高中数学常见的10类基本不等式问题汇总

高中基本不等式的十一类经典题型种类一：基本不等式的直接运用 种类二：分式函数利用基本不等式求最值 种类三：分式与整式乘积结构的基本不等式 种类四： 1 的妙用种类五：利用整式中和与积的关系来求最值 种类六：两次运用基本不等式的题型 种类七： 负数的基本不等式 种类八： 化成单变量形式☆ 种类九：与函数相联合种类十： 鉴别式法种类十一：结构高考真题10.已知 a5 1 ，函数 f ( x) a x ，若实数 m 、 n 知足 f (m) f ( n) ，则 m 、 n 的大小2关系为▲ .[分析 ] 考察指数函数的单一性 .a5 1 (0,1)，函数 f ( x) a x在 R 上递减 .由 f (m) f (n) 得： m<n.2种类一、 基本不等式的直接运用 1 （ 1）求 yx(4 x)(0 x 4) 的最大值，并求取时的 x 的值 （改 y 2x(4x) ）（ 2）求 yx 4 x 2 (0 x 2) 的最大值，并求取最大值时x 的值（ 3）求 y x 4 x 2 ( 0 x 2) 的最大值，并求取最大值时 x 的值2 x 0, y0,1 41,则 xy 的最小值是x y3 x 0, y0,14 1, 则 x y 的最小值是x y4 已知 x ， y 为正实数，且x 2＋y2＝ 1，求 x 1＋ y 2的最大值25.f x = （ m 2 ） x 2+（ n ﹣ 8）x+1（ m ≥ 0，n ≥ 0）在区间 [ ] 上单一递减，假如函数（ ） ﹣则 mn 的最大值为 18 ．【解答】 解：∵函数 f （x ） = （ m ﹣ 2） x 2+（n ﹣ 8） x+1（ m ≥ 0， n ≥0）在区间 [，2] 上单一递减，∴f ′（ x ）≤ 0，即（ m ﹣2） x+n ﹣8≤ 0 在 [ ， 2] 上恒建立．而 y= （ m ﹣ 2）x+n ﹣ 8 是一次函数，在 [， 2] 上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（ ）≤ 0， f ′（ 2）≤ 0 即可．即 ，由② 得 m ≤（12﹣ n ），∴mn ≤ n （ 12﹣ n ）≤=18 ，当且仅当 m=3，n=6 时获得最大值，经查验 m=3， n=6 知足 ① 和 ② ．∴mn 的最大值为 18． 故答案为： 18．种类二、分式函数利用基本不等式求最值1 设 x1，求函数 y ( x 5)( x 2)x的最值12 已知 x1，求 y x 2 3x1的最值及相应的 x 的值x 13 不等式 2x21的解集为x 3种类三、分式与整式乘积结构的基本不等式1 若 abc ，求使11 kb b c恒 建立的 k 的最大值 .aa c2 若 a0, b1 1 1，求 a 2b 的最小值0 且b b12a3 函数 y ＝ log a (x ＋ 3)－ 1 (a>0，a ≠ 1)的图象恒过点 A ，若点 A 在直线 mx ＋ny ＋ 1＝ 0 上，其中 mn>0，则 m 1＋ 2n 的最小值为 ________ ．4. 设 x, yR, a 1,b 1,若 a xb x 2, a 2b 4, 则21的最大值为x y5. 求11 (0 x9) 的最小值x 9 4x 46. 已知 x 0, y 0 1 9x y m 恒建立的实数 m 的取值范围。

