x y a +=（a >0）相交于A 、B 两点，设P （－1，0），且|PA |:|PB |=1:2，求实数a 的值（3）对于x ∈R ，不等式|x －1|+|x －2|≥a 2+b 2恒成立，试求2a +b 的最大值。

4.．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数）。

（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值。

5.．设函数.|2||1|)(a x x x f -+++= （1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围。

6.．已知直线l 的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,2)M ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2) 线段MA ，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求||||MA MB ⋅的值． 7．设函数()|1||2|f x x x =-+-(1)求不等式()3f x ≤的解集；(2)若不等式||||||||()a b a b a f x +--≤（0a ≠，a R ∈，b R ∈）恒成立，求实数x 的范围．8.求函数()f x =9．已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由。

专题能力训练23不等式选讲(选修4—5)能力突破训练1.设a>0,|x-1|<错误！未找到引用源。

,|y-2|<错误！未找到引用源。

,求证:|2x+y-4|<a.2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,x∈R.(1)解不等式f(x)≤5;(2)若不等式t2+3t>f(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围.3.设函数f(x)=错误！未找到引用源。

+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.4.已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.已知函数f(x)=错误！未找到引用源。

,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.6.设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范围.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R.(1)当a=3时,解不等式f(x)≤4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.思维提升训练8.已知函数f(x)=错误！未找到引用源。

g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-错误！未找到引用源。

;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.参考答案专题能力训练23不等式选讲(选修4—5)能力突破训练1.证明因为|x-1|<错误！未找到引用源。

第2讲 不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 例1 (2017届四川省成都市三诊)已知f (x )＝|x －a |，a ∈R. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式即为|x －1|＋|2x －5|≥6. 当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， ∴x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，∴x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，∴x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)∵||x －a |－|x －3||≤ |x －a －(x －3)|＝|a －3|， ∴f (x )－|x －3|＝|x －a |－|x －3|∈[－|a －3|，|a －3|] . ∴函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．∵[－1,2]⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1， 解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54. 热点二 不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|的最大值M ；(2)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件．(1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|≤|3x ＋2＋1－2x ||x ＋3|＝1，当且仅当x ≤－23或x ≥12时等号成立，所以M ＝1.(2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2＋b 2)＋1 ≥2⎣⎡⎦⎤a ＋b ＋(a ＋b )22＋1＝(a ＋b ＋1)2≥0，当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝12时取等号，所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝12满足条件．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧． 跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数． (1)求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)；(2)求函数f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|的最小值． (1)证明 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2) ＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2 ＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 因为(a －b )4≥0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)．(2)解 f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)| ＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋|2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)| ≥|[2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)]－[2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)]| ＝|(a －b )4＋1|≥1. 即f (x )min ＝1.热点三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． 例3 (2017届长沙市雅礼中学模拟)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求证：2≤at ＋12＋bt ≤4. (1)解 由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4， 解得a ＝－3，b ＝1. (2)证明 由柯西不等式，有(－3t ＋12＋t )2＝(3·－t ＋4＋1·t )2 ≤[(3)2＋12][(－t ＋4)2＋(t )2]＝16， 所以－3t ＋12＋t ≤4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立． 又(－3t ＋12＋t )2＝－3t ＋12＋t ＋2－3t ＋12·t ≥12－2t ≥4(0≤t ≤4)， 所以－3t ＋12＋t ≥2， 当且仅当t ＝4时等号成立， 综上，2≤at ＋12＋bt ≤4.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．跟踪演练3 已知函数f (x )＝|x ＋2|－m ，m ∈R ，且f (x )≤0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解 (1)由f (x )≤0，得|x ＋2|≤m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－m －2≤x ≤m －2，又f (x )≤0的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，m －2＝－1，解得m ＝1.(2)由(1) 知a ＋b ＋c ＝1， 由柯西不等式，得(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)·(12＋12＋12)，所以(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]＝18，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， 当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1， 即a ＝b ＝c ＝13时等号成立，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于 当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8， 因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4， 解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|. 因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立， 所以(f (x )＋|x －2|)min <3， 所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1， 故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值． (1)解 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可． 构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|， 则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)证明 因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以y ＝4－x (0<x <4)， 于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝⎛⎭⎫x －832＋323≥323， 当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组 专题通关1．(2017届山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋4|，g (x )＝x 2＋4x ＋3. (1)求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)如果f (x )≥|1－5a |恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )≥g (x )，即|x －2|＋|x ＋4|≥x 2＋4x ＋3，①当x <－4时，原不等式等价于 －(x －2)－(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3， 即x 2＋6x ＋5≤0，解得－5≤x ≤－1， ∴－5≤x <－4；②当－4≤x ≤2时，原不等式等价于 －(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋4x －3≤0，解得－2－7≤x ≤－2＋7， ∴－4≤x ≤－2＋7； ③当x >2时，原不等式等价于 (x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋2x ＋1≤0，解得x ＝－1，得x ∈∅.综上可知，不等式f (x )≥g (x )的解集是{x |－5≤x ≤－2＋7}． (2)∵|x －2|＋|x ＋4|≥|x －2－x －4|＝6， 且f (x )≥|1－5a |恒成立，∴6≥|1－5a |，即－6≤1－5a ≤6， ∴－1≤a ≤75，∴a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，75. 2. (2017届陕西省渭南市二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m >0，f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (1)求m 的值；(2)若∃x ∈R ，f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋3|－m ， ∴f (x －3)＝|x |－m ≥0. ∵m >0，∴x ≥m 或x ≤－m .又∵f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴m ＝2.(2)f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3<x <12，－x ＋4，x ≥12，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2－3t ＋1≥0， 解得t ≤12或t ≥1.即实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)． 3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ， 当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立， 当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0； 当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅， 综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}． (2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |， ∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n | ≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5| ＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2， ∴F ≥1，F min ＝1.4．(2017届河南省洛阳市统考)设不等式0<|x ＋2|－|1－x |<2的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪a ＋12b <34； (2)比较|4ab －1|与2|b －a |的大小，并说明理由． (1)证明 记f (x )＝|x ＋2|－|1－x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1.由0<2x ＋1<2，解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. ∵a ，b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12，∴⎪⎪⎪⎪a ＋12b ≤|a |＋12|b |<12＋12×12＝34. (2)解 由(1)得a 2<14，b 2<14.∵|4ab －1|2－4|b －a |2＝(16a 2b 2－8ab ＋1)－4(b 2－2ab ＋a 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， ∴|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1. (1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1； (2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2≥1.证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |， a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1， 所以|am |＋|bn |＋|cp | ≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1， 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2＝⎝⎛⎭⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥⎝⎛⎭⎫m 2a ·a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·c 2＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1. 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2≥1.B 组 能力提高6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .(1)解 令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1， 当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4， 当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0， ∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)． (2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc ＝3abc＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c3＋3abc . 7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0， 根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝⎛⎭⎫－32，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0两点的距离之和． 接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)， 这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)， 这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9， ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94. 8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12， 解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12， 解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a | ＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2 －⎝⎛⎭⎫a －122＋14. ∵当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎡⎦⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

