湖南省(长郡中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷

2023年全真适应性模拟考试数学 参考答案二、填空题（每小题3分，共18分）11．()()m n m n +-12．42.810⨯13．80° 14．2200 15．4- 16．241三、解答题（共9小题，第17题8分、18、19题每题6分，第20题8分、第21题每题6分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17．原式=118．原式化简得2a a +，∵260a a +-=，∴原式=6．19．AB=6.4 米．20．（1）90；（2）14， 32%．（3）1221．证明：（1）∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠C=60°． ∵DE ∥BC ，∴∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°． ∴△ADE 是等边三角形．（2）∵△ABC 为等边三角形， ∴AB=BC=AC ． ∵BD 平分∠ABC ， ∴AD=12AC ． ∵△ADE 是等边三角形， ∴AE=AD ． ∴AE=12AB ．22．（1）《水浒传》《三国演义》单价分别是25元、40元； （2）88本．23．（1）证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴BF=CF ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DE ，AB=CD ∴∠BAF=∠CEF ， ∵∠AFB=∠CFE ，∴△ABF ≌△ECF （AAS ）， ∴AB=CE ， ∴CD=CE ；（2）证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴BF=CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DE ，∴∠BAF=∠CEF ， ∵∠AFB=∠CFE ，∴△ABF ≌△ECF （AAS ）， ∴AB=CE ，∴四边形ABEC 是平行四边形， ∵∠BAC=90°，AB=AC ， ∴四边形ABEC 是正方形；24．（1）证明：如图，连接OD ， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°， ∴∠EDC=90°， ∵F 是EC 的中点， ∴DF=FC ，∴∠FDC=∠FCD ， ∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ， ∵AC ⊥CE ， ∴∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠FCD=∠OCF=90°，即DF ⊥OD ， ∴DF 是⊙O 的切线； （2）tan 2ABD ∠=（3）sin 2DPC ∠=． 25．（1）①3y x =__√__； ②25y x =-+__×__； ③ky x=（0k ≠）__√_．（2）①a ≠0时，S ②a=0时，y=x ,该函数上的S 点是（m,m ），（-m,-m ）其中m ≠0；（3）5b =-．。

2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷（二）一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．有理数的相反数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知点A （x ，3）与点B （2，y ）关于y 轴对称（ ）A ．1B ．2C ．﹣2D ．﹣13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．圆柱D ．圆锥4．如图，若△ABC ≌△DFE ，AC ＝6，则DG 的长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．55．一只不透明的袋中装有5个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．某社区20位290后积极参与社区志愿者工作，充分展示了新时代青年的责任担当，这20位志愿者的年龄统计如表（ ）年龄（岁）2425262728人数25832A ．27B ．26C ．25D ．832-23-2332-32±7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tan B的值是（ ）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，1），原点O是位似中心，且，则点E 的坐标是（ ）A．（7，4）B．（7，3）C．（6，4）D．（6，3）9．如图，△ABC中，分别以点A、点B为圆心长为半径作弧，两弧相交于点F、H，连接DB，若∠A＝32°，则∠CBD的度数为（ ）A．26°B．28°C．32°D．36°10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，已知抛物线过点（1，1），（3，3），有下列结论：①a＞02﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1⩽x＜3，正确的结论个数是（ ）A．3B．2C．1D．4二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．12．平面直角坐标系中，若点P（4﹣m，3m）在y轴上 ．13．计算：＝ ．14．扇形的圆心角为80°，半径为6厘米，扇形的面积为 ．15．某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取50名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达110分以上 名学生．16．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B，若∠APB＝50°，点C为⊙O上任意一点（不与点A、B重合） ．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18，19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（﹣）﹣1．18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．19．作一个角等于已知角的方法：已知：∠AOB求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB，作法：（1）如图，以点O为圆心，分别交OA，OB于点C、D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）；（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．请你根据提供的材料完成下列问题．（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是 ．（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．20．“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D 四个等级；B：1小时一1.5小时；C：1.5小时—2小时，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了多少名学生？（2）请将条形统计图补充完整；（3）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈21．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为1022．某校运动会需购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，写出W（元）与m（件），并求最少费用W的值．23．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是AB，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明；（3）若，求四边形AGCD的面积．24．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且△ABC恰好是直角三角形并满足OC2＝OA•OB，则称抛物线y＝ax2+bx+c是“五有四化抛物线”，其中较短直角边所在直线为“五有线”，较长直角边所在直线为“四化线”．（1）若“五有四化抛物线”y＝ax2+bx+c的“五有线”为y＝﹣2x﹣1，求抛物线解析式；（2）已知“五有四化抛物线”y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣2，0），其“四化线”与反比例函数仅有一个交点；（3）已知“五有四化抛物线”（b＞0）的“五有线”、“四化线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是，令P＝﹣b2+2tb+t2，且P 有最大值t，求t的值．25．二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）（1）求b，c的值；（2）定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，为半径作圆Q，使圆Q是二次函数，求出点Q的坐标；若不存在；（3）如图所示，点M是线段BC上一点（不含B、C两点），过点M作MP∥y轴，以M 为圆心，MP为半径作圆M，求出的值．。

2024年湖南省长沙市长郡实验中学中考模拟数学试题一、单选题1．13的绝对值是（ ）A ．13-B ．-3C ．13D ．32．“福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算一定正确的是（ ） A ．()222xy x y -=- B ．324·x x x = C ．()437x x =D ．2222x x x +=4．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为0.0000084m ，将数据0.0000084用科学记数法表示为8.410n ⨯，则n 的值是（ ） A ．6B ．7-C ．5-D ．6-5．把不等式231x +≥的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．6．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，160∠=︒，365∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．30︒B ．55︒C ．60︒D ．80︒7．如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD ，相交于点O ，8,6AC BD ==，则CBD ∠的余弦值为（ ）A ．2425B ．1225 C ．35D ．658．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．25x x +B ．()36x x ++C ．()232x x ++D ．()()322x x x ++-9．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是20.12S =甲，20.25S =乙，20.35S =丙，20.46S =丁，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．如图，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴的交点坐标分别为()()1030-，，，，则2a b +的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、填空题11x 的取值范围是．12．把一次函数21y x =--向上平移4个单位长度，得到函数解析式为．13．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,2-，将点A 绕原点O 顺时针旋转90︒，得到点A '，则点A '的坐标为．14．如图，O e 是ABC V 的外接圆，OD AB ⊥，垂足为E ，交O e 于点D ，连接OA ．若60ACB ∠=︒，AB =OE 的长度为．15．如图，在ABC V 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若40C ∠=︒，80A ∠=︒，则ABD ∠=．16．小志和小强进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小志出了6次石头，1次剪刀，3次布：②小强出了4次石头，3次剪刀，3次布：③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小志赢了次．三、解答题17．计算：214cos 452-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭18．解不等式组12(23)5133x x x x -<+⎧⎪+⎨≥+⎪⎩，并写出满足条件的正整数解．19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC V 的顶点均为格点（网格线的交点），其中点A B C ，，的坐标分别为(11)，，(61)，，(24)，．(1)在给定的网格中，以点A 为位似中心，将ABC V 扩大为原来的2倍，得到A B C '''V ，请画出A B C '''V ；(2)画出以AB AC ，为邻边的平行四边形ABDC ，则顶点D 的坐标为； (3)在图中标出边BC 的中点M ．20．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成锁（单位：m ）如下：甲：1.71，1.65，1.68，1.68，1.72，1.73，1.68，1.67； 乙：1.60，1.74，1.72，1.69，1.62，1.71，1.69，1.75； 【整理与分析】(1)由上表填空：=a ______，b =______． (2)这两人中，_______的成绩更为稳定． 【判断与决策】(3)经预测，跳高1.69m 就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请结合已测定的数据和统计量说明理由．