北师大版数学八年级上册 三角形解答题易错题(Word版 含答案)

北师大版数学八年级上册 三角形解答题易错题（Word版 含答案）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

②设AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）

③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.

【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y； ③∠A=12（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=12（∠2-∠1），见详解

【解析】

【分析】

（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；

②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；

③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-12∠1，y=90-12∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=12（∠1+∠2）；

（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．

【详解】

（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，

其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；

②）∵∠AED=x，∠ADE=y，

∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，

∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；

③∠A=12（∠1+∠2）；

∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，

∴x=90-12∠1，y=90-12∠2，

∴∠A=180°-x-y=190-（90-12∠1）-（90-12∠2）=12（∠1+∠2）．

（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，

∴∠A′=∠A，

又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，

∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，

即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，

整理得，2∠A=∠2-∠1．

∴∠A=12（∠2-∠1）．

【点睛】

此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

2．如图①所示，在三角形纸片ABC中，70C，65B，将纸片的一角折叠，使点A落在ABC内的点A处.

（1）若140，2________.

（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想1，2，A之间的数量关系，直接写出结论.

②当点A落在四边形BCDE外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，A，1，2之间又存在什么关系？请说明．

（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456和是________.

【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，已知70C，65B，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；

（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由两个平角∠AEB和∠ADC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；

②利用两次外角定理得出结论；

（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．

【详解】

解：（1）∵70C，65B，

∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，

∴∠A′ED+∠A′DE =180°-∠A′=135°，

∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）=360°-310°=50°；

（2）①122A,理由如下

由折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，

∵∠AEB+∠ADC=360°，

∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，

∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；

②221A，理由如下：

∵2是ADF的一个外角

∴2AAFD.

∵AFD是AEF△的一个外角

∴1AFDA

又∵AA

∴221A

（3）如图

由题意知，

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）

又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，

∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．

【点睛】

题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内

角和为180°；四边形内角和等于360度．

3．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.

（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；

（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： .

【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．

【解析】

试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；

（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；

（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；

（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．

试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，

∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，

∵∠C＝90°，∠α＝50°，

∴∠1＋∠2＝140°，

故答案为140；

（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，

∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.

故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.

（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，

设DP与BE的交点为M，

∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，

∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.

（4）如图④，

设PE与AC的交点为F，

∵∠PFD＝∠EFC，

∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，

∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，

∴∠2＝90°＋∠1－∠α.

故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α

点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.

4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．

（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；

（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；

（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．

【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；

（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；

（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.

【详解】

（1）如图1,延长AD交BC于E，

在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，

在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；

（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：

如图2，

∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3

∴∠A+∠1=∠P+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴ ∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠A+∠2=∠P+∠4

由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C

∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C

∴∠A－∠C=2∠P

（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:

如图3,

同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2

∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴ ∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠1+∠4=∠2+∠3

∴∠A+∠C=2∠P

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．

5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ（其中∠X=90°）放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过B，C两点，且直角顶点X在△ABC内部．

①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；

②试判断∠A与∠XBA+∠XCA之间存在怎样数量关系？并写出证明过程．

（2）如图2，如果直角顶点X在△ABC外部，试判断∠A、∠XBA、∠XCA之间又存在怎样的数量关系？（只写出答案，无需证明）．

【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°，证明见解析；（2）∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°

【解析】

试题分析：（1）①根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠XBC+∠XCB=180°﹣∠XBC=90°，进而可求出∠ABX+∠ACX的度数；

②根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，则可得出结论．

（2）由②的解题思路可得：∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°．