基本不等式专题知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2.2基本不等式10题型分类一、基本不等式1．如果a >0，b >0≤2a b+，当且仅当a b =时，等号成立．其中2a b+叫做正数a ，b a ，b 的几何平均数．2．变形：ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b a ，b 都是正数，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3.不等式22a b + 2ab ≤2a b+成立的条件一样吗？不一样，22a b + 2ab 成立的条件时a ，b ∈R 2a b+成立的条件是a >0，b >0.4.不等式22a b + 2ab ≤2a b+中“＝”成立的条件相同吗？相同.都是当且仅当a ＝b 时等号成立.5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.二、基本不等式与最大值最小值1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S .(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值（一）对基本不等式概念的理解对基本不等式概念的理解（1）基本不等式ab ≤2a b+(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．（2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：①定理成立的条件是a 、b 都是正数．②“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤2a b +的等号成立，即a ＝b ⇒2a b+＝ab ；仅当a ＝b 时，2a b +≥ab 的等号成立，即2a b+＝ab ⇒a ＝b .的是（（二）利用基本不等式比较大小利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．（三）利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则．≥ab成立的前提条件：a>0，b>0.(1)一正：符合基本不等式a＋b2(2)二定：化不等式的一边为定值．(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构..4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不=（四）基本不等式的恒成立问题求参数的值或取值范围的一般方法(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．C ．2m ≤-或m 1≥D ．1m ≤-或2m ≥9-2．（2023秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式()1116x ay x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．99-3．（2023春·河北石家庄·高二校联考阶段练习）已知0,0a b >>，且212a b +=，若2143121t t a b -≤+--恒成立，则t 的取值范围是.9-4．（2023秋·云南昭通·高一校联考阶段练习）已知0a >，0b >，且12ab =，不等式11422m a b a b++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A ．{}1m m ≥B ．{}2m m ≥C ．{}3m m ≥D ．{}4m m ≥9-5．（2023秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知0a >，0b >.(1)若不等式313ma b a b+≥+恒成立，求m 的最大值；(2)若228a b ab ++=，求2+a b 的最小值.（五）利用基本不等式解决实际问题在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．题型10：利用基本不等式解决实际问题10-1．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x 年的维修总费用为227x x+万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（）A ．7B ．8C ．9D ．1010-2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD ，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（）A ．1208平方米B ．1448平方米C ．1568平方米D ．1698平方米10-3．（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有1122m L m L =，其中1m 、2m 分别为左、右盘中物体质量，1L 、2L 分别为左右横梁臂长．A ．等于10gB ．小于10gC ．大于10gD ．不确定10-4．（2023秋·广东深圳·高一校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为x 米()16x ≤≤，公司整体报价为y 元.(1)试求y 关于x 的函数解析式；(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.一、单选题1．（2023春·重庆·高二校联考期末）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（）A ．2ab b <B ．c ca b>C ．1111a b <--D ．12a b a b-+≥-2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数,,a b c 满足a b c <<且0abc <，则下列不等关系一定正确的是（）A ．ac bc <B ．ab ac <C ．2b c c b+>D ．2b a a b+>3．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若0x >,则()94f x x x=+的最小值为（）A ．4B ．9C ．12D ．214．（2023秋·广东江门·高一校考期中）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（）A2a ba b +<<<B ．2a ba b +<<C2a ba b +<<<D ．2a ba b+<<<5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知2(0,0)a b ab a b +=>>，下列说法正确的是（）A ．ab 的最大值为8B ．1212a b +--的最小值为2C ．a b +有最小值3D ．2224a a b b -+-有最大值46．（2023·江苏·高一假期作业）若对0x >，0y >，有21(2)()x y m x y+⋅+≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m >C ．0m <D ．8m ≤7．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽10km 处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（）A ．5kmB ．6kmC ．7kmD ．8km二、多选题8．（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论不正确的是（）A ．当0x >2≥B ．当0x >2的最小值是2C ．当54x <时，22145x x -+-的最小值是52D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是929．（2023春·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知正实数a 、b 满足2a b +=，则下列结论正确的是（）A ．1ab ≤B 2≥C ．332a b +≤D ．222a b +≥10．（2023春·云南迪庆·高一统考期末）设正实数x ，y 满足23x y +=，则下列说法正确的是（）A ．3yx y +的最小值为4B ．xy 的最大值为98C 的最小值为2D ．224x y +的最小值为9211．（2023春·江西南昌·高二校联考期末）已知0,0a b >>，且22a b +=，则（）A ．ab 的最小值是12B ．12a b+的最小值是4C ．2214a b +的最小值是8D 211a b++12．（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知0a >，0b >且121a b+=，则下列结论正确的有（）A ．a b +≤B ．3a b +≥+C ．ab ≤D ．8ab ≥13．（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知0x >，0y >，且30x y xy ++-=，则下列结论正确的是（）A ．xy 的取值范围是(0,1]B ．x y +的取值范围是[2,3]C ．2x y +的最小值是3-D ．5x y +的最小值为6三、填空题14．（2023春·云南红河·高二校考期中）若正数,a b 满足4ab =，则a b +的最小值是．15．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）若1x >，则311x x +--的最小值为.16．（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知正实数x ，y 满足1x y +=，则63x y xy++的最小值为．17．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知0a >，0b >，()()2218a b ++=，则下列判断正确的是（）A ．3322a b +++B ．ab 的最大值为11-C ．2a b +的最小值为6D ．()1a b +的最大值为818．（2023秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知0x >，0y >且3x y +=，若1222a x y y x +≥--恒成立，则实数a 的范围是．四、解答题19．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）（1）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值（2）已知3x <，求423y x x =+-的最大值（3）已知00，x y >>，且4x y +=，求13x y+的最小值20．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）若正实数a ，b 满足1a b +=．(1)求ab 的最大值；(2)求411a b++的最小值.21．（2023秋·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x m ，宽为y m ．(1)若菜园面积为18m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为15m ，求12x y+的最小值．22．（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知0a >，0b >.(1)若16b a =-，求ba的最大值；(2)若222292a b ab a b ++=，证明：8ab ≥.23．（2023·贵州黔西·校考一模）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：(1)22213a b c ++≥；(2)333a c b a c b abc ++≥．。