21．桑梯一登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知 1.6AB AC ==米，1.2AD =米，设BAC α∠=，为保证安全，a 的调整范围是3090α︒≤≤︒．（参考数据：sin 750.97,cos750.26,tan 75 1.41︒≈︒≈︒≈≈≈，精确到0.1米）(1)当60α=︒时，若人站在AD 的中点E 处，求此人离地面（BC ）的高度． (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端D 到地面BC 的距离范围．22．如图，在ABC V 中，AB AC =，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，O e 是ABE V 的外接圆，过点E 作ED AC ⊥于点D 交AB 的延长线于点P ．(1)求证：PE 是O e 的切线； (2)若2sin 5P =，3BP =，求CD 的长． 23．某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为30cm 的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．(1)若无盖纸盒的底面积为2484cm ，则剪掉的小正方形的边长为多少？(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 24．阅读短文，解决问题．若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形”．例如：如图1，在平行四边形AEFD 中，BAC ∠与DAE ∠重合，点F 在BC 上，则称平行四边形AEFD 为ABC V 的“相依四边形”．(1)如图1，平行四边形AEFD 为ABC V 的“相依四边形”，AF 平分BAC ∠，判断四边形AEFD 的形状，并进行证明．(2)在（1）的条件下，如图2，90B ??． ①若6AC =，FC AEFD 的周长；②如图3，M N ，分别是DF AC ，的中点，连接MN ，若32MN =，求22AD CF +的值． 25．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的顶点是()0,6C -，与x 轴交于A ，B 两点，连接AC ，BC ，ABC S =△(1)求抛物线的解析式；(2)已知点(),2P t ，其中t >P 作直线l 1：()110y kx b k =+>，且直线l 1与抛物线只有唯一的公共点M ．①若点M 的坐标为()2,2-，求点P 的坐标；②过点P 作直线2l ：22y k x b =+交抛物线于D ，E 两点，且1212k k =-，N 是DE 的中点，求证：直线MN 过定点，并求出这个定点的坐标．。

2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2024的倒数是（）A．﹣2024B．2024C．D．2．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（）A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9 4．（3分）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．两点的距离最短D．以上说法都不对5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（）A．快马的速度B．慢马的速度C．规定的时间D．以上都不对7．（3分）如图，AB是半圆O直径，C，D是圆上的两点，∠BAC＝38°，则∠D的度数为（）A．138°B．128°C．52°D．126°8．（3分）若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断9．（3分）如表表格是校女子排球队12名队员的年龄分布：年龄（岁）13141516人数（名）1452则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（）A．极差是4B．中位数是14.5C．众数是15D．平均数是1510．（3分）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数图象如图，若小明想使动力F2不超过150N，则动力臂L2（单位：m）需满足（）A．0＜L2≤4B．L2＜4C．L2＞4D．L2≥4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：3a﹣12ay2＝．12．（3分）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是（填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．13．（3分）若圆锥的底面半径是2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是．14．（3分）如图，矩形ABCD中，将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形HGFE，已知∠CFG＝50°，则∠DEF＝．15．（3分）一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是．16．（3分）如图，AC是操场上直立的一根旗杆，旗杆AC上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角∠BDC＝45°，到A点的仰角∠ADC ＝60°，若BC＝3米，则旗杆的高度AC＝米．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣5．19．（6分）阅读材料，完成下面问题：如图，点A是直线EF外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．①在直线EF上任取一点B，画线段AB．②以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交直线BF于点N．③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧交于点C，画射线BC．④以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线BC于点D，画直线AD．（1）利用△MBC≌△NBC，可得到BC平分∠ABF．请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据；（2）若∠ABF＝60°，AB＝4，求线段BD的长．20．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中a的值为，圆心角β的度数为；（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．21．（8分）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF 所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求菱形AECF的面积．22．（9分）【发现问题】掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．【提出问题】实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？【分析问题】明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表：水平距离x/m0245689竖直高度x/m2 3.2 3.6 3.5 3.22 1.1根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．【解决问题】（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，实心球在空中的最大高度是米；（2）求满足条件的抛物线的解析式；（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．23．（9分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽MN所在的直线是圆O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，PC是圆O的直径时，解决下面的问题：（1）求证：∠BAP＝∠MPB；（2）求证：MP2＝MA•MB；（3）若AB＝AP，MB＝8，MP＝12，求BP的长．24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，若在函数图象W上存在一点M，绕原点顺时针旋转90°后的对应点N（点N与M不重合）仍在此函数图象W上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点M称为这个函数的“凡尔赛点”，点N叫作点M的“后凡尔赛点”．（1）函数①y＝2x，②，③y＝x2，其中是“凡尔赛函数”的是；（填序号）（2）若一次函数y＝kx+2是“凡尔赛函数”，点P（m，n）（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求k的值；（3）若点A（1，3）是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，c＞b＞a）的“凡尔赛点”，点B为A的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与x轴交于C、D两点，由点A、B、C、D四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围．25．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝4，D是BC的中点．经过A，B，D三点的⊙O交AC于点E，连接BE．（1）求AE和BE的长；（2）如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接PQ．①记AP＝x，当△PQC的面积最大时，求x的值；②如图3，连接BP并延长交⊙O于点F，连接AF、FE．当BE平分∠FBC时，求sin∠ABF的值．2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．【解答】解：∵，故选：C．【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．2．【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行判断即可．【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．3．【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．故选：B．【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．4．【分析】根据直线的性质公理，两点可以确定一条直线进行解答．【解答】解：把每一列最前和最后的课桌看作两个点，∴这样做的道理是：两点确定一条直线．故选：B．【点评】本题考查了直线的性质公理，确定出两点是利用公理的关键，是需要熟记的内容．5．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≥﹣1，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜1，该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．6．【分析】由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出x表示规定的时间．【解答】解：∵快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，∴表示慢马的速度，表示快马的速度；∵把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，∴x表示规定的时间．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出x的含义是解题的关键．7．【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝52°，然后利用圆内接四边形对角互补，进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝38°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝52°，∵四边形ABCD是半⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝128°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．【分析】先根据非负数的性质求出a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∵32+42＝52＝25，∴这个三角形是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及非负数的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．9．【分析】根据极差、中位数、众数和平均数的定义分别对各选项进行判断．【解答】解：观察图表可知：这12名队员的年龄的极差为16﹣13＝3．共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是15．人数最多的是5人，年龄是15岁，故众数是15．平均数为（13+14×4+15×5+16×2）÷12≈14.7．故选：C．【点评】本题考查了极差：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．也考查了中位数、众数和加权平均数．10．【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数关系式，然后根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即可得到动力臂L2的取值范围．