中考数学新概念型问题专题复习

新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例1 我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )．在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝pq.例如2可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34.(1)如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F (t )的最大值．例题分层分析(1)对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)，找出m 的最佳分解为________，所以F(m)＝________＝________；(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式为________，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F(t)的最大值即可．对应练习：对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a－b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x＝－2011，求x的值；(2)若x⊗3<5，求x的取值范围．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例2 如图，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图③，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________；(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH ＝________，再由折叠的轴对称性质可知HD ＝________，FC ＝______，∠AHE ＝12______，∠CFG ＝12________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH ≌△CGF ，可得________，进而求得AD 的长；(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD ，BC 的长． 对应练习：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .(2)如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的． 课后练习：1．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图Z 3－3所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( )A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D .2或－ 22．对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }＝b ：当a ＜b 时，min{a ，b }＝a .例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D .533．在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x，1y)称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝kx的图象上．若AB ＝2 2，则k ＝________．4．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．5．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，求∠B 与∠C 的度数之和；(2)如图②，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图③，在(2)的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．答案与解析【例1】【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），∵|n﹣n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，∴y＝x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）＝，F（26）＝，F（37）＝，F（48）＝＝，F（59）＝，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．【对应练习】【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x＝﹣2011，解得：x＝2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．【例2】【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，∴△ABE的面积＝△AHE的面积，四边形AHFG的面积＝四边形DCFG的面积，∴S矩形AEFG＝S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD＝1：2；故答案为：AE，GF，1：2；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF＝90°，∴FH＝＝13，由折叠的性质得：AD＝FH＝13；（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：①折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD＝BG，AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝5，GM＝CM，∠FMC＝90°，∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM＝FM＝4，∴GM＝CM＝＝＝3，∴AD＝BG＝BM﹣GM＝1，BC＝BM+CM＝7；②折法2中，如图5所示：由折叠的性质得：四边形EMHG的面积＝梯形ABCD的面积，AE＝BE＝AB＝4，DG＝NG，NH＝CH，BM＝FM，MN＝MC，∴GH＝CD＝5，∵四边形EMHG是叠合正方形，∴EM＝GH＝5，正方形EMHG的面积＝52＝25，∵∠B＝90°，∴FM＝BM＝＝3，设AD＝x，则MN＝FM+FN＝3+x，∵梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×8＝2×25，∴AD+BC＝，∴BC＝﹣x，∴MC＝BC﹣BM＝﹣x﹣3，∵MN＝MC，∴3+x＝﹣x﹣3，解得：x＝，∴AD＝，BC＝﹣＝；③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，则E、G分别为AB、CD的中点，则AH＝AE＝BE＝BF＝4，CG＝CD＝5，正方形的边长EF＝GF＝4，GM＝FM＝4，CM＝＝3，∴BC＝BF+FM+CM＝11，FN＝CF＝7，DH＝NH＝8﹣7＝1，∴AD＝5．【对应练习】【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．【课后练习】1.A 【解答】解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去）；当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解；所以方程[x]＝x2的解为0或．故选：A．2.D【解答】解：由题意得：，解得：，当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，由图象可知：此时该函数的最大值为；当2x﹣1≤﹣x+3时，x≤，∴当x≤时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，如图所示，当x＝时，y＝，故选：D．3.﹣【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，∴b﹣a＝2，即b＝a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：k＝﹣．（方法二）∵直线y＝﹣x+1上有两点A、B，且AB＝2，∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：．故答案为：﹣．4.113°或92°【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，∴∠ACB＝67°+46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°+46°＝92°，故答案为113°或92°．5.【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，即∠B与∠C的度数和为120°；（2）证明：∵在△BED和△BEO中，，∴△BED≌△BEO（SAS），∴∠BDE＝∠BOE．∵∠BCF＝∠BOE，∴∠BCF＝∠BDE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠ABC＝∠AOC＝∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵DG⊥OB，∴BH＝BG＝．在直角△BDH中，利用勾股定理得到：BD＝＝＝．∴BO＝BD＝．∴⊙O的直径是2．。

