《三角形的初步认识》2020学年浙教版八年级上册期末复习巩固练习卷(含答案)

浙教版数学八年级上册第1章《三角形的初步知识》测试考生须知：●本试卷满分120分，考试时间100分钟。

●必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚。

●请在试卷上各题目的答题区域内作答，选择题答案写在题中的括号内，填空题答案写在题中的横线上，解答题写在题后的空白处。

●保持清洁，不要折叠，不要弄破。

一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.2，2，4C.1，2，2D.1，5，72.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A.两点之间线段最短B.三角形两边之和大于第三边C.两点确定一条直线D.三角形的稳定性（第3题）（第2题）3.如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A.AC=DEB.∠BAD=∠CAEC.AB=AED.∠ABC=∠AED4.下列命题中真命题是（）A.无限小数都是无理数B.9的立方根是3C.倒数等于本身的数是±1D.数轴上的每一个点都对应一个有理数5.已知，在△ABC 中，∠B 是∠A 的3倍，∠C 比∠A 大30°，则∠A 的度数是（ ） A.30°B.50°C.70°D.90°6.如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 的垂直平分线交于点E ，且△CDE 的周长为10，则平行四边形ABCD 的周长是（ ） A.10B.14C.18D.207.将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF=90°，∠FEG=30°，∠1= 115°，则∠BFG 的大小为（ ） A.125°B.115°C.110°D.120°8.如图，在△ABC 中，AD 是高， AE 、BF 是两内角平分线，它们相交于点O ，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数之和为（ ） A.115°B.120°C.125°D.130°9.如图，对（第6题）（第7题）（第8题）（第9题）任意的五角星，结论正确的是( ) A.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=90°B ．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°C ．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=270°D ．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360° 10.如图，在△ABC 中，∠B+∠C=α，按图进行翻折，使B'D//C'G//BC ， B'E//FG ，则∠C"FE 的度数是（ ） A.2αB.90°-2αC.α-90°D.2α-180°二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。

【巩固练习】一.选择题1. 如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°2.（2016•岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm3. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是 ( )A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 图中的尺规作图是作（）A.线段的垂直平分线B.一条线段等于已知线段C.一个角等于已知角D.角的平分线6．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB7. 如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8.（2015•郑州模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°二.填空题9．（2016•南京一模）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°．10.（2015•宝应县校级模拟）命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是，结论是.11. 如图，在△ABC中， ED垂直平分BC，EB=3．则CE长为．12. 若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为____ ____．13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________ ．14．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE 的度数为_________.15. 如图，△ABC 中，H 是高AD 、BE 的交点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝________.16. 如图，△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OM ∥AB ，ON ∥AC ，BC ＝10cm ，则ΔOMN 的周长＝______cm ．三.解答题17. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP ．18．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：在下面的△ABC 中，用尺规作出AB 边上的高（不写作法，保留作图痕迹）19.（2014春•榆树市期末）如图，△ABC 中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是∠BAC 的平分线．（1）求∠DAE 的度数；（2）指出AD 是哪几个三角形的高．20．已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF∠=∠．并延长交AC于点E，BAD FCD求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4＋∠C，∠2＝∠3＋∠C，即∠1＋∠2＝∠C＋∠C＋∠3＋∠4＝70°＋180°＝250°．2. 【答案】D；【解析】解：A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．3. 【答案】C；【解析】三角形高的定义.4. 【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5. 【答案】A；【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线.6. 【答案】A；【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．故选A．7. 【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.8. 【答案】B；【解析】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，∵BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∴∠OBC=∠ABC ，∠OCB=∠ACB ，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB ）=×130°=65°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB ）=180°﹣65°=115°．故选B ．二.填空题9.【答案】540°；【解析】连接∠2和∠5，∠3和∠5的顶点，可得三个三角形，根据三角形的内角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°．故答案为540．10．【答案】同位角相等；两直线平行．【解析】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分． 故答案为：同位角相等；两直线平行．11.【答案】3；【解析】∵ED 垂直平分BC ，∴可得△BED ≌△CED （SAS ）∴CE=BE=3.12. 【答案】100°，60°，20°．13.【答案】ab 21； 【解析】由三角形全等知D 点到AB 的距离等于CD ＝b ，所以△ADB 的面积为ab 21.14. 【答案】10°．15.【答案】45°；【解析】Rt △BDH ≌Rt △ADC ，BD ＝AD.16. 【答案】10；【解析】OM ＝BM ，ON ＝CN ，∴△OMN 的周长等于BC.三.解答题17．【解析】证明：延长AB 至E ，使BE ＝BP ，连接EP∵在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，∴∠ABC ＝80°∴∠E ＝∠BPE ＝802＝40°∵AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线，∴∠QBC ＝40°，∠BAP ＝∠CAP∴BQ ＝QC （等角对等边）在△AEP 与△ACP 中，EAP CAP E C AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△ACP （AAS ）∴AE ＝AC∴AB ＋BE ＝AQ ＋QC ，即AB ＋BP ＝AQ ＋BQ.18.【解析】解：19.【答案与解析】解：（1）∵AD ⊥BC 于D ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD 是△ABE 、△ABD 、△ABC 、△AED 、△AEC 、△ADC 的高．20．【解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒∴ AD＝CD∵ BAD FCD ∠=∠，∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD＝FD.∵ ∠FDB＝90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 90BEC ∠=︒. ∴ BE⊥AC．。

