第6章 多因子定价模型黄万阳（根据肖俊喜译稿整理）在第5章结束部分，我们总结了CAPM 贝塔不能完全解释资产期望收益截面部分的经验证据。
该证据意味着可能需要1或多个其它因子刻画期望收益行为，自然考虑多因子定价模型。
理论争论也表明：由于仅在强假设下CAPM 才被逐期应用，需要多因子定价模型。
有两个主要的理论方法：罗斯（Ross,1976）提出的以套利为基础的套利定价理论（APT ）。
默顿（Merton,1973a ）提出的以均衡为基础的跨期资本资产定价模型。
在这一章，我们考虑多因子模型计量经济分析。
这章安排如下。
第6.1节简短地讨论多因子方法理论背景。
在第6.2节中我们考虑已知因子模型的估计与检验。
而在第6.3节中我们给出风险溢价（PREMIA ）与期望收益的估计量。
既然因子不总是由理论提供，那么在第6.4节我们讨论构造因子的方法。
第6.5节给出了实证结论。
由于缺乏模型设定，离差总能被其余因子解释。
因此，这就产生了解释违背模型问题。
在第6.6节我们将讨论这个问题。
6.1 理论背景作为资本资产定价模型可供选择的模型，罗斯（Ross,1976）引入了套利定价理论。
APT 比CAPM 更一般，由于它考虑多个风险因子。
不像CAPM ，APT 也不要求识别市场投资组合。
然而，这种一般性不是无成本的。
在其一般形式中，APT 给出了资产期望收益与个数不确定的未识别因子之间近似关系。
在这种情况下，否定该理论是不可能的（除非套利机会存在）。
因此，模型可检验性依赖于额外假设的引入1。
套利定价理论假设市场是竞争的、无摩擦的；所考虑的资产收益生成过程为i i i i a R ε+'+=f b （6.1.1）0][=f i E ε （6.1.2）∞<≤=222][σσεi i E （6.1.3）其中i R 是资产i 的收益，i a 是因子模型截距，i b 是资产i 因子敏感度)1(⨯K 向量，f 是共同因子实现（realization ）)1(⨯K 向量，i ε是扰动项。
对N 个资产系统而言，ε++=Bf a R （6.1.4） 0][=f εE （6.1.5） ∑='][εεE （6.1.6） 在这个系统方程中，R 是)1(⨯N 向量即],,,[21'=N R R R R ，a 是)1(⨯N 向量即1 关于APT 可检验性有大量的争论。
Shanken(1982)和Dybvig 与Ross(1985)给出了一个有趣的交流。
Dhrymes , Friend 与Gultekin 和Gultekin(1984)也怀疑该模型经验上的相关性。
],,,[21'=N a a a a ，B 是)(K N ⨯矩阵即],,,['=N b b b B 21 ，ε是)1(⨯N 向量即],,,[21'=N εεεε 。
我们进一步地假设因子能解释资产收益共同变化，以致（组合规模）大的、充分多样化投资组合扰动项就消失了2。
但这要求资产的扰动项之间充分不相关。
给定这1结构，罗斯（Ross,1976）说明在（规模）大的（large ）经济中无套利就意味着K λιλμB +≈0 （6.1.7）其中μ是期望收益)1(⨯N 向量，0λ是零—贝塔模型参数，如果无风险资产存在，0λ就等于无风险收益，K λ是因子风险溢价)1(⨯K 向量。
在这里及整章中，假设ι表示元素全为1的向量。
有限个资产可能由于套利被错误定价，因此（6.1.7）式关系是近似的。
因为（6.1.7）式仅是个近似，所以它不会导出直接可检验的资产收益的约束。
为了获得（可检验的资产收益）约束条件，我们必须施加额外结构使近似变为精确。
Connor （1984）提出了具有精确因子定价特征的APT 竞争均衡形式。
在Connor 模型中，额外要求为市场投资组合充分多样化且因子是遍及的（pervasive ）。
如果经济中没有单个资产占有总财富重要的比例，那么市场投资组合将是充分多样化的。
没有对投资者因子风险暴露选择的限制，要求因子遍及允许投资者分散特有的风险。
Dybvig （1985）和Grinblatt 与Titman （1985）采用了不同方法。
他们研究了给定代表性的代理商偏好结构，精确因子定价离差潜在的大小。
两篇论文得出结论对经济参数合理设定，精确因子定价理论离差可能微不足道。
因此，以精确定价关系为基础的实证研究是合理的。
在跨期资产定价框架下也能得到精确因子定价。
将默顿（Merton,1973a ）提出的跨期资本资产定价模型与收益条件分布假设结合起来得出1个合并形成了多因子模型。
在这个模型中，市场投资组合作为一个因子，状态变量作为其余因子。
其余因子来自投资者对冲未来投资机会不确定性风险的需要。
Breeden （1979）、Campell （1993a,1996）与Fama （1993）研究了这个模型。
我们将在第8章中讨论它。
在这1章，一般我们不区分APT 与ICAPM 。
我们将分析精确因子定价模型，也就是，K λιλμB +=0 （6.1.8）在因子设定方面有些灵活性。
大多数实证研究选择市场投资组合的1个替代变量作为一个因子。
然而，可利用不同技巧处理其余因子。
我们将考虑几种情形。
在一种情形下，APT 因子与ICAPM 状态变量不必是交易投资组合。
在其他情形下，因子是投资组合收益。