专题复习(二) 新定义运算、新概念问题新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．观察下表：式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)抓住x、y的排列规律；x在第n格是按(n＋1)排，每排是(n＋1)个x来排列的；y在第n格是按n排，每排是n个y来排列的，根据这个规律即可得解；(2)①按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出x、y的值；②求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第n格的“特征多项式”，求出了x、y的值，所以可以建立最小值关于n的二次函数，根据二次函数的最小值性质便可求得．【解答】 (1)16x ＋9y 25x ＋16y (n ＋1)2x ＋n 2y(n 为正整数)(2)①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝－10，9x ＋4y ＝－16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－247，y ＝267.②设最小值为W ，依题意得： W ＝(n ＋1)2x ＋n 2y ＝－247(n ＋1)2＋267n 2＝27n 2－487n －247＝27(n －12)2－3127. 即有最小值为－3127，相应的n 的值为12.这类题首先要读懂题目中的新概念或定义，然后将新概念的问题与原有的知识结合，利用原有的知识解决问题，其实就是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原来的知识点．1．已知m ＝x ＋1，n ＝－x ＋2，若规定y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋m －n （m≥n），1－m ＋n （m ＜n ），则y 的最小值为()A ．0B ．1C ．－1D ．22．在平面直角坐标系中，任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)规定运算：①A ○+B ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；②A ○⨯B ＝x 1x 2＋y 1y 2；③当x 1＝x 2且y 1＝y 2时，A ＝B. 有下列四个命题：(1)若A(1，2)，B(2，－1)，则A ○+B ＝(3，1)，A ○⨯B ＝0； (2)若A ○+B ＝B ○⨯C ，则A ＝C ； (3)若A ○⨯B ＝B ○⨯C ，则A ＝C ； (4)对任意点A 、B 、C ，均有(A ○+B)○+C ＝A ○+(B ○+C)成立． 其中正确命题的个数为()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．对于实数a 、b ，定义一种运算“○⨯”为：a ○⨯b ＝a 2＋ab －2，有下列命题： ①1○⨯3＝2； ②方程x ○⨯1＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1； ③不等式组⎩⎨⎧<-⊗<-⊗-031,04)2(x x 的解集为－1＜x ＜4；④点(12，52)在函数y ＝x ○⨯(－1)的图象上． 其中正确的是()A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④4．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m※n＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x ，y)和Q(x ，y ′)，给出如下定义：若y′＝⎩⎪⎨⎪⎧y （x≥0），－y （x ＜0）， 则称点Q 为点P 的“可控变点”． 例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3)．(1)若点(－1，－2)是一次函数y ＝x ＋3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为________；(2)若点P 在函数y ＝－x 2＋16(－5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是－16≤y ′≤16，则实数a 的取值范围是________．6．规定：sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ，sin(x ＋y)＝sinx ·cosy ＋cosx ·siny.据此判断下列等式成立的是________(写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24； ③sin2x ＝2sinx ·cosx ；④sin(x －y)＝sinx ·cosy －cosx ·siny.7．对于平面直角坐标系中任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，称|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为P 1、P 2两点的直角距离，记作：d(P 1，P 2)．若P 0(x 0，y 0)是一定点，Q(x ，y)是直线y ＝kx ＋b 上的一动点，称d(P 0，Q)的最小值为P 0到直线y ＝kx ＋b 的直角距离．令P 0(2，－3)．O 为坐标原点．则：(1)d(O ，P 0)＝________；(2)若P(a ，－3)到直线y ＝x ＋1的直角距离为6，则a ＝________．8．已知抛物线p ：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为____________．9．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n 为非负整数时，若n －12≤x<n ＋12，则<x>＝n ，如<0.46>＝0，<3.67>＝4，给出下列关于<x>的结论：①<1.493>＝1；②<2x>＝2<x>；③若<12x －1>＝4，则实数x 的取值范围是9≤x<11；④当x≥0，m 为非负整数时，有<m ＋2 013x>＝m ＋<2 013x>；⑤<x＋y>＝<x>＋<y>.其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)．10．若正整数n 使得在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n 为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．11．如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①方程x 2－x －2＝0是倍根方程；②若(x －2)(mx ＋n)＝0是倍根方程，则4m 2＋5mn ＋n 2＝0；③若点(p ，q)在反比例函数y ＝2x 的图象上，则关于x 的方程px 2＋3x ＋q ＝0是倍根方程；④若方程ax 2＋bx ＋c ＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t ，s)，N(4－t ，s)都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根为54.参考答案1．B 2.C 3.C 4.4≤a＜5 5.(1)(－1，2) (2)0≤a≤4 2 6.②③④7．(1)5 (2)2或－10 8.y ＝x 2－2x －3 9.①③④ 10.711 11.②③。

中考数学复习新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：2同步训练：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB 时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例题：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B 的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N 点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．类型3 新内容理解把握例题：（2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对 B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（a，﹣）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．同步训练：（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D专题训练1.（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：22. （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．3. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．4. （2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）5. (2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【解答】解：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ==2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM==，故点P的坐标（﹣，），（，）．6.（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n 的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．。

例题7、对于任意的两个实数对),(b a 和),(d c ，规定：当d b c a ==,时，有),(b a =),(d c ；运算“⊗”为：),()
,(),(bd ac d c b a =⊗；运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕．设p 、q 都是实数，
若)4,2(),()2,1(-=⊗q p ，则_______)
,()2,1(=⊕q p
【技巧提炼】
解决新概念型问题的关键是把握“新概念”的实质，正确理解“新概念”的内涵。

首先仔细阅读对于“新概念”的定义；然后运用“新概念”的知识解决新问题．因此，要掌握好初中数学的基础知识，更要注重提高阅读理解、知识迁移、分析转化、探索归纳等多方面的素质，其实，解决问题的思想方法还是通常学到的方法，所以，只要认真思考，还是可以解决的。

n
S ++，称
“一字型”排开。

以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向
0.