2019--2020学年浙江省八年级上册数学（浙教版）《三角形的初步认识》期末试题分类——解答题一．解答题1．（2019秋•拱墅区期末）如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE．（1）求证：AB＝AD；（2）若∠C＝70°，求∠BED的度数．2．（2019秋•南浔区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，过AB边上一点D作DE⊥BC 于点E，延长ED，与CA的延长线交于点F．（1）求证：AF＝AD．（2）若D是AB的中点，DE＝2，求DF的长．3．（2019秋•南浔区期末）如图，已知点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，且AB＝CD，∠A＝∠D．求证：BE＝CF．4．（2019秋•江干区期末）已知∠α，线段a，b，请按要求作图并回答问题；（1）作△ABC，使∠C＝α，AC＝b，BC＝a；（2）已知∠α＝45°，a＝4√2，b＝7，求△ABC的面积．5．（2019秋•西湖区期末）如图，点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．（1）过点C画OA的垂线，交OA与点D．（2）过点C画OB的垂线，交OA与点E．（3）比较线段CD，CE，OE的大小，并用“＜”连接．6．（2019秋•椒江区期末）如图，平面上有线段AB和点C，按下列语句要求画图与填空：（1）作射线AC；（2）用尺规在线段AB的延长线上截取BD＝AC；（3）连接BC；（4）有一只蚂蚁想从点A爬到点B，它应该沿路径（填序号）（①AB，②AC+CB）爬行最近，这样爬行所运用到的数学原理是．7．（2019秋•温州期末）我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段．如图，在7×7的方格纸中，有一格点线段AB，按要求画图．（1）在图1中画一条格点线段CD将AB平分．（2）在图2中画一条格点线段EF．将AB分为1：3．8．（2019秋•温岭市期末）已知图中有A、B、C、D四个点，现已画出A、B、C三个点，已知D点位于A的北偏东30°方向，位于B的北偏西45°方向上．（1）试在图中确定点D的位置；（2）连接AB，并在AB上求作一点O，使点O到C、D两点的距离之和最小；（3）第（2）小题画图的依据是．9．（2019秋•富阳区期末）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC，AD是高线，∠B＝α，∠C ＝β．（1）用直尺与圆规作三角形内角∠BAC的平分线AE；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的前提下，判断①∠EAD＝β−12α，②∠EAD=12(β−α)中哪一个正确？并说明理由．10．（2019秋•上城区期末）如图，已知平面上有三点A，B，C．（1）按要求画图：画线段AB，直线BC；（2）在线段BC上找一点E，使得CE＝BC﹣AB；（3）过点A作BC的垂线，垂足为点D，找出AB，AC，AD，AE中最短的线段，并说明理由．11．（2019秋•滨江区期末）已知：如图，CD＝BE，DG⊥BC于点G，EF⊥BC于点F，且DG＝EF．（1）求证：△DGC≌△EFB；（2）连结BD，CE．求证：BD＝CE．12．（2019秋•柯桥区期末）如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母．①画线段AB；②画直线AC；③过点D画AC的垂线，垂足为F．13．（2019秋•越城区期末）已知：如图，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点．（1）求证：∠D＝∠B；（2）当AE＝2时，求AF的值．14．（2019秋•苍南县期末）已知：如图，∠ACB＝∠DCE，AC＝BC，CD＝CE，AD交BC 于点F，连结BE．（1）求证：△ACD≌△BCE．（2）延长AD交BE于点H，若∠ACB＝30°，求∠BHF的度数．15．（2019秋•余杭区期末）如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形．（1）画直线AB和射线CB；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC；（要求保留作图痕迹）（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短，并写出画图的依据．16．（2019秋•长兴县期末）如图，平面内有三个点A，B，C，请你根据下列要求完成作图（作图工具不限）．（1）画直线AB，射线CB，线段AC；（2）过点C作直线l⊥直线AB，垂足为D．17．（2019秋•嘉兴期末）已知：如图，点F，B，E，C在同一条直线上，AC＝DF，BF＝EC，∠F＝∠C．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）若∠F+∠FED＝80°，求∠A的度数．18．（2019秋•鄞州区期末）如图是由24个小正方形组成的网格图，每一个正方形的顶点都称为格点，△ABC的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图，每个小题只需作出一个符合条件的图形．（1）在图1网格中找格点D，作直线AD，使直线AD平分△ABC的面积；（2）在图2网格中找格点E，作直线AE，使直线AE把△ABC的面积分成1：2两部分．19．（2019秋•温州期末）如图，在平面内有A，B，C三点．（1）请按要求作图：画直线AC，射线BA，线段BC，取BC的中点D，过点D作DE ⊥AC于点E．（2）在完成第（1）小题的作图后，图中以A，B，C，D，E这些点为端点的线段共有条．20．（2019秋•奉化区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE≌△CFE；（2）若BE⊥AF，求证：AB＝BC+AD．21．（2019秋•新昌县期末）如图，已知点A，D，B，E在同一条直线上，∠A＝∠E，∠ADF ＝∠EBC，AC＝EF．求证：AB＝DE．22．（2019秋•余姚市期末）如图，已知AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF，求证：AF＝CD．23．（2019秋•下城区期末）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．（1）求证：AE＝DF．（2）若BC＝16，EF＝6，求BE的长．24．（2019秋•义乌市期末）如图所示，在三角形ABC和三角形DEF中，B，F，C，E在同一直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝EC，求证：AC＝DF．25．（2019秋•吴兴区期末）已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，∠ABC＝∠EDF，AD＝BE，BC＝DF．求证：AC＝EF．2019--2020学年浙江省八年级上册数学（浙教版）《三角形的初步认识》期末试题分类——解答题参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠EAD，又∵∠C＝∠AED，BC＝DE．∴△ABC≌△ADE（AAS），∴AB＝AD；（2）∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∴∠C＝∠AEC＝70°，∵∠AED＝∠C＝70°，∴∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．2．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，∴∠F＝∠BDE，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠F＝∠ADF，∴AF＝AD．（2）解：作AG⊥DF于点G，∵AD ＝AF ，∴DF ＝2DG ＝2FG ，∵D 是AB 的中点，∴AD ＝BD ，∵∠ADG ＝∠BDE ，∠AGD ＝∠BED ＝90°，∴△ADG ≌△BDE （AAS ），∴DG ＝DE ＝2，∴DF ＝4．3．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中{∠B =∠CAB =CD ∠A =∠D∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴BF ＝CE ，∴BF +EF ＝CE +EF ，即BE ＝CF ．4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，△ABC 为所作；（2）作AH⊥BC于H，如图，∵∠B＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH=√22AC=√22×4√2=4，∴S△ABC=12×BC×AH=12×7×4＝14．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示：D为所求；（2）如图所示：E为所求；（3）CD＜CE＜OE（从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短）．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，射线AC即为所求；（2）如图所示，线段BD即为所求；（3）如图所示，线段BC即为所求；（4）有一只蚂蚁想从点A爬到点B，它应该沿路径AB爬行最近，这样爬行所运用到的数学原理是两点之间，线段最短．故答案为：①；两点之间，线段最短．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）如图，线段EF即为所求，注意有两种情形．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，点O即为所求．（3）第（2）小题画图的依据是两点之间线段最短．故答案为两点之间线段最短．9．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，（1）AE即为∠BAC的平分线；（2）②∠EAD=12(β−α)正确，理由如下：在（1）的前提下，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠EAB＝∠EAC=12∠BAC，=12（180°﹣α﹣β）＝90°−12α−12β，∵AD是高线，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣β，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝90°−12α−12β−（90°﹣β）=12（β﹣α）．所以②∠EAD=12(β−α)正确．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，（1）线段AB，直线BC即为所求；（2）点E 即为所求，使得CE ＝BC ﹣AB ；（3）过点A 作BC 的垂线，垂足为点D ，根据垂线段最短可知：AB ，AC ，AD ，AE 中最短的线段为AD ．11．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵DG ⊥BC ，EF ⊥BG∴∠DGC ＝∠EFB ＝90°．在Rt △DGC 和Rt △EFB 中，{CD =BE DG =EF∴Rt △DGC ≌Rt △EFB （HL ）；（2）∵Rt △DGC ≌Rt △EFB ，∴∠BCD ＝∠CBE ，∵BC ＝CB ，CD ＝BE ，∴△BDC ≌△CEB （SAS ），∴BD ＝CE ．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：①如图所示：线段AB 即为所求；②如图所示：直线AC 即为所求；③如图所示：点F 即为所求．13．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在△ADC 和△ABC 中，{AD =AB AC =AC CD =CB∴△ADC ≌△ABC （SSS ）∴∠D ＝∠B ；（2）∵E 、F 分别是DC 、BC 的中点，BC ＝DC ，∴DE ＝BF ，在△ADE 和△ABF 中，{DE =BF ∠D =∠B AD =AB∴△ADE ≌△ABF （SAS ），∴AF ＝AE ＝2．14．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCE +∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵△ACD ≌△BCE ，∴∠A ＝∠B ，∵∠BFH ＝∠AFC ，∴∠BHF ＝∠ACB ，∵∠ACB ＝30°，∴∠BHF ＝30°．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，（1）直线AB和射线CB即为所求作的图形；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC；（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，直线AB，射线CB，线段AC为所作；（2）如图，直线l为所作．17．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵BF＝EC，∴FE＝CB，且∠F＝∠C，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）（2）∵∴△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∵∠F+∠FED＝80°，∴∠D＝180°﹣80°＝100°，∴∠A＝100°．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，取格点D，作射线AD，射线AD即为所求．（2）取格点E，连接AE，射线AE即为所求．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示：直线AC，射线BA，线段BC，取BC的中点D，过点D作DE⊥AC于点E即为所求作的图形；（2）图中以A，B，C，D，E这些点为端点的线段共有8条．故答案为8．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，∵点E为CD的中点，∴ED＝EC，∴△DAE≌△CFE（AAS）；（2）∵△DAE≌△CFE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵BE⊥AF，∴AB＝BF，∵BF＝BC+CF，CF＝AD，∴AB＝BC+AD．21．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠ADF＝∠EBC，∴∠FDE ＝∠CBA ．在△ACB 和△EFD 中，{∠A =∠E∠CBA =∠FDE AC =EF，∴△ACB ≌△EFD （AAS ）． ∴AB ＝ED ．22．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AB ∥DE ， ∴∠A ＝∠D ．在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）． ∴AC ＝DF ．∴AC +CF ＝DF +CF ．∴AF ＝CD ．23．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ，在△ABE 和△DCF 中，{∠A =∠DAB =DC ∠B =∠C，∴△ABE ≌△DCF （ASA ）， ∴AE ＝DF ．（2）解：∵△ABE ≌△DCF ， ∴BE ＝CF ，BF ＝CE ，∵BF +CE ＝BC ﹣EF ＝16﹣6＝10， ∴2BF ＝10，∴BF ＝5，∴BE ＝BF +EF ＝5+6＝11．24．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BF ＝EC ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中 {∠A =∠D∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）， ∴AC ＝DF ．25．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AD ＝BE ， ∴AD +BD ＝BE +BD ， ∴AB ＝DE ，在△ABC 和△EDF 中 {AB =DE ∠ABC =∠EDF BC =DF，∴△ABC ≌△EDF （SAS ）， ∴AC ＝EF ．。

