2018-2019学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷(含答案)
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2018-2019学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{2，3}，若A∪B＝{1，2，3}，则实数m＝ ．
2．（4分）“成立”是“x＜2成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要）
3．（4分）函数的定义域为 ．
4．（4分）若函数的反函数是其本身，则实数a＝ ．
5．（4分）函数f（x）＝2|x﹣3|﹣1，则不等式f（x）＜1的解集为 ．
6．（4分）函数f（x）＝9x﹣3x+1﹣10的零点为 ．
7．（5分）已知x，y∈R+，且满足xy﹣x﹣2y＝0，则x+y的最小值为 ．
8．（5分）若定义在R上的函数（其中a＞0，a≠1）有最大值，则函数的单调递增区间为 ．
9．（5分）集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}，集合B＝{x|x2+lgx≤1000}，且满足A∩∁RB＝∅，则实数a的取值范围是
．
10．（5分）已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，记g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围是
．
11．（5分）下列四个命题中正确的是 ．
①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），则f（1+x）＝f（1﹣x）；
②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，则函数y＝f（x），x∈D与函数x＝f﹣1（y），y∈A是两个不同的函数；
③已知函数，x∈N*，既无最大值，也无最小值；
④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6的所有零点构成的集合共有4个子集．
12．（5分）已知函数f（x）＝x2+ex（x＜0）与函数图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 13．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（ ）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），[x]表示不超过x的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ）
A． B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C． D．[x]≥[y]
15．（5分）函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）
A．
B．
C． D．
16．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A． B．
C．pq D．﹣1
三、简答题
17．（14分）解关于x的不等式kx2﹣（k+2）x+2＜0．
18．（14分）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50m2的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．
（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？
19．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数，函数的图象关于直线y＝x对称，记F（x）＝f（x）+g（x）．
（1）求函数f（x）的解析式和定义域；
（2）在F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求A，B的坐标；若不存在，说明理由．
20．（16分）已知函数f（x﹣2）＝ax2﹣（a﹣3）x+a﹣2（a为负整数），y＝f（x）的图象经过点（m﹣2，0）（m∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝bx+2，若g（x）≥f（x）在x∈[1，3]上解集非空，求实数b的取值范围； （3）证明：方程有且仅有一个解．
21．（18分）若实数x、y、m（x≠m，y≠m）满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称y比x接近m．
（1）若x2﹣1比1接近0，求x的取值范围；
（2）对正实数a，b，如果比接近2，求证：当x＞0时，比接近2；
（3）已知函数f（x）等于和|x﹣a|中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．
2018-2019学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）
1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，集合B＝{2，3}，A∪B＝{1，2，3}
根据集合并集运算的定义，可知，集合A中元素最多和A∪B中元素一致，
∴m＝3
故答案为：3．
2．【解答】解：由得0＜x＜2，
则“成立”是“x＜2成立”的充分不必要条件，
故答案为：充分非必要
3．【解答】解：要使函数有意义，则≥0，
当x＝1时，不等式成立，
当x≠1时，不等式等价为≥0，
即x＞2或x≤﹣1，
综上x＞2或x≤﹣1或x＝1，
即函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞）
4．【解答】解：由y＝得x＝，所以f（x）的反函数为f﹣1（x）＝，
依题意可得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
5．【解答】解：不等式f（x）＜1即2|x﹣3|＜2，
故|x﹣3|＜1，解得：2＜x＜4，
故答案为：（2，4）．
6．【解答】解：由f（x）＝9x﹣3x+1﹣10＝0得（3x）2﹣3•3x﹣10＝0，
即（3x+2）（3x﹣5）＝0，
∵3x＞0，∴3x﹣5＝0，
即3x＝5，即x＝log35， 即函数零点为x＝log35，
故答案为：x＝log35
7．【解答】解：由题知x，y，满足xy﹣x﹣2y＝0，则xy＝x+2y，
同除xy，得＝1，
x+y＝（x+y）（）＝3+≥3+2，当且仅当x＝2+，y＝+1时取到等号．
故答案为：3+2．
8．【解答】解：∵x2+1有最小值为1，定义在R上的函数（其中a＞0，a≠1）有最大值，
∴0＜a＜1．
则函数的单调递增区间，即函数t＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＞0时的减区间，
为（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）．
9．【解答】解：解不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0得：a＜x＜a+1即A＝[a，a+1]，
解不等式x2+lgx≤1000得：（2+lgx）lgx﹣3≤0，即≤x≤10，即B＝[，10]，即∁RB＝（﹣∞，）∪（10，+∞），
又A∩∁RB＝∅，
得，即，
即实数a的取值范围是[]，
故答案为：[]
10．【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，
∴f（x）＝logax（x＞0）．
g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]＝logax（logax+loga2﹣1）
＝（logax+）2﹣， ①当a＞1时，y＝logax在区间[，2]上是增函数，∴logax∈[loga，loga2]．
由于y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，∴，化为loga2≤﹣1，
解得a，舍去．
②当0＜a＜1时，y＝logax在区间[，2]上是减函数，∴logax∈[loga2，loga]．
由于y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，∴，解得0＜a．
综上可得：0＜a．
故答案为：（0，]．
11．【解答】解：①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），设F（x）＝f（1+x），可得F（﹣x）＝F（x），
则f（1+x）＝f（1﹣x），故①正确；
②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，
则函数y＝f（x），x∈D与函数x＝f﹣1（y），y∈A，即y＝f﹣1（x），x∈A，由于A≠D
是两个不同的函数，故②正确；
③已知函数，x∈N*，由f（x）在1≤x＜3递减，x＞3递减，可得x＝2时，f（2）取得最小值﹣1，
故③错误；
④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6，由f（x）＝0，可得2|x|﹣1＝2或3，解得x＝±log23或x＝±2，
f（x）的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．
故答案为：①②．
12．【解答】解：由题意，存在x＞0，
使f（﹣x）＝g（x），即x2+ln（x+a）+＝x2+e﹣x，
即ln（x+a）+＝（）x，
即ln（x+a）＝﹣+（）x， 设h（x）＝﹣+（）x，h（0）＝﹣+1＝，
当y＝ln（x+a）经过点（0，）时，
则lna＝，得a＝＝，
作出y＝ln（x+a）和h（x）的图象，
要使两个图象恒有交点，
则a＜．
即实数a的取值范围是a∈（﹣∞，）．
故答案为：（﹣∞，）．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
13．【解答】解：由题意A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC，可得“A∩B＝∅”；若“A∩B＝∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，
∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分必要的条件．
故选：C．
14．【解答】解：当0＜a＜1时，由ax＜ay得x＞y，
A．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y但＝，故A错误，
B．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，ln（x2+1）＝ln（y2+1），但ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立，故B错误，
C．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，但x﹣y＝1+1＝2，﹣＝1+1＝2，则不