轴的正半轴上. (06),6).t t
=2（。

中考数学专题复习新定义问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．2．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是 ；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线323y x =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．3．在⊙ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在⊙ABC 的内部或边上，则称DE 为⊙ABC 的中内弧．例如，下图中DE 是⊙ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt⊙ABC 中，22AB AC D E ==，，分别是AB AC ，的中点．画出⊙ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在⊙ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点． ⊙若12t =，求⊙ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ⊙若在⊙ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在⊙ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．4．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）． 已知点A （2-，6），B （2-，2-），C （6，2-）． （1）求d （点O ，ABC ）；（2）记函数y kx =（11x -≤≤，0k ≠）的图象为图形G ，若d （G ，ABC ）1=，直接写出k 的取值范围；（3）T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （T ，ABC ）1=，直接写出t 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当⊙O 的半径为2时，⊙在点1231135,0,,,,02222P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 中，⊙O 的关联点是_______________． ⊙点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围． （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．⊙若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；⊙点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式； （2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（32，0），T（1，3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣33x+23与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．参考答案：1．（1）22B C ；（2）3t =±；（3）当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =． 【解析】 【分析】（1）以点A 为圆心，分别以112233,,,,,AB AC AB AC AB AC 为半径画圆，进而观察是否与O 有交点即可；（2）由旋转的性质可得AB C ''△是等边三角形，且B C ''是O 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段22B C 能绕点A 旋转90°得到O 的“关联线段”，1133,B C B C 都不能绕点A 进行旋转得到； 故答案为22B C ；（2）由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C ''△是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C''与y轴的交点为D，连接OB'，易得B C y''⊥轴，⊙12B D DC''==，⊙2232OD OB B D''=-=，2232AD AB B D''=-=，⊙3OA=，⊙3t=；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的3OA=，⊙t3=-；（3）由BC是O的以点A为中心的“关联线段”，则可知,B C''都在O上，且1,2AB AB AC AC''====，则有当以B'为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在O上时为最小，最小值为1，此时AC'为O的直径，⊙90AB C''∠=︒，⊙30AC B''∠=︒，⊙cos303BC B C AC'''==⋅︒=；由以上情况可知当点,,A B O'三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接,OC B C'''，过点C'作C P OA'⊥于点P，⊙1,2OC AC OA''===，设OP x=，则有2AP x=-，⊙由勾股定理可得：22222C P AC AP OC OP'''=-=-，即()222221x x--=-，解得：14x=，⊙154C P'=，⊙34B P OB OP ''=-=， 在Rt B PC ''中，2262B C B P C P ''''=+=， ⊙62BC =； 综上所述：当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =．【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键． 2．（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤【解析】 【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点A ，B 点的位置，由此得出2d 的取值范围． 【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线323y x =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD⊙AB ，过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF⊙CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，⊙2sin 603OE ︒==． 由垂径定理得：221322OF OC CD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，⊙132d OE OF =-=；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为2235222AO⎛⎫=+=⎪⎝⎭．如图，平移距离2d的最小值即点A到⊙O的最小值：53122-=；平移距离2d的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊙A1A2且A1B2=1时.⊙B2A2A1=60°，则⊙OA2A1=30°,⊙OA2=1,⊙OM=12, A2M=32,⊙MA=3,AA2=22339 322⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭,⊙2d的取值范围为：233922d≤≤．【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）π；（2）⊙P的纵坐标1py≥或12Py≤；⊙02t<≤.