浙教版数学八年级上册-第一章-三角形的初步认识-巩固练习一、单选题1.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 100°2.如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（）A. 95°B. 120°C. 135°D. 无法确定3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD：DC=9：7，则点D到AB边的距离为（）A. 18B. 16C. 14D. 124.如图，△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，则△ABC 的周长（）cmA. 6B. 7C. 8D. 95.下列说法正确的是（）．①三角形的三条中线都在三角形的内部；②三角形的三条角平分线都在三角形的内部；③三角形的三条高都在三角形的内部．A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①③6.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（）A. 15B. 12.5C. 14.5D. 17二、填空题8.如图，AB=CD，BC=AD，则△ABC≌△________，理由是________．9.如图，点B，A，D，E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC △DEF，则只需添加一个适当的条件是________(只填一个即可)10.命题“等腰三角形底边上的高线和中线互相重合”的逆命题是________，它是________命题（填“真”或“假”）．11.已知在△ABC中，AB=AC=6cm，BE⊥AC于点E，且BE=4cm，则AB边上的高CD的长度为________．12.如图，AB⊥AC，垂足为A，CD⊥AC，垂足为C，DE⊥BC，且AB=CE，若BC=5 cm，则DE 的长为________cm.13.如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=________．14.如图，在周长为10 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为________.15.如图，AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD ≌△COB．你补充的条件是________．三、解答题16.图中所示的是两个全等的五边形，∠β=115°，d=5，指出它们的对应顶点•对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．17.如图，AB=AC,点D,E分别在AC，AB上，且∠B=∠C,求证：AE=AD．四、综合题18.如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB．（1）不添加辅助线，找出图中其它的全等三角形；（2）求证：CF=EF．19.如图，点M，N分别在∠AOB的边OA，OB上，且OM=ON．（1）利用尺规作图：过点M，N分别作OA，OB的垂线，两条垂线相交于点D（不用写作法，只保留作图痕迹）；（2）连接OD，若∠AOB=70°，则∠ODN的度数是________．20.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G 点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.答案一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：∵在△ABC和△AED中∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠1=∠AED，∵∠AED+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，故选：C．【分析】首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1=∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2=90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．2.【答案】C【解析】【解答】根据∠A=80°，则∠ABC+∠ACB=180°－80°=100°，根据∠1=15°，∠2=40°可得∠OBC+∠OCB=100°－15°－40°=45°，则∠BOC=180°－45°=135°.【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，利用角的和差求出∠OBC+∠OCB 的度数，然后三角形内角和定理求出∠BOC的度数.3.【答案】C【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵BC=32，BD：CD=9：7，∴CD=32× =14，∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=CD=14，即D到AB的距离为14．故选：C．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据比例求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，得到答案．4.【答案】C【解析】【解答】解：∵DE为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，而AC=3cm，AB=5cm，∴△ACD的周长为3+5=8cm．故答案为：C.【分析】根据垂直平分线平分所在的线段，且垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可求出△ACD的周长5.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上作答．【解答】①、②正确；而对于三角形三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上；钝角三角形有两条高在外部，故③错误．故选A．【点评】考查了三角形的三条中线，三条角平分线，三条高的位置．三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．6.【答案】C【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．故答案为：C【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可得出∠A的度数。

