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CH 19 利润最大化MC 、MR ，对产量Q 求导。
MP ，对要素量x 求导。
一、利润1、利润π=收益-成本。
利润函数：—— 生产出n 种产品，产品价格p ；使用m 种投入品，投入品价格ω。
2、成本，是经济成本，用“机会成本”衡量； 利润，是经济利润。
3、不变要素、可变要素不变要素：数量不受产量影响的要素；无论是否生产，都要使用——固定成本 可变要素：数量随产量而变化的要素；——可变成本 二、利润最大化PMP1、生产函数：y=f(x) = f(x 1，x 2) （投入量x ，产出量y ）(x 2：数量不变，投入品价格ω)2、短期利润最大化：max π= py-ωx = p f(x 1，2x ) –ω1x 1 –ω22x —— 等利润线 s.t y=f(x) = f(x 1，x 2) —— 生产函数 → 一阶导 π’︱ x 1=0∴ 利润最大化：边际产品价值=成本 p MP 1(x 1*，2x )=ω1—— 要素的边际产品价值 = 要素的价格。
—— x 1 *，要素1的最优数量。
——π*= p f(x 1*，2x ) –ω1x 1* –ω22x——短期，可变要素1的最优数量，与不变要素2的价格无关。
ω2↑，只会→π↓。
（1）代数推导：假设要素1增加⊿x 1 ，产出增加⊿y = MP 1⊿x 1 ，产出的价值=p MP 1⊿x 1 ，产出的成本=ω1⊿x 1 边际产品价值>成本，增加要素1，就增加利润； 边际产品价值<成本，增加要素1，就减少利润； 边际产品价值=成本，利润最大。
（2）几何推导：（3）比较静态分析利润最大化=产品的供给函数是产品价格的增函数；要素的需求函数是要素价格的减函数。
长期利润最大化：没有不变要素偏导都=0： p MP 1=ω1 ，p MP 2=ω2 要素的边际产品价值=要素价格。
四、利润最大化和规模报酬1、如果企业规模报酬不变，那么，长期利润=0。
∵ 最大利润是π= py –ω1x 1 –ω2 x 2如果企业长期利润≠0，那么，要素增加1倍，规模报酬不变→产出增加1倍，生产集1w 1w '*y y '生产集pp >'p*y y ''*1x 1x ''生产集*y *1x 21,x x Max 221121),(x w x w x x pf --∴π也增加1倍。
习题及参考解答（Ch1-2）原教科书上个别题目有误，此处已作修改，此外题号也有所变更，请注意。
第1章习题：1-1两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。
一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1。
假设可投入的劳动量总共为48， 1) 写出生产可能集Z 的代数表达式； 2) 写出生产（隐）函数； 3) 在(,)x y 平面上显示生产边界。
1-2试画出Leontief 生产函数121122(,)min{,}f x x x x b =的等产量线。
1-3 对Cobb-Douglas 生产函数1212(,)f x x A x x a b= (0,,0A a b >>)1) 证明1122,MP y MP y x a b ==； 2) 求技术替代率TRS 12；3) 当y 或21x 变化时，TRS 12如何随之变化？ 4) 画出等产量曲线。
1-4 对CES 生产函数11122()y A x x aa a d d =+, 121,0A d d +=>，1) 证明边际产出1[]i i i MP A y x a a d -=； 2) 求技术替代率TRS 12；3) 当y 或21x x 变化时，TRS 12如何随之变化？ 4) 证明技术替代弹性1)s a =-。
1-5 证明：CES 生产函数在1a =时变为线性函数，在0a ®时变为Cobb-Douglas 函数，在a ? 时变为Leontief 生产函数。
1-61) 试证明欧拉定理：对任何k 次（0k ³）齐次生产函数()f x ，总有()i i ifkf x x ¶=¶åx2) 用生产函数1212(,)f x x A x x a b= (0,,0A a b >>)验证欧拉定理。
1-7 下列生产函数的规模收益状况如何？1) 线性函数：1212(,),,0f x x ax bx a b =+>；2) Leontief 生产函数； 3) Cobb-Douglas 生产函数； 4) CES 生产函数。