【解析】【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，DE的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，⊙当12t=时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角⊙AEP满足90°≤⊙AEP＜135°；⊙根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【详解】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ，就是△ABC 的最长的中内弧DE ，连接DE ，⊙⊙A=90°，AB=AC=22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22114,42sin sin 4522︒∴=====⨯=AC BC DE BC B ， ⊙弧DE 122ππ=⨯=； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG⊙AC 交FP 于G ，⊙当12t =时，C （2，0），⊙D （0，1），E （1，1），1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭F ， 设1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，⊙m≥1， ⊙OA=OC ，⊙AOC=90°⊙⊙ACO=45°，⊙DE⊙OC⊙⊙AED=⊙ACO=45°作EG⊙AC 交直线FP 于G ，FG=EF=12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求； 12∴m 综上所述，12m或m≥1． ⊙图4，设圆心P 在AC 上，⊙P 在DE 中垂线上，⊙P 为AE 中点，作PM⊙OC 于M ，则PM=323,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P t ， ⊙DE⊙BC⊙⊙ADE=⊙AOB=90°，222221(2)41∴=+=+=+AE AD DE t t⊙PD=PE ，⊙⊙AED=⊙PDE⊙⊙AED+⊙DAE=⊙PDE+⊙ADP=90°，⊙⊙DAE=⊙ADP12∴===AP PD PE AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM1322∴AE ，AE≤3，即2413+t ，解得：2t02>∴<t t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（1）2；（2）10k -≤<或01k <≤；（3）4t =-或0422t -≤≤或422t =+．【解析】【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分0k <和0k >两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t的取值范围．详解：（1）如下图所示：⊙B（2-，2-），C（6，2-）⊙D（0，2-）⊙d（O，ABC）2OD==（2）10k-≤<或01k<≤（3）4t=-或0422t≤≤-或422t=+．点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.5．（1）⊙P 2、P 3，⊙－322≤x≤－22或22 ≤x≤322；（2）－2≤x≤1或2≤x≤22 . 【解析】【详解】试题分析：（1）⊙由题意得，P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由23,OP OP 的值可知23,P P 为⊙O 的关联点；⊙满足条件的P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P 横坐标范围是－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322； （2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A ， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A ，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.试题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===， 点1P 与⊙的最小距离为32，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12， ⊙⊙的关联点为2P 和3P ．⊙根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意； ⊙ 设点P 的坐标为P (x ，-x) ，当OP=1时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)1x x -+--= ，解得22x =± ，当OP=3时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)3x x -+--= ，229x x +=，解得322x =±， ⊙ 点的横坐标的取值范围为－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322（2）⊙y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，⊙ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，令得x=0得，y=0，⊙A(1，0) ，B (0，1) ，分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3，⊙ 点C坐标为，C ( -2，0)如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，⊙CD=1 ，又⊙直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，⊙ 直线AB与x轴形成的夹角是45°，⊙ RT⊙ACD中，CA=2，⊙ C点坐标为(1-2，0)⊙C点的横坐标的取值范围为；-2≤cx≤1-2，如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2，0)如图4，当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3，在Rt⊙OCB中，由勾股定理得OC=23122-=，C点坐标为(22，0)．⊙ C点的横坐标的取值范围为2≤cx≤22；⊙综上所述点C的横坐标的取值范围为－322≤cx≤－22或22≤cx≤322．【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.6．（1）⊙2；⊙1y x =- 或1y x =-+；（2）1≤m≤5 或者51m -≤≤-．【解析】【详解】试题分析：（1）⊙易得S=2；⊙得到C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C 分别代入AC 的表达式即可得出结论；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 相切，求出M 的坐标，即可得出结论．试题解析：（1）⊙S=2×1=2；⊙C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C分别代入AC 的表达式得到：0{23k b k b =+=+或0{23k b k b=+-=+，解得：1{1k b ==-或1{1k b =-=，则直线AC 的表达式为1y x =- 或1y x =-+；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 有交点，即存在N ，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O 相切，如图1l 与2l ，直线1l 与⊙O 切于点N ，ON=2，⊙ONM=90°，⊙1l 与y 交于1P （0，-2）．