2020年九年级数学中考专题：图形折叠的问题

2020年九年级数学中考专题：图形折叠的问题

专题 图形的折叠问题

⼀．选择题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，使得点B 落在点B ′处，则点B ′到线段BC 的距离为( )．

A.

2572 B.1336 C. 4 D.43

57 2. 如图，将矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，BE ，若△ABE 为等边三⾓形，且S △CDE ＝3，则CD 的长为（ ）．

A.√3

B. 2√3

C. 3

D. 2

3. 如图，将矩形纸⽚ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在对⾓线AC 上的点F 处，再沿EG 折叠，使点C 落在矩形内的点H 处，且E、F 、H 在同⼀直线上，若AB ＝6，BC ＝8，则CG 的长是( )．

A. 3

B.2

C. 2.5

D.4.5

4. 如图，在菱形ABCD 中，BD ＝211，AC ＝10，点P 在对⾓线AC 上，过点P 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A ′处，A ′C ＝A ′D ，则AP 的长为( )．

A.

25 B.21 C. 3 D.4

3 ⼆．填空题5. 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是BC 上⼀点，连接AE ，将△DEC 沿DE 所在的直线对折，使得点C 落在AE 上的点F处，连接BF ，若EF ＝13AE ，AB ＝1，则AF ＝________．

6. 如图，边长为4的菱形纸⽚ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸⽚ABCD ，使点C 落在DP (P 为AB 的中点)所在直线上的C ′处，得到经过点D 的折痕DE ，则CE ＝________．

7. 如图，将?ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A ＝60°，AD ＝4，AB ＝8，则AE 的长为________．

8. 将矩形ABCD 按如图所⽰的⽅式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，且顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同⼀条直线上，同时点E ，F ，O 在另⼀条直线上，若AB ＝2，则AD 的长为 .

9.如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上的点，将△ADE沿直线DE翻折，使得点A与BC边上的点G重合，连接AG交DE于点F，若AD＝6，EF＝1，则AB的长为.

10.如图，正⽅形ABCD，E为BC边的中点，连接AE，点P是边CD上⼀点，沿AP折叠使D点落在AE上的H处，延长PH交BC于F点，若EF＝1，则AB的长为.

三．解答题11.如图，矩形ABCD中，△BCD沿BD折叠，使点C落到点E处，BE与AD相交于

点F，点O是BD的中点，连接FO并延长交BC于点G，若AB＝6，AD＝8，

（1）求证：四边形BFDG是平⾏四边形

（2）求FG的长。12.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE

折叠后得到△AFE.延长AF交边BC于点G，（1）△AEF∽△EGF

（2）求CG.的长13.如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂⾜分别为点E，F，延长

BD⾄G，使得DG＝BD，连接EG，FG，若AE＝DE，AB＝2，

（1）△ABD是等边三⾓形

（2）求EG的长

14.如图，BD是菱形ABCD的对⾓线，E是边AD的中点，F是边AB上的⼀点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，连接A′C.若AB＝5，BD＝6，当点A′到∠A的两边的距离相等时，求A′C的长

15.如图，菱形ABCD的对⾓线长分别为6和8，点O为对⾓线的交点，过点O折叠菱形，使B的对应点为B′，C的对应点为C′，MN是折痕，

（1）△OBM≌△ODN

（2）若B′M＝1，求CN的长

参考答案1. A 【解析】如解图，过点B ′作BC 的垂线，交BC 于点F ，交AD 于点G ，则∠AGB ′＝∠B ′FE ＝90°，由折叠性质可得，∠AB ′E ＝∠B ＝90°，∴∠GAB ′＋∠GB ′A ＝∠FB ′E ＋∠GB ′A .∴∠GAB ′＝∠FB ′E ，∴△AGB ′∽△B ′FE ，∴B ′G EF ＝AB ′

B ′E ，由折叠性质可得AB ′＝AB ＝

4，B ′E ＝BE ，∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝1

2BC ＝3，设B ′F ＝x ，则B ′G ＝4－x ，

∴4－x EF ＝43，即EF ＝34(4－x )＝3－34x ，∵在Rt △EFB ′中，EF 2＋B ′F 2＝B ′E 2，∴(3－34x )2＋x 2

＝32，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝7225，∴点B ′到线段BC 的距离为7225.

2. B 【解析】如解图，过点E 作EM ⊥AB 于点M ，交DC 于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ＝AB ，DC ∥AB ，∠ABC ＝90°，∴MN ＝BC ，EN ⊥DC ，∵沿AC 折叠B 和E 重合，△AEB 是等边三⾓形，∴∠EAC ＝∠BAC ＝30°，设AB ＝AE ＝BE＝2a ，则BC ＝233a ，

即MN ＝233a ，∵△ABE 是等边三⾓形，EM ⊥AB ，∴AM ＝12AB ＝a ，在Rt △AME 中，由勾

股定理得：EM ＝AE 2－AM 2＝3a ，∴S △DCE ＝12DC ·EN ＝12·2a ·(3a －233a )＝33a 2，⼜

∵S △CDE ＝3，∴

33

a 2

＝3，解得a ＝3(负值已舍去)．∴CD ＝2a ＝2 3.

3. C 【解析】设BE ＝x ，则EF ＝x ，CE ＝8－x ，由折叠可得，AF ＝AB ＝6，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∴CF＝10－6＝4，在Rt △CEF 中，由勾股定理可得，x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∴BE ＝3，CE ＝5，由折叠可得，∠AEF ＝12∠BEF ，∠GEF ＝1

2∠CEF ，

∴∠AEG ＝1

2∠BEC ＝90°，∴∠CEG ＋∠AEB ＝90°，⼜∵∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE

＝∠CEG ，⼜∵∠B ＝∠ECG ＝90°，∴△ABE ∽△ECG ，∴BE CG ＝AB EC ，即3CG ＝65，∴CG ＝52.

