2019-2020学年湖北省武汉市黄陂区第六中学高一下学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知向量a⃗ =（2.6）. b⃗⃗ =（-1.λ）.若a⃗∥b⃗⃗ .则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 132.（单选题.5分）已知向量a⃗ =（x-1.2）. b⃗⃗ =（2.1）.则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=03.（单选题.5分）已知数列{a n}中.a1=2.a n+1=a n+2n（n∈N*）.则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000.则这个数列的第n项a n为（）4.（单选题.5分）已知数列{a n}中.a1=1.a n+1= a n1+2a nA.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+15.（单选题.5分）已知| a⃗ |=1.| b⃗⃗ |= √2 .且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗）.则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √226.（单选题.5分）数列1.（1+2）.（1+2+22）.….（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n7.（单选题.5分）数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1.a n=n2+3n+2.则{b n}的前10项之和等于（）A. 13B. 512C. 12D. 7128.（单选题.5分）若在△ABC中.2cosBsinA=sinC.则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形9.（单选题.5分）三角形ABC中.角A、B、C的对边分别是a.b.c.且a＞b＞c.a2＜b2+c2.则角A的取值范围是（）A.（π2.π）B.（π4 . π2）C.（π3 . π2）D.（0. π2）10.（单选题.5分）在△ABC中.若acos2C2 +ccos2A2= 32b.那么a.b.c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c11.（单选题.5分）△ABC中.A：B=1：2.C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分.则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.012.（单选题.5分）在钝角三角形ABC中.a=1.b=2.则边c的取值范围是（）A. √5＜c＜3B. √3＜c＜√5C.1＜c＜√3或√5＜c＜3D. √3＜c＜√5或√5＜c＜313.（填空题.5分）已知向量a⃗ . b⃗⃗的夹角为60°.| a⃗ |=2.| b⃗⃗ |=1.则| a⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ．14.（填空题.5分）已知a⃗ . b⃗⃗为单位向量.且a⃗• b⃗⃗ =0.若c⃗ =2 a⃗ - √5b⃗⃗ .则cos＜a⃗ . c⃗＞=___ ．15.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c．若a= √7 .b=2.A=60°.则sinB=___ .c=___ ．16.（填空题.5分）设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4.a n+1=2S n+1.n∈N*.则a1=___ .S5=___ ．17.（问答题.10分）已知| a⃗ |=4.| b⃗⃗ |=8. a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时. (a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？18.（问答题.12分）在△ABC中.a.b.c分别是角A.B.C的对边.cosB= 35 . AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-21．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7.求角C．19.（问答题.12分）已知数列{a n}的前n项和为S n.且满足a n+2S n•S n-1=0（n≥2）.a1= 12．（1）求证：{ 1S n}是等差数列；（2）求a n的表达式．20.（问答题.12分）已知a⃗ =（cosx.2cosx）. b⃗⃗ =（2cosx.sinx）.f（x）= a⃗• b⃗⃗．（1）把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象.求g（x）的单调递增区间；（2）当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时.求f（x）的值．21.（问答题.12分）在△ABC中.AC=6.cosB= 45 .C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．22.（问答题.12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2.求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0.a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知向量a⃗ =（2.6）. b⃗⃗ =（-1.λ）.若a⃗∥b⃗⃗ .则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 13【正确答案】：B【解析】：根据题意.由向量平行的坐标表示方法可得2λ=-6.解可得λ的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.向量a⃗ =（2.6）. b⃗⃗ =（-1.λ）.若a⃗∥b⃗⃗ .则有2λ=-6.解可得：λ=-3；故选：B．【点评】：本题考查向量平行的坐标表示方法.掌握向量的坐标计算2.（单选题.5分）已知向量a⃗ =（x-1.2）. b⃗⃗ =（2.1）.则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=0【正确答案】：D【解析】：直接利用向量垂直的充要条件.通过坐标运算求出x的值即可．【解答】：解：因为向量a⃗ =（x-1.2）. b⃗⃗ =（2.1）. a⃗⊥ b⃗⃗ .所以2（x-1）+2=0.解得x=0．故选：D．【点评】：本题考查向量垂直条件的应用.充要条件的应用.考查计算能力．3.（单选题.5分）已知数列{a n}中.a1=2.a n+1=a n+2n（n∈N*）.则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000【正确答案】：B【解析】：由a n+1=a n+2n.可得a n+1-a n=2n.利用“累加求和”、等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】：解：∵a1=2.a n+1=a n+2n.∴a n+1-a n=2n.∴a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a2-a1）+a1=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+2= 2×n(n−1)2+2=n2-n+2．∴a100=1002-100+2=9902．故选：B．【点评】：本题考查了“累加求和”、等差数列的前n项和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．4.（单选题.5分）已知数列{a n}中.a1=1.a n+1= a n1+2a n.则这个数列的第n项a n为（）A.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+1【正确答案】：C【解析】：取倒数.推出数列{ 1a n}是等差数列.然后求解数列的通项公式即可．【解答】：解：数列{a n}中.a1=1.a n+1= a n1+2a n.1 a n+1=1a n+2 .可得数列{ 1a n}是等差数列.首项为1.公差为2.所以1a n=1+(n−1)×2=2n−1 .所以a n= 12n−1.故选：C．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用.通项公式的求法.考查转化首项以及计算能力.是中档题．5.（单选题.5分）已知| a⃗ |=1.| b⃗⃗ |= √2 .且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗）.则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √22【正确答案】：D【解析】：利用向量的数量积以及向量的垂直关系.推出向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量即可．【解答】：解：由| a⃗ |=1.| b⃗⃗ |= √2 .且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗）.得a⃗•（a⃗ - b⃗⃗）=0. a⃗• b⃗⃗ = a⃗• a⃗ =1.所以向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为|a⃗|cos〈a⃗，b⃗⃗〉=a⃗⃗b⃗⃗|b⃗⃗|=√2=√22.故选：D．【点评】：本题考查向量的数量积的应用.是基本知识的考查．6.（单选题.5分）数列1.（1+2）.（1+2+22）.….（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n【正确答案】：D【解析】：由1+2+22+…+2n-1= 1×(1−2n)1−2=2n-1可知.数列的前n项和为：（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n-1）=21+22+23+…+2n-n= 2(1−2n)1−2−n =2n+1-2-n【解答】：解：∵1+2+22+…+2n-1= 1×(1−2n)1−2=2n-1∴数列的前n项和为：1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+2n-1）=（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n -1） =21+22+23+…+2n -n =2(1−2n )1−2−n =2n+1-2-n 故选：D ．【点评】：本题为数列的求和问题.求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键.属中档题．7.（单选题.5分）数列{a n }、{b n }满足a n •b n =1.a n =n 2+3n+2.则{b n }的前10项之和等于（ ） A. 13 B. 512 C. 12 D. 712【正确答案】：B【解析】：先求出数列{b n }的通项公式.