蒋殿春《高级微观经济学》第2章 利润最大化跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．对于Cobb-Douglas 生产函数：12y Ax x αβ=，,0αβ>，1αβ+≤，0A >。
（1）验证：仅在参数条件1αβ+≤下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足；（2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y ）； （3）求利润函数；（4）验证利润函数是()12,,p w w 的一次齐次函数； （5）验证Hotelling 引理。
解：（1）Cobb-Douglas 生产函数为12y Ax x αβ=，利润最大化的二阶条件是生产函数的Hessian 矩阵是半负定的，即：()()21212212211y yx x x D f yy x x x αααβββαβ-⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪⎝⎭中，()2110y x αα-≤，()2210y x ββ-≤且矩阵的行列式非负，()()()22222222212121110y y D f x x x x αβαβαβαβαβ⎡⎤=---=--≥⎣⎦ 所以，1αβ+≤。
（2）利润最大化问题的一阶必要条件是： 11121py w pAx x x αβαα-==，12122py w pAx x x αβββ-==所以要素需求函数为()11,pyx p w w α=，()22,pyx p w w β=。
将要素需求函数代入生产函数121212py py p p y Ax x A Ay w w w w αβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得产品供给函数为()111112,p p y p w Aw w αβαβαβαβ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
利润函数公式
利润函数公式是计算利润收益的最主要的算法，在企业会计、财务管理的数据分析和研究中都非常重要。
利润函数公式可以帮助企业管理人员快速准确地确定公司的利润收益情况，指导企业的财务管理方向和经营策略。
本文将详细介绍利润函数的含义、结构和应用，以期为企业管理人员提供指导。
一、什么是利润函数公式
利润函数公式是一种由收入、成本、营业税等变量构成的公式，用来计算公司的利润收益情况，可以清楚表明公司利润收益的大小。
二、利润函数的结构
利润函数的确切结构是：
利润（P）＝收入（R）-成本（C）-营业税（T）
收入（R）＝销售收入（S）-销售费用（M）
成本（C）＝原材料费用（F）+财务费用（W）+职工薪酬（L）+租金费用（R）+其他费用（O）
三、利润函数的应用
1、利润函数公式可以帮助企业管理人员快速准确地确定公司的利润收益情况，为企业预测未来利润收益提供参考依据，并为财务决策提供参考意见。
2、利润函数公式可以用于计算公司的经营效益，从而帮助企业管理人员指导企业的经营策略，完善企业的经营流程，提高企业的经营效率。
3、利润函数公式还可以计算公司的投资回报率，帮助企业管理人员决定是否要进行投资。
四、结论
利润函数公式是企业会计、财务管理的重要算法，可以帮助企业管理人员快速准确地确定公司的利润收益情况，指导企业经营策略和财务决策，提高企业经营效率，实现企业利润最大化。
第二部分生产与成本¡第一章关于技术的描述¡第二章利润最大化¡第三章成本最小化¡第四章对偶性1第二章利润最大化¡2.1 利润最大化¡2.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数232.1 利润最大化¡利润最大化模型一、利润最大化的一阶条件¡FOC （之一）经济含义：每种要素的“边际收益”= 该要素的“边际成本”（即：要素的边际产品价值VMP xi = 要素价格wi ）xM ax x p f x wx π()()=−i i ni f x p w x 1,2()=∂=∂L L42.1 利润最大化一、利润最大化的一阶条件¡FOC （之二利用图形）: 等利润线的运用图示（在生产函数的坐标平面）x py x wx p w py x wx p w w y x x p pw p pππππππ已知：利润函数 （）（）其中为常数进一步令为常数，则有等利润线方程（）其中为常数整理得 等利润线的斜率＝（ ；纵截距＝,,,()())=−=−=+()().x d f x w d f x o rp w F O C d x p d x i e V M P w ==⇒=2.1 利润最大化二、利润最大化的二阶条件¡由图形直接得到启示：生产函数为凹函数。