1M （1m ，3），⊙13(2)0m --=-，⊙1m =-5，⊙1M （-5，3）；同理可得2M （-1，3）； 当k=1时，极限位置是直线3l 与4l （与⊙O 相切），可得3M （1，3）， 4M （5，3）． 因此m 的取值范围为1≤m≤5或者51m -≤≤-．考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力．7．（1）①见解析；②0＜x ＜2；（2）圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x≤8．【解析】【详解】试题分析：（1） ⊙根据反称点的定义画图得出结论；⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤，2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，把x ＝2和x=0代入验证即可得出，P （2，0），P′（2，0）不符合题意P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2（2）求出A ，B 的坐标，得出OA 与OB 的比值，从而求出⊙OAB=30°，设C （x ，0） ⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4，得出 C 点横坐标x≥2． （当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8，得出结论.试题解析： （1）解：⊙M （2，1）不存在，3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭存在，反称点1,02N ⎛⎫' ⎪⎝⎭(1,3)T 存在，反称点T′（0，0）⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤4 2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，当x ＝2时，P （2，0），P′（2，0）不符合题意当x ＝0时，P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2 （2）解：由题意得：A （6，0），()0,23B ，⊙3OA OB=，⊙⊙OAB ＝30°，设C （x ，0）⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4， C 点横坐标x≥2． （当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8 综上所述：圆心C 的横坐标的取值范围2≤x≤8．考点：定义新运算；一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；圆的有关性质，解直角三角形；答案第15页，共15页。

新概念试题是指即时定义考生从未接触过的新概念、新公式、新运算、新法则,这是要求考生解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”,做到“化生为熟”,现学现用.其目的是考查考生的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力,培养学生自主学习、主动探究的数学品质,1）如图2，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ，把四边形EFGH 称为中点四边形。

连接AC 、BD ，容易证明：中点四边形EFGH 一定是平行四边形（1）如果改变原四边形ABCD 的形状，那么中点四边形EFGH 的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD 的对角线满足AC = BD 时，四边形EFGH 为菱形； 当四边形ABCD 的对角线满足______时，四边形EFGH 为矩形； 当四边形ABCD 的对角线满足______时，四边形EFGH 为正方形；（2）探索三角形AEH ，三角形CFG 与四边形ABCD 的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论并加以证明；（3）如果四边形ABCD 面积为2，那么中点四边形EFGH 的面积是多少？ 例1 （2009年山东）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如，34，568，2469等）任取一个两位数，是上升数的概率是2）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解．到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，P H P J =，P I P G =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2，AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ． 求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．图1B JI HGD CAP图2图4FEDC B A P G H JI（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PD PC PB PA +=+ 或PD PB PC PA +=+．( )已知：如图，直线l ：13y x b =+，经过点104M ⎛⎫⎪⎝⎭，，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3)()n n B y B y B y B n y ，，，，，，，，（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：11223311(0)(0)(0)(0)n n A x A x A x A x ++ ，，，，，，，，（n为正整数），设101x d d =<<（）．（1）求b 的值； （2分） （2）求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（4分）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当01d d <<（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，但AD ≠CD ，我们称这样的四边形为“半菱形”．小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”，他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论．定义[,,abc]为函数2 yaxbxc 的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于2 3； ③ 当m < 0时，函数在x > 41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题： （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在A B C △中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形； （3）如图2，若点D 在A B C △的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．图2图1H GF DE CBAGFE DCBA。