【解答】解：阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数关系式为F1＝，∵点（0.5，1200）在该函数图象上，∴1200＝，解得k＝600，∴阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数关系式为F1＝，∴F1L1＝600，∵F1L1＝F2L2＝600，∴当F2＝150时，L2＝4，∴小明想使动力F2不超过150N，则动力臂L2（单位：m）需满足L2≥4，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝3a（1﹣4y2）＝3a（1+2y）（1﹣2y）．故答案为：3a（1+2y）（1﹣2y）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．12．【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【解答】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件．故答案为：随机事件．【点评】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．13．【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．【解答】解：根据题意，这个圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．故答案为：6π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．【分析】先根据翻折变换的性质求出∠EFB的度数，再由平行线的性质求出∠AEF的度数，根据平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵四边形HGFE由四边形ABEF翻折而成，∴∠EFB＝∠GFE，∵∠CFG＝50°，∴∠EFB+∠GFE＝180°+50°＝230°，∴∠EFB＝115°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝115°．故答案为：115°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．15．【分析】利用函数图象，写出直线y1＝4x+5在直线y2＝3x+10上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：观察函数图象得x＞5时，一次函数y1＝4x+5的图象在函数y2＝3x+10的图象的上方，故y1＞y2的解集是x＞5．故答案为：x＞5．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．16．【分析】在Rt△BDC中，根据∠BDC＝45°，求出DC＝BC＝3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC＝60°即可求出AC的高度．【解答】解：在Rt△BDC中，∵∠BDC＝45°，∴DC＝BC＝3米，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝60°，∴AC＝DC tan60°＝3×＝3（米）．故答案为：3．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】首先计算乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：原式＝1+（2﹣）+2×+4＝1+2﹣++4＝7．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．【分析】先用完全平方公式和平方差公式对整式进行化简，再将数值代入，即可求出结果．【解答】解：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2）÷2x＝（2x2﹣4xy）÷2x＝x﹣2y．当x＝3，y＝﹣5时，原式＝3﹣2×（﹣5）＝13．【点评】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是运用公式法和代入法来解答．19．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）过点A作AH⊥BD，求得，进而得到，．【解答】（1）解：由作图得BM＝BN，CM＝CN，在△BCM和△BCN中，，∴△BCM≌△BCN（SSS），∴∠MBC＝∠NBC，∴BC平分∠ABF，故答案为：SSS；（2）证明：过点A作AH⊥BD，由作图得AB＝AD，∴BD＝2BH，∵BC平分∠ABF，∴，在Rt△ABH中，AB＝4，∠ABH＝30°，∴，∴．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．20．【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量，根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；（2）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；（3）先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数；（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽样的样本容量为＝60，C组的人数为40%×60＝24（人），统计图如下：故答案为：60；（2）A组所占的百分比为×100%＝20%，即a＝20，β＝40%×360°＝144°，故答案为：20，144°；（3）估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有2000×（20%+30%）＝1000（名）；（4）画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，∴恰好选中甲和乙的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；（2）由正方形的面积公式求得BO＝DO＝CO＝AO＝6，进而得到OF＝2，由四边形ABCD 是菱形得到EF＝4，AC⊥EF，菱形AFCE的面积＝24．【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，∵BE＝DF，∴BO＝DO，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵正方形ABCD的面积为72，∴AC•BD＝72，∴×4BO2＝72，∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，∴AC＝12，∵BF＝4，∴OF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF，∴菱形AFCE的面积＝AC•EF＝24．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．22．【分析】（1）根据图表即可求解；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，通过图表求出抛物线的顶点，再代入（0，2）即可求出解析式；（3）把y＝0代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．【解答】解：（1）由题意可知出手时实心球的竖直高度即为x＝0时y的值，通过图表可得当x＝0时，y＝2，得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米，由当x＝2时，y＝3.2；当x＝6时，y＝3.2，可得对称轴为直线x＝4，则当x＝4时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当x＝4时，y＝3.6，得实心球在空中的最大高度是3.6米，故答案为：2，3.6；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由（1）得抛物线的顶点坐标为（4，3.6），则h＝4，k＝3.6，得抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，把（0，2）代入，得a（0﹣4）2+3.6＝2，解得a＝﹣0.1，∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；（3）明明在此次考试中能得到满分，理由如下：把y＝0代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，得﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0，解得x1＝10或x2＝﹣2（不符合题意，舍去），∵10＞9.7，∴明明在此次考试中能得到满分．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题．23．【分析】（1）先证明∠MPB＝∠BCP，再由同弧所对的圆周角相等可得∠BCP＝∠BAP，等量代换即可；（2）证明△MPB∽△MAP，即可求解；（3）由（2）可求MA＝18，则AB＝AP＝10，过点P作PG⊥AB交于G点，根据＝，求出BG＝，从而得到PG＝，再求BP＝＝．【解答】（1）证明：∵PC是圆O的直径，∴∠CBP＝90°，∴∠BCP+∠BPC＝90°，∵MP是圆O的切线，∴∠MPO＝90°，∴∠MPB+∠BPC＝90°，∴∠MPB＝∠BCP，∵＝，∴∠BCP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠MPB；（2）证明：∵∠MPB＝∠BAP，∠M＝∠M，∴△MPB∽△MAP，∴＝，∴MP2＝MA•MB；（3）解：∵MP2＝MA•MB，MB＝8，MP＝12，∴MA＝18，∴AB＝AM﹣MB＝10，∵AP＝AB，∴AP＝10，过点P作PG⊥AB交于G点，在Rt△PGM中，PG＝＝，在Rt△AGP中，PG＝＝，∴＝，解得BG＝，∴PG＝，∴BP＝＝．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握勾股定理，三角形相似的判定及性质，切线的定义，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．24．【分析】（1）根据“凡尔赛函数”概念解答即可；（2）根据点P（m，n）是一次函数y＝kx+2的“凡尔赛点”，点P（m，n）的“后凡尔＝m），解答即可；赛点”为（q甲（3）点A（1，3）是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，c＞b＞a）的“凡尔赛点”，解出a、b的值，代入y＝ax2+（﹣4a﹣2）x+3a+5令y＝0得ax2+（﹣4a﹣2）x+3a+5＝0，解答即可．【解答】解：（1）根据“凡尔赛函数y＝x2是凡尔赛函数，故答案为：③；（2）∵点P（m，n）是一次函数y＝kx+2的“凡尔赛点”，点P（m，n）的“后凡尔赛＝m），点”为（q甲∴，得mk2+2k+m+2＝0；当m＝0时，k＝﹣1，满足条件；当m≠0时，∵关于k的一元二次方程mk2+2k+m+2＝0有实数根，Δ＝22﹣4m（m+2）≥0，解得，又m为整数，∴m＝﹣1，﹣2，当m＝﹣1时，k2﹣2k﹣1＝0，解得；当m＝﹣2时，2k2﹣2k＝0解得k＝0（舍去），k2＝1．综上：k＝﹣1，1，．（3）∵点A（1，3）是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，c＞b＞a）的“凡尔赛点”，∴“后凡尔赛点”B的坐标为（3，﹣1），∴，解得，∴y＝ax2+（﹣4a﹣2）x+3a+5令y＝0得ax2+（﹣4a﹣2）x+3a+5＝0，∵．令，则CD＝2，∵c＞b＞a，∴3a+5＞﹣4a﹣2＞a，解得，∴，∴，．∴4．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解新定义是解题关键．25．【分析】（1）利用直角三角形的边角关系定理求得AB，BC，连接AD，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得CE，DE，则AE＝AC﹣CE＝8﹣3＝5；过点E作EG ⊥BC于点G，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；（2）①当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点B，则，代入数值求得CQ，过点Q作QH⊥AC于点H，利用含30°角的直角三角形的性质求得QH，再利用三角形的面积公式，配方法和二次函数的性质解答即可；②过点E作EM⊥BF，过点P作PN⊥AB，利用角平分线的性质定理得到，利用圆的有关性质得到，利用直角三角形的边角关系定理求得MF，BF，再利用相似三角形的判定与性质求得AP，BP，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可；【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，，∴AB＝4，AC＝8，连接AD，如图，∵∠ABC＝90°，∴AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，又∵D是BC的中点，∴，在Rt△DEC中，∵∠C＝30°，，∴CE＝3，DE＝，∴AE＝AC﹣CE＝8﹣3＝5；过点E作EG⊥BC于点G，在Rt△DEG和Rt△CEG中，∵，∠EDG＝60°，∴DG＝DE＝，EG＝EC＝，在Rt△BEG中，∵BG＝BD+DG＝，∴BE＝＝＝；（2）①∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点B，∴，∵AP＝x，，AE＝5，∴，∴，过点Q作QH⊥AC于点H，如图，∵∠C＝30°，∴，∴△PQC的面积＝PC•QH＝（8﹣x）•x＝﹣（x2﹣8x）＝（x﹣4）2+．∵0＜x≤5，＜0，∴当x＝4时，△PQC的面积最大．∴当△PQC的面积最大时，x的值为4；②由（1）知：EG⊥BC，过点E作EM⊥BF，过点P作PN⊥AB，如图，∵BE平分∠FBC，EM⊥BF，EG⊥BC，∴，∵BE平分∠FBC，∴，∴，又∠BFE＝∠BAE＝60°，∴MF＝EF•cos60°＝，∵，，∴，∴．∵∠APB＝∠FPE，∠BAP＝∠PFE，∴△ABP∽△FEP，∴，∴，解得：，，在Rt△APN中，∵∠PAN＝60°，，∴．∴．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，配方法，二次函数的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键。

