平行四边形练习题及答案
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20.1 平行四边形的判定
一、选择题
1．四边形ABCD，从（1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）BC∥AD；（4）BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d•为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（ ）
A．任意四边形 B．平行四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
3．下列说法正确的是（ ）
A．若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
C．一组对边相等的四边形是平行四边形
D．有两个角相等的四边形是平行四边形
二、填空题
4．在□ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的两动点，点E从点A向D运动，点F从C•向B运动，点E的速度m与点F的速度n满足_______关系时，四边形BFDE为平行四边形．
5．如图1所示，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_______，就可以推出BE=DF．
图1 图2
6．如图2所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
三、解答题
7．如图所示，四边形ABCD中，对角线BD=4，一边长AB=5，其余各边长用含有未知数x的代数式表示，且AD⊥BD于点D，BD⊥BC于点B．问：四边形ABCD•是平行四边形吗？为什么？
四、思考题
8．如图所示，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，•则线段DE•与BF的长度相等吗？
参考答案
一、1．B 点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（4）或（1）（2）或（3）（4）．
故有4种选法．
2．B 点拨：a2+b2+c2+d2=2ab+2cd即（a-b）2+（c-d）2=0，
即（a-b）2=0且（c-d）2=0．所以a=b，c=d，即两组对边分别相等，
所以四边形为平行四边形．
3．B 点拨：熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键．
二、4．相等 点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定．
5．AE=CF 点拨：本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形EBFD•是平行四边形即可．
6．8 点拨：根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别．
三、7．解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BC2+BD2=DC2，
即（x-5）2+42=（x-3）2，解得x=8．
所以AD=11-8=3，BC=x-5=3，DC=x-3=8-3=5，
所以AD=BC，AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．
点拨：本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明AD=BC，AB=DC即可，本题也可在Rt△ABD中求x的值．
四、8．解：线段DE与BF的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF，BE，
如图所示．在ABCD中，DO=OB，AO=OC，又因为AF=EC，
所以AF-AO=CE-OC，即OF=OE，所以四边形DEBF是平行四边形，所以DE=BF． DACFOEB 点拨：本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用．
20.2 矩形的判定
一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）
①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．三个角是直角的多边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
二、填空题
4．如图1所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线的长为_____．
图1 图2
5．若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：AC=______．
6．如图2所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OE⊥DC于点E，OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______． 三、解答题
7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．
四、思考题
8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？
参考答案
一、1．C 点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．
2．B 点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．
3．D 点拨：选项D是矩形的判定定理．
二、4．8cm
5．矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，•可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=12AC．
6．8cm；4cm
三、7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°， 又因为∠HAB=12∠DAB，∠HBA=12∠CBA．
所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．
同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°，
所以四边形EFGH是矩形．
点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．
四、8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为CE平分∠ACB，•CF•平分∠ACD，•
所以∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD．所以∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．
又因为AE⊥CE，AF⊥CF，•所以∠AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．
点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．
20.3 菱形的判定
一、选择题
1．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ）．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）
A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm
二、填空题
4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
图1 图2 5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______．
7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．
三、解答题
8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？•说明理由．
四、思考题
9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．
参考答案
一、1．A 点拨：本题用排除法作答．
2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．
3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，•
所以AC=AB=14×32=8（cm），AO=12AC=4cm．
因为AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB=222284ABOA=43（cm），•
所以BD=2OB=83cm．
二、4．AB=BC 点拨：还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等．
5．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）
6．12cm；723cm2
点拨：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
因为AD∥BC，•所以∠BAD+∠ABC=180°．
又因为∠BAD：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，
因为AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以AE=6cm．
在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108，
所以ED=63cm，所以S菱形ABCD=12×63=723（cm2）．
7．4；43 点拨：如图所示，因为DE垂直平分AB，
又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，
由已知可得AE=2．在Rt△AED中，•AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12，