基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。

它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。

在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。

本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。

一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。

二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。

三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。

学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。

基本不等式及其应用一、知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.二、基础演练1.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.2.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A.1＋2B.1＋3C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.3.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.三、典型例题与变式训练考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92(2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝⎛⎭⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝mn ，即m ＝4，n ＝2时等号成立.角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45. 感悟升华 利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】 已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A.6B.62C.3D.32答案 A 解析 由x ，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x2＝3⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ≥3×2x 2×2x＝6， 当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用【例4】 (1) (多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4 B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝⎛⎭⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD.(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53(2) 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，求x ＋3y 的最小值.答案 (1)C解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.四、练习巩固 一、选择题1.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.42C.2D.22答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.2.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A.3B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.3.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1， ∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1，即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值是233.故选B.4.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( ) A.2 B.23C.4D.22答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.5.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2 B.22C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.6.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( )A.13B.1C.2D.59答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.二、填空题7.若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a ＝4时，等号成立.故2a ＋b 的最小值为8. 8.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.9.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.10.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.11.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 12.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.。

高一基本不等式题型及解题方法一、基本不等式的概念和性质基本不等式是高一数学的重要内容之一，也是数学中的基本概念之一。

在学习基本不等式时，首先要了解不等式的概念和性质。

不等式是数学中的一种等式变种，它是用不等号表示的数学关系式。

不等式具有反身性、传递性和对称性等性质。

在解决不等式问题时，首先要理解其性质，然后根据不等式的性质来解题。

二、基本不等式的类型基本不等式可分为线性不等式、一元二次不等式和高次不等式等类型。

下面来分别介绍这几种不等式及其解题方法。

1.线性不等式线性不等式是最基本的不等式类型，它可以表示为ax+b>0或ax+b<0的形式。

解决线性不等式问题时，可以通过移项、交叉乘除、取绝对值、分情况讨论等方法进行求解。

例如，要解决不等式2x+5>7，则可以通过移项得到2x>2，再除以2得到x>1，这样就得到了不等式的解集{x|x>1}。

2.一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的形式。

解决一元二次不等式问题时，可以通过因式分解、配方法、求导数等方法进行求解。

例如，要解决不等式x^2-4x+3<0，则可以通过因式分解得到(x-1)(x-3)<0，再通过分情况讨论得到不等式的解集1<x<3。

3.高次不等式高次不等式是包括二次以上的多项式不等式，它可以表示为f(x)>0或f(x)<0的形式。

解决高次不等式问题时，可以通过因式分解、分情况讨论、取对数等方法进行求解。

例如，要解决不等式x^3-3x^2+2x>0，则可以通过因式分解得到x(x-1)(x-2)>0，再通过分情况讨论得到不等式的解集{x|x<0或1<x<2}。