湖南省长沙市长郡集团2024届中考数学全真模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列命题中，真命题是（）A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②244b aca->；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝ca-.其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为倒数的点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点B与点D D．点B与点C4．已知二次函数y=-x2-4x-5，左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，则平移后的抛物线解析式为（）A．y=-x2-4x-1 B．y=-x2-4x-2 C．y=-x2+2x-1 D．y=-x2+2x-25．如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点，BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于( )A ．18B ．22C ．24D ．466．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠1)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜1；②a ﹣b+c ＜1；③b+2a ＜1；④abc ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③7．下列各数中比﹣1小的数是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．18．若关于x 的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．22-或D ．31-或9．已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球．从口袋中随机取出一个球（不放回），接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．10．如图，图1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体，现将标有E 的正方体平移至如图2所示的位置，下列说法中正确的是( )A ．左、右两个几何体的主视图相同B ．左、右两个几何体的左视图相同C ．左、右两个几何体的俯视图不相同D ．左、右两个几何体的三视图不相同11．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ） A ．120元B ．100元C ．80元D ．60元12．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD ．下列结论一定正确的是（ ）A ．∠ABD ＝∠EB ．∠CBE ＝∠C C ．AD ∥BC D ．AD ＝BC二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．因式分解：x 2﹣10x+24=_____．14．写出一个比2大且比5小的有理数：______．15．若圆锥的底面半径长为10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为_____． 16．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下： ... -1 0 1 2 3 ......105212...则当5y <时，x 的取值范围是_________.17．计算221b a a b a b ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____.18．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是________． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）春节期间，收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，小王在年春节共收到红包元，年春节共收到红包元，求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率.20．（6分）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝8，cos ∠BAC ＝513，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ． （1）求∠EAD 的余切值； （2）求BFCF的值．21．（6分）如图,矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,8 ,6OA OC ==.(1)求直线AC 的表达式;(2)若直线y x b =+与矩形OABC 有公共点，求b 的取值范围;(3)直线: 10l y kx =+与矩形OABC 没有公共点，直接写出k 的取值范围.22．（8分）（1）解方程：11322xx x--=---． （2）解不等式组：312215(1)x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩ 23．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离之和等于点Q 到两坐标轴的距离之和，则称P ，Q 两点为同族点．下图中的P ，Q 两点即为同族点．(1)已知点A 的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A 的同族点的是 ；②若点B 在x 轴上，且A ，B 两点为同族点，则点B 的坐标为 ； (2)直线l ：y=x ﹣3，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，①M 为线段CD 上一点，若在直线x=n 上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，求n 的取值范围；②M 为直线l 上的一个动点，若以(m ，0)2为半径的圆上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，直接写出m 的取值范围．24．（10分）如图，△BAD 是由△BEC 在平面内绕点B 旋转60°而得，且AB ⊥BC ，BE ＝CE ，连接DE ．求证：△BDE ≌△BCE ；试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．25．（10分）已知a ＋b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值． 26．（12分）计算：|2﹣1|﹣2sin45°+38﹣21()227．（12分）随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A ，B 两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A 7 25 0.01 Bmn0.01设每月上网学习时间为x 小时，方案A ，B 的收费金额分别为y A ，y B ．(1)如图是y B 与x 之间函数关系的图象，请根据图象填空：m ＝ ；n ＝ ； (2)写出y A 与x 之间的函数关系式； (3)选择哪种方式上网学习合算，为什么．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D 【解题分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．【题目详解】A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；故选：D．【题目点拨】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．2、B【解题分析】试题分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选B．考点：二次函数图象与系数的关系．3、A【解题分析】试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数定义可知，-2的倒数是-12，有数轴可知A对应的数为-2，B对应的数为-12，所以A与B是互为倒数．故选A．考点：1．倒数的定义；2．数轴．4、D【解题分析】把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的纵坐标不变，即可求得函数解析式．【题目详解】解：∵y=﹣x1﹣4x﹣5=﹣（x+1）1﹣1，∴顶点坐标是（﹣1，﹣1）．由题知：把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数．∵左、右平移时，顶点的纵坐标不变，∴平移后的顶点坐标为（1，﹣1），∴函数解析式是：y=﹣（x－1）1－1=﹣x1+1x ﹣1，即：y=﹣x1+1x﹣1．故选D．【题目点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=﹣x的图象上点的坐标特征．5、B【解题分析】连接FC，先证明△AEF∽△BEC，得出AE∶EC=1∶3，所以S△EFC=3S△AEF，在根据点F是□ABCD的边AD上的三等分点得出S△FCD=2S△AFC，四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC，再代入△AEF的面积为2即可求出四边形CDFE 的面积.【题目详解】解：∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是□ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC=16+6=22.故选B.【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用与三角形的面积，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用与三角形的面积的相关知识点.6、C【解题分析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①当x=1时，y=a+b+c=1，故本选项错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜1，故本选项正确；③由抛物线的开口向下知a＜1，∵对称轴为1＞x=﹣＞1，∴2a+b＜1，故本选项正确；④对称轴为x=﹣＞1，∴a、b异号，即b＞1，∴abc＜1，故本选项错误；∴正确结论的序号为②③．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞1；否则a＜1；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞1；否则c＜1；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．7、A【解题分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．【题目详解】解：A、﹣2＜﹣1，故A正确；B、﹣1＝﹣1，故B错误；C、0＞﹣1，故C错误；D、1＞﹣1，故D错误；故选：A．【题目点拨】本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．8、A【解题分析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得.【题目详解】x(x+1)+ax=0，x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，解得：a1=a2=-1，故选A.【题目点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9、D【解题分析】试题分析：列举出所有情况，看取出的两个都是黄色球的情况数占总情况数的多少即可. 试题解析：画树状图如下：共有12种情况，取出2个都是黄色的情况数有6种，所以概率为.故选D.考点：列表法与树状法.10、B【解题分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．【题目详解】A、左、右两个几何体的主视图为：，故此选项错误；B、左、右两个几何体的左视图为：，故此选项正确；C、左、右两个几何体的俯视图为：，故此选项错误；D、由以上可得，此选项错误；故选B．【题目点拨】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．11、C【解题分析】解：设该商品的进价为x元/件，依题意得：（x+20）÷510=200，解得：x=1．∴该商品的进价为1元/件．故选C．12、C【解题分析】根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°, ∠E＝∠C,则△ABD为等边三角形，即AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、（x﹣4）（x﹣6）【解题分析】因为(－4)×(－6)=24，(－4)+(－6)=－10，所以利用十字相乘法分解因式即可.【题目详解】x2﹣10x+24= x2﹣10x+(－4)×(－6)=（x﹣4）（x﹣6）【题目点拨】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.14、2.【题目详解】2（答案不唯一），故答案为：2（答案不唯一）．【题目点拨】此题考查无理数的估算，解题的关键在于利用题中所给有理数的大小求符合题意的答案.15、2【解题分析】侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长．依此列出方程即可．【题目详解】设母线长为x ，根据题意得2πx÷2=2π×5，解得x=1．故答案为2．