然后写出数列{b n }的前10项之和.利用裂项的方法求和即可．【解答】：解：∵a n •b n =1 ∴b n = 1n 2+3n+2 = 1(n+1)(n+2)∴s10= 12×3+13×4+ + 110×11+111×12 =（ 12 - 13 ）+ (13−14) + +(110−111) +(111−112) = 12 -112 = 512故选：B ．【点评】：本题考查了数列的求和对于通项公式为 1(n+1)(n+2).一般采取裂项的方法求前n 项和.属于基础题．8.（单选题.5分）若在△ABC 中.2cosBsinA=sinC.则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【正确答案】：C【解析】：由题意和和差角公式易得sin（A-B）=0.进而可得A=B.可判△ABC为等腰三角形．【解答】：解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC.∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B）.∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB.∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin（A-B）=0.∴A-B=0.即A=B.∴△ABC为等腰三角形.故选：C．【点评】：本题考查三角形性质的判断.涉及和差角公式的应用.属基础题．9.（单选题.5分）三角形ABC中.角A、B、C的对边分别是a.b.c.且a＞b＞c.a2＜b2+c2.则角A 的取值范围是（）A.（π2.π）B.（π4 . π2）C.（π3 . π2）D.（0. π2）【正确答案】：C【解析】：由条件推出A为锐角.从而判断△ABC的形状.通过a＞b＞c.推出A的范围．【解答】：解：△ABC中.由a＞b＞c.说明A最大.由a2＜b2+c2.故A为锐角.故△ABC的形状是锐角三角形.因为A最大.所以A＜π2 .A∈（π3. π2）故选：C．【点评】：本题主要考查三角形的形状的方法.勾股定理（或余弦定理）的应用.属于中档题．10.（单选题.5分）在△ABC中.若acos2C2 +ccos2A2= 32b.那么a.b.c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c【正确答案】：B【解析】：已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简.再利用正弦定理化简.整理后把sin （A+C）=sinB代入.利用正弦定理化简即可得到结果．【解答】：解：把acos2C2 +ccos2A2= 32b.化简得：a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b.由正弦定理得：sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB.整理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB.即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB.∵sin（A+C）=sinB.∴sinA+sinC+sinB=3sinB.即sinA+sinC=2sinB.则由正弦定理化简得.a+c=2b．故选：B．【点评】：此题考查了正弦定理.二倍角的余弦函数公式.两角和与差的正弦函数公式.熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11.（单选题.5分）△ABC中.A：B=1：2.C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分.则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.0【正确答案】：C【解析】：由A与B的度数之比.得到B=2A.且B大于A.可得出AC大于BC.利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2.得到BC与AC之比.再利用正弦定理得出sinA与sinB之比.将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简.即可求出cosA的值．【解答】：解：∵A：B=1：2.即B=2A.∴B＞A.∴AC＞BC.∵角平分线CD把三角形面积分成3：2两部分.∴由角平分线定理得：BC：AC=BD：AD=2：3.∴由正弦定理BCsinA = ACsinB得：sinAsinB= 23.整理得：sinA sin2A = sinA 2sinAcosA = 23 . 则cosA= 34 ． 故选：C ．【点评】：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：正弦定理.角平分线定理.以及二倍角的正弦函数公式.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．12.（单选题.5分）在钝角三角形ABC 中.a=1.b=2.则边c 的取值范围是（ ） A. √5 ＜c ＜3 B. √3 ＜c ＜ √5C.1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3D. √3 ＜c ＜ √5 或 √5 ＜c ＜3 【正确答案】：C【解析】：题中已知△ABC 是钝角三角形.没有指明哪个角是最大角.从而无法确定边之间的关系.从而可以分两种情况进行分析.从而确定第三边c 的变化范围．【解答】：解： ① ∵当∠C 是钝角时.有∠C ＞90°. ∴c ＞ √a 2+b 2 = √5 . 又a+b ＞c.可得c ＜1+2=3.∴可得边c 的取值范围是（ √5 .3）； ② 当∠B 是钝角时.有∠B ＞90°. ∴b 2＞a 2+c 2.可得4＞1+c 2.解得c ＜ √3 . 又c ＞b-a=1. ∴1＜c ＜ √3 .综上.边c 的取值范围是1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3． 故选：C ．【点评】：考查了三角形三边关系.此类求三角形第三边的范围的题.实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式.然后解不等式即可.属于基础题．13.（填空题.5分）已知向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角为60°.| a ⃗ |=2.| b ⃗⃗ |=1.则| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1]2 √3【解析】：根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】：解：【解法一】向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角为60°.且| a ⃗ |=2.| b ⃗⃗ |=1. ∴ (a ⃗+2b ⃗⃗)2= a ⃗2 +4 a ⃗ • b ⃗⃗ +4 b ⃗⃗2 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12.∴| a ⃗ +2 b⃗⃗ |=2 √3 ． 【解法二】根据题意画出图形.如图所示；结合图形 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ +2 b ⃗⃗ ； 在△OAC 中.由余弦定理得| OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √22+22−2×2×2×cos120° =2 √3 . 即| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=2 √3 ． 故答案为：2 √3 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用问题.解题时应利用数量积求出模长.是基础题． 14.（填空题.5分）已知 a ⃗ . b ⃗⃗ 为单位向量.且 a ⃗ • b ⃗⃗ =0.若 c ⃗ =2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ .则cos ＜ a ⃗ . c ⃗ ＞=___ ． 【正确答案】：[1] 23【解析】：根据向量数量积的应用.求出相应的长度和数量积即可得到结论．【解答】：解： a ⃗•c ⃗ = a ⃗•(2a ⃗−√5b ⃗⃗) =2 a ⃗2 - √5 a ⃗•b ⃗⃗ =2. ∵ c ⃗2 =（2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ ）2=4 a ⃗2 -4 √5 a ⃗•b ⃗⃗ +5 b ⃗⃗2 =9. ∴| c ⃗ |=3.∴cos ＜ a ⃗ . c ⃗ ＞= a⃗⃗•c ⃗|a ⃗⃗||c ⃗|= 23 ．故答案为： 23【点评】：本题主要考查向量夹角的求解.根据向量数量积的应用分别求出数量积及向量长度是解决本题的关键．15.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 所对的边分别为a.b.c ．若a= √7 .b=2.A=60°.则sinB=___ .c=___ ． 【正确答案】：[1]√217; [2]3 【解析】：由正弦定理得 √7sin60° = 2sinB .由此能求出sinB.由余弦定理得cos60°= 4+c 2−72×2c.由此能求出c ．【解答】：解：∵在△ABC 中.角A.B.C 所对的边分别为a.b.c ． a= √7 .b=2.A=60°.∴由正弦定理得： a sinA =b sinB .即 √7sin60° = 2sinB . 解得sinB=2×√32√7=√217． 由余弦定理得： cos60°=4+c 2−72×2c. 解得c=3或c=-1（舍）. ∴sinB=√217.c=3． 故答案为： √217.3．【点评】：本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法.考查正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．16.（填空题.5分）设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4.a n+1=2S n +1.n∈N *.则a 1=___ .S 5=___ ． 【正确答案】：[1]1; [2]121【解析】：运用n=1时.a 1=S 1.代入条件.结合S 2=4.解方程可得首项；再由n ＞1时.a n+1=S n+1-S n .结合条件.计算即可得到所求和．【解答】：解：由n=1时.a 1=S 1.可得a 2=2S 1+1=2a 1+1. 又S 2=4.即a 1+a 2=4. 即有3a 1+1=4.解得a 1=1；由a n+1=S n+1-S n.可得S n+1=3S n+1.由S2=4.可得S3=3×4+1=13.S4=3×13+1=40.S5=3×40+1=121．故答案为：1.121．【点评】：本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时.a1=S1.n＞1时.a n=S n-S n-1.考查运算能力.属于中档题．17.（问答题.10分）已知| a⃗ |=4.