数学中考复习——新概念型一、定义新的运算或新的法则例1 现定义运算“★”：对于任意实数,a b ，都有a ★b 23a a b =-+，如3★5=23335-⨯+. （1）计算2★4=_________； （2）若x ★2=6，则x=_________.例2 若分式b a 满足11b a a =+，则称11a +是b a 的 “带分式”，记作《11a 》. （1）分式1x x+的“带分式”是_______________________. （2）计算：《111x -》221x x --.练习：1.规定一种新运算a ※b=a 2－2b,如1※2=-3，则2※（－2）= . 2．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a ≥b 时，a *b =2b ；当a ＜b 时，a *b =a ，则当2x =时，(1*)(3x x ⋅-*)x =____________________.3. 已知2222211211,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足)1,0(212121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ）A 、y 1,y 2开口方向，开口大小不一定相同B 、因为y 1,y 2的对称轴相同C 、如果y 2的最值为m ，则y 1的最值为kmD 、如果y 2与x 轴的两交点间距离为d ，则y 1与x 轴的两交点间距离为d k4.若两个不同的一元二次方程有一个相同的根，那么称这两个方程为友好方程.（1）试判断一下方程0232=+-x x 与0632=-x x 是不是友好方程.（2）若一元二次方程0232=+-x x 与a x ax x 332+=+是友好方程，试求a 的值.二、定义一个新的概念例3．若a ＋b ＝2，则称a 与b 是关于1的平衡数.（1） 3与 是关于1的平衡数，5－2与 是关于1的平衡数；（2）若(m ＋3)×(1－3)＝－5＋33，判断m ＋3与5－3是否是关于1的平衡数，并说明理由.B C A 练习： 5．定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④6．若ab=4，则称a 与b 是关于2的“比例数”；（1）3关于2的比例数是________；3—5与___________是关于2的比例数；（2）若x 1、x 2是方程x 2+(m-4)x+m 2+3=0的两根，且x 1、x 2是关于2的比例数，试求m 的值。

适用精选文件资料分享中考数学新看法型复2013 年中考数学座二：新看法型一、中考所“新看法”型，主若是指在中看法了中学数学中没有学的一些看法、新运算、新符号，要修业生懂意并合已有知、能力行理解，依据新看法行运算、推理、迁徙的一种型. “新看法”型成最近几年来中考数学的新亮点. 在复中重学生用新的知解决的能力二、解策略和解法精“新概念型”关要掌握两点：一是掌握原型的特色及其解决的思想方法；二是依据情况的化，通真思虑，合理行思想方法的迁徙．三、中考典例分析考点一：律型中的新看法例1 （2012?永州）我把依据必定序摆列的一列数称数列，如1，3，9，19，33，⋯就是一个数列，假如一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么个数列就叫做等差数列，个常数叫做个等差数列的公差．如2，4，6，8，10 就是一个等差数列，它的公差2．假如一个数列的后一个数与前一个数的差成的新数列是等差数列，称个数列二等差数列．比方数列1，3，9，19，33，⋯，它的后一个数与前一个数的差成的新数列是2，6，10，14，⋯，是一个公差 4 的等差数列，因此，数列 1，3，9，19，33，⋯是一个二等差数列．那么，二等差数列 1，3，7，13，⋯的第五个数是．思路分析：因为 3-1=2，7-3=4，13-7=6，⋯，由此得出相两数之差挨次大2，故13 的后一个数比13 大 8．解答：解：由数字律可知，第四个数 13，第五个数 x， x-13=8 ，解得 x=21，即第五个数 21，故答案：21．点：本考了数字化律．关是确立二等差数列的公差 2． 1 ．（2012?自）若 x 是不等于 1 的数，我把称 x 的差倒数，如 2 的差倒数是 =-1 ，-1 的差倒数=，已知 x1=- ，x2 是 x1 的差倒数， x3 是 x2 的差倒数， x4 是 x3的差倒数，⋯，挨次推， x2012= ．考点二：运算型中的新看法例 2 （2012?菏）将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、 2 列，两各加一条直成，看法 =ad-bc ，上述号就叫做 2 行列式．若 =8 ， x= ．思路分析：依据中的新看法将所求的方程化一般方程，整理后即可求出方程的解，即 x 的．解：依据意化 =8 ，得：（x+1）2-（1-x ）2=8，整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2 ） -8=0 ，即 4x=8，解得：x=2．故答案： 2 点：此考了整式的混杂运算，属于新看法的型，涉及的知有：完整平方公式，去括号、合并同法，依据意将所求的方程化一般方程是解本的关． 2 ．（2012?株洲）若（x1，y1）（?x2，y2）=x1x2+y1y2，（4，5）?（6，8）= ．考点三：研究型中的新看法例 3 （2012?南京）如，A、B 是⊙O上的两个定点， P 是⊙O上的点（P 不与 A、B重合）、我称∠ APB 是⊙O上关于点 A、B 的滑角．（1）已知∠APB是⊙O上关于点 A、B 的滑角，①若 AB是⊙O的直径，∠APB= °；②若⊙O的半径是 1，AB= ，求∠ APB的度数；（2）已知 O2是⊙ O1外一点，以 O2心作一个与⊙ O1订交于 A、B 两点，∠ APB是⊙ O1上关于点 A、B 的滑角，直 PA、PB分交⊙ O2 于 M、N（点 M与点 A、点 N 与点 B均不重合），接 AN，研究∠ APB 与∠ MAN、∠ ANB之的数目关系．思路分析：（1）①依据直径所的周角等于 90°即可求解；②依据勾股定理的逆定理可得∠ AOB=90°，再分点 P 在弧上；点 P 在劣弧上两种状况求解；（2）依据点P在⊙O1上的地点分四种状况获得∠APB与∠MAN、∠ ANB之的数目关系．解：（1）①若 AB是⊙O的直径，∠ APB=90．②如，接 AB、OA、OB．在△AOB中，∵OA=OB=1．AB= ，∴OA2+OB2=AB2．∴∠AOB=90°．当点P 在弧上，∠ AP1B= ∠AOB=45°；当点 P 在劣弧上，∠AP2B= （360° ? ∠AOB）=135°⋯6分（2）依据点 P 在⊙ O1上的地点分以下四种状况．第一种状况：点 P 在⊙O2外，且点 A 在点 P 与点 M之，点 B 在点 P 与点 N之，如①∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠ APB=∠MAN? ∠ANB；第二种状况：点 P在⊙ O2外，且点 A 在点 P 与点 M之，点 N在点 P 与点 B之，如②．∵∠ MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180° ? ∠ANB），∴∠ APB=∠MAN+∠ANB? 180°；第三种状况：点 P 在⊙ O2外，且点M在点 P与点 A之，点 B 在点 P 与点 N之，如③．∵∠ APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠ APB=180°? ∠MAN? ∠ANB，第四种状况：点 P 在⊙ O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB．评论：综合观察了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的地点关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．对应训练 3 ．（2012?陕西）假如一条抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的极点和这两个交点为极点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”必定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=- x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，能否存在以原点 O为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明原由．考点四：开放题型中的新看法例4 （2012?