浙教版数学八年级上册-第一章-三角形的初步认识-巩固练习一、单选题1.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 100°2.如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（）A. 95°B. 120°C. 135°D. 无法确定3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD：DC=9：7，则点D到AB边的距离为（）A. 18B. 16C. 14D. 124.如图，△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，则△ABC 的周长（）cmA. 6B. 7C. 8D. 95.下列说法正确的是（）．①三角形的三条中线都在三角形的内部；②三角形的三条角平分线都在三角形的内部；③三角形的三条高都在三角形的内部．A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①③6.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（）A. 15B. 12.5C. 14.5D. 17二、填空题8.如图，AB=CD，BC=AD，则△ABC≌△________，理由是________．9.如图，点B，A，D，E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC △DEF，则只需添加一个适当的条件是________(只填一个即可)10.命题“等腰三角形底边上的高线和中线互相重合”的逆命题是________，它是________命题（填“真”或“假”）．11.已知在△ABC中，AB=AC=6cm，BE⊥AC于点E，且BE=4cm，则AB边上的高CD的长度为________．12.如图，AB⊥AC，垂足为A，CD⊥AC，垂足为C，DE⊥BC，且AB=CE，若BC=5 cm，则DE 的长为________cm.13.如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=________．14.如图，在周长为10 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为________.15.如图，AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD ≌△COB．你补充的条件是________．三、解答题16.图中所示的是两个全等的五边形，∠β=115°，d=5，指出它们的对应顶点•对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．17.如图，AB=AC,点D,E分别在AC，AB上，且∠B=∠C,求证：AE=AD．四、综合题18.如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB．（1）不添加辅助线，找出图中其它的全等三角形；（2）求证：CF=EF．19.如图，点M，N分别在∠AOB的边OA，OB上，且OM=ON．（1）利用尺规作图：过点M，N分别作OA，OB的垂线，两条垂线相交于点D（不用写作法，只保留作图痕迹）；（2）连接OD，若∠AOB=70°，则∠ODN的度数是________．20.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G 点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.答案一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：∵在△ABC和△AED中∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠1=∠AED，∵∠AED+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，故选：C．【分析】首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1=∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2=90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．2.【答案】C【解析】【解答】根据∠A=80°，则∠ABC+∠ACB=180°－80°=100°，根据∠1=15°，∠2=40°可得∠OBC+∠OCB=100°－15°－40°=45°，则∠BOC=180°－45°=135°.【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，利用角的和差求出∠OBC+∠OCB 的度数，然后三角形内角和定理求出∠BOC的度数.3.【答案】C【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵BC=32，BD：CD=9：7，∴CD=32× =14，∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=CD=14，即D到AB的距离为14．故选：C．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据比例求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，得到答案．4.【答案】C【解析】【解答】解：∵DE为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，而AC=3cm，AB=5cm，∴△ACD的周长为3+5=8cm．故答案为：C.【分析】根据垂直平分线平分所在的线段，且垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可求出△ACD的周长5.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上作答．【解答】①、②正确；而对于三角形三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上；钝角三角形有两条高在外部，故③错误．故选A．【点评】考查了三角形的三条中线，三条角平分线，三条高的位置．三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．6.【答案】C【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．故答案为：C【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可得出∠A的度数。

第1章三角形的初步认识1.4 全等三角形知识提要1.全等三角形：能够重合的两个图形称为全等图形，能够重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形相关概念：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角．3．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．练习一、选择题1．如图，下列图形中，与已知图形全等的是( B )2．下列说法中，正确的是( C )A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形C. 全等三角形的周长和面积分别相等D. 所有钝角三角形都是全等三角形3. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO△△NMO，则只需测出其长度的线段是（B）A.PO.B.PQ.C.MO.D.MQ.4．如图，△ABC△△DEF，CD平分△ACB.若△A＝28°，△CGF＝85°，则△E的度数为( D )A. 32°B. 34°C. 36°D. 38°提示：先由△A＝△D，△CGF＝△D＋△BCD求得△BCD，再求得△ACB，△B即可．5．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点，作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能画出( C )A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个6．有下列说法：△全等三角形的形状相同，大小相等；△全等三角形的对应边相等；△全等三角形的对应角相等；△全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有(A)A．4个B．3个C．2个D．1个7．[2018·温州]期末如图，已知△ABC△△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE 于点F.若BE＝10，CF＝4，则BF的长为(C)A．4 B．5 C．6 D．7[解析]根据全等三角形的对应关系，得BC＝BE，所以BF＝BC－CF＝BE－CF＝10－4＝6.8．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点．若△ADB△△EDB△△EDC，则△C 的度数是(D)A．15° B．20° C．25° D．30°[解析] △△ADB△△EDB△△EDC，△△C＝△DBC＝△ABD，△A＝△DEB＝△DEC.△△DEB＋△DEC＝180°，△△A＝△DEB＝90°，△△C＋△DBC＋△ABD＝180°－△A＝90°，△△C＝30°.9.如图，△ABC△△AED，点B，C，D，E在同一条直线上，那么图中相等的角有(C)A．3对B．4对C．5对D．6对[解析] △△ABC△△AED，△△B＝△E，△BAC＝△EAD，△ACB＝△ADE.△△DCA＝△BAC＋△B，△CDA＝△EAD＋△E，△BAD＝△BAC＋△CAD，△CAE＝△EAD＋△CAD，△△DCA＝△CDA，△BAD＝△CAE，△图中相等的角有5对．10.[2018·绍兴期末改编]如图，△ABC△△ADE，△DAC＝60°，△BAE＝100°，BC，DE 相交于点F，BC，AD相交于点G，则△DFB的度数是(B)A．15° B．20° C．25° D．30°[解析] 根据全等三角形的对应关系，得△D＝△B，△BAC＝△DAE，所以△DAB＝△EAC＝(△BAE－△DAC)÷2＝20°.又因为△D＝△B，△BGA＝△DGF，所以根据三角形内角和定理，可知△DFB＝△DAB＝20°.二、填空题1．如图，已知△ABC与△DEF全等，根据图中提供的信息，可得x＝__20__．【解】由图可知，△A＝180°－50°－60°＝70°＝△D，△点A与点D是对应点，△△ABC△△DEF，△EF＝BC＝20，即x＝20.2．如图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=___27______cm．3.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则△A′=___120_____°，△A=___70_____°，B′C′= ____12______，AD=______6______．4.[2018·宁波江北区校级期末]已知△ABC△△DEF，若AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△DEF的周长是__19______．[解析] △AB＝5，BC＝6，AC＝8，△△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝5＋6＋8＝19.△△ABC△△DEF，△△DEF的周长等于△ABC的周长，△△DEF的周长是19.三、解答题1．如图，O为AB上一点，将该图形沿OG对折后两侧能完全重合．若△B＝25°，△DOC＝90°，求△AED的度数．【解】△图形沿OG对折后两侧能完全重合，△△AOG△△BOG，△EOG△△FOG，△△A＝△B＝25°，△AOG＝△BOG，△EOG＝△FOG.△△AOG＋△BOG＝180°，△△AOG＝△BOG＝90°.△△DOC＝90°，△△EOG＝△FOG＝45°，△△AOE＝45°.△△AED＝△A＋△AOE＝45°＋25°＝70°.2．如图所示，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD△△ACE.(1)求证：BD＝DE＋CE；(2)当△ABD满足什么条件时，BD△CE？并说明理由．解：(1)证明：△△BAD△△ACE，△BD＝AE，AD＝CE.又△AE＝DE＋AD，△BD＝DE＋CE.(2)当△ABD满足△ADB＝90°时，BD△CE.理由：△△ADB＝90°，△△BDE＝180°－90°＝90°.又△△BAD△△ACE，△△CEA＝△ADB＝90°，△△CEA＝△BDE，△BD△CE.3．已知：如图，在△ABC中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向终点A以a厘米/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．(1)求CP的长(用含t的代数式表示)；(2)若存在t的值，使以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且△B和△C是对应角，求a的值．解：(1)△BP＝3t厘米，BC＝8厘米，△CP＝(8－3t)厘米．(2)△若△BDP△△CPQ，则BD＝CP.△AB＝10厘米，D为AB的中点，△BD＝5厘米，△5＝8－3t，解得t＝1.△△BDP△△CPQ，△BP＝CQ，即3×1＝a·1，解得a＝3.△若△BDP△△CQP，则BP＝CP，即3t＝8－3t，解得t＝4 3.△△BDP△△CQP，△BD＝CQ，即5＝43a，解得a＝154.综上所述，a的值为3或154.4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.点P从点A出发沿路径A→C→B 向终点B运动；点Q从点B出发沿路径B→C→A向终点A运动．点P和点Q分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点P作PE⊥l于点E，过点Q作QF⊥l于点F.问：点P运动多少时间时，△PEC与△CFQ全等？请说明理由．【解】 设运动时间为t(s)时，△PEC 与△CFQ 全等． △△PEC 与△CFQ 全等，△斜边CP ＝QC.当0<t<6时，点P 在AC 上；当6≤t≤14时，点P 在BC 上． 当0＜t ＜83时，点Q 在BC 上；当83≤t≤143时，点Q 在AC 上．解△有三种情况：△当点P 在AC 上，点Q 在BC 上时⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t<83，如解图△.易得CP ＝6－t ，QC ＝8－3t ，△6－t ＝8－3t ，解得t ＝1.△当点P ，Q 都在AC 上时⎝ ⎛⎭⎪⎫83≤t≤143，此时点P ，Q 重合，如解图△.易得CP ＝6－t ＝3t －8，解得t ＝3.5.△当点Q 与点A 重合，点P 在BC 上时(6＜t≤14)，如解图△. 易得CP ＝t －6，QC ＝6，△t －6＝6，解得t ＝12.综上所述，当点P 运动1 s 或3.5 s 或12 s 时，△PEC 与△CFQ 全等．。