4. A 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝211，AC ＝10，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝（12BD ）2＋（1

2AC ）2＝6，∠DAC ＝∠BAC ，∵EF ⊥AA ′，∴∠EP A ＝∠FP A ＝90°，∴∠EAP ＋∠AEP ＝90°，∠F AP ＋∠AFP ＝90°，∵∠EAP ＝∠F AP ，∴∠AEP ＝∠AFP ，∴AE ＝AF ，∵△A ′EF 是由△AEF 翻折得到的，∴AE ＝EA ′，AF ＝F A′，∴AE ＝EA ′＝A ′F ＝F A ，∴四边形AEA ′F 是菱形，∴AP ＝P A ′，∵A ′C ＝A ′D ，∴∠A ′CD ＝∠A ′DC ＝∠DCA ，∴△A′CD ∽△DCA ，∴A ′C CD ＝DC AC ，即A ′C 6＝610，∴A ′C ＝185，∴A ′A ＝10－185＝325，∴AP ＝12AA ′＝165

. 5.

25

5

【解析】如解图，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DCE ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝1，∴∠DAF ＝∠AEB ，由折叠可知，CD ＝DF ＝1，∠DFE ＝∠DCE ＝90°，∴∠DF A ＝90°，在△ADF 和△EAB 中，

∠DAF ＝∠AEB ，∠DF A ＝∠ABE ，

DF ＝AB ，∴△ADF ≌△EAB (AAS )，∴AF ＝BE ，∵EF ＝1

3AE ，∴设EF ＝a ，则AE ＝3a ，AF ＝BE ＝2a ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，BE 2＋AB 2＝AE 2，即(2a )2＋12＝(3a )2，解得a 1＝55

，a 2＝－55(舍去)，∴AF ＝BE ＝255.

6. 43－4 【解析】如解图，连接BD 交C ′E 于点F ，∵四边形ABCD 为菱形，∴DC ∥AB ，AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 为等边三⾓形，∠ADC ＝120°，∴AD ＝BD ，∵P 是AB 的中点，∴AP ＝BP ，∴DP ⊥AB ，∠ADP ＝30°，∴∠PDC ＝120°－30°＝90°，由题意得∠C ′DE ＝∠CDE ＝45°，∠ADB ＝∠CDB ＝60°，∠C ′＝∠C ，∴∠C ′DF ＝90°－60°＝30°，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝DC ＝BC ＝4，∵∠C ′＝∠C ，DC ′＝DC ，∴∠C ′＝60°，DC ′＝4，∴∠DFC ′＝90°，cos30°＝

DF

4

，∴DF ＝23，BF ＝4－23，在△DCE 中，∵∠DEC ＝180°－45°－60°＝75°，∴∠DEC ′＝∠DEC ＝75°，∴∠BEF ＝180°－2×75°＝30°，∴BE ＝2BF ＝8－43，∴CE ＝4－(8－43)＝43－4.

7.

28

5

【解析】如解图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，在?ABCD 中，∠D ＝∠EBC ，AD ＝BC ，∠A ＝∠DCB ，由折叠性质得，∠D ′＝∠D ＝∠EBC ，∠D ′CE ＝∠A ＝∠DCB ，D ′C ＝AD ＝BC ，∴∠D ′CF ＋∠FCE ＝∠FCE ＋∠ECB，∴∠D ′CF ＝∠ECB ，⼜∵∠D ′＝∠EBC ，D ′C ＝BC ，∴△D ′CF ≌△BCE (ASA)，∴D ′F ＝EB ，CF ＝CE ，∵DF ＝D ′F，∴DF ＝EB ，AE ＝CE ＝CF ，设AE ＝x ，则EB ＝8－x ，CF ＝x ，∵BC ＝4，∠CBG ＝∠A ＝60°，∴BG ＝12BC ＝2，在Rt △BGC 中，由勾股定理可知：CG ＝BC 2－BG 2＝23，∴EG ＝EB ＋BG ＝8－x ＋2＝10－x ，在Rt △CEG中，由勾股定理可知：(10－x )2＋(23)2＝x 2，∴x ＝285，∴AE

＝285.

8. 22 【解析】由折叠可得，AB ＝CD ＝OB ＝2, CG ＝OG ＝DG ＝1，AE ＝OE ＝DE ，∴BG ＝3，在Rt △BCG 中BC ＝BG2－CG 2＝2 2.即AD ＝2 2.

9.

43

3

【解析】由折叠的性质可知，AF ＝FG ，DE ⊥AG ，∵∠DAF ＋∠EAF ＝∠DAE ＝90°，∠EAF ＋∠AEF ＝90°，∴∠DAF ＝∠AEF ，∵∠ADF ＝∠EDA ，∴△DAF ∽△DEA ，∴AD DE ＝DF AD ，∴6DF ＋1＝DF 6，解得DF ＝2或DF ＝－3(舍去)，在Rt △DAF 中，AD ＝6，DF ＝2，∴AF ＝AD 2－DF 2＝2，∴AG ＝2AF ＝22，在Rt △EAF 中，EF ＝1，AF ＝2，∴AE ＝3，∵∠AEF ＝∠AGB ，∠AFE ＝∠ABG ，∴△AEF ∽△AGB ，∵AF AE ＝AB AG ，∴AB ＝433

.