双曲线标准方程

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1 《双曲线及其标准方程》教学设计

贵阳39中 李明

新课程教学,更强调学生的主体性,突出学生的主体性,采用“合作、自主、探究”的学习,又要还给学生更大的自主学习空间。所以如何充分利用课堂时间,调动学生的积极性,提高课堂效益是数学教师面临的一个重要问题。我想从我自己的实践来谈谈如何设计一节课，使我的教学更适应时代的发展，使我的课堂更加有效。

双曲线及其标准方程教案

教学目标

知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。

德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。

难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。

教学过程：

一.复习提问，引入新课。

问题1.椭圆的定义是什么？

问题2.椭圆的标准方程是怎样的？cba、、关系如何？ 百度文库

2 1 F 2 F

M 问题3. 类比，联想

如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

师：（多媒体演示动点轨迹）。

探究：通过上面的实验，回答下面问题：

问题1：随着M点的移动，|MF1|与|MF2|之间的差是常数吗？为什么？

问题2：|MF1|与|MF2|哪一个大？

问题3：这个常数可以大于或等于

21FF 吗？理由呢？

问题4：你能概括双曲线的定义吗？

二.形成概念，推导方程。

师：双曲线上的点应满足的条件是什么？

生：常数21MFMF（小于21FF）。

师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。

1.双曲线的定义。（投影）分析讨论双曲线的定义中关键词和条件：

师：定义中的“平面内”，“绝对值”等条件去掉，能否表示双曲线？

课题:2.3.1双曲线的标准方程

【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

一.情境设置

(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆改在双曲线呢？

(2)探究新知:

1.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系(2) 设点（3）列式（4）化简方程

学生得到: 双曲线的标准方程:

思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?

注:(1)双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b)；

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：12222bxay(0a,0b)

②cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba

其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

(2).焦点的位置判断:

三.数学应用

例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到21FF，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程

变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？

变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？

变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？

例2求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）3,4,abx焦点在轴上；（2）25,25aAy经过点（，），焦点在轴上；

四.课堂小结:

双曲线的两类标准方程是)0,0(12222babyax焦点在x轴上，)0,0(12222babxay焦点在y轴上,cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba 其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

双曲线的标准方程导学案

章节与课题 第二章第2.3.1节双曲线的标准方程 课时安排 2课时

主备人 审核人

使用人 使用日期或周次 第十三周

本课时学习目标或学习任务 掌握待定系数法求双曲线的标准方程，了解双曲线定义的简单应用；提高运算求解、数据处理、化繁为简等基本能力；形成和发展理性思维。注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重运算能力的培养。

本课时重点难点或学习建议 根据已知条件求双曲线的标准方程。用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。

本课时教学资源的使用 导学案

学 习 过 程

一、自学准备与知识导学

1．椭圆的定义

平面内与两定点F1、F2的距离的____等于常数(____|F1F2|)的点的轨迹叫做_______．

强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．

2．椭圆的标准方程是什么？

3．双曲线的定义

平面内与两定点F1、F2的距离的___的绝对值是常数(_____)的点的轨迹叫做_______．这两个定点F1、F2叫做_______________，两个焦点之间的距离叫做________．

4．双曲线的标准方程的推导方程

类比求椭圆标准方程的方法来建立直角坐标系．

,,abc的关系的几何意义：

焦点在x轴上，中心在原点的双曲线的标准方程___________________(_________________)

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程__________________．

注：（1）若常数要等于|F1F2|，则图形是什么？

（2）若常数要大于|F1F2|，能画出图形吗？

（3）定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

（4）|MF1|与|MF2|哪个大？

5．点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？

二、学习交流与问题探讨

第 1 页 共 1 页 圆锥曲线-双曲线

一、双曲线的定义，标准方程

1. 双曲线第一定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。

2双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上的：

xaybab2222100()，

（2）焦点在y轴上的：

yaxbab2222100()，

（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。

注：c2＝a2＋b2

3.双曲线的几何性质：

（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222xxaybab()

1xaxa范围：，或

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。

<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）

线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。

41离心率：ecae()

e越大，双曲线的开口就越开阔。

5渐近线：ybax=

62准线方程：xac

5．若双曲线的渐近线方程为：xaby

则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

)0(2222byax

第 2 页 共 2 页

1 22121xymmm若方程表示双曲线，则的取值范围是（）

AmBmm..2121或

CmmDmR..21且

2. 220abaxbyc时，方程表示双曲线的是（）

A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 22sinsincosxy设是第二象限角，方程表示的曲线是（）