三、基本不等式的解题方法解决基本不等式问题时，首先要理解不等式的类型和性质，然后根据不等式的性质来选择合适的解题方法。

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：假设,a b c d >>，那么a c b d +>+〔假设,a b c d ><，那么a c b d ->-〕，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：假设0,0a b c d >>>>，那么ac bd >〔假设0,0a b c d >><<，那么a b c d>〕；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：假设0a b >>，那么n n a b >>4．假设0ab >，a b >，那么11a b <；假设0ab <，a b >，那么11a b>。

如〔1〕对于实数c b a ,,中，给出以下命题： ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，那么0,0a b ><。

其中正确的命题是______〔答：②③⑥⑦⑧〕；〔2〕11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，那么3x y -的取值范围是______〔答：137x y ≤-≤〕； 〔3〕c b a >>，且,0=++c b a 那么ac的取值范围是______〔答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭〕二．不等式大小比拟的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商〔常用于分数指数幂的代数式〕； 3．分析法； 4．平方法；5．分子〔或分母〕有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

其中比拟法〔作差、作商〕是最根本的方法。

如〔1〕设0,10>≠>t a a 且，比拟21log log 21+t t aa 和的大小〔答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤〔1t =时取等号〕；当01a <<时，11log log 22a at t +≥〔1t =时取等号〕〕； 〔2〕设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比拟q p ,的大小〔答：p q >〕；〔3〕比拟1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小〔答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x 〕三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，与定积最大，积定与最小〞这17字方针。

高中不等式经典题型
1.均值不等式：在实数范围内，对于任意正数a，b，总有2a+b≥ab，当且仅当
a=b时等号成立。

例如，求函数y=x+4/x的最小值。

2.绝对值不等式：对于任意实数x，y，总有∣x+y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣，当且
仅当x，y同号时等号成立。

例如，求函数f(x)=|x-1|-|x+2|的最大值。

3.柯西不等式：对于任意实数a，b，c，总有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅
当c=ad时等号成立。

例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。

4.排序不等式：对于任意实数a，b，c，总有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等
号成立。

例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。

这些不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决一些最优化问题、比较大小等问题。

在解决不等式问题时，需要灵活运用这些不等式，结合具体的题目条件进行求解。

专题 基本不等式【一】基础知识基本不等式：)0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ；（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.2.几个重要的不等式（1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>；【二】例题分析【模块1】“1”的巧妙替换【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 .【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 .【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则1||2||a a b +的最小值为 .【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足211a b +=，则2a b +的最小值为 .【变式】已知正实数,a b 满足211a b+=，则2a b ab ++的最小值为 .【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 .【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则8x y xy +的最小值为 .【例5】已知0,0a b >>，若不等式212m a b a b+≥+总能成立，则实数m 的最大值为 .【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则2212a b +的最小值为 .【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为 .【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22214e e +的最小值为【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则 ）A ．6B ．5 C【例10】已知函数()4141x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .【例2】设,x y R ∈，1,1a b >>，若2x y a b ==，28a b +=，则11x y+的最大值为_______.【例3】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值为 .【例4】（2013年南开一模）已知正实数,a b 满足21a b ab ++=，则a b +的最小值为 .【例5】设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）（A ）1⎡⎣ （B ）(),11⎡-∞⋃+∞⎣（C ）2⎡-+⎣ （D ）(),22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知1,1x y >>，且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，则xy 的最小值为 .【例7】（2015天津）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【例8】（2011年天津）已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为 .【例9】下列说法正确的是（ ）ABCD【例10】设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是（ ）A ．10 B。