【题目点拨】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，难度不大．16、0<x<4【解题分析】根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2，结合表格中所给数据可得出答案．【题目详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x =2，所以，x =4时，y =5，所以，y <5时，x 的取值范围为0<x <4.故答案为0<x <4.【题目点拨】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值得取值范围，同学们应熟练掌握． 17、1a b- 【解题分析】原式=()()()()1·b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b +-+÷==+-++-- ，故答案为1a b.18、3 5【解题分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【题目详解】∵在：等腰三角形、圆、矩形、菱形和直角梯形中属于中心对称图形的有：圆、矩形和菱形3种，∴从这5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率为：3 5 .故答案为3 5 .三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、小王在这两年春节收到的年平均增长率是【解题分析】增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2018年收到微信红包金额400（1+x）元，在2018年的基础上再增长x，就是2019年收到微信红包金额400（1+x）（1+x）元，由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．【题目详解】解：设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率是.依题意得：解得（舍去）.答：小王在这两年春节收到的年平均增长率是【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．20、（1）∠EAD的余切值为56；（2）BFCF=58.【解题分析】（1）在Rt△ADB中，根据AB=13，cos∠BAC=513，求出AD的长，由勾股定理求出BD的长，进而可求出DE的长，然后根据余切的定义求∠EAD的余切即可；（2）过D作DG∥AF交BC于G，由平行线分线段成比例定理可得CD：AD=CG：FG=3:5，从而可设CD=3x，AD=5x，再由EF∥DG，BE=ED，可知BF=FG=5x，然后可求BF：CF的值.（1）∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°，Rt△ADB中，AB=13，cos∠BAC=5 13，∴AD=5，由勾股定理得：BD=12，∵E是BD的中点，∴ED=6，∴∠EAD的余切==56；（2）过D作DG∥AF交BC于G，∵AC=8，AD=5，∴CD=3，∵DG∥AF，∴=35，设CD=3x，AD=5x，∵EF∥DG，BE=ED，∴BF=FG=5x，∴==5 8 .【题目点拨】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理.解（1）的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念，解（2）的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.21、（1）364y x=-+；（2）86b-≤≤；（3）12k>-【解题分析】（1）由条件可求得A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的表达式；（2）结合图形，当直线平移到过C、A时与矩形有一个公共点，则可求得b的取值范围；（3）由题意可知直线l过（0，10），结合图象可知当直线过B点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得k的取值范围．解:(1) 8 , 6OA OC ==()()8,0 , 0,6A C ∴，设直线AC 表达式为y kx b =+,806k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 表达式为364y x =-+; (2) 直线 y x b =+可以看到是由直线y x =平移得到,∴当直线 y x b =+过A C 、时，直线与矩形OABC 有一个公共点,如图1，当过点A 时,代入可得08b =+,解得8b =-.当过点C 时,可得6b =∴直线 y x b =+与矩形OABC 有公共点时，b 的取值范围为86b -≤≤;(3) 10y kx =+,∴直线l 过()0, 10D ，且()8, 6B ,如图2，直线l 绕点D 旋转,当直线过点B 时,与矩形OABC 有一个公共点,逆时针旋转到与y 轴重合时与矩形OABC 有公共点,当过点B 时,代入可得6810k =+,解得12k =- ∴直线l :10y kx =+与矩形OABC 没有公共点时k 的取值范围为12k >-【题目点拨】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识．在（1）中利用待定系数法是解题的关键，在（2）、（3）中确定出直线与矩形OABC 有一个公共点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．22、（1）无解；（1）﹣1＜x≤1．【解题分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【题目详解】（1）去分母得：1﹣x+1=﹣3x+6，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解；（1）()3122151x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩①②，由①得：x ＞﹣1，由②得：x≤1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤1．【题目点拨】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23、（1）①R ，S ;②（4-，0）或（4，0）；（2）①33n -≤≤;②m ≤1-或m ≥1．【解题分析】（1）∵点A 的坐标为(−2,1)，∴2+1=4，点R (0,4),S (2,2),T (2,−2)中，0+4=4，2+2=4，2+2=5，∴点A 的同族点的是R ，S ；故答案为R ，S ；②∵点B 在x 轴上，∴点B 的纵坐标为0，设B (x ,0)，则|x |=4，∴x =±4，∴B (−4,0)或(4,0)；故答案为(−4,0)或(4,0)；（2）①由题意，直线3y x =-与x 轴交于C （2，0），与y 轴交于D （0，3-）．点M 在线段CD 上，设其坐标为（x ，y ），则有：0x ≥，0y ≤，且3y x =-．点M 到x 轴的距离为y ，点M 到y 轴的距离为x ， 则3x y x y +=-=．∴点M 的同族点N 满足横纵坐标的绝对值之和为2．即点N 在右图中所示的正方形CDEF 上．∵点E 的坐标为（3-，0），点N 在直线xn =上，②如图,设P(m,0)为圆心, 2为半径的圆与直线y=x−2相切，2,45PN PCN CPN︒=∠=∠=∴PC=2，∴OP=1，观察图形可知,当m≥1时,若以(m,0)为圆心,2为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，再根据对称性可知，m≤1-也满足条件，∴满足条件的m的范围：m≤1-或m≥124、证明见解析.【解题分析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形．【题目详解】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥EC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵DB CBDBE CBE BE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△BCE；（2）四边形ABED为菱形；由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，∴BA=BE=ED= AD∴四边形ABED为菱形．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．25、1【解题分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．【题目详解】解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=1．故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是1．26、﹣1【解题分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【题目详解】+2﹣4原式=﹣1）﹣2×21﹣4=﹣1．【题目点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．27、（1）10，50；（2）见解析；（3）当0＜x＜30时，选择A方式上网学习合算，当x=30时，选择哪种方式上网学习【解题分析】（1）由图象知：m=10，n=50；（2）根据已知条件即可求得y A与x之间的函数关系式为：当x≤25时，y A=7；当x＞25时，y A=7+（x﹣25）×0.01；（3）先求出y B与x之间函数关系为：当x≤50时，y B=10；当x＞50时，y B=10+（x﹣50）×60×0.01=0.6x﹣20；然后分段求出哪种方式上网学习合算即可．【题目详解】解：（1）由图象知：m=10，n=50；故答案为：10；50；（2）y A与x之间的函数关系式为：当x≤25时，y A=7，当x＞25时，y A=7+（x﹣25）×60×0.01，∴y A=0.6x﹣8，∴y A=7(025){0.68(25)xx x<≤->；（3）∵y B与x之间函数关系为：当x≤50时，y B=10，当x＞50时，y B=10+（x﹣50）×60×0.01=0.6x﹣20，当0＜x≤25时，y A=7，y B=50，∴y A＜y B，∴选择A方式上网学习合算，当25＜x≤50时．y A=y B，即0.6x﹣8=10，解得；x=30，∴当25＜x＜30时，y A＜y B，选择A方式上网学习合算，当x=30时，y A=y B，选择哪种方式上网学习都行，当30＜x≤50，y A＞y B，选择B方式上网学习合算，当x＞50时，∵y A=0.6x﹣8，y B=0.6x﹣20，y A＞y B，∴选择B方式上网学习合算，综上所述：当0＜x＜30时，y A＜y B，选择A方式上网学习合算，当x=30时，y A=y B，选择哪种方式上网学习都行，当x＞30时，y A＞y B，选择B方式上网学习合算．【题目点拨】本题考查一次函数的应用．。

湖南省（长郡中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷一、选择题1．下列有关实验的分析中，合理的是A．测碱溶液的pH结果偏小——直接把试纸伸入待测液中B．用KMnO4制氧气时试管炸裂——在试管口没有放一团棉花C．粗盐提纯实验后所得产率偏低——蒸发时有一些液体、固体溅出D．用6%NaCl溶液加水配制3%NaCl溶液结果偏小——量筒量取水的体积时俯视读数2．（2012年山东烟台，18题，2分）电影《黄金大劫案》上映后，里面用“王水”（浓盐酸与浓硝酸的混合液）溶解黄金的情引起了广泛的热议。

黄金溶解在“王水”中形成HAuCl4（四氯合金酸），没有氢气产生。

根据以上信息，下列有关说法正确的是（）①“王水”溶解黄金是化学变化；②金比氢活泼；③HAuCl4中，Au的化合价为+3价；④可以将pH试纸伸入“王水”中测其酸碱度；⑤“王水”可以用铁质容器盛装。

A．①④⑤B．①②③C．③④⑤D．①③3．下列叙述中不符合实验事实的是A．稀硫酸中滴加石蕊试液，溶液变红B．在K2CO3、K2SO4、AgNO3三种溶液中滴入BaCl2溶液，都有白色沉淀生成C．将CO2气体通入CaCl2溶液中有白色沉淀D．将铁丝浸入硫酸铜溶液中，铁丝表面会覆盖一层红色物质4．下表列出了除去物质中所含少量杂质的方法，其中不正确的选项是（）选项物质所含杂质除去杂质的方法A FeCl2溶液CuCl2溶液加入过量的铁粉，过滤B CaCO3粉末NaCl粉末加水溶解、过滤、洗涤、烘干C氯化钾氯酸钾加热D氢氧化钠溶液氢氧化钙溶液通入CO2，过滤A．A B．B C．C D．D5．将等质量的镁和铁分别放入等质量、相同质量分数的稀盐酸中，产生氢气的质量与反应时间的关系如图所示，下列说法错误的是（）A．反应结束后镁一定有剩余B．反应消耗盐酸的总质量一定相等C．O—t1时段，产生氢气的质量镁比铁大D．O—t2时段，参加反应的镁的质量与铁相等6．如图以稀硫酸为例的反应关系体现了酸的化学性质。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0）和（1，0），且顶点坐标为（0，3），则该函数的解析式为（）A. y=x^2+3x+3B. y=x^2-3x+3C. y=x^2+3x-3D. y=x^2-3x-32. 在直角坐标系中，点A（-1，2），点B（3，4），点C（5，1），则△ABC的面积是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，d=3，则S10=（）A. 110B. 120C. 130D. 1404. 在平面直角坐标系中，点P（m，n）关于x轴的对称点为P'，则P'的坐标是（）A.（m，-n）B.（-m，n）C.（m，n）D.（-m，-n）5. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，q=2，则S5=（）A. 31B. 32C. 33D. 346. 已知正方形的对角线长为2√3，则该正方形的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 127. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高，若∠B=30°，则∠BAD的度数是（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°8. 已知一元二次方程x^2-5x+6=0的两个根为α和β，则α+β的值是（）A. 5B. 6C. 7D. 89. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（2，3），点B（-3，-4），则线段AB的中点坐标是（）A.（-0.5，-0.5）B.（-1，-1）C.（1，1）D.（1.5，1.5）10. 已知函数y=kx+b（k≠0）的图象过点（2，3），则该函数的解析式为（）A. y=2x+1B. y=3x+2C. y=x+2D. y=2x+3二、填空题（每题3分，共30分）11. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=2，则S10=________。