北京）在平面直角坐标系xOy中，关于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2）的“特别距离”，给出以下看法：若|x1- x2| ≥|y1 -y2| ，则点 P1与点 P2 的“特别距离”为 |x1-x2| ；若|x1-x2| ＜|y1-y2| ，则点 P1 与点 P2 的“特别距离”为 |y1-y2| ．比方：点 P1（1，2），点 P2（3，5），因为 |1-3| ＜|2-5| ，因此点 P1 与点 P2 的“特别距离”为 |2-5|=3 ，也就是图 1 中线段 P1Q与线段 P2Q长度的较大值（点 Q为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q交点）．（1）已知点 A（- ，0），B 为 y 轴上的一个动点，①若点 A 与点 B 的“特别距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标；②直接写出点 A 与点 B的“特别距离”的最小值；（2）已知 C是直线y= x+3 上的一个动点，①如图 2，点 D 的坐标是（ 0，1），求点 C与点 D的“特别距离”的最小值及相应的点 C的坐标；②如图 3，E 是以原点 O为圆心， 1 为半径的圆上的一个动点，求点 C与点 E 的“特别距离”的最小值及相应的点 E 与点 C的坐标．思路分析：（1）①依据点 B 位于 y 轴上，可以设点 B 的坐标为（ 0，y）．由“特别距离”的看法可以确立 |0-y|=2 ，据此可以求得 y 的值；②设点 B 的坐标为（ 0，y）．因为 |- - 0| ≥|0 -y| ，因此点A 与点B 的“特别距离”最小值为|- -0|= ；（2）①设点C 的坐标为（ x0， x0+3 ）．依据资料“若 |x1- x2| ≥|y1 -y2| ，则点 P1 与点P2 的“特别距离”为 |x1- x2| ”知，C、D两点的“特别距离”的最小值为 -x0= x0+2，据此可以求得点 C 的坐标；②当点 E 在过原点且与直 y= x+3 垂直的直上，点 C与点 E 的“特别距离”最小，即E（- ，）．解答思路同上．解：（1）①∵B y 上的一个点，∴ 点 B 的坐（ 0，y）．∵|- -0|= ≠2，∴|0 -y|=2 ，解得，y=2 或 y=-2 ；∴点 B 的坐是（ 0，2）或（ 0，-2 ）；②点 A 与点 B 的“特别距离”的最小；（2）①∵C是直 y= x+3 上的一个点，∴ 点 C的坐（ x0，x0+3），∴-x0= x0+2，此，x0=- ，∴点 C与点 D的“特别距离”的最小：，此 C（-，）；②E（- ，）． - -x0= x0+3- ，解得， x0=- ，点 C 的坐（ - ，），最小 1．点：本考了一次函数合．于信息予，必定要弄清楚干中的已知条件．本中的“特别距离”的看法是正确解的关．4 ．（2012?台州）你定一种合适任意非零数 a，b 的新运算“a? b”，使得以下算式成立： 1 ? 2=2? 1=3，（-3 ）? （-4 ）=（-4 ） ? （-3 ）=- ，（-3 ）? 5=5? （-3 ）=- ，⋯你定的新运算 a? b= （用a，b 的一个代数式表示）．考点五：资料型中的新看法例 5（2012?常州）平面上有两条直 AB、CD订交于点 O，且∠ BOD=150°（如），按以下要求定此平面上点的“距离坐”：（1）点O的“距离坐” （ 0，0）；（2）在直 CD上，且到直 AB的距离 p（p＞0）的点的“距离坐” （ p，0）；在直 AB上，且到直 CD的距离 q（q＞0）的点的“距离坐” （0，q）；（3）到直 AB、CD的距离分 p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐” （ p，q）． M此平面上的点，其“距离坐” （ m，n），依据上述点的“距离坐”的定，解决以下：（1）画出形（保留画印迹）：① 足 m=1，且n=0 的点 M的会集；② 足 m=n 的点 M的会集；（2）若点 M在点 O且与直 CD垂直的直 l 上，求 m与 n 所足的关系式．（明：中 OI 一个位）思路分析：（1）①以 O心，以 2 半径作，交 CD于两点，此两点所求；②分作∠ BOC和∠ BOD的角均分而且反向延，即可求出答案；（2） M作 MN⊥AB于 N，依据已知得出OM=n，MN=m，求出∠ NOM=60°，依据角三角函数得出 sin60 °= = ，求出即可．解：（1）①如所示：点 M1和 M2所求；②如所示：直MN和直EF（O除外）所求；（2）如： M作 MN⊥AB于 N，∵M的“距离坐” （ m，n），∴OM=n，MN=m，∵∠ BOD=150°，直 l ⊥CD，∴∠ MON=150°- 90°=60°，在 Rt△MON中， sin60 °= = ，即 m与n 所足的关系式是： m= n．点：本考了角三角函数，角均分性，含30 度角的直角三角形的用，主要考学生的手操作能力和算能力，注意：角均分上的点到角两的距离相等． 5 ．（2012?州）在平面直角坐系中，于平面内任意一点（ x，y），若定以下两种：①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；②g（x，y）=（-x ，-y ），如 g（2，3）=（-2 ，-3 ）．依据以上有： f （g（2，3））=f （-2 ，-3 ）=（-3 ，-2 ），那么 g（f （-6 ，7））等于（） A ．（7，6） B ．（7，-6 ） C．（-7 ，6） D．（-7 ，-6 ）四、中考真演一、1．（2012?六水）看法： f （a，b）=（b，a），g（m，n） =（-m，-n ）．比方 f （ 2，3）=（3，2），g（-1 ，-4 ）=（1，4）． g[f （-5 ，6）] 等于（）A ．（-6 ，5） B ．（-5 ，-6 ） C．（6，-5 ） D．（-5 ，6） 2 ．（2012?湘潭）文文了一个关于数运算的程序，按此程序，入一个数后，出的数比入的数的平方小 1，若入，出的果（）A．5B．6 C．7 D．8 点：本考的是数的运算，依据意得出出数的式子是解答此的关． 3 ．（2012?水）小明用棋子放形来研究数的律． 1 中棋子城三角形，其棵数 3，6，9，12，⋯称三角形数．似地， 2 中的 4，8，12，16，⋯称正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（） A ．2010 B．2012C．2014 D．2016 二、填空 4 ．（2012?常德）定用符号 [m] 表示一个数m的整数部分，比方： [ ]=0 ，[3.14]=3 ．按此定 [ ] 的． 5 ．（2012?随州）看法：平面内的直与订交于点 O，于平面内任意一点 M，点 M到直、的距离分 a、b，称有序非数（ a，b）是点 M的“距离坐”，依据上述看法，距离坐（2，3）的点的个数是（）A．2 B．1 C．4 D．3 6．（2012?）新看法： [a ，b] 一次函数 y=ax+b（a≠0， a，b 数）的“关数”．若“关数” [1 ，m-2] 的一次函数是正比率函数，关于 x 的方程 + =1 的解为． 7 ．（2012?自贡）如图，△ ABC是正三角形，曲线 CDEF叫做正三角形的渐开线，此中弧 CD、弧 DE、弧 EF的圆心挨次是 A、B、C，假如 AB=1，那么曲线 CDEF的长是．8．（2012?泉州）在△ ABC中，P 是 AB上的动点（ P 异于 A、B），过点 P 的直线截△ ABC，使截得的三角形与△ ABC相似，我们没关系称这类直线为过点 P的△ ABC的相似线，简记为（Plx ）（x 为自然数）．（1）如图①，∠ A=90°，∠ B=∠C，当 BP=2PA时， P（l1 ）、P（l2 ）都是过点 P 的△ ABC的相似线（此中 l1 ⊥BC，l2 ∥AC），其他，还有条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= 时，P（lx ）截得的三角形面积为△ ABC面积的．三、解答题 9 ．（2012?铜仁地区）如图，看法：在直角三角形 ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作 ctan α，即 ctan α= = ，依据上述角的余切看法，解以下问题：（1）ctan30 °= ；（2）如图，已知 tanA= ，此中∠A为锐角，试求 ctanA 的值．10．（2012?无锡）关于平面直角坐标系中的任意两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2| 叫做P1、P2 两点间的直角距离，记作 d（P1，P2）．