专题能力训练 22坐标系与参数方程(选修4—4)能力打破训练1.在平面直角坐标系xOy 中 ,圆 C 的参数方程为(t 为参数 ).在极坐标系 (与平面直角坐标系xOy 取同样的长度单位,且以原点O 为极点 ,以 x 轴非负半轴为极轴)中 ,直线 l 的方程为ρsin=m (m∈R).(1)求圆 C 的一般方程及直线 l 的直角坐标方程 ;(2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值 .2.(2017江苏,21C)在平面直角坐标系xOy 中 ,已知直线l 的参数方程为(t 为参数 ),曲线 C 的参数方程为(s 为参数 ).设 P 为曲线 C 上的动点 ,求点 P 到直线 l 的距离的最小值 .3.在直角坐标系xOy 中 ,圆 C 的方程为 (x+ 6)2+y 2= 25.(1) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴成立极坐标系,求 C 的极坐标方程 ;(2) 直线 l 的参数方程是(t 为参数 ),l 与 C 交于 A,B 两点 ,|AB|=,求 l 的斜率 .4.已知曲线C:= 1,直线 l:(t 为参数 ).(1)写出曲线 C 的参数方程 ,直线 l 的一般方程 ;(2) 过曲线 C 上随意一点P 作与 l 夹角为 30°的直线 ,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.5.在极坐标系中,曲线 C:ρ= 2acos θ(a> 0),l :ρcos,C 与 l 有且只有一个公共点.(1)求 a;(2)O 为极点 ,A,B 为 C 上的两点 ,且∠ AOB= ,求 |OA|+|OB| 的最大值 .6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t 为参数 ,a> 0).在以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ= 4cos θ.(1)说明 C1是哪一种曲线 ,并将 C1的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3的极坐标方程为θ= α0,此中α0知足 tan α0= 2,若曲线 C1与 C2的公共点都在C3上,求a.7.在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为ρsin 2θ-cos θ= 0,点 M.以极点O 为原点,以极轴为xC 交于A,B 两点 .轴正半轴成立直角坐标系.斜率为 -1 的直线 l 过点 M,且与曲线(1) 求出曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程 ;(2) 求点 M 到 A,B 两点的距离之积.思想提高训练8.在平面直角坐标系xOy 中 ,直线 l 的参数方程为(t 为参数 ),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴成立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉ C 的直角坐标方程 ;(2)P 为直线 l 上一动点 ,当点 P 到圆心 C 的距离最小时 ,求 P 的直角坐标 .9.已知直线l的参数方程为(t 为参数 ),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴成立极坐标系 ,曲线 C 的极坐标方程是ρ=.(1) 写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程;(2)若点 P 是曲线 C 上的动点 ,求点 P 到直线 l 的距离的最小值 ,并求出点 P 的坐标 .10.在平面直角坐标系xOy 中 ,曲线 C1的参数方程为(α为参数 ),以原点 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴成立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为ρsin= 4 .(1)求曲线 C1的一般方程与曲线C2的直角坐标方程 ;(2)设 P 为曲线 C1上的动点 ,求点 P 到 C2上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标 .参照答案专题能力训练 22坐标系与参数方程(选修4—4)能力打破训练1.解(1)消去参数t,获得圆 C 的一般方程为(x-1)2 + (y+ 2)2= 9.由sin=m ,得ρsinθ-ρcosθ-m= 0.所以直线l 的直角坐标方程为x-y+m= 0.(2)依题意 ,圆心 C 到直线 l 的距离等于2,即= 2,解得 m=- 3±22.解直线l的一般方程为x-2y+ 8= 0.