| b⃗⃗ |=8. a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时. (a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；（2）由于(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗) . (a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) =0.展开即可得出．【解答】：解：（1）a⃗•b⃗⃗ = |a⃗||b⃗⃗| cos120°= 4×8×(−12) =-16．| a⃗+b⃗⃗ |= √a⃗2+b⃗⃗2+2a⃗•b⃗⃗ = √42+82+2×(−16) =4 √3．（2）∵ (a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗) .∴ (a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) = ka⃗2−2b⃗⃗2 + (2k−1)a⃗•b⃗⃗ =0.∴16k-128+（2k-1）×（-16）=0.化为k=-7．∴当k=-7值时. (a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)．【点评】：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．18.（问答题.12分）在△ABC中.a.b.c分别是角A.B.C的对边.cosB= 35 . AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-21．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7.求角C．【正确答案】：【解析】：（1）先根据平面向量的数量积的运算法则化简 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−21 .把cosB 的值代入求出ac 的值.然后由cosB 的值和B 的范围.利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值.利用三角形的面积公式表示出△ABC 的面积.把ac 和sinB 的值代入即可求出△ABC 的面积； （2）由（1）求出的ac 的值和a 的值.求出c 的值.再由a.c 及cosB 的值.利用余弦定理求出b 的值.再由b.sinB 以及c 的值.利用正弦定理求出sinC 的值.利用大边对大角.由a 大于c 得到角C 为锐角.由特殊角的三角函数值即可求出角C 的度数．【解答】：解：（1）∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos (π−B )=−accosB =−35ac =−21 .∴ac=35. 又∵ cosB =35.0＜B ＜π.∴ sinB =45. ∴ S △ABC =12acsinB =12×35×45=14 ； （2）由（1）知：ac=35.且a=7.∴c=5.则 b 2=a 2+c 2−2accosB =49+25−2×35×35=32 .∴ b =4√2 .由正弦定理得：bsinB=csinC.∴ sinC =csinB b=5×454√2=√22. 又∵a ＞c.∴ C ∈(0，π2) .∴ C =π4 ．【点评】：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式.培养了学生分析问题.解决问题的能力．学生做题时注意以下两点：第1问中注意两向量的夹角为π-B.不是角B ；第2问中由a ＞c.利用大边对大角得到角C 为锐角．19.（问答题.12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .且满足a n +2S n •S n-1=0（n≥2）.a 1= 12 ． （1）求证：{ 1S n}是等差数列；（2）求a n 的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）本题关键是将a n =S n -S n-1代入化简.再根据等差数列的定义进行判定即可． （2）先求出S n .利用S n 求a n .必须分类讨论a n = {a 1 n =1S n −S n−1n ≥2 .求解可得．【解答】：（1）证明：∵-a n =2S n S n-1. ∴-S n +S n-1=2S n S n-1（n≥2）.S n ≠0（n=1.2.3）． ∴ 1S n-1S n−1=2．又 1S 1= 1a 1=2.∴{ 1S n}是以2为首项.2为公差的等差数列． （2）解：由（1）. 1S n=2+（n-1）•2=2n .∴S n = 12n ．当n≥2时.a n =S n -S n-1= 12n - 12(n−1) =- 12n (n−1)[或n≥2时.a n =-2S n S n-1=-12n (n−1)]； 当n=1时.S 1=a 1= 12 ． ∴a n = {12(n =1)−12n (n−1)(n ≥2)【点评】：本题主要考查了等差数列的证明.以及已知S n 求a n .注意分类讨论.属于基础题． 20.（问答题.12分）已知 a ⃗ =（cosx.2cosx ）. b ⃗⃗ =（2cosx.sinx ）.f （x ）= a ⃗ • b ⃗⃗ ． （1）把f （x ）的图象向右平移 π6 个单位得g （x ）的图象.求g （x ）的单调递增区间； （2）当 a ⃗≠0⃗⃗，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线时.求f （x ）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得： f (x )=√2sin (2x +π4)+1 ．把f （x ）的图象向右平移 π6 个单位得g （x ）的图象：g （x ）= √2sin [2(x −π6)+π4] +1．再利用正弦函数的单调性即可得出：g （x ）的增区间．（2）当 a ⃗≠0⃗⃗，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线时.可得tanx=4．于是f （x ）= 2cos 2x+2sinxcosx sin 2x+cos 2x = 2+2tanxtan 2x+1.即可得出．【解答】：解：（1）f （x ）=2cos 2x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x= √2sin (2x +π4) +1． ∴ f (x )=√2sin (2x +π4)+1 ．把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象：g（x）= √2sin[2(x−π6)+π4] +1=√2sin(2x−π12) +1．∴ g(x)=√2sin(2x−π12) +1．由2kπ−π2≤2x−π12≤ π2+2kπ.解得kπ−5π24≤x≤kπ+ 7π24.k∈Z．∴g（x）的增区间[kπ−5π24，kπ+7π24]，k∈Z．（2）∵当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时. ∴4cos2x-sinxcosx=0.∴tanx=4．∴f（x）=2cos2x+2sinxcosx= 2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x = 2+2tanxtan2x+1= 2+2×442+1= 1017．【点评】：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、图象变换、同角三角函数基本关系式、向量共线定理.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）在△ABC中.AC=6.cosB= 45 .C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理.即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA.利用两角差的余弦公式求cos（A- π6）的值．【解答】：解：（1）∵△ABC中.cosB= 45.B∈（0.π）.∴sinB= 35.∵ AB sinC =ACsinB.∴AB= 6×√2 235=5 √2；（2）cosA=-cos（π-A）=-cos（C+B）=sinBsinC-cosBcosC=- √210．∵A为三角形的内角.∴sinA= 7√210.∴cos（A- π6）= √32cosA+ 12sinA= 7√2−√620．【点评】：本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题．22.（问答题.12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2.求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0.a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）S n=10n-n2.n≥2时.a n=S n-S n-1.（n=1时也成立）．令a n≥0.解得n≤5．可得n≤5时.{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+......+a n=S n．n≥6时.{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+ (5)a6+……-a n=2S5-S n．即可得出T n．（2）设等差数列{a n}的公差为d.由a2=0.a6+a8=-10．可得a1+d=0.2a1+12d=-10.联立解得：a1.d.可得a n．于是a n2n−1 = 2−n2n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】：解：（1）∵S n=10n-n2.∴n≥2时.a n=S n-S n-1=10n-n2-[10（n-1）-（n-1）2]=11-2n.（n=1时也成立）．令a n≥0.解得n≤5．∴n≤5时.{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……+a n=S n=10n-n2．n≥6时.{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……a5-a6+……-a n=2S5-S n=2×（50-25）-（10n-n2）=n2-10n+50．综上可得：T n= {10n−n2，1≤n≤5n2−10n+50，(n≥6)．（2）设等差数列{a n}的公差为d.∵a2=0.a6+a8=-10．∴a1+d=0.2a1+12d=-10.联立解得：a1=1.d=-1.∴a n=1-（n-1）=2-n．∴ a n 2n−1 = 2−n2n−1．∴数列{ a n2n−1 }的前n项和H n=1+0- 122- 223+……+ 2−n2n−1．1 2 H n= 12+0- 123- 224+……+ 3−n2n−1+ 2−n2n．相减可得：12 H n=1- 12- 122123-……+ 12n−1- 2−n2n=2- 1−12n1−12- 2−n2n．化为：H n= n2n−1．（n=1时也成立）．【点评】：本题考查了数列递推关系、绝对值数列求和问题、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论方法、错位相减法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．。

