专题03 导数与应用

专题03 导数及其应用

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．e1ab， B．a=e，b=1

C．1e1ab， D．1ea，1b

【答案】D

【解析】∵eln1,xyax

∴切线的斜率1|e12xkya，1ea，

将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.

故选D．

【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.

2．【2019年高考天津理数】已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式()0fx在R上恒成立，则a的取值范围为

A．0,1 B．0,2

C．0,e D．1,e

【答案】C

【解析】当1x时，(1)12210faa恒成立；

当1x时，22()22021xfxxaxaax恒成立，

令2()1xgxx，

则222(11)(1)2(1)1()111xxxxgxxxx

11122(1)2011xxxx， 当111xx，即0x时取等号，

∴max2()0agx，则0a.

当1x时，()ln0fxxax，即lnxax恒成立，

令()lnxhxx，则2ln1()(ln)xhxx，

当ex时，()0hx，函数()hx单调递增，

当0ex时，()0hx，函数()hx单调递减，

则ex时，()hx取得最小值(e)eh，

∴min()eahx，

综上可知，a的取值范围是[0,e].

故选C.

【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.

姓名

班级

1

专题三

利用导数研究函数(一)

[A级 基础强化训练1]

1．若f(x)＝xcos x，则函数f(x)的导函数f′(x)等于(

)

A．1－sin x

B．x－sin

x

C．sin x＋xcos x

D．cos x－xsin x

2．(2019·山东济宁检测)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( ) A．1 B．2

C．3

D．4

3．曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于(

)

A．2e

B．e

C．2 D．1

4. (2019·陕西西安月考)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为( )

A．4 B．3 C．2 D．1

5．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )

A．e B．－e C．1e D．－1e

6．(2019·山东泰安模拟)若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

7．(2019·山东德州联考)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是( )

A．e B．2e C．1 D．2

8．曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为________________.

9．(2019·山东邹城月考)曲线y＝－2sin x在x＝π3处的切线的倾斜角大小为________.

10．(2019·山东淄博月考)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

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专题03 导数及其应用

【2020年】

1.（2020·新课标Ⅰ）函数43()2fxxx的图像在点(1(1))f，

处的切线方程为（ ）

A. 21yx

B. 21yx

C. 23yx

D. 21yx

2.（2020·新课标Ⅲ）若直线l与曲线y

=x和x2+y2=1

5都相切，则l的方程为（ ）

A. y=2x+1 B. y=2x+1

2 C. y=1

2x+1 D. y=1

2x+1

2

【2019年】

1．（2019·全国Ⅲ卷】已知曲线elnx

yaxx

在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．e1ab， B．a=e，b=1

C．1e1ab， D．1ea，1b

2．（2019·天津卷）已知aR

，设函数2

22,1,

()

ln,1.xaxax

fx

xaxx







若关于x

的不等式()0fx在R

上恒成立，则a

的取值范围为

A．

0,1

B．

0,2

C．

0,e

D．

1,e

3．（2019浙江卷）已知,abR

，函数

32,0

()

11

(1),0

32xx

fx

xaxaxx











．若函数()yfxaxb

恰

有3个零点，则

A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0

C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0

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4．（2019·全国Ⅰ卷）曲线2

3()ex

yxx

在点(0)0，处的切线方程为____________．

5．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)y

xx

x上的一个动点，则点P到直线

0xy的距离的最小值是 ▲ .

6．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，

-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ .

7．（2019·北京卷）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，

1 【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题03 导数与应用 文

一．基础题

1.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】

函数321()2323fxxxx在区间[0,2]上最大值为

【答案】23

【解析】2()4301,3fxxxxx，24(0)2,(1),(2)33fff

2.【广州市2013届高三年级1月调研测试】若直线2yxm是曲线lnyxx的切线，则实数m的值为 .

3.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数y=f（x）的导数为f′（x）且，则= ．

二．能力题

2 1.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设曲线y=x3在点P（1，1）处的切线斜率为k，则k=f′（1）=3

因为直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直

所以

2.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ）

A． （﹣∞，2] B． （﹣∞，2） C． [0，+∞） D． （2，+∞）

3.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知二次函数()fx=2axbxc的导数为()fx，(0)f＞0，对任意实数x都有()fx≥0，则(1)(0)ff的最小值为

A.4 B.3 C.8 D.2

【答案】D

【解析】∵()fx=2axb，∴(0)f=b＞0，

∵对任意实数x都有()fx≥0，∴2040abac，即24acb，∴c＞0，