北京市西城区高三数学一模理科试题及答案

西城区高三统一测试

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．若集合{|320}AxxR，2{|230}BxxxR，则AB

（A）{|1}xxR （B）2{|1}3xxR

（C）2{|3}3xxR （D）{|3}xxR

2．执行如图所示的程序框图，输出的k值为

（A）2

（B）3

（C）4

（D）5 3．已知圆的方程为2220xyy．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为

（A）2sin （B）2sin

（C）2cos （D）2cos

4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是

（A）33 （B）932

（C）63 （D）623

5．已知O是正方形ABCD的中心．若DOABAC，其中，R，则

（A）12 （B）2 （C）2 （D）2

6．设函数2()fxxbxc．则“()fx有两个不同的零点”是“0xR，使0()0fx”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

7．函数2241,0,()23,0.xxxxfxx≤ 则()yfx的图象上关于原点O对称的点共有

（A）0对 （B）1对

（C）2对 （D）3对

8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有

三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为a，b，c，其中abc．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是

（A）UVW （B）VWU （C）WUV （D）UWV

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．若复数(i)(34i)a的实部与虚部相等，则实数a____．

10．设等差数列{}na的前n项和为nS．若12a，420S，则3a____；nS____．

11．已知抛物线28yx的焦点与双曲线2221(0)xyaa的一个焦点重合，则a____；

双曲线的渐近线方程是____．

12．设0，若函数2cosyx的最小正周期为π2，则____．

13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参

加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）

14．如图，在长方体1111ABCDABCD中，12AAAB，1BC，

点P在侧面11AABB上．若点P到直线1AA和CD的距离相等，

则1AP的最小值是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，已知3sinsin2aCcA． （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若7a，23b，求△ABC的面积．

16．（本小题满分13分）

某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：

岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例

A 269 167 62% 40 24 60%

B 40 12 30% 202 62 31%

C 177 57 32% 184 59 32%

D 44 26 59% 38 22 58% E 3 2 67% 3 2 67%

总计 533 264 50% 467 169 36%

（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；

（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）

17．（本小题满分14分）

如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，25ABAC，4BC．将△ADE沿DE折起到△1ADE的位置，使得平面1ADE平面BCED，如图2．

（Ⅰ）求证：1AOBD； （Ⅱ）求直线1AC和平面1ABD所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段1AC上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为53？若存在，求出11AFAC的值；若不存在，说明理由．

图1 图2

18．（本小题满分13分）

已知函数1()e(ln)xfxaxx，其中aR．

（Ⅰ）若曲线()yfx在1x处的切线与直线exy垂直，求a的值；

（Ⅱ）当(0,ln2)a时，证明：()fx存在极小值．

19．（本小题满分14分）

已知圆22:4Oxy和椭圆22:24Cxy，F是椭圆C的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；

（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交圆O于点Q（,PQ不重合），l是过点Q的圆O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为||PF．试判断直线l与圆F的位置关系，并证明你的结论．

20．（本小题满分13分）

数列nA：12,,,(2)naaan≥满足：1(1,2,,)kakn．记nA的前k项和为kS，并规定00S．定义集合*{nEkN，|kn≤kjSS，0,1,,1}jk．

（Ⅰ）对数列5A：0.3，0.7，0.1，0.9，0.1，求集合5E；

（Ⅱ）若集合12{,,,}(1nmEkkkm，12)mkkk，证明：11(1,2,,1)iikkSSim；

（Ⅲ）给定正整数C．对所有满足nSC的数列nA，求集合nE的元素个数的最小值．

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数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．C 3．B 4．D

5．B 6．C 7．C 8．A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．7 10．6，2nn 11．3，30xy

12．2 13．30

14．3

注：第10，11题第一空3分，第二空2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 3sinsin2aCcA，

所以

3sin2sincosaCAAc． [ 1分]

在△ABC中，由正弦定理得

sin3sin2sincossinACAAC． [ 3分]

所以

3cos2A． [ 4分]

因为 0πA，

[ 5分]

所以

π6A． [ 6分]

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得 2222cosabcbcA，

所以 2223(7)(23)2(23)2cc，

[ 8分] 整理得 2650cc，

[ 9分]

解得 1c，或5c，均适合题意． [11分]

当1c时，△ABC的面积为13sin22SbcA． [12分]

当5c时，△ABC的面积为153sin22SbcA． [13分]

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 5334671000，

被该企业录用的人数为 264169433，

所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P．[ 3分]

（Ⅱ）X可能的取值为0,1,2． [ 4分]

因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，

[ 5分] 所以 2226C1(0)C15PX； 112426CC8(1)C15PX；

2426C2(2)C5PX．

[ 8分]

所以 X 的分布列为：

X

0

1 2

P 115 815 25

1824()012151553EX．

[10分]

（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E．

[13分]

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为 在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，

所以 //DEBC，ADAE．

所以 11ADAE，又O为DE的中点， 所以

1AODE． [ 1分]

因为 平面1ADE平面BCED，且1AO平面1ADE，

所以 1AO平面BCED，

[ 3分]

所以

1AOBD． [ 4分]

（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，所以 OEOG．

由（Ⅰ）得 1AOOE，1AOOG．