562.1 利润最大化二、利润最大化的二阶条件¡SOC ：要求利润函数相应的为负定。
结论：由于假设生产函数是正则严格凹函数，所以利润最大化的SOC 得到满足。
[]H 111111121112111222122212221220pf pf pf f f p opf pf f f πππππ=<==>LL2.1 利润最大化三、方法的局限性7第二章利润最大化¡2.1 利润最大化¡2.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数892.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数¡引：利润最大化最优解的三种函数形式xpf x wx FOC SOC FOC x p w y f x p w y p w π（p ） 若和成立，则可从中求出最优解：最优要素投入素组合: 即要素需求函数将其代入生产函数得: 即产品供给函数代入目标函数得：(p,w)即利润函数max ()(,)((,))(,)−==102.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数一、要素需求函数x(p,w)的性质：比较静态分析1、考虑一种投入、一种产出的利润最大化模型¡模型及推导xpf x wx FOC pf x p w w SOC pf x p w x p w w pf x p w wf x x p w w pf x p w 若最优解存在，则可写为（1）可写为（1）式对求导,有：由于在一般情况下，，故有'''''''''max ():((,))0:((,))0(2)(,)((,))10()0(,)1((,))−−=<∂−=∂≠∂=∂112.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数¡经济含义x p w x f x p w wf x p w x p w w第一生产函数关于的二阶导数与成反方向变化。
第二章需求、供给和均衡价格1、假定在某市场上A 、B 两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者，A 厂商的需求曲线为PA=80-2QA ，B 厂商的需求曲线为为PB=100—QB,两厂商目前的销售量分别为 QA1=20， QB1=40， 求：(1）B 厂商的需求价格弹性系数（2）如果B 厂商降价后，B 厂商的需求量增加为QB2=60,同时使竞争对手A 厂商的销售量减少为 QA2=10，那么A 厂商对B 厂商的需求交叉价格弹性系数为多少？ 解答:（1）根据B 厂商的需求函数可知，当QB1=40时，PB1=60再根据需求的价格点弹性公式： 计算可得：eBd=—(-1）×1。
5=1.5 故当QB1=40时，该商品的需求价格弹性为1.5. (2）根据B 厂商的需求函数可知，当QB2=60时，PB2=40根据A 厂商的需求函数可知，当QA1=20时，PA1=40; QA2=10时,PA2=60 再根据需求的交叉价格弹性公式：计算可得： eABd=（-10×100)/(—20×30)=5/32、已知需求函数Qd=14-3P,供给函数Qs=2+6P ，求该商品的均衡价格,以及均衡时的需求价格弹性和供给价格弹性。
解答：由供求均衡Qs=Qd 得14-3P=2+6P P=4/3 Q=10 所以3、某商品的价格由24元上升到30元后，需求量相应减少10％，问该商品的需求弧弹性是多少?该商品价格变化对总收益有何影响？ 解答：ed 小于1，商品价格与总收益成正方向变动。
4、假定某消费者关于某种商品的消费数量Q 与收入M 之间的函数关系为M=100Q2,求：当收入M=6400时的需求的收入点弹性。
解答：由以知条件M=100 Q2，可得Q =于是有:112100Q Md d=0lim d P QPdQPe P Q dP Q∆→∆=-•=-•∆1212limA B B d P B A A Q P P e P Q Q ∆→∆+=•∆+3/430.410d dQ Pe dP Q =-•=⨯=3/460.810s dQ P e dP Q =•=⨯=212121210.9302490.9302419d Q Q p p Q Qe Q Q p p Q Q ----=-÷=-÷=++++进一步，可得:111100)21002Q m MM Q d e d=•=••=观察并分析以上计算过程即其结果,可以发现,当收入函数M=aQ2(其中a 〉0 为常数）时，则无论收入M 为多少，相应的需求的点弹性恒等于1/2。