第1章三角形的初步认识1.1认识三角形知识提要一．认识三角形1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2．三角形三个内角的和等于180°3．三角形可以按内角的大小进行分类：(1)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；(2)有一个内角是直角的三角形是直角三角形；(3)有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形．4．三角形任何两边的和大于第三边．5. 角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．6. 中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边_中点的线段，叫做三角形的中线．7. 高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．练习一．选择题1. 一个三角形的两边长分别是3和6，第三边长为奇数，那么第三边长是(A)A．5或7 B．7或9 C．3或5 D．92.下列说法错误的是（ C ）A．三角形的角平分线一定在三角形的内部B．三角形的中线一定在三角形的内部C．三角形的高线一定在三角形的内部D．三角形任意两边中点的连线一定在三角形的内部3．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是( D )A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BE＝EC D．AD＝EC，DC＝BE4．(泉州中考)已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值(B) A．11 B．5 C．2 D．15. 如图△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，DB与CE相交于F，则图中共有三角形( D )A．4个B．5个C．6个D．8个6.若一个三角形三个内角的度数之比是2△3△7，则这个三角形一定是( C )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定7．如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高线，下列作法正确的是( A )8．如图在△ABC中，△ABC，△ACB的平分线BE，CD相交于点F，△A＝60°，则△BFC＝（ C ）A．118° B．119°C．120°D．121°9．（聊城中考）直线a、b、c、d的位置如图所示，△1＝58°，△2＝58°，△3＝70°，那么△4的度数为（ C ）A．58°B．70°C．110°D．116°10．如图所示，AB△CD，CE平分△ACD，△A＝110°，则△ECD＝（D ）A．110°B．70°C．55°D．35°11．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( D ) A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0【解】△a＋b>c，△a＋b－c>0，c－a－b<0，△|a＋b－c|－|c－a－b|＝a＋b－c＋(c－a－b)＝a＋b－c＋c－a－b＝0．12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BDG＝8，S△AGE＝3，则S△ABC＝( B )A．25 B．30C．35 D．40【解】在△BDG和△GDC中，△BD＝2DC, 这两个三角形在BC边上的高线相等，△S△BDG＝2S△GDC，△S△GDC＝4．同理，S△GEC＝S△AGE＝3．△S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15，△S△ABC＝2S△BEC＝30．1．在△ABC中，△A＝68°，△B＝26°，则△C＝___86°___，则△ABC是__锐角三角形．2．如图，AD是△ABC的中线，AB－AC＝5 cm，△ABD的周长为49 cm，则△ADC的周长为__44__cm．3．如图所示，已知△BDC＝142°，△B＝34°，△C＝28°，则△A＝____80°________．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF△AB于点F，PE△AC于点E，BD为△ABC 的高线，BD＝8，则PF＋PE＝____8____．[解析]连结AP，则S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，△21AC·BD＝21AB·PF＋21AC·PE.△AB＝AC，△BD＝PF＋PE. △BD＝8，△PF＋PE＝8.5．如图，在△ABC中，BD是△ABC的平分线，已知△ABC＝80°，则△DBC＝__40°__．6. 如图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图2，再分别连结图2中间的小三角形三边的中点，得到图3，按此方法继续下去…请你根据每个图中三角形的个数的规律，解答下列问题．(1)将下表填写完整：(2))．答案．(1)1317(2)4n－31．如图，在△ABC 中(AB>BC)，AC ＝2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40的两部分，求AC 和AB 的长．【解】 △AD 是BC 边上的中线，AC ＝2BC ，△BD ＝CD ，AC ＝4BD ．设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝4x ．分两种情况讨论：△AC ＋CD ＝60，AB ＋BD ＝40，则4x ＋x ＝60，x ＋y ＝40，解得x ＝12，y ＝28，即AC ＝4x ＝48，AB ＝28，BC ＝2x ＝24，此时符合三角形三边关系定理．△AC ＋CD ＝40，AB ＋BD ＝60，则4x ＋x ＝40，x ＋y ＝60，解得x ＝8，y ＝52，即AC ＝4x ＝32，AB ＝52，BC ＝2x ＝16，此时不符合三角形三边关系定理．综上所述，AC ＝48，AB ＝28．2．如图，在△ABC 中，AD 是高线，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，△CAB ＝50°，△C ＝60°，求△DAE 和△BOA 的度数．【解】 △△CAB ＝50°，△C ＝60°，△△ABC ＝180°－50°－60°＝70°．△AD 是高线，△△ADC ＝90°，△△DAC ＝180°－△ADC －△C ＝30°．△AE ，BF 是角平分线，△△ABF ＝12△ABC ＝35°，△EAF ＝12△CAB ＝25°， △△DAE ＝△DAC －△EAF ＝5°，△AFB ＝180°－△ABF －△CAB ＝95°，△△AOF ＝180°－△AFB －△EAF ＝60°，△△BOA ＝180°－△AOF ＝120°．3．如图，已知△ADC ＝△ACD ，求证：△α＝△β＋2△γ.答案： 由△ADC ＝△γ＋△β，△ADC ＝△ACD ，则△ACD ＝△γ＋△β，则△α＝△ACD ＋△B ＝△γ＋△β＋△γ＝△β＋2△γ.4. 已知：如图，△MON＝36°，OE平分△MON，A，B分别是射线OM，OE上的动点(点A，B不与点O重合)，D是线段OB上的动点，连结AD并延长交射线ON于点C，设△OAC＝x°.若AB△ON，(1)△ABO的度数是多少？(2)当△BAD＝△ABD时，x的值为多少？(3)当△BAD＝△BDA时，x的值为多少？解：(1)△△MON＝36°，OE平分△MON，△△AOB＝△BON＝18°.△AB△ON，△△ABO＝△BON＝18°.(2)当△BAD＝△ABD时，△BAD＝18°.△△AOB＋△ABO＋△OAB＝180°△△OAC＝180°－18°×3＝126°即x的值为126.(3)当△BAD＝△BDA时，△△ABO＝18°，△△BAD＝21×(180°－18°)＝81°.△△AOB＋△ABO＋△OAB＝180°，△△OAC＝180°－18°－18°－81°＝63°，即x的值为63.5．观察并探求下列各问题：(1)如图△，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图△，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图△，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．【解】(1)BP＋PC＜AB＋AC．理由：三角形两边的和大于第三边．(2)△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图△，延长BP交AC于点M．△PC<PM＋MC，△BP＋PC<BM＋MC．△BM<AB＋AM，△BM＋MC<AB＋BC，△BP＋PC＜AB＋AC，△BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，即△BPC的周长＜△ABC的周长．(3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图△，分别延长BP1，CP2交于点M．由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC．又△P1P2＜P1M＋P2M，△BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，△BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．6．如图，在△ABC中，AD△BC，AE平分△BAC，△B=70°，△C=30°．求：（1）△BAE的度数；（2）△DAE的度数；（3）探究：小明认为如果条件△B=70°，△C=30°改成△B-△C=40°，也能得出△DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．答案：（1）△△B+△C+△BAC=180°，△△BAC=180°-△B-△C=180°-70°-30°=80°，△AE平分△BAC，△△BAE=△BAC=40°.（2）△AD△BC，△△ADB=90°，而△ADB+△B+△BAD=180°，△△BAD=90°-△B=90°-70°=20°，△△DAE=△BAE-△BAD=40°-20°=20°.（3）能．△△B+△C+△BAC=180°，△△BAC=180°-△B-△C，△AE平分△BAC，△△BAE=△BAC=（180°-△B-△C）=90°-（△B+△C），△AD△BC，△△ADB=90°，而△ADB+△B+△BAD=180°，△△BAD=90°-△B，△△DAE=△BAE-△BAD=90°-（△B+△C）-（90°-△B）=（△B-△C），△△B-△C=40°，△△DAE=×40°=20°．7．如图，△EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，△DBO的平分线与△OAB的平分线交于点C，试问：△ACB的大小是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．答案：△ACB不随点A，B的移动发生变化．理由如下：△BC，AC分别平分△DBO，△BAO，△△DBC＝△DBO，△BAC=△BAO. △△DBO＋△OBA＝180°，△OBA＋△BAO＋△AOB＝180°，△△DBO＝△BAO＋△AOB，△△DBO－△BAO＝△AOB＝90°.△△DBC＋△ABC＝180°，△ABC＋△ACB＋△BAC＝180°，△△DBC＝△BAC＋△ACB，△△DBO＝△BAO＋△ACB，△△ACB＝（△DBO－△BAO）＝△AOB＝45°。

