第二章 利润最大化与利润函数

CH 19 利润最大化MC 、MR ，对产量Q 求导。

MP ，对要素量x 求导。

一、利润1、利润π=收益-成本。

利润函数：—— 生产出n 种产品，产品价格p ；使用m 种投入品，投入品价格ω。

2、成本，是经济成本，用“机会成本”衡量； 利润，是经济利润。

3、不变要素、可变要素不变要素：数量不受产量影响的要素；无论是否生产，都要使用——固定成本 可变要素：数量随产量而变化的要素；——可变成本 二、利润最大化PMP1、生产函数：y=f(x) = f(x 1，x 2) （投入量x ，产出量y ）(x 2：数量不变，投入品价格ω)2、短期利润最大化：max π= py-ωx = p f(x 1，2x ) –ω1x 1 –ω22x —— 等利润线 s.t y=f(x) = f(x 1，x 2) —— 生产函数 → 一阶导 π’︱ x 1=0∴ 利润最大化：边际产品价值=成本 p MP 1(x 1*，2x )=ω1—— 要素的边际产品价值 = 要素的价格。

—— x 1 *，要素1的最优数量。

——π*= p f(x 1*，2x ) –ω1x 1* –ω22x——短期，可变要素1的最优数量，与不变要素2的价格无关。

ω2↑，只会→π↓。

（1）代数推导：假设要素1增加⊿x 1 ，产出增加⊿y = MP 1⊿x 1 ，产出的价值=p MP 1⊿x 1 ，产出的成本=ω1⊿x 1 边际产品价值>成本，增加要素1，就增加利润； 边际产品价值<成本，增加要素1，就减少利润； 边际产品价值=成本，利润最大。

（2）几何推导：（3）比较静态分析利润最大化=产品的供给函数是产品价格的增函数；要素的需求函数是要素价格的减函数。

长期利润最大化：没有不变要素偏导都=0： p MP 1=ω1 ，p MP 2=ω2 要素的边际产品价值=要素价格。

四、利润最大化和规模报酬1、如果企业规模报酬不变，那么，长期利润=0。

∵ 最大利润是π= py –ω1x 1 –ω2 x 2如果企业长期利润≠0，那么，要素增加1倍，规模报酬不变→产出增加1倍，生产集1w 1w '*y y '生产集pp >'p*y y ''*1x 1x ''生产集*y *1x 21,x x Max 221121),(x w x w x x pf --∴π也增加1倍。

习题及参考解答（Ch1-2）原教科书上个别题目有误，此处已作修改，此外题号也有所变更，请注意。

第1章习题：1-1两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。

一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1。

假设可投入的劳动量总共为48， 1) 写出生产可能集Z 的代数表达式； 2) 写出生产（隐）函数； 3) 在(,)x y 平面上显示生产边界。

1-2试画出Leontief 生产函数121122(,)min{,}f x x x x b =的等产量线。

1-3 对Cobb-Douglas 生产函数1212(,)f x x A x x a b= (0,,0A a b >>)1) 证明1122,MP y MP y x a b ==； 2) 求技术替代率TRS 12；3) 当y 或21x 变化时，TRS 12如何随之变化？ 4) 画出等产量曲线。

1-4 对CES 生产函数11122()y A x x aa a d d =+, 121,0A d d +=>，1) 证明边际产出1[]i i i MP A y x a a d -=； 2) 求技术替代率TRS 12；3) 当y 或21x x 变化时，TRS 12如何随之变化？ 4) 证明技术替代弹性1)s a =-。

1-5 证明：CES 生产函数在1a =时变为线性函数，在0a ®时变为Cobb-Douglas 函数，在a ? 时变为Leontief 生产函数。

1-61) 试证明欧拉定理：对任何k 次（0k ³）齐次生产函数()f x ，总有()i i ifkf x x ¶=¶åx2) 用生产函数1212(,)f x x A x x a b= (0,,0A a b >>)验证欧拉定理。

1-7 下列生产函数的规模收益状况如何？1) 线性函数：1212(,),,0f x x ax bx a b =+>；2) Leontief 生产函数； 3) Cobb-Douglas 生产函数； 4) CES 生产函数。

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1．对于Cobb-Douglas 生产函数：12y Ax x αβ=，,0αβ>，1αβ+≤，0A >。

（1）验证：仅在参数条件1αβ+≤下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足；（2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y ）； （3）求利润函数；（4）验证利润函数是()12,,p w w 的一次齐次函数； （5）验证Hotelling 引理。

解：（1）Cobb-Douglas 生产函数为12y Ax x αβ=，利润最大化的二阶条件是生产函数的Hessian 矩阵是半负定的，即：()()21212212211y yx x x D f yy x x x αααβββαβ-⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪⎝⎭中，()2110y x αα-≤，()2210y x ββ-≤且矩阵的行列式非负，()()()22222222212121110y y D f x x x x αβαβαβαβαβ⎡⎤=---=--≥⎣⎦ 所以，1αβ+≤。

（2）利润最大化问题的一阶必要条件是： 11121py w pAx x x αβαα-==，12122py w pAx x x αβββ-==所以要素需求函数为()11,pyx p w w α=，()22,pyx p w w β=。