高中数学基本不等式知识点及练习题1.基本不等式：对于任意正实数a和b，有ab≤(a+b)/2.2.几个重要的不等式：1) 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2+b^2≥2ab.2) 两个同号数的平方和大于它们的积：对于任意正实数a 和b，有a^2+b^2≥2ab.3) 两个异号数的平方和小于它们的积：对于任意实数a和b，如果ab<0，则a^2+b^2<2ab.4) 平均值不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab).3.算术平均数与几何平均数：对于任意正实数a和b，它们的算术平均数为(a+b)/2，几何平均数为√(ab)。

基本不等式可以叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题：1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.2) 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p^2/4.一个技巧：在运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a^2+b^2≥2ab逆用就是ab≤(a^2+b^2)/(a+b)^2；还要注意“添、拆项”等技巧和公式等号成立的条件等.两个变形：1) a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.2) a^2+b^2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.三个注意：1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视。

要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值：例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.解题技巧：技巧一：凑项.例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.技巧二：凑系数.例1.当x^2+7x+10/(x+1)的值域.技巧三：分离.例3.求y＝x(8-2x)的最大值，当y＜4时。

最新高中数学23个经典不等式归纳汇总一、均值不等式：均值不等式是不等式理论中的重要分支，其中最基本的是算术平均数和几何平均数之间的关系。

1.算术均值不等式(AM-GM):对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn , 有以下不等式成立：(x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n ≥ √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn)证明：令a = (x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n，其中x1, x2, x3,⋯, xn为非负实数。

令 b = √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn) ，则要证明的不等式即为 a ≥ b。

根据均值不等式的性质，两个算术均值之间有一个几何均值，即a≥b。

2. 加权平均值不等式 (Chebyshev 不等式)：对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn 和 w1 , w2 , w3 ,⋯, wn 为正实数，并且 w1 + w2 + w3 + ⋯ + wn = 1，有以下不等式成立：w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥ (x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯xn^wn)证明：将w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn 展开为 w1/x1 + w2/x2 +w3/x3 + ⋯ + wn/xn，利用 AM-GM 不等式即可证明。

即 w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥(x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯ xn^wn)二、特殊不等式：特殊不等式是指在一些特殊条件下成立的不等式，是数学中的一种重要类型。

1. 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz):对于任意实数 a1, a2, a3,⋯, an 和 b1, b2, b3,⋯, bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ⋯ + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + a3^2 + ⋯+ an^2)· (b1^2 + b2^2 + b3^2 + ⋯ + bn^2)证明：考虑函数 f(t) = (a1t + a2t + a3t + ⋯ + ant)^2 ，求导可证明。

高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。

2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

3．常考不等式：22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，()min a b +=。

其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2max 2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈。

例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ．解析：很明显，和为定，当且仅当1a b ==-时取等号。

变式：函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。

解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明12m n ==时取等号。

例题2：已知函数()2122xx f x +=+，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得，当且仅当21212x x x +=⇒=-时取等号。

变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为 。

解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：解法1：故而可得分式的解法2：问题2：“1”的代换例题4：若两个正实数x 、y 满足141x y += ，且不等式234y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是 。

「熬夜整理」高中数学基本不等式题型全归纳
基本不等式是高一年级遇到的一大难点，原因在于题型多，变化多端，很多题目如果不善于总结真的很难做！不要说高一的学生，就是高三的或者老师部分题目真的一时难以下手，必须根据平时所学快速找到题眼或者尝试不同的解题策略。