由于点 P 在曲线 C 上 ,设 P(2s2 ,2s),进而点 P 到直线 l 的距离 d=当 s= 时 ,d min=所以当点P 的坐标为 (4,4) 时 ,曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值23.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ+ 12ρcosθ+ 11= 0.(2)在 (1)中成立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈ R).设A,B 所对应的极径分别为ρ,ρ,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得1 22ρ+ 12ρcosα+ 11= 0.于是ρρ1+ρ2=- 12cosα,ρ1 2= 11.|AB|=| ρ1- ρ2|==由|AB|=得cos2α= ,tanα=±所以 l 的斜率为或-4.解(1)曲线C的参数方程为( θ为参数 ).直线 l 的一般方程为2x+y- 6=0.(2)曲线 C 上随意一点P(2cosθ,3sinθ)到 l 的距离为 d=| 4cosθ+ 3sinθ-6| ,则|PA|=|5sin(θ+ α)-6|,此中α为锐角 ,且 tanα=当 sin( θ+ α)=- 1 时,|PA|获得最大值 ,最大值为当 sin( θ+ α)= 1 时 ,|PA|获得最小值 ,最小值为5.解(1)曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,l 的直角坐标方程为x+y-3= 0.由直线 l 与圆 C 相切可得=a ,解得 a= 1.(2)不如设 A 的极角为θ,B的极角为θ+ ,则|OA|+|OB|= 2cosθ+2cos= 3cosθ- sin θ= 2 cos,当θ=- 时 ,|OA|+|OB| 获得最大值 26.解(1)消去参数t获得C1的一般方程x2+ (y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将 x= ρcosθ,y= ρsinθ代入 C1的一般方程中22 ,获得 C1的极坐标方程为ρ-2ρsin θ+ 1-a = 0.(2)曲线 C1,C2的公共点的极坐标知足方程组22若ρ≠0,由方程组得16cos θ-8sinθcosθ+ 1-a = 0,2由已知 tanθ= 2,可得 16cos θ-8sinθcosθ= 0,进而 1-a2 =0,解得 a=- 1(舍去 ),a= 1.a= 1 时 ,极点也为C1 ,C2的公共点 ,在 C3上 ,所以 a= 1.7.解(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,222由ρsinθ-cosθ= 0,得ρsinθ= ρcosθ.所以 y2 =x 即为曲线 C 的直角坐标方程.点 M 的直角坐标为 (0,1),直线 l 的倾斜角为,故直线 l 的参数方程为(t 为参数 ),即(t 为参数 ) .(2)把直线 l 的参数方程(t 为参数 )代入曲线 C 的方程得=- t,即 t2+ 3t+ 2= 0,Δ=(3)2-4×2= 10> 0.设 A,B 对应的参数分别为t1,t2,则又直线 l 经过点 M,故由 t 的几何意义得点 M 到 A,B 两点的距离之积|MA| ·|MB|=|t 1||t 2|=|t 1·t2|= 2.思想提高训练28.解(1)由ρ= 2sinθ,得ρ= 2sinθ,进而有 x2+y 2= 2 y,所以 x2+ (y- )2=3.(2)设 P,又 C(0,),则|PC|=,故当 t= 0 时 ,|PC| 获得最小值 ,此时 ,点 P 的直角坐标为(3,0).9.解(1)由得x-y= 1,故直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsin θ= 1,即= 1,即cos= 1.∵ρ=,∴ρ=,∴ρcos2θ= sinθ,∴(ρcosθ)2= ρsinθ,即曲线 C 的直角坐标方程为y=x 2.(2)设 P(x0,y0),y0 = ,则 P 到直线 l 的距离 d=∴当 x0 = 时 ,d min=,此时 P∴当点 P 的坐标为时,P到直线l的距离最小,最小值为10.解(1)由曲线C1:( α为参数 ),得(α为参数 ),两式两边平方相加,得+y 2= 1,即曲线 C1的一般方程为+y 2= 1.由曲线 C2:ρsin= 4,得(sinθ+ cosθ)=4,即ρsinθ+ ρcosθ= 8,所以 x+y- 8= 0,即曲线 C2的直角坐标方程为x+y- 8= 0.(2)由 (1)知 ,椭圆 C1与直线 C2无公共点 ,椭圆上的点P(cosα,sinα)到直线 x+y- 8= 0 的距离d=,所以当 sin= 1 时 ,d 的最小值为 3 ,此时点 P 的坐标为。