这些因子投资组合之所以被称为摹拟投资组合，是因为它们联合与因子是最相关的。
精确因子定价这样的投资组合是一致的。
(Huberman 、(Kendel 与Stambaugh （1987）和Breeden （1979）在APT 与ICAPM 文中各自讨论了这个问题。
6.2 估计与检验在这一节，我们考虑不同形式精确因子定价关系的估计与检验。
模型的经济计量分析起2 一个大的、充分多样化投资组合是具有阶权重为N 1大量股票的投资组合。
点是关于收益时间序列行为的1个假设。
我们假设因子条件收益是IID 且联合多元正态的。
虽然这是个强假设，但它允许因子时间序列收益的有限依赖性。
此外，根据附录中广义矩法处理估计与检验问题，可以放宽这个假设。
多因子模型的GMM 方法正好是在第5章中所提出的检验CAPM 的GMM 方法的一般化。
如上所述，多因子模型既没有设定因子个数，也没有设定因子的识别。
这样，为了估计与检验模型，我们必须确定因子——在第6.4节，我们将谈论这个问题。
在这一部分，我们将继续探讨因子数及其识别。
我们考虑精确因子定价模型四种形式：（1）因子为可交易资产的投资组合，存在无风险资产；（2）因子为可交易资产的投资组合，不存在无风险资产；（3）因子不是可交易资产的投资组合；（4）因子为可交易资产的投资组合，且因子投资组合跨越了（SPAN ）风险资产均值—方差的边界。
我们利用最大似然估计来处理这四种情形。
请见Shanken(1992b)利用截面回归方法处理这同样的四种情形。
给定因子条件收益的联合正态假设，我们能利用似然比构造这四种情形中任意一种情形的检验。
由于检验统计量推导类似于在第5章中所给出的CAPM 似然比检验统计量推导，在此不再重复。
所有情形似然比检验统计量都采用同样的一般形式。
定义J 为检验统计量，我们有]ˆlog ˆ)[log 12(*∑-∑----=K N T J （6.2.1） 其中，∑ˆ和*ˆ∑分别为无约束模型与有约束模型残差协方差矩阵最大似然估计量。
T 为时间序列观测期数，N 为包含的投资组合个数，K 为因子个数。
如第5章中所讨论的，用)12(---K N T 而不是用通常的T 来标度统计量以改善有限样本零分布对大样本分布收敛性3。
在零假设下，统计量J 的大样本分布是自由度等于零假设下约束的个数2χ分布。
6.2.1 具有无风险资产的投资组合作为因子我们首先考虑因子为可交易投资组合且存在无风险资产的这一情形。
无约束模型将是以超额收益表示的K —因子模型。
对N 个资产（或资产投资组合）而言，定义t Z 为超额收益)1(⨯N 向量。
对超额收益而言，K —因子线性模型为t Kt t ε++=BZ a Z （6.2.2）0][=t E ε （6.2.3）∑='][t t E εε （6.2.4）K Kt E μ=][Z ，K K Kt K Kt E Ω='--]))([(μμZ Z （6.2.5） O Z ='],[t Kt Cov ε （6.2.6）3 请参见方程(5.3.41)和Jobson 与Korkie(1982)。
B 是因子敏感度)(K N ⨯矩阵，Kt Z 是因子投资组合超额收益)1(⨯K 向量，a 和t ε分别是资产收益截距和扰动项)1(⨯N 向量。
∑是扰动项的方差—协方差矩阵，K Ω是因子投资组合超额收益的方差—协方差矩阵，而O 是)(N K ⨯零阵。
精确因子定价意味着模型（6.2.2）中向量a 的元素均为零。
对无约束模型（6.2.2）而言，最大似然估计量恰好是OLS 估计量：K μμˆˆˆˆB a-= （6.2.7） 111]))((][))(([ˆ-==∑∑'--'--=Tt K Kt K Kt T t K Kt K t μμμμZ Z Z ZB （6.2.8） )ˆˆ)(ˆˆ(1ˆ1'----=∑∑=Kt t T t Kt t T Z B a Z Z B a Z （6.2.9） 其中，∑==T t t T 11ˆZ μ ，∑==T t Kt K T 11ˆZ μ 对a 被约束为零的有约束模型而言，最大似然估计量为111*]][[ˆ-==∑∑''=Tt KtKt T t Kt t Z Z Z Z B （6.2.10） )ˆ)(ˆ(1ˆ*1**'--=∑∑=Kt t T t Kt t T Z B Z Z B Z （6.2.11） 利用模型（6.2.1）似然比统计量J 能够检验零假设a 等于零。
既然零假设增加了N 个约束，那么在零假设下零分布自由度将为N 。
在这一情形中，我们也能构造零分布的一个精确多元F —检验。
定义1J 为检验统计量，我们有a a ˆˆˆ]ˆˆˆ1[)(1111---∑'Ω'+--=K K K NK N T J μμ （6.2.12） 其中，K Ωˆ为KΩ的最大似然估计量， ∑='--=ΩT t K Kt K Kt K T 1)ˆ)(ˆ(1ˆμμZ Z （6.2.13） 在零假设下，1J 无条件地服从分母自由度为N 且分子自由度为)(K N T --的中心F 分布。
这个检验能消除使用渐近分布理论产生的问题，是很有用的。
Jobson 与Korkie(1985)给出了1J 的1种推导方法。
6.2.2 无无风险资产的投资组合作为因子在没有无风险资产情形下，有个等价于CAPM 的Black 形式的多因子零—贝塔模型。