今天给大家分享下基本不等式的题型归纳全集：
题型一：基本不等式及其应用
题型二：直接法求最值
题型三：常规凑配法求最值
题型四：消参法求最值
题型五：双换元求最值
题型六：“1”的代换求最值
题型七：齐次化求最值
题型八：基本不等式的综合应用
题型九：利用基本不等式解决实际问题。

高中数学基本不等式题型常见的高中数学不等式题型包括：一次不等式、二次不等式、立方不等式、绝对值不等式、函数不等式等。

高中数学不等式是一个重要的数学概念，在日常生活中不等式可以被广泛应用，例如我们在预测价格、确定风险等都要使用到不等式。

同时，不等式也是数学考试经常考查的内容，考生必须熟悉不等式的基本概念，并能够运用到具体问题中。

一次不等式一般是指一个形如ax + b > 0 的不等式，它可以用来判断某一组数据是否满足一定条件。

其中a和b都是常数，x是一个未知数，通过给出的不等式，我们可以计算出x的值，从而求解具体问题。

二次不等式则比较复杂，它是一个二次方程式的不等式，表达形式一般是ax^2+bx+c > 0 或者 ax^2+bx+c < 0，其中a,b,c都是常数，x表示未知数。

要求解这样的不等式，需要将它化为一元二次方程，然后求解具体的解。

同时，立方不等式也是高中数学里的重要内容，它是一个三次方程式的不等式，形式为ax^3 + bx^2 + cx + d > 0 或者 ax^3 + bx^2 + cx + d < 0，其中a,b,c,d都是常数，x是未知数。

要求解这样的不等式，也需要将它化为一元三次方程，然后求解解。

另外，绝对值不等式也是重要的数学概念，它表示一个未知变量距离某一定值的距离，表达形式一般是|x-a| > 0 或者 |x-a| < 0，其中a是常数，x是未知数，求解具体问题时，我们需要将它化为二次方程，然后求解解。

函数不等式是指包含函数和变量的不等式，它可以用来求解一组函数值满足某种条件的情况，表达形式一般是f(x) < g(x) 或者 f(x) > g(x)，其中f(x)和g(x)代表两个不同的函数，x表示未知变量，求解这样的不等式时，可以先将它化简为一元函数，然后求解解。

总之，高中数学不等式是一个重要的数学概念，它可以用来求解很多实际问题，并能够被考查在各种数学考试中，考生们不但要了解其基本概念，还要掌握其具体用法，才能灵活应用到实际问题中。

*作者：梁上飞*作品编号：91265005448GK 0253678创作日期：2020年12月20日实用文库汇编之高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．，其中，当且仅当时等号成立。

2．，其中，当且仅当时等号成立。

3．常考不等式：，其中，当且仅当时等号成立。

二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路：（1）积定和最小：若是定值，那么当且仅当时，。

其中（2）和定积最大：若是定值，那么当且仅当时，，其中。

例题1：若实数满足，则的最大值是．解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：，当且仅当时取等号。

变式：函数的图象恒过定点A，若点在直线上，则的最大值为______。

解析：由题意可得函数图像恒过定点，将点代入直线方程中可得，明显，和为定，根据和定积最大法则可得：，当且仅当时取等号。

例题2：已知函数，则取最小值时对应的的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号。

变式：已知，则的最小值为。

解析：由题意可得，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：，当且仅当时取等号，此时可得。

例题3：若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。

解法1：将化简可得，观察分母，很明显可以得到积为定值，根据积定和最小的法则可得：，当且仅当时取等号。

故而可得分式的分母，因此可得：。

解法2：将化简可得，令，这是一个对勾函数，故而可得。

故而分母，代入分式函数取倒数可得因此可得：。

问题2：“1”的代换解题思路：根据，对所求内容进行乘除化简即可。

例题4：若两个正实数x、y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是。

解析：由题意可得，左边乘以可得：，化简可得：，很明显中积为定值，根据积定和最小的法则可得：，当且仅当时取等号。

故而可得。

不等式有解，亦即，亦即，解得或者，故而可得。