2020年浙教版八年级数学上册三角形的初步知识单元测试卷三一、选择题（共10题；共30分）1、下面命题正确的是（）A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。

B、等腰梯形的两个角一定相等。

C、对角线互相垂直的四边形是菱形。

D、三角形三条边上的中线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.2、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的根据是（）A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°4、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE=CA，连接AE交CD于点F，则∠AFC度数是（）A、150°B、125°C、135°D、112.5°5、如图所示，一位同学书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）.A、SSSB、SASC、AASD、ASA6、以下列各组线段长为边能组成三角形的是（）A、1cm，2cm，4cmB、8cm，6cm，4cmC、12cm，5cm，6cmD、2cm，3cm，6cm7、下列命题中，真命题的是（）A、如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形B、如果一个平行四边形两条对角线相互垂直，那么这个四边形是菱形C、如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形D、如果一个四边形两条对角线相互垂直平分，那么这个四边形是矩形8、下列命题中，真命题的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等．A、4B、3C、2D、19、若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100cm，DE=30cm，DF=25cm，那么BC长（）A、55cmB、45cmC、30cmD、25cm10、在△ABC中，∠B的平分线与∠C的平分线相交于O，且∠BOC=130°，则∠A=（）A、50°B、60°C、80°D、100°二、填空题（共8题；共24分）11、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明△DOC≌△D'O'C'的依据是________．12、如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，则△ABD与△ACD周长之差为________cm．13、△ABC中，∠BAC：∠ACB：∠ABC=4：3：2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF=________ 度．14、①三角形的三条角平分线交于一点，这点到三条边的距离相等；②三角形的三条中线交于一点；③三角形的三条高线所在的直线交于一点；④三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．以上说法中正确的是________．15、如图，BF、CF是△ABC的两个外角的平分线，若∠A=50°，则∠BFC=________度．16、如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=________度．17、如图所示，BE⊥AC于点D，且AB=CB，BD=ED，若∠ABC=64°，则∠E=________．18、如图，在△ABC中，将∠C沿DE折叠，使顶点C落在△ABC内C′处，若∠A=75°，∠B=65°，∠1=40°，则∠2的度数为________．三、解答题（共5题；共36分）19、如图，已知E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：OE垂直平分CD．20、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1=∠2，∠3=105°，求∠ACB的度数．21、如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠ACB=50°，求∠EDC和∠BDC的度数．22、如图所示，已知∠ACB和∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点．求证：CP=DP．23、如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．四、综合题（共1题；共10分）24、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．(1)证明DE∥CB；(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．答案1、D．2、D．3、D．4、D.5、D.6、B7、B．8、B．9、B．10、C．11、SSS12、答案为：2．13、40．14、答案为：①②③④．15、答案为：6516、45°．17、答案为：32°．18、答案为：40°．19、证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE=CE，OE=OE，在Rt△ODE与Rt△OCE中，，∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线20、解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠BCD，又∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=105°21、解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，∴∠BCD= ∠ACB=25°，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB=25°，∠BDE+∠B=180°，∵∠B=70°，∴∠BDE=110°，∴∠BDC=∠BDE﹣∠EDC=110°﹣25°=85°．∴∠EDC=25°，∠BDC=85°22、证明：在Rt△ACB和Rt△ADB中，，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）．∴BC=BD，∠CBA=∠DBA．∵BP=BP，∴△CBP≌△DBP（SAS）．∴CP=DP．23、证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，∴AM=BM，在Rt△AOM和Rt△BOM中，，∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA24、（1）证明：连结CE．∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，∴CE= AB=AE．∵△ACD是等边三角形，∴AD=CD．在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE=∠CDE=30°．∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°．∴DE∥CB（2）解：当AC= 或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形，理由：∵AC= ，∠ACB=90°，∴∠B=30°，∵∠DCB=150°，∴∠DCB+∠B=180°，∴DC∥BE，又∵DE∥BC，∴四边形DCBE是平行四边形．。