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中测试数 学 试 卷（理科）全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C. (－２，１)D.(－２，－２)2．设ABC ∆的内角Ａ,Ｂ,Ｃ所对的边分别为a, b, c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边a, b, c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3． 已知数列{a n }和{n b }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A.17B.421C.835D.324．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且a=3,c=45O．则角Ｂ等于（ ） A.600B. 600或1200C.150D.150或7505．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.5D.106．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （０<a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）<v<2a b+ D. v=2a b+ 7. 设点Ｏ在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A.32B.53C.2 D ．38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.22B.23C.24D.259．已知的平面向量a 和b ，且≠0a ，a ≠ b ，1b =，a 和b －a 夹角为1３5o ，则a 的取值范围为( )A.0,1⎡⎤⎣⎦B.()1,2C.(D.,12⎤⎥⎢⎥⎣⎦10．已知函数(x)xf e x =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ） A.①④B.②③C.①③D.②④11．设a + b = 2, b >0，则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.4B.3C ．2D.1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=--．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .15．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，若12340m a a a a a ++++≤ ，则m 的最大值是 ．16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若(3n)+=≤nnna b c ，则ABC ∆为锐角三角形． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f = 当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x 1)5+≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣12．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．25．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．506．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+29．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．711．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣1【分析】根据直线的截距相等，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：显然直线不过（0，0），截距不是0，故直线可化为：+＝1，若直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则＝，解得：a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查对应思想，是一道常规题．2．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据向量的相等以向量的平行和向量的共线即可判断．【解答】解：对于①，＝λ（λ∈R），那么与方向相同或相反，故①错误，对于②，非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线或AB与CD平行，故②错误，对于③，△ABC中，若B＞90°，则•＜0，故③正确，对于④，四边形ABCD是平行四边形，则必有＝，故④正确．故选：C．【点评】本题考查向量的相等，向量的平行，关键是掌握共线的条件，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】解：由已知利用正弦定理可得c＝a，结合已知b2﹣a2＝ac，可求得b＝2a，进而根据余弦定理可求cos C的值．【解答】解：∵＝，∴由正弦定理可得：＝，即c＝a，又∵b2﹣a2＝ac，∴b2﹣a2＝3a2，可得b＝2a，∴cos C＝＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．2【分析】由两圆的公共弦垂直于两圆圆心的连线，再由两直线斜率的关系列式可得m+n 的值．【解答】解：∵两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），且两圆的圆心都在直线x+y ＝0上，∴MN垂直直线x+y＝0，则MN的斜率k＝，得m+n＝0．故选：C．【点评】本题主要考查圆与圆相交的性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．5．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．50【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点．【解答】解：设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．解得x＝≈0.414≈42%．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C．【点评】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离【分析】由直线系方程可得直线过圆上的定点，由此可得直线l与圆C不可能相离．【解答】解：由直线l：mx﹣y﹣m+＝0，得m（x﹣1）﹣y+＝0，由，得，可得直线l过定点A（1，）．圆C：（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径r＝2．∵|CA|＝，∴A在圆C上，∴直线l与圆C不可能相离，故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系，训练了直线系方程的应用，是基础题．7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）【分析】对|﹣|＝2两边平方后，结合•＝||•||cos进行化简可得+||•||+＝4；由基本不等式的性质知，+≥2||•||，于是推出0＜||•||，再结合平面向量数量积即可得解．【解答】解：∵|﹣|＝2，∴﹣2•+＝4，∴﹣2||•||cos+＝4，即+||•||+＝4，由基本不等式的性质可知，+≥2||•||，∴0＜||•||，∴•＝||•||cos＝||•||∈[，0）．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积运算，还涉及利用基本不等式的性质求最值，对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，又y＞0，且+＝1，∴x+2y＝（x﹣1）+2y+1＝[（x﹣1）+2y]（+）+1＝6++≥6+2＝10，当且仅当＝，即x＝4，y＝3时等号成立，故x+2y的最小值为10．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．9．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④【分析】对于①②，可根据条件取特殊值判断；对于③④，可直接利用不等式的基本性质判断．【解答】解：①由|a|＞b，取a＝0，b＝﹣2，则a2＞b2不成立，故①错误；②由a＞b，c＞d，取a＝c＝0，b＝d＝﹣1，则a﹣c＞b﹣d不成立，故②错误；③∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，故③正确；④由a＞b＞0，得，∵c＜0，∴，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出首项和公比，得出{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a1a3a5＝27＝，a2a4a6＝＝，∴a3＝3，a4＝，∴q＝＝，a1＝12，a5＝a4•q＝＜1．故{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是4，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．11．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1：2，可推出圆心到直线的距离为1，即，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab的最小值，再求出+的最大值．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0化成标准形式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，其中圆心为（1，1），半径为2．设直线与圆交于A、B两点，圆心为C，因为直线把圆的周长分为1：2，所以∠ACB＝×360°＝120°，所以圆心C（1，1）到直线ax+by﹣2＝0的距离为1，即，因为a，b＞1，所以ab﹣2（a+b）+2＝0，由基本不等式的性质可知，ab+2＝2（a+b）≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，此时有ab≥，所以+＝＝＝+≤+＝2﹣．所以+的最大值为2﹣．故选：B．【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）【分析】由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式、同角的商数关系，化简可得tan A＝3tan B，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan A＞0，tan C ＞0，解不等式可得所求范围．【解答】解：由a2＝b2+c2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，则b2+c2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得c＝4b cos A，由正弦定理可得：sin C＝4sin B cos A，可得sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝4sin B cos A，化为3sin B cos A＝sin A cos B，在锐角△ABC中，cos A≠0，cos B≠0，则tan A＝3tan B，又tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣，由tan A＞0，tan C＞0，可得1﹣tan2A＜0，解得tan A＞，故选：B．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．【分析】求出sin，把直线方程变形，再由直线的一般方程求斜率公式得答案．【解答】解：由直线l：x﹣y sin+1＝0，得x﹣，即2x﹣．则该直线的斜率k＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查由直线方程求直线的斜率，是基础题．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝﹣1．【分析】根据条件求出，然后由，得到，再求出λ的值．【解答】解：，，且，∴，∴λ＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为14．【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，可得a n，na n，计算可得所求和．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，由a4+a6＝4，a82﹣a22＝48，可得2a1+8d＝4，6d•（2a1+8d）＝48，解得a1＝﹣6，d＝2，可得a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8，na n＝2（n2﹣4n），则S6＝2[（12+22+32+42+52+62）﹣4（1+2+3+4+5+6）]＝2×（1+4+9+16+25+36﹣4×21）＝14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是（1，4）．【分析】①由正弦定理＝，可推出sin A cos＝sin B sin A，再结合二倍角公式和B的取值范围即可得解；②由正弦定理＝，知a＝，再根据三角形的内角和与正弦的两角和公式可将其化简为；然后由A、C∈（0，），可求得C∈（，），即tan C ＞，将其代入化简后的式子即可得解．【解答】解：①由正弦定理知，＝，∵a cos＝b sin A，∴sin A cos＝sin B sin A，∵sin A≠0，∴cos＝sin B＝2sin cos，∵锐角△ABC，∴B∈（0，），∈（0，），∴cos≠0，sin＝，∴B＝．②由正弦定理知，＝，∴a＝＝＝＝，∵锐角△ABC，∴A、C∈（0，），∵A+C＝π﹣B＝，∴A＝﹣C∈（0，），即C∈（，），∴C∈（，），tan C＞，∴a＝∈（1，4）．故答案为：；（1，4）．【点评】本题考查解三角形和三角函数的综合运用，涉及正弦定理、二倍角公式、正弦的两角和公式以及正切函数的图象与性质，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．【分析】（1）由题意利用点斜式设出直线的方程，求出斜率k的值，可得结论．（2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得△AOB面积最小值．【解答】解：（1）直线l过点P（﹣1，2），若直线l在两坐标轴上截距和为零，设直线l的方程为y﹣2＝k（x+1），即kx﹣y+2+k＝0．则它在两坐标轴上截距分别为﹣1﹣和k+2，由题意，﹣1﹣+k+2＝0，∴k＝﹣2 或k＝1，直线l的方程为2x+y＝0 或x﹣y+3＝0．（2）设直线l的斜率k＞0，则直线l：kx﹣y+2﹣k＝0与两坐标轴交点分别为A（﹣1，0）、B（0，k+2），求△AOB面积为S＝|﹣1|•|k+2|＝＝+2+≥2+2＝4，当且仅当k＝2时，等号成立，故△AOB面积最小值为4．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线在坐标轴上的截距，基本不等式的应用，属于中档题．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．【分析】（1）由＝t，可推出＝+t，而＝﹣，代入化简整理即可得解；（2）由＝3，知＝﹣，再结合平面向量的数量积可推出•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（4t﹣5），而t∈[0，1]，从而求得•的取值范围．【解答】解：（1）∵＝t，∴＝+＝+t＝+t（﹣）＝（1﹣t）+t．（2）∵＝3，∴＝＝﹣，∴•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（t﹣1）+（）•+t＝4（t﹣1）+（）×2×2cos60°+t×4＝（4t﹣5）．∵P是BC边上一点，∴t∈[0，1]，∴•＝（4t﹣5）∈[，]．【点评】本题考查平面向量的线性和数量积运算，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得a n；（2）求得n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），分别运用数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）由等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1，可得a n+b n＝（a1+b1）•3n﹣1＝2•3n﹣1，a n﹣b n＝（a1﹣b1）+2（n﹣1）＝2n﹣2，则a n＝n﹣1+3n﹣1，n∈N*；（2）n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），S n＝（1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1）﹣（1+2+…+n），设T n＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1，3T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，上面两式相减可得﹣2T n＝1+31+3•32+…+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n，化为T n＝+•3n，则S n＝+•3n﹣n（n+1）．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和、错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．【分析】（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求；（2）根据题意，设P（4﹣m，m），可得AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，求出以PO为直径的圆的方程，与圆O的方程联立，消去二次项可得直线AB的方程，再由直线系方程可得定点Q的坐标．【解答】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣2＝0．由，解得k＝﹣或k＝0．∴所求切线方程分别为y＝﹣2和3x+4y﹣10＝0；证明：（2）根据题意，点P为直线x+y﹣4＝0上一动点，设P（4﹣m，m），∵P A，PB是圆O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，可得以PO为直径的圆的方程为[x﹣（2﹣）]2+（y﹣）2＝（2﹣）2+（）2，即x2﹣（4﹣m）x+y2﹣my＝0，①又圆O的方程为：x2+y2＝4，②，①﹣②，得（4﹣m）x+my﹣4＝0，即m（y﹣x）+4x﹣4＝0，则该直线必过点Q（1，1）．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．【分析】（1）把a＞0且a+b＝4，代入不等式，利用配方法可求得不等式的解；（2）化简变形，再利用基本不等式，即可求得最小值．【解答】解：（1）由a＞0且a+b＝4，代入不等式f（x）≥0，得ax2+4x+4﹣a≥0，化简，得（x+1）（ax﹣a+4）≥0，∴x≤﹣1或x≥1﹣，当a＞2时，1﹣＞﹣1；∴不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1﹣}；当0＜a＜2时，1﹣＜﹣1，∴不等式的解集为{x|x≤1﹣或x≥﹣1}；当a＝2时，1﹣＝﹣1，∴不等式的解集为R．（2）由f（x）的值域为[0，+∞），可得a＞0，△＝0，∴16﹣4ab＝0，可得ab＝4．＝＝（a﹣b）+≥2＝4．当且仅当a﹣b＝时，的最小值为4．【点评】本题考查二次函数不等式的解法，利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．【分析】（1）四边形OECF的面积S＝S OBCF﹣S△BOE；（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，过点F作FM⊥AB于点M，利用三角函数的知识可推出种植甲、乙两种蔬菜的面积S甲和S乙；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，可用含α的式子表示出y；令f（α）＝tanα﹣，结合正切的两角差公式和基本不等式的性质可求出f（α）取得最小值时，tanα的值，再将其代入S甲的表达式中即可得解．【解答】解：（1）由∠EOF＝60°，∠BOE＝30°，可知OF⊥OB，O为AB中点，∵AB＝2BC，∴OB＝BC，∴四边形FOBC为正方形．在Rt△BOE中，∠BOE＝30°，OB＝20米，∴BE＝，∴四边形OECF的面积为S OBCF﹣S△BOE＝平方米．（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，则∠AOF＝120°﹣α，过点F作FM⊥AB于点M，在Rt△OBE中，BE＝OB•tanα＝20tanα；在Rt△OMF中，OM＝＝，∴DF＝OA﹣OM＝20﹣．∴种植乙种蔬菜的面积S乙＝S△BOE+S ADFO＝OB•BE+（OA+DF）•AD＝×20×20tanα+×[20+20﹣]×20＝200[tanα+2﹣]，种植甲种蔬菜的面积S甲＝S矩形ABCD﹣S乙＝800﹣200[tanα+2﹣]＝200[2﹣tanα+]，设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，则y＝3m•S甲+m•S乙＝3m×200×[2﹣tanα+]+m×200×[tanα+2﹣]，＝400m×[4﹣（tanα﹣）]．令f（α）＝tanα﹣＝tanα﹣＝，＝＝（tanα+）+﹣≥2﹣＝4﹣，当且仅当tanα+＝2，即tanα＝2﹣时，等号成立．若该空地产生的经济价值y最大，则f（α）应取得最小值，为4﹣，此时tanα＝2﹣，∴S甲＝200[2﹣tanα+]＝200×[2﹣（2﹣）﹣]＝400（﹣1）平方米．故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为400（﹣1）平方米．【点评】本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与基本不等式的性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