1. 若方程 $2x^2 - 3x + 1 = 0$ 的两根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则 $x_1 +x_2$ 的值为（）A. 2B. 3C. 1D. -22. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线 $y = x$ 的对称点B的坐标为（）A.（3，2）B.（-3，-2）C.（2，-3）D.（-2，3）3. 已知函数 $y = -x^2 + 4x - 3$，则该函数的对称轴为（）A. $x = 2$B. $x = -2$C. $y = 2$D. $y = -2$4. 若 $a^2 + b^2 = 10$，且 $a - b = 2$，则 $a + b$ 的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 85. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°6. 已知一次函数 $y = kx + b$，若过点（1，2）和（3，4）的直线与x轴的交点坐标为（2，0），则k和b的值分别为（）A. k = 1，b = 1B. k = 1，b = -1C. k = -1，b = 1D. k = -1，b = -17. 若 $x^2 - 5x + 6 = 0$，则 $x^3 - 5x^2 + 6x$ 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）到直线 $3x - 4y + 5 = 0$ 的距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 若 $log_2(x + 1) = 3$，则 $x$ 的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 1010. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠B = 40°，则∠C的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°11. 若 $a + b = 5$，$ab = 6$，则 $a^2 + b^2$ 的值为________。

2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷(一)数学·全解全析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，是无理数的是()AB．0πC．)21−D．3.33333…【分析】根据无理数的定义解答即可．【解答】解：A是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．0π=1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；C．)21−是无理数，故本选项符合题意；D．3.33333…是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．2．（3分）截至2023年12月11日17时，全国水稻收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为()A．7×D．92.3910×0.23910×C．923.910×B．82.3910【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10na<，n为整数，a×，其中1||10且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：8=×，239000000 2.3910故选：B．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10na×，其中1||10a<，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．3．（3分）已知10a−>，则下列结论正确的是()A．11−<−<<D．11a aa a−<−<<−<−<<B．11a aa a−<−<<C．11【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．【解答】解：10a −> ，1a ∴>，1a ∴−<−，11a a ∴−<−<<，故选：B ．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．4．（3分）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若//a b ，163∠=°，则2∠的度数为( )A ．27°B ．53°C ．63°D ．117°【分析】根据平行线的性质可以得到12∠=∠，然后根据1∠的度数，即可得到2∠的度数．【解答】解：//a b ，12∴∠=∠，163∠=° ，263∴∠=°，故选：C ．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．5．（3分）若关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为( ) A ．9− B ．94− C ．94 D ．9【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△24b ac =−，建立关于m 的等式，即可求解．【解答】解： 关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，∴△224(3)40b ac m =−=−−=， 解得94m =．故选：C ．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =−有如下关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．6．（3分）如图，已知ABC EDC ∆∆∽，:2:3AC EC =，若AB 的长度为6，则DE 的长度为( )A ．4B ．9C ．12D ．13.5【分析】根据相似三角形的性质列出方程即可求解．【解答】解：ABC EDC ∆∆ ∽，:2:3AC EC =． ∴23AB AC BC ED EC DC ===， ∴当6AB =时，9DE =．故选：B ．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．7．（3分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为( )A ．14B ．20C ．23D ．26【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有2315+×=个圆圈，第③个图案中有2328+×=个圆圈，第④个图案中有23311+×=个圆圈，...，则第⑦个图案中圆圈的个数为：23620+×=，故选：B ．【点评】本题考查了规律型−图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．8．（3分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是( )A ．14 B ．13 C ．12 D ．34【分析】根据概率的意义，即可解答．【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是14故选：A．【点评】本题考查了概率的意义，本题考查了概率的意义是解题的关键．9．（3分）−的值应在()A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】11−的范围得出答案．【解答】解：原式1．．<<56∴<−<．415故选：A．【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对式子的化简和比较大小的能力，解题关键是将式子化简，确定无理数的范围最后利用不等式的性质．10．（3分）在多项式x y z m n>>>>中，对相邻的两个字母间任意添加绝−−−−（其中)x y z m n对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：||x y z m n x y z m n−−−−=−−−+，…．下列说法：x y z m n x y z m n−−−−=−−+−，||||①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【解答】解：||−−−−=−−−−，故说法①正确．x y z m n x y z m n若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现x−，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是||x y z m n x y z m n −−−−=−−−−；||x y z m n x y z m n −−−−=−+−−；||x y z m n x y z m n −−−−=−−+−；||x y z m n x y z m n −−−−=−−−+．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是||||x y z m n x y z m n −−−−=−−+−；||||x y z m n x y z m n −−−−=−−−+；||||x y z m n x y z m n −−−−=−+−+．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查新定义题型，根据所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论； 需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若代数式52x −有意义，则实数x 的取值范围是 2x ≠ ． 【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：20x −≠，解得：2x ≠，故答案为：2x ≠．【点评】12．（3分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命1000x < 10001600x < 16002200x < 22002800x < 2800x 灯泡只数 5 10 12 17 6根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 460 只．【分析】用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可．【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为176100046050+×=（只)．故答案为：460．【点评】本题考查了频数（率)分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．13．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，若5AB =，6BC =，则AD 的长度为 4 ．【分析】根据等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，根据勾股定理即可求出AD 的长． 【解答】解：AB AC = ，AD 是BC 边的中线，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=°，5AB = ，6BC =，3BD CD ∴==，在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得4AD =，故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（3分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能路灯，第一个月新建了301个路灯，第三个月新建了500个路灯，设该市新建智能路灯个数的月平均增长率为x ，根据题意，请列出方程 2301(1)500x += ．【分析】设该市新建智能路灯个数的月平均增长率为x ，根据第一个月新建了301个路灯，第三个月新建了500个路灯，即可得出关于x 的一元二次方程．【解答】解：设该市新建智能路灯个数的月平均增长率为x ，依题意得：2301(1)500x +=． 故答案为：2301(1)500x +=． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（3分）如图为矩形ABCD ，已知2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，连接AE ．DE ．以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ．则图中阴影部分的面积为 4π− （结果保留)π．【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．【解答】解：24AD AB==，E为BC的中点，2BE CE∴==，45BAE AEB CDE DEC∴∠=∠=∠=∠=°，∴阴影部分的面积为2145242242360ππ×××−×=−．故答案为：4π−．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．16．（3分）学校组织学生参加传统文化手工艺传承劳动实践活动．已知某传统工艺品陶瓷加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：53分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．