将要素需求函数代入生产函数121212py py p p y Ax x A Ay w w w w αβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得产品供给函数为()111112,p p y p w Aw w αβαβαβαβ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

利润函数公式
利润函数公式是计算利润收益的最主要的算法，在企业会计、财务管理的数据分析和研究中都非常重要。

利润函数公式可以帮助企业管理人员快速准确地确定公司的利润收益情况，指导企业的财务管理方向和经营策略。

本文将详细介绍利润函数的含义、结构和应用，以期为企业管理人员提供指导。

一、什么是利润函数公式
利润函数公式是一种由收入、成本、营业税等变量构成的公式，用来计算公司的利润收益情况，可以清楚表明公司利润收益的大小。

二、利润函数的结构
利润函数的确切结构是：
利润（P）＝收入（R）-成本（C）-营业税（T）
收入（R）＝销售收入（S）-销售费用（M）
成本（C）＝原材料费用（F）+财务费用（W）+职工薪酬（L）+租金费用（R）+其他费用（O）
三、利润函数的应用
1、利润函数公式可以帮助企业管理人员快速准确地确定公司的利润收益情况，为企业预测未来利润收益提供参考依据，并为财务决策提供参考意见。

2、利润函数公式可以用于计算公司的经营效益，从而帮助企业管理人员指导企业的经营策略，完善企业的经营流程，提高企业的经营效率。

3、利润函数公式还可以计算公司的投资回报率，帮助企业管理人员决定是否要进行投资。

四、结论
利润函数公式是企业会计、财务管理的重要算法，可以帮助企业管理人员快速准确地确定公司的利润收益情况，指导企业经营策略和财务决策，提高企业经营效率，实现企业利润最大化。

第二部分生产与成本¡第一章关于技术的描述¡第二章利润最大化¡第三章成本最小化¡第四章对偶性1第二章利润最大化¡2.1 利润最大化¡2.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数232.1 利润最大化¡利润最大化模型一、利润最大化的一阶条件¡FOC （之一）经济含义：每种要素的“边际收益”= 该要素的“边际成本”（即：要素的边际产品价值VMP xi = 要素价格wi ）xM ax x p f x wx π()()=−i i ni f x p w x 1,2()=∂=∂L L42.1 利润最大化一、利润最大化的一阶条件¡FOC （之二利用图形）: 等利润线的运用图示（在生产函数的坐标平面）x py x wx p w py x wx p w w y x x p pw p pππππππ已知：利润函数 （）（）其中为常数进一步令为常数，则有等利润线方程（）其中为常数整理得 等利润线的斜率＝（ ；纵截距＝,,,()())=−=−=+()().x d f x w d f x o rp w F O C d x p d x i e V M P w ==⇒=2.1 利润最大化二、利润最大化的二阶条件¡由图形直接得到启示：生产函数为凹函数。

562.1 利润最大化二、利润最大化的二阶条件¡SOC ：要求利润函数相应的为负定。

结论：由于假设生产函数是正则严格凹函数，所以利润最大化的SOC 得到满足。

[]H 111111121112111222122212221220pf pf pf f f p opf pf f f πππππ=<==>LL2.1 利润最大化三、方法的局限性7第二章利润最大化¡2.1 利润最大化¡2.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数892.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数¡引：利润最大化最优解的三种函数形式xpf x wx FOC SOC FOC x p w y f x p w y p w π（p ） 若和成立，则可从中求出最优解：最优要素投入素组合: 即要素需求函数将其代入生产函数得: 即产品供给函数代入目标函数得：(p,w)即利润函数max ()(,)((,))(,)−==102.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数一、要素需求函数x(p,w)的性质：比较静态分析1、考虑一种投入、一种产出的利润最大化模型¡模型及推导xpf x wx FOC pf x p w w SOC pf x p w x p w w pf x p w wf x x p w w pf x p w 若最优解存在，则可写为（1）可写为（1）式对求导,有：由于在一般情况下，，故有'''''''''max ():((,))0:((,))0(2)(,)((,))10()0(,)1((,))−−=<∂−=∂≠∂=∂112.2 要素需求函数、产品供给函数和利润函数¡经济含义x p w x f x p w wf x p w x p w w第一生产函数关于的二阶导数与成反方向变化。

第二章需求、供给和均衡价格1、假定在某市场上A 、B 两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者，A 厂商的需求曲线为PA=80-2QA ，B 厂商的需求曲线为为PB=100—QB,两厂商目前的销售量分别为 QA1=20， QB1=40， 求：(1）B 厂商的需求价格弹性系数（2）如果B 厂商降价后，B 厂商的需求量增加为QB2=60,同时使竞争对手A 厂商的销售量减少为 QA2=10，那么A 厂商对B 厂商的需求交叉价格弹性系数为多少？ 解答:（1）根据B 厂商的需求函数可知，当QB1=40时，PB1=60再根据需求的价格点弹性公式： 计算可得：eBd=—(-1）×1。