湖北省武汉市黄陂第六中学2019—2020学年高一下学期期中考试数学试卷 考试时间：4月25日 上午8：00——--10：00一、选择题（本题包括12小题，每小题5分,共60分).1。

在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=________. A 。

360 B. 300 C. 240 D 。

200 2。

若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ） A 。

22a b >B 。

11a b< C. ||||a c b c > D.2211a bc c >++ 3. ABC 中,若2cos c a B =，则ABC 的形状为（ ）A 。

直角三角形B 。

等边三角形 C. 等腰三角形 D 。

锐角三角形4. P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( ）． A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D 。

外心5。

若关于x 不等式230ax bx ++>的解集为1(1,)2-，其中,a b 为常数，则不等式230x bx a ++<的解集是（ ） A 。

(2,1)-B. (1,2)-C 。

1(,1)2-D 。

1(1,)2-6。

若锐角,αβ满足()()114αβ=，则αβ+的值为（ ） A 。

6π B 。

3πC 。

23π D 56π。

7。

在ABC ∆中,已知的三边a 、b 、c 成等比数列,且c =2a ,则cos B 等于（ ）A ．B ．12C D ．348. 在ABC ∆中，已知面积()2224S a b c =+-，则角C 的度数为（ )A 。

135︒B 。

120︒ C. 60︒ D 。

45︒9.在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若3AB AF ⋅=,则AE BF ⋅的值为（ ）A ． —4 B ．0 C ． 833 D ．410. 已知正数x 、y 满足1x y +=,则141x y ++的最小值为（ ）A.72B. 4C.92D. 511. 已知数列{}n a 满足118a =，12n n a a n +-=，则na n 的最小值为( ) A ．294B ．621-C ．152D ．38512。

数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（ ）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-； 当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由 等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数， 因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=， 由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π）， 所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆===20ab =，因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， 所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分 （2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272nn -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。