【解答】解：由题意得：9979710253++++++=（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟， 最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要991028++=（分钟）， 故答案为：53，28．【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：114sin 60()|2|3−°++−【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．【解答】解：原式432=++−32=++−5=． 【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．18. （6分）已知210x y +−=，求代数式222444x y x xy y +++的值． 【分析】根据已知可得21x y +=，然后利用分式的基本性质化简分式，再把21x y +=代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：210x y +−=， 21x y ∴+=， ∴222242(2)44(2)x y x y x xy y x y ++=+++ 22x y=+ 21=2=， ∴222444x y x xy y +++的值为2． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．19．（6分）在学习了平行四边形的相关知识后，小明发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规作平行四边形ABCD 对角线AC 的垂直平分线，交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为O ．（只保留作图痕迹）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为O ．求证：EO FO =． 证明： 四边形ABCD 是平行四边形//DC AB ∴．ECO ∴∠= FAO ∠ ．EF 垂直平分AC ，∴ ．又EOC ∠= ，()COE AOF ASA ∴∆≅∆．EO FO ∴=．再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：过平行四边形对角线中点的直线 ．【分析】根据要求画出图形，证明()COE AOF ASA ∆≅∆，可得结论．【解答】解：图形如图所示：理由： 四边形ABCD 是平行四边形，//DC AB ∴．ECO FAO ∴∠=∠，EF 垂直平分AC ，AO OC ∴=． 又EOC FOA ∠=∠，()COE AOF ASA ∴∆≅∆．EO FO ∴=．再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，所以过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：FAO ∠，OA OC =，FOA ∠，过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．20．（8分）某学校心理中心安装了A ，B 两款心理训练设备，工作人员从学生对A 、B 两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x 表示，分为四个等级：不满意70x <，比较满意7080x < ，满意8090x < ，非常满意90)x ，下面给出了部分信息：抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89；抽取的对B 款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A ，B 款设备的评分统计表设备平均数 中位数众数 “非常满意”所占百分比A 88 m9645% B8887n40%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a = 15 ，m = ，n = ；（2）5月份，有600名消费者对A 款自动洗车设备进行评分，估计其中对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．【分析】（1）用“1”分别减去其他三个等级所占百分比可得a 的值，根据中位数的定义可得m 的值，根据众数的定义可得n 的值；（2）用600乘A 款自动洗车设备“比较满意”所占百分比即可； （3）通过比较A ，B 款设备的评分统计表的数据解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，6%110%45%100%15%20a =−−−×=，即15a =； 把A 款设备的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，89，故中位数8789882m +==； 在B 款设备的评分数据中，98出现的次数最多，故众数98n =． 故答案为：15；88；98； （2）60015%90×=（名)，答：估计其中对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名； （3）A 款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由如下：因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但A 款自动洗车设备的评分数据的中位数比B 款高，所以A 款自动洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一）． 【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提．21．（8分）已知图中为ABCD ，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE DF =，AC EF =． （1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）若AE BE =，2AB =，1tan 2ACB ∠=，求BC 的长．【分析】（1）先证四边形AECF 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得90AEC AEB ∠=∠=°，再证ABE ∆是等腰直角三角形，得AE BE ==后由锐角三角函数定义得2EC AE ==，即可解决问题． 【解答】（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，BE DF = ，AD DF BC BE ∴−=−，即AF EC =，∴四边形AECF 是平行四边形， AC EF = ，∴平行四边形AECF 是矩形；（2）解： 四边形AECF 是矩形，90AEC AEB ∴∠=∠=°，AE BE = ，2AB =， ABE ∴∆是等腰直角三角形，AE BE AB ∴===1tan 2AE ACB EC ∠== ，2EC AE ∴==，BC BE EC ∴=+==即BC 的长为．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22．（9分）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季大豆的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行大豆试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上大豆后，为加强大豆的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒503亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？ 【分析】（1）设乙区有农田x 亩，则甲区有农田(10000)x +亩，根据“甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同”，可得出关于x 的一元一次方程，解之可得出乙区的农田亩数，再将其代入(10000)x +中，即可求出甲区的农田亩数； （2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒50()3y −亩，根据派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），可得出关于y 的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：（1）设乙区有农田x 亩，则甲区有农田(10000)x +亩，根据题意得：80%(10000)x x +=， 解得：40000x =，10000400001000050000x ∴+=+=．答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩；（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒50()3y −亩， 根据题意得：40000400001.2503yy =×−， 解得：100y =，经检验，100y =是所列分式方程的解，且符合题意． 答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．23．（9分）如图所示，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分ABC∠，BAC ADB∠=∠．（1）求证DB平分ADC∠，并求BAD∠的大小；（2）过点C作//CF AD交AB的延长线于点F，若AC AD=，2BF=，试求四边形ABCD的面积和此圆半径的长．【分析】（1）由圆周角定理得到BAC CDB∠=∠，而BAC ADB∠=∠，因此ADB CDB∠=∠，得到BD平分ADC∠，由圆内接四边形的性质得到90ABD ADB∠+∠=°，即可求出90BAD∠=°；（2）由垂径定理推出ACD∆是等边三角形，求出四边形ABCD的面积，得到60ADC∠=°由BD AC⊥，得到1302BDC ADC∠=∠=°，由平行线的性质求出90F∠=°，由圆内接四边形的性质求出60FBC ADC∠=∠=°，得到24BC BF==，由直角三角形的性质得到12BC BD=，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．【解答】（1）证明：BAC ADB∠=∠，BAC CDB∠=∠，ADB CDB∴∠=∠，BD∴平分ADC∠，BD平分ABC∠，ABD CBD∴∠=∠，四边形ABCD是圆内接四边形，180ABC ADC∴∠+∠=°，180ABD CBD ADB CDB∴∠+∠+∠+∠=°，2()180ABD ADB ∴∠+∠=°， 90ABD ADB ∴∠+∠=°， 1809090BAD ∴∠=°−°=°；（2）解：90BAE DAE ∠+∠=° ，BAE ADE ∠=∠，90ADE DAE ∴∠+∠=°， 90AED ∴∠=°， 90BAD ∠=° ， BD ∴是圆的直径， BD ∴垂直平分AC ， AD CD ∴=， AC AD = ，ACD ∴∆是等边三角形， 60ADC ∴∠=° BD AC ⊥ ，1302BDC ADC ∴∠=∠=°，//CF AD ， 90F BAD ∴∠+∠=°， 90F ∴∠=°，四边形ABCD 是圆内接四边形，180ADC ABC ∴∠+∠=°， 180FBC ABC ∠+∠=° ， 60FBC ADC ∴∠=∠=°， 24BC BF ∴==，90BCD ∠=° ，30BDC ∠=°， 12BC BD ∴=，BD 是圆的直径， ∴圆的半径长是4．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到90ABD ADB ∠+∠=°，由垂径定理推出ACD ∆是等边三角形．24．（10分）在平面直角坐标系中，如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中(0,3)C −，且△BOC 为等腰直角三角形． （1）求该抛物线的表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的QEF ∆是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由4sin 5PD PH PHC PH =⋅∠=，即可求解； （3）分QE QF =、QF EF =两种情况，列出等式，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：31934c b c =−×++ ，解得：143b c==− ，则抛物线的表达式为：211344y x x =+−；（2）令2113044yx x =+−=，则4x =−或3，则点(4,0)A −， 由点A 、C 知，直线AC 的表达式为：334y x =−−， 过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，则PHC ACO ∠=∠，则4tan tan 3PHC ACO ∠=∠=，则4sin 5PHC ∠=， 则4sin 5PD PH PHC PH =⋅∠=，设点3(,3)4H x x −−，则点211(,3)44P x x x +−，则2244311144(33)(2)55444555PD PH x x x x ==−−−−+=−++ ， 即PD 的最大值为：45，此时点5(2,)2P −−；（3）平移后的抛物线的表达式为：221119(5)(5)324444y x x x x =−+−−=−+， 则点(0,2)F ，设点9(2Q ，)m ，则22_(29()2)2QF m =+−，2295()42QE m =++，28194EF =+， 当QE QF =时，则2_(2995()2)()242m m +−=++， 解得：74m =，则点Q 的坐标为9(2，7)4； 当QF EF =时，则2_(2981()2)924m +−=+， 解得：5m =或1−，则点Q 的坐标为：9(2，5)或9(2，1)−；综上，点Q 的坐标为：9(2，7)4或9(2，5)或9(2，1)−．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“友好点”．（1）如图，点(1,0)A −，1(B ，2B ．