最小二乘法matlab实验报告

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最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现

最小二乘法的基本原理和多项式拟合 matlab 实现 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一、 最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数 p(x) 同所给数据点(xi, yi) (i=0, 1, , m) 误差 ri p(xi) yi(i=0, 1, , m) 的大小， 常用的方法有以下三种：

一是误差 riri p(xi) yi(i=0, 1, , m) 绝对值的最大值

max0 i m， 即误差 向量 r (r0, r1, rm) T 的范数； 二是误差绝对值的和 i 0mri， 即误差向量 r 的 1范数； 三是误差平方和 i 0 rm2i 的算术平方根， 即误差向量 r 的 2范数； 前两种方法简单、 自然， 但不便于微分运算 ， 后一种方法相当于考虑 2范数的平方， 因此在曲线拟合中常采用误差平方和 i 0 体大小。

rm2i 来 度量误差 ri(i=0， 1， ， m) 的整 数据拟合的具体作法是：

对给定数据 (xi, yi) (i=0, 1, ， m) ， 在取定的函数类 中,求 p(x) , 使误差 ri p(xi) yi(i=0, 1, , m)的平方和最小， 即 i 0 rm2i i 0 p(x) y iim2 min 从几何意义上讲， 就是寻求与给定点(xi, yi) (i=0, 1, , m) 的距离平方和为最小的曲线 y p(x) （图 6-1） 。

曲线拟合（curve-fitting）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(miyxii求一个近似的函数)(x来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x最好地逼近xf，而不必满足插值原则。因此没必要取)(ix=iy，只要使iiiyx)(尽可能地小）。

原理：

给定数据点},...2,1,0),,{(miyxii。求近似曲线)(x。并且使得近似曲线与xf的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差iiiyx)(，i=1,2,...,m。

常见的曲线拟合方法:

1.使偏差绝对值之和最小

2.使偏差绝对值最大的最小

3.使偏差平方和最小

最小二乘法：

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

1. 设拟合多项式为：

2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

3. 问题转化为求待定系数0a...ka对等式右边求ia偏导数，因而我们得到了：

.......

4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

6. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

MATLAB实现：

MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。

调用格式：p=polyfit(x,y,n)

[p,s]= polyfit(x,y,n)

[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)

x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。

新乡学院

数学与信息科学系实验报告

实验名称 插值与拟合Ⅱ

所属课程 数学软件与实验

实验类型 综合型实验

专 业 信息与计算科学

班 级 2011级1班

学 号

姓 名 李欢丽

指导教师 朱耀生老师

1 一、实验概述

【实验目的】

学会用MATLAB作线性和非线性最小二乘法拟合.

【实验原理】

1.用polyfit作线性最小二乘法拟合:a=polyfit(x,y,m),a表示输出的拟合多现实的系数[a1,a2,…an]（数组）,x,y指输出同长度的数组 x,y,m指拟合多项式的次数。

2,用lsqcorvefit作非线性最小二乘法拟合x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdatd,ydata)fun是一个事先建立的定义函数f(x,xdata)的M文件，自变量是x,xdata.x0迭代初值。Xdata,ydata已知数据点。

【实验环境】

MatlabR2010b

二、实验内容

1． 问题一

某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？

表1

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yi 2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204

1.分析问题

用polyfit作线性最小二乘法拟合

2.问题求解

x1=1:10;

y=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204];

A=polyfit(x1,y,2);

matlab最小二乘法曲线拟合

最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合曲线之间的平方误差来确定最佳拟合曲线的参数。

给定一组实际观测数据点(xi, yi)，我们希望找到一个拟合曲线y=f(x;θ)，其中θ表示曲线的参数。最小二乘法的目标是使误差的平方和最小化，即使得下述损失函数最小化：

L(θ) = ∑(yi - f(xi;θ))^2

其中，∑表示求和运算，L(θ)是损失函数，yi是第i个观测数据点的输出值，f(xi;θ)是根据参数θ计算得到的拟合曲线在第i个观测点的预测值。

为了找到最佳的参数θ，我们通过最小化损失函数来求解优化问题：

minimize L(θ)

这个问题可以通过求解等式 ∂L/∂θ = 0 来得到最优参数θ的闭式解。具体的求解方法，可以通过矩阵和向量的运算来实现。

在Matlab中，可以使用“polyfit”函数进行最小二乘法的曲线拟合。该函数可以拟合出一条多项式曲线，通过指定最佳拟合的次数，即多项式的阶数。拟合结果包括最佳参数和拟合误差等信息。

使用方法如下：

```

% 输入观测数据

x = [x1, x2, x3, ...]';

y = [y1, y2, y3, ...]';

% 拟合曲线

order = 1; % 最佳拟合的次数（如一次线性拟合）

p = polyfit(x, y, order);

% 最佳参数

coefficients = p;

% 拟合曲线

curve = polyval(p, x);

% 绘制拟合曲线和观测数据

plot(x, y, 'o', x, curve)

```

这样，就可以使用Matlab的最小二乘法曲线拟合方法来得到最佳的拟合曲线。