数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上．) 1.数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 72【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】16256()6()6(39)636222a a a a S +⋅+⋅+⨯====.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的下标性质，考查了等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.2.若向量a →，b →满足()5a a b →→→⋅-=，||2a →=，1b →=，则向量a →，b →的夹角为（ ） A.6π B.3πC.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，对等式()5a a b →→→⋅-=进行变形，最后结合平面向量的夹角定义和特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】222()55cos 5221cos 5a a b a a b a a b a b a b →→→→→→→→→→→→→⋅-=⇒-⋅=⇒-⋅⋅〈⋅〉=⇒-⋅⋅〈⋅〉=，即12cos ,[0,],23a b a b a b ππ→→→→→→〈⋅〉=-〈⋅〉∈∴〈⋅〉=-.故选：C【点睛】本题考查了求平面向量的夹角，考查了平面向量的数量积的运算性质和定义，考查了数学运算能力.3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于（ ）A.6π B.3πC.6π或56π D.3π或23π 【答案】D 【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin sin sin a B A b π===，又a b >，所以4A π>，所以3A π=或23A π=．选D ． 点睛：已知三角形的两边和一边对角解三角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意． 4.在ABC ∆中，12BD DC =，则AD =（ ） A.1344AB AC B. 2133AB AC +C.1233AB AC + D.2133AB AC - 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量共线向量的性质和平面向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】11121()().33333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AB AC AB AC =+=+=++=+-+=+故选：B【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量加法的几何意义，考查了共线向量的性质，属于基础题.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的定义、等比数列的前n 项和公式、等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】由题意可知：每天走的路程构成12为公比的等比数列，设为{}{}(1,2,3,4,5,6)n a n ∈，所以第一天走的路程为1a ，设6天共走的路程为6S ，则有61611[1()]2378192112a S a -==⇒=-，因此第4天走的路程为：34111()1922428a a =⋅=⨯=.故选：B【点睛】本题考查了数学建模能力，考查了等比数列的前n 项和公式、等比数列的通项公式，考查了数学运算能力和数学阅读能力.6.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B. 12-D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的下标性质，结合诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以由23159********()8882a a a a a a a a a a ⋅⋅=-⇒⋅⋅=-⇒⋅=-⇒=-⇒=-，又因为数列{}n b 是等差数列，所以由2582855555332333b b b b b b b b b b πππππ++=⇒++=⇒+=⇒=⇒=，46523752222sinsin sin sin()sin sin()sin 11143333b b b a a a ππππππ+∴===-=-=--=-=---【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的下标性质，考查了特殊角的正弦值，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.7.钝角三角形ABC 的面积是2，2AB =，3BC =，则AC =（ ）【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，结合余弦定理和已知三角形是钝角三角形进行求解即可.【详解】因为钝角三角形ABC 的面积是，所以有1sin sin 2AB BC B B ⋅⋅=⇒=， 因为(0,)B π∈，所以3B π=或23B π=.当3B π=时，AC ===2AB =，3BC =，所以最长边为BC ，于是有222cos 02AB AC BC A AB AC +-===>⋅，因此三角形ABC 的最大内角A 是锐角，这与已知三角形ABC 不符合，故舍去；当23B π=时，AC ===. 故选：D【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，考查了余弦定理的应用，考查了钝角三角形的性质，考查了数学运算能力.8.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2cos aB c=，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状．【详解】由2cos a B c =及余弦定理得22222222a c b a c b aac ac c+-+-⨯==，整理得22c b =， ∴b c =，∴ABC ∆为等腰三角形． 故选A ．【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进行判断，另一种方法是把角化为边后再进行判断，解题时注意对两种方法的选择． 9.如图，已知等腰ABC ∆中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+（ ）A. 为定值10B. 为定值6C. 最大值为18D. 与P 的位置有关【答案】A 【解析】 【分析】设(01)BP BC λλ=≤≤，根据平面向量数量积运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可. 【详解】设(01)BP BC λλ=≤≤.()()()2()AP AB AC AB BP AB AC AB AB AC BC AB AC λ⋅+=+⋅+=+⋅+⋅+，因为()()()()22BC AB AC BA AC AB AC AC ABλλλ⋅+=+⋅+=-=，22299161cos 22339AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以()22333cos 10AP AB AC AB AB AC A ⋅+=+⋅=+⨯⋅=. 故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力.10.在ABC ∆中，三边长可以组成公差为1形的面积为（ ）A.1516B.16C.154D.4【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的大边对大角的性质，结合特殊角的三角函数值、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】设ABC ∆最小边的边长为a ，由题意可知，另个二个边的边长分别为：1,2a a ++，显然三边不相等，且边长为2a +的边为最长边，它所对的角为最大角，设为α. 因为最大角sin (0,),ααπ=∈∴3πα=或23πα=. 当3πα=时，因为最大角为3π，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，故舍去； 当23πα=时，由余弦定理可知：22222(2)(1)2(1)cos2303a a a a a a a π+=++-+⇒--=，解得32a =或1a =-（舍去），因此三边长分别为：357,,222，因此三角形面积为：135222⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查了三角形面积公式，考查了余弦定理的应用，考查了三角形的性质，考查了数学运算能力.11.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里．A. 56B. 106C. 102D. 202【答案】A 【解析】 【分析】连接AB ，根据题意得出相应角的大小，分别在ADC ∆、BCD ∆、ABD ∆使用正弦定理、锐角三角函数定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接AB ，由题意可知：10,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD ︒︒︒︒=∠=∠=∠=∠=，所以有45,60DAC ADB ︒︒∠=∠=.在ADC ∆中，由正弦定理可知：52sin sin AD CDAD ACD CAD =⇒=∠∠.在Rt BCD ∆中，cos 102CDBDC BD BD∠=⇒=. 在ABD ∆中，由余弦定理可知：222cos 56AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方位角的定义，考查了数学运算能力.12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A. 9-B. 8C. 1019-D. 1018【答案】B 【解析】 【分析】 分别令1,2,3,4,,2019,2020n =代入等式()()1211n n n n a a n +++=⋅-中，得到2020个等式，把2020个等式相加，再根据这些等式，求出2020S 的表达式，最后结合已知20211001S =进行求解即可.【详解】因为()()1211n n n n a a n +++=⋅-，所以有：121,(1),a a +=-，2334452,(2),3,(3),4,(4),,a a a a a a +=-+=+=201920202019,(2019)a a += 202020212020,(2020)a a +=，(1)(2)(3)(4)(2019)(2020)++++++，得：20202021120202021150542020S S a S S a +-=⨯⇒+-=，(1)(3)(2019)+++，得：20201010S =，因此12021202020201001101020209a S S =+-=+-=-，而121a a +=-，因此2118a a =--=. 故选：B【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了数学运算能力，考查了转化与化归思想，属于基础题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上．)13.已知,a b 为单位向量，其夹角为120︒，则a b -=______. 【解析】 【分析】 由公式2||a a =将a b -看成一个整体，即2||()a b a b -=-直接进行运算.【详解】由题意得：2221||()222()2a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⋅-=.【点睛】本题考查向量模的求解、数量积的运算，考查运算求解能力，求解时注意夹角为120︒余弦值为12-，不能符号弄错. 14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =_________．【答案】n 453+【解析】 【分析】运用累加法，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】当2n ≥时，2(1)11124n n n n n a a a ----=+=+，所以有： 121122111()()()44434(14)453,143n n n n n n n n n a a a a a a a a ------=-+-++-+=++++-+=+=-当1n =时，也上适合上式，所以n a =n 453+.故答案为：n 453+【点睛】本题考查了应用累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.15.若等比数列*{}()n a n N ∈满足1330a a +=，2410a a +=，则12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为____． 【答案】729 【解析】 【分析】求出基本量1a ，q 后可得数列的通项，判断1n a ≥、01n a <<何时成立可得n 取何值时有12...n a a a ⋅⋅⋅的最大.【详解】设公比为q ，因为1330a a +=，2410a a +=，所以241313a a q a a +==+，所以111309a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得127a =，所以1412733n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 当14n ≤≤时，1n a ≥；当5n ≥时，01n a <<，故12...n a a a ⋅⋅⋅最大值为32106123123433729a a a a a a a +++⋅⋅=⋅⋅⋅===，故填729. 【点睛】正项等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，其公比为q （1,0q q ≠>）（1）若101a <<，则当1q >时，n T 有最小值0n T 无最大值，且0011,1n n a a +≤≥；当01q <<时，n T 有最大值1T ，无最小值.（2）若11a >，则当01q <<时，n T 有最大值0n T 无最小值，且0011,1n n a a +≥≤；当1q >时，n T 有最小值1T ，无最大值.16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为_________．【答案】4【解析】 【分析】根据正弦定理化简等式，再根据余弦定理求出C 的大小，最后根据基本不等式和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】根据正弦定理，由(sin sin )(3)()sin ()(3)()(3)(3)(),C B b a b A c b b a b a b b a b a -+=+⇒-+=+⇒-+=+化简得：229a b ab ++=，而由余弦定理可知；22292cos c a b ab C ==+-⋅，因此12cos ,(0,),23C C C ππ=-∈∴=.222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），923ab ab ab -≥⇒≤.设ABC ∆面积为S ，于是有112sin sin 22344S ab C ab ab π===≤.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了三角形面积公式，考查了数学运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =.（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出向量3a b -和a kb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可；（Ⅱ）由()a tb b -⊥得出()0a tb b -⋅=，利用向量数量积坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可. 【详解】（Ⅰ）()1,2a =-，()3,4b =，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-，()()3//a b a kb -+，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---，()a tb b -⊥，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.18.已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （Ⅱ）根据n a 的正负性，结合等差数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意：245,,a a a 是等比数列，所以有()()()210104103d d d -+-+=-+ 解得：2d =或0（舍去）， 所以212n a n =-；（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有2(10212)112n n n nT S n n -+-=-=-=-；当7n ≥时，0n a >，662(10212)(100)62116022n n n n T S S S n n -+--+⨯=--=-⨯=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了求等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力19.在四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =BC ．【答案】；（Ⅱ）3BC =． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （Ⅱ）根据诱导公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB =︒∠，所以sin 6ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（Ⅱ）由题设及（1）知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了诱导公式，考查了数学运算能力.20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）29n a n =-；（Ⅱ）n T =()727nn --．【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列{}n a 的前n 项n S 最值的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （Ⅱ）利用裂项相消法进行求解即可.【详解】（Ⅰ）由等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是7-＋3d ≤0，7-＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数，因此d ＝2．故数列{a n }的通项公式为29n a n =- （2） ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求解，考查了裂项相消法的应用，考查了数学运算能力.21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长．【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）9+．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理、余弦定理进行求解即可；（Ⅱ）根据三角形面积公式，结合完全平方和公式和（Ⅰ）中结论进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+． 由正弦定理可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得222cos 122a b c C ab +-==，(0,),3C C ππ∈∴=；（2）1sin 2ABC S ab C ∆=4ab ==20ab =，因为222c a b ab =+-，c =，所以2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9+【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了数学运算能力.22.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n *∈N ，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）a n ＝2n ；（Ⅱ）[332，+∞）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）对递推关系21444n n a S n +=++再递推一步，两式相减，最后结合等差数列的定义进行求解即可；（Ⅱ）根据等差数列的通项公式结合已知求出等比数列的通项公式，最后利用错位相减法、判断数列的单调性进行求解即可.【详解】（Ⅰ）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为2、公差为2的等差数列， 所以22(1)2na n n =+-=；（Ⅱ）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以正项等比数列{}n b的公比为：2q ==， 因此b n ＝2n ；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272n n m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272n n -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．【点睛】本题考查了由递推关系求等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列恒成立问题，考查了数列的单调性，考查了数学运算能力.。