①在点1(1,1)C −，2(C ，0)，3C 中，弦1AB 的“友好点”是 1C ，2C ； ②若点C 是弦2AB 的“友好点”，直接写出OC 的长；（2）已知点(0,3)M ，N ，0)，对于线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“友好点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）根据题目中友好点的定义分情况讨论即可；（2）根据(0,3)M ，N ，0)两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）①由友好定义可知，若直线CA 、CB 中一条经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“友好点”，点(1,0)A −，1(B ，点1(1,1)C −，2(C 0)，3C ，∴直线2AC 经过点O ，且12B C 与O 相切，2C ∴是弦1AB 的“友好点”，1(1,1)C − ，(1,0)A −的横坐标相同，与1(B 都位于直线y x =−上，1AC ∴与O 相切，11B C 经过点O ，1C ∴是弦1AB 的 “友好点”；故答案为：1C ，2C ；②(1,0)A − ，2B ，设(,)C a b ，如图所示，共有两种情况，a 、若12C B 与O 相切，AC 经过点O ，则12C B ，1AC 所在直线为0y x y =− =解得0x y ==1C ∴，0)，1OC ∴b 、若2AC 与O 相切，22C B 经过点O ，则直线22C B ，2AC 所在直线为1x y x =− =−， 解得11x y =−=， 2(1,1)C ∴−，2OC ∴，综上所述，OC =；（2） 线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“友好点”，弦PQ 随着S 的变动在一定范围内变动，且(0,3)M ，(5N ，0)，OM ON >，S ∴共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，如图所示，①当S 位于点(0,3)M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ⊥，(0,3)M ，O 的半径为1，且MP 是O 的切线，OP MP ∴⊥， PJ OM ⊥ ， MPO POJ ∴∆∆∽，∴OP OM OJ OP =，即13OJ=，解得13OJ =，PJ ∴=123Q J =，1PQ ∴=，同理2PQ =，∴当S 位于(0,3)M 时，1PQ ； ②当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上的点K 时，(0,3)M ，N ，0)，MN ∴=全解全析 第21页（共21页） 2 ∴2OM ON OK MN⋅==， O 的半径为1，30OKZ ∴∠=°，OPQ ∴∆为等边三角形，1PQ ∴=，∴当S 位于经过点O 且垂直于MN 的直线上即点K 时，1PQ 的临界点为1，∴在两种情况下，PQ的最小值在1tt ， 综上所述，t的取值范围为1tt ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握心概念“友好点”是解题的关键．。

2020年湖南省长沙市天心区长郡中学中考数学模拟试卷一、填空题（每题2分，共20分）1．（2分）因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝．2．（2分）计算20+（）﹣1的结果是．3．（2分）α＝﹣的倒数是．4．（2分）若a＝2，b＝6，c＝3，则a，b，c的第四比例项为．5．（2分）用科学记数法表示：﹣0.0000473＝，四舍五入得到的近似数76420保留两位有效数字后是．6．（2分）5的平方根是，算术平方根是．7．（2分）二次函数y＝﹣3x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是．8．（2分）不等式组的解集是．9．（2分）如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是．10．（2分）为了保护环境，环保部门每天都要对重点城市的空气污染情况进行监控和预报，当污染指数w≤50时，空气质量为优；当污染指数50＜w≤100时，空气质量为良；当污染指数100＜w≤150时，空气质量为轻度污染……现随机抽取某城市30天的空气质量情况统计如表：污染指数（w）407090110120140天数（t）389631估计这个城市一年（365天）中，空气质量达到良以上的天数是．二、选择题：（每题3分，共30分）11．（3分）下列运算中正确的是（）A．2x2+4x3＝6x5B．3x2•4x3＝12x6C．（﹣5x3）2＝﹣25x6D．10x6÷（﹣2x4）＝﹣5x212．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1B．x且x≠1C．x且x≠1D．x且x≠113．（3分）下列各式与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．14．（3分）某商品价格a元，降低10%后，又降低了10%，销售量猛增，商店决定再提价20%，提价后这种商品A．a元B．1.08a元C．0.972a元D．0.96a元15．（3分）已知方程2x2+3＝5﹣3x．若设＝y，则原方程可化为（）A．y2+5y+6＝0B．y2﹣5y﹣6＝0C．y2﹣5y+6＝0D．y2+5y﹣6＝016．（3分）判断方程的（2+）x2﹣2x+2﹣＝0根的情况（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．无法确定17．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则cos A的值为（）A．B．C．D．18．（3分）已知点A（a，0）在x轴的负半轴上，点（0，b）在y轴的正半轴上，那么点C（﹣a，﹣b）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限19．（3分）下列命题中，正确的命题是（）A．一组对边平行但不相等的四边形是梯形B．对角线相等的平行四边形是正方形C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形20．（3分）在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4，PB＝4，CP＝2，那么⊙O的直径为（）A．4B．5C．8D．10三、计算题（每题5分，共15分）21．（5分）计算：×（3﹣π）0×（﹣2）2++2cos30°﹣0.3﹣1．22．（5分）解方程：2x2+2x﹣3＝．23．（5分）化简求值：（+）×，其中a＝．四、作图题（共5分）24．（5分）如图平行四边形，试用两种方法将它分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你设计两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图）．五、应用题（每问4分，共8分）25．（8分）我国是世界上淡水资源匮乏国家之一，北方地区的缺水现象更为严重，有些地方甚至连人畜饮水都得不到保障，为了节约用水，不少城市作出了对用水大户限制用水的规定．北方某市规定：每一个用水大户，月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量（吨）交费总数（元）7140264895152（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式．六、证明题（每问5分，共10分）26．（10分）如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：（1）CD＝CB；（2）AD•DB＝2CD•DO．七、综合题（每问4分，共12分）27．（12分）如图：圆心在坐标原点的⊙O，与坐标轴的交点分别为A、B和C、D．弦CM交OA于P，连结AM，已知tan∠PCO＝，PC、PM是方程x2﹣px+20＝0的两根．（1）求C点的坐标；（2）写出直线CM的函数解析式；（3）求△AMC的面积．2020年湖南省长沙市天心区长郡中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题2分，共20分）1．【解答】解：b2﹣2bc+c2﹣1＝（b﹣c）2﹣1＝（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．故答案为：（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．2．【解答】解：原式＝1+4＝5，故答案为：5．3．【解答】解：＝＝+，故答案为：+4．【解答】解：设a，b，c的第四比例项为x，根据题意得a：b＝c：x，即2：6＝3：x，解得x＝9，即a，b，c的第四比例项为9．5．【解答】解：﹣0.0000473＝﹣4.73×10﹣5；76420≈7.6×104．故答案为：﹣4.73×10﹣5，7.6×104．6．【解答】解：5的平方根是±，算术平方根是．7．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2﹣6x+1＝﹣3（x+1）2+4，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．8．【解答】解：，由①得：x＞1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2．故答案为：1＜x≤2．9．【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴它的每一个外角为45°．又因为多边形的外角和恒为360°，360°÷45°＝8即该正多边形为正8边形．故答案为：正八边形．10．【解答】解：根据题意得：×365＝36.5（天）．答：空气质量达到良以上的天数是36.5天；故答案为：36.5天．二、选择题：（每题3分，共30分）11．【解答】解：2x2+4x3不能合并，故选项A错误；3x2•4x3＝12x5，故选项B错误；（﹣5x3）2＝25x6，故选项C错误；10x6÷（﹣2x4）＝﹣5x2，故选项D正确；故选：D．12．【解答】解：2x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x≥且x≠1，故选：B．13．【解答】解：A、＝3，与是同类二次根式；B、，与不是同类二次根式；C、，与不是同类二次根式；D、，与不是同类二次根式；故选：A．14．【解答】解：第一次降价后的价格为a×（1﹣10%）＝0.9a元，第二次降价后的价格为0.9a×（1﹣10%）＝0.81a元，∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）＝0.972a元，15．【解答】解：设y＝，则方程为y2﹣5y﹣6＝0．故选：B．16．【解答】解：△＝4﹣（2+）（2﹣）＝4﹣（4﹣3）＝3＞0，故选：A．17．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴cos A＝sin B＝．故选：C．18．【解答】解：∵点A（a，0）在x轴的负半轴上，∴a＜0，∴﹣a＞0，∵点（0，b）在y轴的正半轴上，∴b＞0，∴﹣b＜0，∴点C（﹣a，﹣b）在象四限，故选：D．19．【解答】解：A、一组对边平行但不相等的四边形是梯形，正确；B、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误；C、有一个角相等，相等的角不一定是对应角，错误；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可以是等腰梯形，错误．故选：A．20．【解答】解：∵AB⊥CD，AP＝PB＝4，∴CD为⊙O的直径，由相交弦定理得，P A•PB＝PC•PD，即2PD＝16，解得，PD＝8，故选：D．三、计算题（每题5分，共15分）21．【解答】解：原式＝×4+2﹣+2×﹣＝2+2﹣+﹣＝．22．【解答】解：设x2+x＝y，方程变形得：2y﹣3＝，整理得：2y2﹣3y﹣2＝0，即（2y+1）（y﹣2）＝0，解得：y＝﹣或y＝2，经检验都是分式方程的解，当y＝﹣时，x2+x＝﹣，即2x2+2x+1＝0，此方程无解；当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，分解因式得：（x﹣1）（x+2）＝0，可得x﹣1＝0或x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣2，经检验x＝1与x＝﹣2都是原分式方程的解．23．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝＝＝+1时，原式＝＝＝．四、作图题（共5分）24．【解答】解：经过对角线的交点且互相垂直的两直线一定把平行四边形平分成四个面积相等的图形．25．【解答】解：（1）因七月份用水量为140吨，1.6×140＝224＜264，（2分）所以（4分）即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，（6分）又8月份用水量为95吨，1.6×95＝152，故取a＝100；（7分）（2）当0≤x≤100时，则y＝1.6x；当x＞100时，则y＝1.6x+x﹣100＝2.6x﹣100．即y＝．（10分）六、证明题（每问5分，共10分）26．【解答】解：（1）连接OB，∵CB与圆O相切，∴OB⊥BC，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，∵AO⊥CO，∴∠OAB+∠ODA＝90°，∴∠ADO＝∠CBD＝∠CDB，∴CD＝CB；（2）过点C作CH⊥DB于点H，∵CD＝CB，CH⊥DB，∴DH＝BH＝BD，∵∠ADO＝∠CDH，∠AOD＝∠CHD＝90°，∴△AOD∽△CHD，∴，∴AD•DH＝CD•DO，∴AD•DB＝CD•DO，∴AD•DB＝2CD•DO．七、综合题（每问4分，共12分）27．【解答】解：（1）如图，连接BC，∵PC、PM是方程x2﹣px+20＝0的两根．∴PC•PM＝20，∵tan∠PCO＝＝，∴设CO＝3x，PO＝2x，∵圆心在坐标原点的⊙O，与坐标轴的交点分别为A、B和C、D，∴OC＝OB＝OD＝OA＝3x，∴AP＝x，∵∠AMC＝∠CBA，∠APM＝∠BPC，∴△AMP∽△CBP，∴，∴PC•PM＝AP•PB＝20，∴x•5x＝20，∴x＝2，x＝0（舍去）∴CO＝6，OP＝4，∴点C坐标（﹣6，0）；（2）∵OP＝4，∴点P（0，4）设直线CM的函数解析式为：y＝kx+b，∴解得：∴直线CM的函数解析式为：y＝x+4，（3）如图，过点M作MN⊥AB于N，∵CO＝6，OP＝4，∴CP＝＝＝2，∵CP•PM＝20，∴PM＝，∵MN⊥AB，CO⊥AB，∴MN∥CO，∴，∴∴MN＝，∵△AMC的面积＝×AP×（CO+MN）＝×2×（3+）＝．。