5=1.5 故当QB1=40时，该商品的需求价格弹性为1.5. (2）根据B 厂商的需求函数可知，当QB2=60时，PB2=40根据A 厂商的需求函数可知，当QA1=20时，PA1=40; QA2=10时,PA2=60 再根据需求的交叉价格弹性公式：计算可得： eABd=（-10×100)/(—20×30)=5/32、已知需求函数Qd=14-3P,供给函数Qs=2+6P ，求该商品的均衡价格,以及均衡时的需求价格弹性和供给价格弹性。

解答：由供求均衡Qs=Qd 得14-3P=2+6P P=4/3 Q=10 所以3、某商品的价格由24元上升到30元后，需求量相应减少10％，问该商品的需求弧弹性是多少?该商品价格变化对总收益有何影响？ 解答：ed 小于1，商品价格与总收益成正方向变动。

4、假定某消费者关于某种商品的消费数量Q 与收入M 之间的函数关系为M=100Q2,求：当收入M=6400时的需求的收入点弹性。

解答：由以知条件M=100 Q2，可得Q =于是有:112100Q Md d=0lim d P QPdQPe P Q dP Q∆→∆=-•=-•∆1212limA B B d P B A A Q P P e P Q Q ∆→∆+=•∆+3/430.410d dQ Pe dP Q =-•=⨯=3/460.810s dQ P e dP Q =•=⨯=212121210.9302490.9302419d Q Q p p Q Qe Q Q p p Q Q ----=-÷=-÷=++++进一步，可得:111100)21002Q m MM Q d e d=•=••=观察并分析以上计算过程即其结果,可以发现,当收入函数M=aQ2(其中a 〉0 为常数）时，则无论收入M 为多少，相应的需求的点弹性恒等于1/2。

课题：26.3实际问题(利润最大化)与二次函数(利润最大化)教学目标：1、知识与技能：继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关利润等函数最值问题.3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值. 教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题. 难点：将现实问题数学化. 教学过程： 一.知识回顾二. 例题讲解思考：综合以上两问题，在定价为多少时，才能使利润最大？ 牛刀小试:(1)若记销售单价为x 元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y 元，求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围；(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？三、知识整理，形成系统1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？3、学到了哪些思考问题的方法？ 随堂清1、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?问题1:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.经市场调查反映:如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件.已知商品的进价为每件40元.要想每星期获得6090元的利润,应如何定价?如何定价才能使利润最大?问题2:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.经市场调查反映:如果调整价格,每降价1元,每星期可多卖出10件.已知商品的进价为每件40元.如何定价才能使利润最大?要想每星期获得6090元的利润,应如何定价?③当一个旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?②若旅行团有32人,旅行社营业额又如何?①若旅行团人数为25人,旅行社的营业额如何? 某旅行社组团去雁荡山旅游,每人单价600元,旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加1人,每人的单价就降低10元.1.求出下列函数的最大(或最小)值.①　y=2x 2-4x-5　② y=-x2+3x2.某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少?2、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?3、国务院出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?4、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？5、随着近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

微观经济学工管四班；符艺名词解释：一、第一章.稀缺：指经济资源的稀缺性，是经济学研究的前提。

相对于人类无穷无尽的欲望而言，资源总是稀缺的，这就产生了研究如何合理地配置和利用稀缺资源用于诸多用途以满足人类需要的经济学。

.自由物品：指人类无需通过努力就能自由取用的物品，如阳光、空气等，其数量是无限的。

.经济物品：指人类必须付出代价方可得到的物品，即必须借助生产资源通过人类加工出来的物品，其数量是有限的。

.机会成本：当把一定经济资源用于生产某种产品时所放弃的另一种产品上最大的收益就是这种产品市场上的机会成本。

.生产可能性边界：表明在既定的经济资源和生产技术条件下所能达到的各种产品最大产量组合的轨迹，又称为生产可能性曲线，表示社会生产在现有条件下的最佳状态。

.自给经济：即自给自足的自然经济。

其特征是每个家庭或每个村落（经济体）生产他们消费的大部分物品，只有极少数消费品与外界交换。

在这种体制下，资源配置和利用由居民直接消费决定，经济效率低下。

.计划经济：即国家指令性经济或命令经济。

其特征是生产资料归政府所有，经济管理像一个大公司。

在这种体制下，用计划来解决资源配置和利用问题。

.市场经济：即用市场配置资源的经济形式。

其特征是产权明晰，经济决策高度分散。

这种经济为“一只看不见的手”所指引，资源配置和利用由自由竞争的市场中的价格机制来解决。

.混合经济：即市场经济与政府干预经济相结合的经济形式。

其特征是生产资料的私人所有和国家所有相结合，自由竞争与国家干预相结合，也是垄断与竞争相混合的制度。

在这种制度下，凭借市场制度来解决资源配制问题，依靠国家干预来解决资源利用问题，被认为是最好的制度，能够使效率和公平得到较好的协调。

.微观经济学：以单个经济单位（居民户、厂商以与单个产品市场）为考察对象，研究单个经济单位的经济行为，以与相应的经济变量的单项数值如何决定。

主要内容包括价格理论、消费者行为理论、生产理论、成本理论、场上均衡理论、收入分配理论、福利经济学和一般均衡理论等。