2019-2020学年武汉三中等六校高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，给出下列四个命题，其中正确的是( )A. 若a >b ，c >d ，则a −d <b −cB. 若ac 2>bc 2，则a >bC. 若c <b <a ，且ac <0，则cb 2<ab 2D. 若a >b ，则lg(a −b)>02. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个非零向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角分别为π6和2π3，向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴夹角取值范围是( )A. (0,π3)B. (π3,5π6)C. (π2,2π3)D. (2π3,5π6)3. 若向量 =(2,−3)， =(x,9)，且，则x 的值是A. −6B.C. 6D.4. 不等式的解集是( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为为锐角，，则为( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设A(a 1009,1)，B(2,−1)，C(2,2)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影相同，则S 2017为A. −2016B. −2017C. 2017D. 07. 小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①BC =12m ，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45°，④cos∠BAC =3√68，⑤∠BOC =30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为( )A. 10√3mB. 12mC. 12√2mD. 12√3m8. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinA <cosBsinC ，则△ABC 一定为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形9. 已知，向量，向量，且，则的最小值为A. 18B. 16C. 9D. 810. 已知△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，点M 是线段BC(含端点)上的一点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=1，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. (12,2)B. [12,1]C. (1,2]D. (1,32]11. 下列说法正确的是( )A. 当x >0时，√x x ≥2B. 当x ≠kπ+π2,k ∈Z 时，cosx +1cosx ≥2 C. 当x ≥2时，x +1x 的最小值为2 D. 当0<x ≤1时，x −1x 无最大值12. 对于非零实数a ，b ，以下四个命题都成立：①a 2+1a 2>0；②(a −b)2=a 2−2ab +b 2； ③若a 2=b 2，则a =±b ； ④若a 3−a 2b >0，则a −b >0．那么，对于非零复数a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）>2的解集是______．13.不等式1x14.若在△ABC中，角A，B，C对应边为a，b，c，若A=60°，b=1，S△ABC=√3，则a+b+c=______．sinA+sinB+sinC15.15.如图，从一点引出三条射线与直线分别交于三个不同的点，则下列命题正确的是．1若，则；2若先引射线与交于两点，且恰好是夹角为的单位向量，再引射线与直线交于点(在之间)，则的面积的概率是；3若，和的夹角为，和夹角为，则；4若为中点，为线段上一点(不含端点)，且，过作直线分别交射线于，若，则的最大值是16.如图，边长为的正方形的顶点，分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a⃗=(x+1,y)，b⃗ =(x−1,y)，其中x，y∈R，且|a⃗|+|b⃗ |=4，动点P(x,y)的轨迹为L．(Ⅰ)求动点P(x,y)的轨迹方程；(Ⅱ)已知点F1(−1,0)，过点F2(1,0)的直线l与轨迹L相交于A，B两点，问△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．18.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥DA，CE=√7，∠ADC=2π；E为AD边上一点，DE=1，3EA=2，∠BEC=π3(Ⅰ)求sin∠CED的值；(Ⅱ)求BE的长．19.已知数列和满足，若为等比数列，且，．(1)求与；(2)设()，记数列的前项和为，求；20.已知函数，其中，，在中，分别是角的对边，且，(1)求角;(2)若，，求的面积．21.岳阳市为了改善整个城市的交通状况，对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查．统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为85千米/小时，研究表明：当30≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．22.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?【答案与解析】1.答案：B解析：解：对于A ：若a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，即a −d >b −c ，故A 错误； 对于B ：若ac 2>bc 2，则a >b ，成立； 对于C ：当b =0时，不成立； 对于D ：若0<a −b <1时，不成立； 故选：B ．分别对各个选项进行判断，从而得到结论．本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．2.答案：B解析：解：由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角之间， 由于非零向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角分别为π6和2π3， ∴向量−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角范围是(π3,5π6) ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角的取值范围是(π3,5π6)故选：B ．由题意及图可判断出−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角之间，结合已知可得向量−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角范围是(π3,5π6)，进而可得答案．本题考查平面向量的综合运用，考查了向量的夹角，向量的相等，解题的关键是理解题意，属中档题．3.答案：A解析：∵向量 a ⃗ =(2,−3)， b ⃗ =(x,9)，且 a ⃗ // b ⃗ ， ∴−3x −2×9=0， ∴x =−6；故选A ．4.答案：C解析：试题分析：先将不等式转化为，结合二次函数的图像可得二次不等式的解集为，选C ．考点：二次不等式．5.答案：D解析：试题分析：由已知得，所以，且，由为锐角，故，由正弦定理得，则，，展开得，，故，所以，所以是等腰直角三角形考点：正弦定理和三角恒等变形．6.答案：D解析：解：∵A(a 1009,1)，B(2,−1)，C(2,2)，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影相同， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2a 1009+2=2×2−1×2， 即a 1009=0，∴a 1+a 2017=2a 1009=0， ∴S 2017=20172(a 1+a 2017)=0，故选：D ．向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影相同可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得a 1009=0，再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．本题考查了向量的数量积运算、投影，等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：D解析：本题考查的知识要点：三角形中仰角和俯角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．首先利用仰角和俯角求出OB 和OC 的长，进一步利用余弦定理的应用求出OA 的长． 解：选①②③⑤， 如图所示：则∠ABO =60°，∠ACO =45°， 设OA =x ，则OA =OC =x ，OB =√3． 在△BOC 中，利用余弦定理：BC 2=122=x 2+(√3)2−2x ⋅√3√32， 整理得：x =12√3，即OA =12√3m ， 故选D ．8.答案：C解析：解：∵sinA <cosBsinC ，∴由正弦定理可得：a <ccosB ，可得a <c ⋅a 2+c 2−b 22ac，∴整理可得a 2+b 2−c 2<0，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab<0，∵C ∈(0,π)，∴C 为钝角，△ABC 为钝角三角形． 故选：C ．由正弦定理、余弦定理化简已知等式可得a 2+b 2−c 2<0，可求cosC =a 2+b 2−c 22ab<0，结合范围C ∈(0,π)，可求C 为钝角，即可得解△ABC 为钝角三角形．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.答案：C解析：试题分析：由 所以当且仅当取“=”．所以的最小值为9，选．考点：1.平面向量的坐标运算；2.基本不等式．10.答案：B解析：解：解：如图所示，建立直角坐标系． 则B(0,c)，C(b,0)，D(b,c)，M(x,y)．∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，及四边形ABDC 为矩形， ∴|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． ∴b 2+c 2=4． ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1， ∴bx +cy =1． |AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 2+y 2． ∵(x 2+y 2)(b 2+c 2)≥(bx +cy)2， ∴4(x 2+y 2)≥1．∴√x 2+y 2≥12.即|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥12．∵点M 在直线BC 上，∴x b +yc =1． ∴1=(bx +cy)(xb+yc )=x 2+y 2+cxy b+bxy c，∵b ，c >0，x ≥0，y ≥0．∴x 2+y 2≤1，即√x 2+y 2≤1(当且仅当x =0或y =0时取等号)，综上可得：12≤|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤1． 故选：B ．如图所示，建立直角坐标系，则B(0,c)，C(b,0)，D(b,c)，M(x,y).利用向量的坐标运算可得b 2+c 2=4.再利用数量积运算AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=1， 可得bx +cy =1.利用数量积性质可得(x 2+y 2)(b 2+c 2)≥(bx +cy)2，可得|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥12.再利用x b +y c=1，1=(bx +cy)(x b+y c)=x 2+y 2+cxy b+bxy c，可得x 2+y 2≤1，即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11.答案：A解析：解：当x >0时，由基本不等式可得，√x+√x ≥2√√x√x =2，当且仅当√x =x 即x =1时取等号；故A 正确；当cosx <0时，cosx +1cosx <0，故B 错误；当x ≥2时，由对勾函数的单调性可知，y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增，故当x =2时，函数取得最小值52，故C 错误；当0<x ≤1时，函数y =x −1x 单调递增，故当x =1时函数取得最大值0，故D 错误． 故选：A ．当x >0时，由基本不等式可得，√x√x ≥2√√x√x =2，当cosx <0时，cosx +1cosx <0，当x ≥2时，由对勾函数的单调性可知，y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增，当0<x ≤1时，函数y =x −1x 单调递增，故当x =1时函数取得最大值，从而可求．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，及利用函数的单调性求解函数的最值，属于基础试题．12.答案：B=−2<0，①不成立；解析：解：对于①：存在非零复数a=±i使得a2+1a2对于②根据复数乘法的定义，可判断(a−b)2=a2−2ab+b2成立；对于③根据复数乘法的定义，a2=b2，则a=±b；成立；④：存在非零复数a=i，b=1+i，使a3−a2b>0，a−b<0，④不成立．答案：B．要熟悉复数的概念和性质及其基本运算本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复数的基本概念，其中根据复数运算法则，逐一判断四个命题，并得到他们是否成立，是解答本题的关键．)13.答案：(0,12解析：解：原不等式等价于1−2x>0x等价于x(2x−1)<0解得0<x<12)故答案为(0,12通过移项、通分；利用两个数的商大于0等价于它们的积大于0；将分式不等式转化为二次不等式，解二次不等式求出原不等式的解集．本题考查将分式不等式等价转化为二次不等式、考查二次不等式的解法．14.答案：2√393解析：利用三角形面积公式求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，属于中档题．解：由A =60°，得到sinA =√32，cosA =12，又b =1，S △ABC =√3， ∴12bcsinA =12×1×c ×√32=√3，解得c =4，根据余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+16−4=13， 解得a =√13， 根据正弦定理asinA =b sinB=c sinC=√13√32=2√393，则a+b+csinA+sinB+sinC=2√393．故答案为：2√39315.答案：①③解析：本题综合考查了向量向量共线定理、几何概率、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 故答案为：①③．16.答案：解析：试题分析：由图可知，所以()()==，显然当时，与平行，此时取到最大值，所以的最大值是．考点：本小题主要考查向量的线性运算和向量数量积的运算，考查学生的转化能力和运算能力． 点评：当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理以及解三角形等知识．17.答案：解：(Ⅰ)由a⃗=(x+1,y)，b⃗ =(x−1,y)，且|a⃗|+|b⃗ |=4，得：√(x+1)2+y2+√(x−1)2+y2=4．整理得：x24+y23=1；(Ⅱ)若△ABF1的内切圆的面积最大，即内切圆的半径最大，∵△ABF1的周长为椭圆x24+y23=1的长轴长的2倍为定值，则△ABF1的面积最大．设直线l的方程为x=my+1．联立{x24+y23=1x=my+1，得：(3m2+4)y2+6my−9=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4．∴|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√(−6m3m2+4)2−4×(−93m2+4)=√36m+36(3m+4)(3m2+4)2=√144(m+1)[3(m2+1)+1]2=√1449(m2+1)+1m2+1+6．当m2+1=1，即m=0时，|y1−y2|max=3．此时△ABF1的面积最大，最大值为12×2×3=3．设△ABF1的内切圆的半径为r，则12×4×2r=3，r=34，内切圆的面积为916π，此时直线l的方程为x=1．解析：(Ⅰ)直接由已知结合|a⃗|+|b⃗ |=4，求得动点P(x,y)的轨迹方程；(Ⅱ)把△ABF1的内切圆的面积最大转化为△ABF1的面积最大，设出直线l的方程为x=my+1，联立直线方程和椭圆方程，转化为关于y的一元二次方程，由函数的单调性求得使△ABF1的面积最大的m值，进一步求得内切圆面积的最大值．本题考查由平面向量求曲线的轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，是中高档题．18.答案：解：(Ⅰ)在△CED中，由余弦定理，得CE2=CD2+DE2−2CD×DE×cos∠CDE，得CD2+CD−6=0，解得CD=2(CD=−3舍去)．在△CED中，由正弦定理，得sin∠CED=√217．(Ⅱ)设∠CED=α，由题设知α∈(0,π3)，所以，而∠AEB=2π3−α，所以cos∠AEB=cos(2π3−α)=cos 2π3cosα+sin2π3sinα=−12cosα+√32sinα=−12×2√77+√32×√217=√714．在Rt△EAB中，BE=2cos∠AEB=4√7．解析：本题主要考查了余弦定理，正弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题．(Ⅰ)在△CED中，由余弦定理，可解得CD=2，在△CED中，由正弦定理可解得sin∠CED的值．(Ⅱ)设∠CED=α.由题设知α∈(0,π3)，先求，而∠AEB=2π3−α，即可求cos∠AEB=cos(2π3−α)的值，进而可求BE的值．19.答案：(1)由题意，可知，所以可得，又由，得公比(舍去)所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为(2)由(1)知，，所以．解析：解：(1)由题意，可知，所以可得，又由，得公比(舍去)所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为(2)由(1)知，，，所以．20.答案：(1)(2)解析：解析： 试题分析：(1)，………………………………………………7分(2)………………………………………………14分考点：解三角形点评：结合向量的知识分析解三角形，主要是对于三角恒等变换的运用和求值，同时要熟记三角形面积公式，中档题。

湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（理科）全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 已知向量a r =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥r r 则b r等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C. (－２，１)D.(－２，－２)2．设ABC ∆的内角Ａ,Ｂ,Ｃ所对的边分别为a, b, c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边a, b, c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3． 已知数列{a n }和{n b }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A.17B.421C.835D.324．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=45O．则角Ｂ等于（ ）A.600B. 600或1200C.150D.150或7505．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.5D.106．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （０<a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）2a b+ D. v=2a b+7. 设点Ｏ在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++=u u r u u ru u r r，则ABC ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ） A.32B.53C.2 D ．38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.22B.23C.24D.259．已知的平面向量r a 和r b ，且≠0r r a ，r a ≠ r b ，1b =r ，r a 和r b －r a 夹角为1３5o，则a r 的取值范围为( )A.0,1⎡⎤⎣⎦B.()1,2C.(D.,12⎤⎥⎢⎥⎣⎦10．已知函数(x)xf e x =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ） A.①④B.②③C.①③D.②④11．设a + b = 2, b >0，则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．设r a 是已知的平面向量且≠0r r a ，关于向量ra 的分解，有如下四个命题：①给定向量r b ，总存在向量r c ，使=+r r ra b c ；②给定向量r b 和r c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+r r ra b c ；③给定单位向量r b 和正数μ，总存在单位向量r c 和实数λ，使λμ=+r r ra b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量r b 和单位向量r c ，使λμ=+r r ra b c ；上述命题中的向量r b ，r c 和ra 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.4B.3C ．2D.1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3=AP ，则=14．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=u u r,(cos ,0)OB θ=u u r，(sin ,2)OC θ=-u u r,()02cos sin ,1P αα=--u u r．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB +u u r u u r 的值为 .15．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，若12340m a a a a a ++++≤L ，则m 的最大值是 ．16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若(3n)+=≤nnna b c ，则ABC ∆为锐角三角形． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f = 当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x 1)5+≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。