上海市崇明区横沙中学高一数学学案：3-2-1函数关系的建立 精品

第三章：函数的基本性质第二节：函数关系的建立【知识讲解】A.掌握建立函数关系的步骤1、分析题意.找出自变量和因变量。

2、列出相关的等量关系.3、等式变形得出因变量关于自变量的函 数解析式.4、根据问题的实际意义给出函数的定义域.B.在实际问题建立一系列函数关系。

包括分段函数的建立。

建立函数关系常用方法：（1）代入法；（2）构造法；（3）待定系数法；（4）换元法；（5）函数方程法． 例题分析例1.要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖的长方体储水池，已知池底的造价为每平方米1500元，池壁的造价为每平方米1000元。

试将该储水池的总造价y 表示成池底一边长x 的函数。

例2.某服装厂生产一种服装，每件成本为40元，出厂价为60元，该厂鼓励销售商订购，决定当一次定量超过100件时，每多定一件，订购的全部服装的出厂价就降低0.02元。

根据市场调查，销售商一次订购不会超过600件。

（1）设一次定量为x 件，服装实际出厂价为p 元，写出)(x f p 的表达式；（2）当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大？最大利润是多少？例3.如下图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y =f （x ）.（1）求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值.【课堂练习】1、正三角形的边长为x ，周长为C ，面积为S ，那么周长C 关于边长x 的函数关系是 ，面积S 关于边长x 的函数关系是 。

2、有一块边长为10厘米的正方形铁皮，在它的四个角上各截取一块边长为x cm 的小正方形铁皮，剩余部分围成一个无盖的长方形盒子，将盒子的体积记作y 3cm ，那么y 关于x 的函数关系是 。

3、某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系是3000201.02++-=x x y ，若每台售价为25万元，则生产者不亏本时（即销售收入不小于总成本）的最低产量为 台。

3.2.2函数关系的建立
本节知识点：
根据实际问题背景，学会用分段函数建立数学模型
例1.新世纪花园要建造一个直径为16米的圆形喷水池，计划在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，要求喷出的水柱在离池中心3米的地方达到最高，高度为4米，还要在池中心的上方设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，问这个装饰物的高度应如何设计.
例2:小明、小强和小红的爸爸每月工资分别为1500元、2500元和3500元，问他们每月应交纳多少个人所得税。

如果把纳税额y表示成个人月收入x的函数，应是一个分段函数，请写出当x∈时的分段函数解析式。

练习
1. 1、根据图中的函数图像，写出y 关于x 的函数解析式。

2、汽车从甲地驶出5千米后开始计时，汽车以每小时40千米的速度行驶了40分钟，用解析式将该40分钟时间内汽车与甲地的距离S （千米）表示成时间t （小时）的函数
作业
1、建造一个容积为38000m ，深为m 6的长方体的游泳池（无盖），池璧造价为a 元2
/m ,池底造价为2a 元2
/m ,把总造价y 元表示成底的一边长x （m ）的函数.
2、一般来说，产品上市一定时间以后就会被淘汰而不再生产，设x表示时间，单位为月；y表示月产量，单位为千件。

某新产品上市时已生产了1万件，第1个月生产1万2千件，后4个月以每月2千件的速度增加，第6个月开始连续保持5个月生产2万件的势头；10个月后，由于市场需求的减少，开始每个月减产2千件，直至完全不生产为止。

试用解析式写出y关于x的函数。

函数关系的建立—探究与实践
课题三 出租车计价问题
上海出租车最新收费标准：在5：00—23:00起步价 14元（含燃油附加费1元），可行3公里，3公里以 后按每公里2.4元计价，可再行7公里，以后每公里 都按3.6元计价.
问题1:根据上述信息，你能否建立车费y与行车里程数x之间 的函数关系式（忽略因交通拥挤而等待的时间）？
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就在 前方。 不要过分仓促地相信和钦佩德育教员：他们说话像天使，生活却像凡人。——约翰逊 自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 每天都将自己最好的一面展示给别人。——杨丽娜 游手好闲会使人心智生锈。 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思
数学建模的一般方法：
课后作业：
课题二：邮件与邮费问题
人生里面总是有所缺少，你得到什么，也就失去什么，重要的是你应该知道自己到底要什么。追两只兔子的人，难免会一无所获。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。 内心充满忌妒，心中不坦白，言语不正的人，不能算是一位五官端正的人。 你生命的前半辈子或许属于别人，活在别人的认为里。那把后半辈子还给你自己，去追随你内在的声音。 友谊也像花朵，好好地培养，可以开得心花怒放，可是一旦任性或者不幸从根本上破坏了友谊，这朵心上盛开的花，可以立刻萎颓凋谢。—— 大仲马 你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。
“翻牌策略”（也可以换乘车辆，
y
2.4x 6.8
(3
x பைடு நூலகம்0)
但不考虑等待另一辆车的时间）在
打车中途，让司机翻牌，重新计价。
3.6x 5.2 (x 10)

数 学 教 案天山中学 马谦课题：函数关系的建立（第一课时）一．教学目标过程与方法：通过对实际问题的分析与解决，领会分析变量和建立函数关系的思考方法，体验函数模型建立的一般过程．知识与能力：能够在解决简单的实际问题时建立两个变量间的函数关系式，并学会如何确定函数的定义域．初步形成把实际问题转化成数学问题的建模能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，加深对事物运动变化和相互联系的认识，初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物．二【教学重点】 建立实际问题中两个变量间的函数关系．三【教学难点】 把实际问题转化成数学问题，建立函数关系并确定它的定义域．四、教学流程设计五、教学过程设计（一）、提出问题 引入新课1．问题1.用一根长为l 的铁丝,制成如图所示的框架,问如何设计,使得框架的面积S 最大.2.分析:分析:设矩形框架的宽为x ,那么长为24x l - 面积=长⨯宽, 所以,24x l x S -⋅= ∴ x l x S 222--=, 又,024>-x l 且0>x , ∴40l x <<∴x l x S 222--= (40l x <<) 我们今天就先学习如何建立函数关系.3.小结建立函数关系解题的步骤:(1)仔细审题,设出适当的自变量 (2)找出等量关系,列出函数关系式(3)根据问题的要求,作适当的变形 (4)根据实际要求,写出函数定义域[说明]理解函数的概念,目的是进一步通过建立函数关系解决实际问题,从一个简单的实际问题1的提出,能引起学生的思考,学生能体会到要用数学方法解决这个实际问题时,首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来.说明建立函数关系的重要性,对于函数的最值问题在以后的函数性质中再解决.（二）、尝试方法 体验过程 问题2 如图，有一个圆柱形的无盖纸杯，它的表面积是100cm 2（杯子的厚度忽略不计），设底面的半径为x (cm )（1）写出杯子的高度h (cm )关于x (cm )的函数关系式；（2）写出杯子的容积V (cm 3)关于x (cm )的函数关系式。