（1）已知 O为坐标原点，动点 P（x，y）满足 d（O，P）=1，请写出 x 与 y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出全部吻合条件的点 P 所构成的图形；（2）设 P0（x0，y0）是必定点，Q（x，y）是直线y=ax+b 上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做 P0 到直线 y=ax+b 的直角距离．试求点 M（2，1）到直线y=x+2 的直角距离． 11 ．（2012?厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3）、B（6，3），连接 AB．假如点 P 在直线 y=x-1 上，且点 P 到直线 AB的距离小于 1，那么称点 P是线段 AB的“周边点”．（1）判断点C（）是不是线段AB的“周边点”，并说明原由；（2）若点 Q（m，n）是线段 AB的“周边点”，求 m的取值范围．12．（2012?兰州）如图，看法：若双曲线 y= （k＞0）与它的此中一条对称轴 y=x 订交于 A、B 两点，则线段 AB的长度为双曲线 y= （k＞0）的对径．（1）求双曲线 y= 的对径．（2）若双曲线 y= （k＞0）的对径是 10 ，求 k 的值．（3）模拟上述看法，看法双曲线y= （k＜0）的对径．13．（2012?绍兴）联想三角形外心的看法，我们可引入以下看法．看法：到三角形的两个极点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若 PA=PB，则点 P 为△ ABC的准外心．应用：如图 2，CD为等边三角形 ABC的高，准外心 P 在高 CD上，且 PD=AB，求∠ APB 的度数．研究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P 在AC边上，尝试究 PA的长． 14 ．（2012?嘉兴）将△ ABC绕点 A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变成本来的 n 倍，得△ AB′C′，即如图①，我们将这类变换记为 [ θ，n] ．（1）如图①，对△ ABC 作变换 [60 °， ] 得△AB′C′，则 S△AB′C′： S△ABC= ；直线 BC 与直线 B′C′所夹的锐角为度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换 [ θ，n] 得△ AB'C' ，使点 B、C、C′在同向来线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和 n 的值；（3）如图③，△ ABC中， AB=AC，∠BAC=36°， BC=l，对△ ABC作变换 [ θ，n]得△ AB′C′，使点 B、C、B′在同向来线上，且四边形 ABB'C'为平行四边形，求θ和 n 的值． 15 ．（2012?台州）看法： P、Q分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ长度的最小值叫做线段 a 与线段 b 的距离．已知 O（0，0），A（4， 0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）依据上述看法，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC与线段 OA的距离是；当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC与线段OA的距离（即线段 AB长）为；（2）如图 3，若点 B落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC与线段 OA的距离记为 d，求d 关于m的函数分析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段 OA的距离一直为 2，线段 BC的中点为 M，①求出点 M随线段 BC运动所围成的封闭图形的周长；②点 D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作 MN⊥x轴，垂足为 H，能否存在 m的值使以 A、M、H 为极点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明原由．专题讲座二：新看法型问题参照答案三、中考典例分析对应训练1．解：∵ x1=- ，∴x2= = ， x3= =4 ，x4= ，∴差倒数为 3 个循环的数，∵2012=670×3+2，∴x2012=x2= ，故答案为：． 2 ．64解：∵（ x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2，∴（ 4，5）?（6，8）=4×6+5×8=64，故答案 64． 3 ．解：（1）如；依据抛物的称性，抛物的点 A 必在 O、B 的垂直均分上，因此 OA=AB，即：“抛物三角形”必等腰三角形．故填：等腰．（2）∵抛物 y=-x2+bx （b＞0）的“抛物三角形”是等腰直角三角形，∴抛物的点（）足（b＞0）．∴b=2．（3）存在．如，作△ OCD与△ OAB关于原点 O中心称，四形 ABCD 平行四形．当 OA=OB，平行四形 ABCD是矩形，又∵AO=AB，∴△OAB等三角形．作 AE⊥OB，垂足 E，∴AE= OE．∴ = ? （b′＞0）．∴b′=2 ．∴A（，3），B（2 ，0）．∴C（- ，-3 ），D（-2 ，0）．点 O、C、D的抛物 y=mx2+nx，，解得．故所求抛物的表达式 y=x2+2 x ． 4 ．解：依据意可得： 1 ? 2=2? 1=3= ，（-3 ）? （-4 ）=（-4 ）? （-3 ）=- = ，（-3 ）? 5=5? （-3 ）=- = ， a? b= = ．故答案：． 5 ．C 解：∵f（-6 ，7）=（7，-6 ），∴g（f（-6 ，7））=g（7，-6 ）=（-7 ，6）．故C．四、中考真演一、 1 ．A 2．B． 3 ．D 解：∵ 3，6，9，12，⋯称三角形数，∴三角数都是 3 的倍数，∵4，8，12，16，⋯称正方形数，∴正方形数都是 4 的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的是12 的倍数，∵2010÷12=167⋯6，2012÷12=167⋯8， 2014÷12=167⋯10， 2016÷12=168，∴2016 既是三角形数又是正方形数．故 D．二、填空 4 ．4 解：∵3＜＜4，∴3+1＜ +1 ＜4+1，∴4＜ +1 ＜5，∴[ +1]=4 ，故答案：4． 5 ．C 解：如所示，所求的点有 4 个，故 C． 6 ．x=3 解：依据意可得： y=x+m-2，∵“关数” [1 ，m-2] 的一次函数是正比率函数，∴m-2=0 ，解得：m=2，关于 x 的方程+ =1 + =1，解得： x=3，：把 x=3 代入最公分母 2（x-1 ）=4≠0，故 x=3 是原分式方程的解，故答案：x=3． 7 ．4π解：弧 CD的是 = ，弧 DE的是： = ，弧 EF 的是： =2 π，曲 CDEF的是： ++2π=4π．故答案是： 4π． 8 ．（1）1；（2）或或解：（1）存在其他 1 条相似．如 1 所示，点 P 作 l3 ∥BC交 AC于 Q，△APQ∽△ ABC；故答案： 1；（2） P（lx ）截得的三角形面S，S= S△ABC，相似比 1：2．如 2 所示，共有 4 条相似：①第 1 条 l1 ，此时 P 为斜边 AB中点，l1 ∥AC，∴ = ；②第 2 条 l2 ，此时 P 为斜边 AB中点， l2 ∥AC，∴ = ；③第 3 条 l3 ，此时 BP与BC 为对应边，且 = ，∴ = = ；④第 4 条 l4 ，此时 AP与 AC为对应边，且= ，∴ ，∴ = ．故答案为：或或．三、解答题 9．解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，∴BC=AB，∴AC== = AB，∴ctan30 °= = ．故答案为：；（2）∵tanA= ，∴设 BC=3，AC=4，则 AB=5，∴ctanA= = ． 10 ．解：（1）由题意，得 |x|+|y|=1 ，全部吻合条件的点 P 构成的图形如图所示。