【巩固练习】一.选择题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝（）A．150° B．210° C．105° D．75°2. 如图, 在∠AOB的两边上截取AO ＝ BO, CO ＝ DO, 连结AD、BC交于点P. 则下列结论正确的是( )①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上A. 只有①B. 只有②C. 只有①②D. ①②③3.（2016•琼海校级模拟）如图，AE∥DF，AE=DF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（）A．AB=CD B．CE∥BF C．CE=BF D．∠E=∠F4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定5.（2015•南漳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，将∠EPF绕顶点P旋转，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F．下列四个结论：①AE=CF；②△PEF是等腰直角三角形；③EF=AP；④S四边形AEPF=S△ABC．在∠EPF旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④6. 如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上一点，AD＝AB，则（）．A．∠1＝∠EFD B．FD∥BC C．BF＝DF＝CD D．BE＝EC7. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330° B．315° C．310° D．320°二.填空题9. 如图，△ABC中，AD、CE是△ABC的两条高，BC＝5cm，AD＝3cm，CE＝4cm，则AB的长为________．10. 如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：．11. △ABC中，∠BAC=100°，若DE、FG分别垂直平分AB和AC，则∠EAF=．12．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，•且∠OBC＝•∠OCA，∠BOC＝110°，求∠A的度数为________．13.（2016春•丹阳市期末）若三角形的三边长分别为a、b、5，其中a、b为正整数，且a ≤b≤5，则所有满足条件的三角形共有个．14. 如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数．15．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是 .16.（2015•芦溪县模拟）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为cm．三.解答题17．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．18．如图所示，已知D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝15°，∠ABE＝20°.(1)求∠BDC的度数；(2)求∠BFD的度数；(3)试说明∠BFC＞∠A.19. 如图所示，△ABC中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，•DF＝AC，求证：AE平分∠BAC．20．已知：∠a，以及线段b，c（b＜c）．求作：三角形ABC，使得∠BAC=∠a，AB=c，∠BAC的平分线AD=b．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A ＝∠A′＝75°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°，∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°．2. 【答案】D；【解析】可由SAS证①，由①和AAS证②，SSS证③.3. 【答案】C；【解析】A、当AB=CD时，AC=DB，根据SAS可以判定△EAC≌△FDB；B、当CE∥BF时，∠ECA=∠FBD，根据AAS可以判定△EAC≌△FDB；C、当CE=BF时，不能判定△EAC≌△FDB；D、当∠E=∠F时，根据ASA可以判定△EAC≌△FDB；故选C.4. 【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D 作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可5. 【答案】D；【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C．∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，∴∠FPC=∠EPA，在△AEP与△CPF中，，∴△APE≌△CPF（ASA）．∴AE=CF；EP=PF，故①②正确；∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP=BC，∵EF不是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故③错误；∵△AEP≌△CPF，∴S△AEP=S△CPF（全等三角形的面积相等），又∵S四边形AEPF=S△AEP+S△AFP，∴S四边形AEPF=S△APC=S△ABC，即S四边形AEPF=S△ABC．故④正确．故选D．6. 【答案】B ；【解析】证△ADF≌△ABF，则∠ABF＝∠ADF＝∠ACB，所以FD∥BC.7. 【答案】D；8. 【答案】B；【解析】由图中可知：①∠4=×90°=45°，②∠1和∠7的余角所在的三角形全等∴∠1+∠7=90°同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°．二.填空题9. 【答案】；【解析】(提示：在△ABC中，2S△ABC＝BC×AD＝AB×CE)10.【答案】①②④；【解析】①OCP=∠OCP′，符合ASA，可得二三角形全等，从而得到OP=OP′；②∠OPC=∠OP′C；符合AAS，可得二三角形全等，从而得到OP=OP′；④PP′⊥OC，符合ASA，可得二三角形全等，从而得到OP=OP′；③中给的条件是边边角，全等三角形判定中没有这个定理．故填①②④11. 【答案】20°；【解析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C=80°，再根据线段垂直平分线的性质求出∠BAE+∠CAF=∠B+∠C，然后便不难求出∠EAF．12．【答案】40°；【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，又∵∠OBC＝∠OCA，∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB），∵∠BOC＝110°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝140°，∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．13.【答案】9；【解析】∵三角形的三边a、b、5的长都是整数，且a≤b≤5，c最大为5，∴a=1，b=5，c=5；a=2，b=4，或5，c=5；a=3，b=3，或4，或5，c=5；a=4，b=4，或5，c=5；a=5，b=5，c=5；故存在以a、b、5为三边长的三角形的个数为9个．14.【答案】20°；【解析】解：∵∠B=36°，∠C=76°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=68°，∵AE是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=34°．∵AD是高，∠C=76°，∴∠DAC=90°﹣∠C=14°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=34°﹣14°=20°．15．【答案】m+n＞b+c；【解析】在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接ED，EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．16.【答案】15；【解析】解：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠ECD∵DE⊥BC于E∴∠DEC=∠A=90°∵CD=CD∴△ACD≌△ECD∴AC=EC，AD=ED∵∠A=90°，AB=AC∴∠B=45°∴BE=DE∴△DEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm．三.解答题17.【解析】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．18．【解析】证明：延长FE到G，使EG＝EF，连接CG，在△DEF和△CEG中，ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG，∴△DEF≌△CEG，∴DF＝GC，∠DFE＝∠G，∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠BAE，∵DF＝AC，∴GC＝AC，∴∠G＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CAE，即AE平分∠BAC．19.【解析】解：设∠A=x°，∵BD=AD，∴∠ABD=∠A=x°，∵BD是角平分线，∴∠ABC=2x°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2x°．在△ABC中，x+2x+2x=180x=36．故∠A=36°．20．【提示与解析】此题中，确定△ABC的条件有三个：∠α、AB的长为c，∠BAC的平分线AD=b；可先作出∠MAN，然后作出此角的平分线AE，然后分别在AM、AE上，截取AD=b，AB=c，即可确定B、D的位置，连接BD并延长交AN于C，即可得到所求作的三角形．解：作法：（1）作∠MAN=∠α；（2）作∠MAN的平分线AE；（3）在AM上截取AB=c，在AE上截取AD=b；（4）连接BD，并延长交AN于点C．△ABC就是所画的三角形，如下图所示。

期末复习(一) 三角形的初步知识01 知识结构三角形的初步知识⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧三角形的概念⎩⎪⎨⎪⎧三边关系内角和定理及其推论三角形的中线、高线、角平分线定义与命题⎩⎪⎨⎪⎧命题的组成命题的分类全等图形→全等三角形⎩⎪⎨⎪⎧全等三角形的性质全等三角形的判定角平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理尺规作图02 重难点突破重难点1 三角形的三边关系【例1】 (萧山区期中)已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长是( B ) A.12 B.15 C.12或15 D.15或18 【方法归纳】 判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段.在已知等腰三角形的两边长求其周长时，需注意：(1)一定要利用分类讨论思想列举出三角形的三边长；(2)一定要利用三角形的三边关系检验列举出的三边长是否能围成三角形.1.(海宁新仓中学期中)两根木棒的长分别是5 cm 和7 cm ，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可以是( B )A.2 cmB.4 cmC.12 cmD.13 cm重难点2 三角形形内角和定理及其推论 【例2】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于( A)A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°【方法归纳】在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出要求角与所在三角形中已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角的性质求角度，同时在解题时要注意角平分线的定义.平行线的性质等知识的运用.2.如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为( C )A.28°B.38°C.48°D.88°重难点3三角形的三条重要线段【例3】如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，S△ABC＝41，则S△BFC＝41 4.【思路点拨】根据三角形面积公式得S△BFC＝S△EFC，S△AEC＝S△DEC，S△AEB＝S△DEB，S△ABD＝S△ADC，从而S△BFC＝14S△ABC.3.在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝7_cm.4.(1)如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数；(2)在(1)中，若∠A＝α，∠B＝β(α≠β)，其他条件不变，求∠CDF的度数.(用含α和β的代数式表示)解：(1)根据题意，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，所以∠ACB＝68°.因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝34°.所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°.因为CD⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD为公共角，所以∠CDF＝∠CED＝74°.(2)由(1)可知，∠CDF ＝∠CED ＝∠A ＋∠ACE ，∠ACE ＝180°－α－β2.所以∠CDF ＝180°＋α－β2.重难点4 线段垂直平分线与角平分线的性质【例4】 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，交AC 于点E ，DE 垂直平分AB 于点D ，求证：BE ＋DE ＝AC .证明：∵∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC .∵ED ⊥AB ，BE 平分 ∠ABC ， ∴CE ＝DE ，∵DE 垂直平分AB ， ∴AE ＝BE .∵AC ＝AE ＋CE ，∴BE ＋DE ＝AC . 【方法归纳】 在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求线段的长.5.如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，AB 的垂直平分线MP 交BC 于点P ，AC 的垂直平分线NQ 交BC 于点Q ，连结AP ，AQ ，若△APQ 的周长为20 cm ，则BC 为20cm .第5题图 第6题图6.如图，△ABC 的三条角平分线交于O 点，已知△ABC 的周长为20，OD ⊥AB ，OD ＝5，则△ABC 的面积为50.重难点5 全等三角形的性质与判定【例5】 已知△ABN 和△ACM 的位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.(1)求证：BD ＝CE ； (2)求证：∠M ＝∠N .【思路点拨】 (1)要证BD ＝CE ，可通过转化证△ABD ≌△ACE ，根据“SAS ”得证；(2)要证∠M ＝∠N ，可通过转化证△ACM ≌△ABN ，由(1)可知∠C ＝∠B .因为∠2＝∠1，所以∠CAM ＝∠BAN .再结合AB ＝AC ，即可根据“ASA ”得证.证明：(1)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS ). ∴BD ＝CE .(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE ， 即∠BAN ＝∠CAM .由(1)，得△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠C .在△ACM 和△ABN 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAM ，∴△ACM ≌△ABN (ASA ). ∴∠M ＝∠N .【方法归纳】 三角形全等的证明思路：已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS找另一边→SSS已知一边和一角 ⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一角的对边→AAS7.(成都中考)如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠A ＝36°，∠C ＝24°，则∠B ＝120°.第7题图第8题图8.(杭州大江东区期中)如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AF D.03备考集训一.选择题(每小题3分，共30分)1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( C )A.1，2，4B.4，5，9C.4，6，8D.5，5，112.(嵊州校级期中)下列语句不是命题的是( B )A.两直线平行，同位角相等B.作直线AB垂直于直线CDC.若|a|＝|b|，则a2＝b2D.同角的补角相等3.如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是( D )A.AB＝ACB.∠BAE＝∠CADC.BE＝DCD.AD＝DE第3题图第4题图4.(杭州大江东区期中)如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是( C )A.BC＝EC，∠B＝∠EB.BC＝EC，AC＝DCC.BC＝EC，∠A＝∠DD.∠B＝∠E，∠A＝∠D5.如图，将两根钢条AA′.BB′的中点O连在一起，使AA′.BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( A )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交A B.AC于点D.E，△BEC 的周长是14 cm，BC＝5 cm，则AB的长是( B )A.14 cmB.9 cmC.19 cmD.12 cm7.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是( A )A.3B.4C.6D.5第7题图第8题图8.如图所示，在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠BCA＝3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB 上的高，BD，CE相交于点H，则∠BHC的度数为( B )A.120°B.135°C.125°D.130°9.(嵊州期末)如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个第9题图第10题图10.(杭州大江东区期中)如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A.D.C三点，且a∥b∥c.若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是( B )A.70B.74C.144D.148二.填空题(每小题4分，共24分)11.如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝63°，则外角∠ACD＝121度.第11题图第12题图12.如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为3.13.如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线AD＝6 cm，△ABD周长为19 cm，AB＝8_cm.14.(杭州萧山区月考)已知三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm，一个内角为40°，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有4个.15.当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为18°或36°.16.如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出3个正确的命题.三.解答题(共46分)17.(10分)如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB的度数.解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.18.(12分)如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝BC，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长.解：设AB＝BC＝2x，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD＝x.若△ABD的周长是3＋AD，则2x＋x＝3，解得x ＝1.∴AC ＝4－1＝3.若△ABD 的周长是4＋AD ，则2x ＋x ＝4， 解得x ＝43.∴AC ＝3－43＝53.综上，AC 边的长为3或53.19.(12分)如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，点D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE .DE .DC .(1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数.解：(1)证明：在△ABE 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ＝90°，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS ).(2)∵在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°. ∵△ABE ≌△CBD ， ∴∠AEB ＝∠BDC .∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠ACB ＋∠CAE ＝45°＋30°＝75°. ∴∠BDC ＝75°.20.(12分)(杭州青春中学期末)如图1，AB ＝4 cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3 cm .点P 在线段AB 上以1 cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动.它们运动的时间为t (s ).(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；(2)如图2，将图1中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变.设点Q 的运动速度为x cm /s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x .t 的值；若不存在，请说明理由.解：(1)当t ＝1时，AP ＝BQ ＝1，BP ＝AC ＝3，在△ACP 和△BPQ 中，⎩⎨⎧AP ＝BQ ，∠A ＝∠B ＝90°，AC ＝BP ，∴△ACP ≌△BPQ (SAS ). ∴∠ACP ＝∠BPQ .∴∠APC ＋∠BPQ ＝∠APC ＋∠ACP ＝90°. ∴∠CPQ ＝90°， 即线段PC 与线段PQ 垂直. (2)①若△ACP ≌△BPQ ， 则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，⎩⎨⎧3＝4－t ，t ＝xt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，x ＝1. ②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ， ⎩⎨⎧3＝xt ，t ＝4－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，x ＝32.综上所述，存在⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，x ＝32，使得△ACP 与△BPQ 全等.。