n阶幻方的填法

填幻方姓名：日期：成绩：【知识要点】在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。

一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。

中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。

任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！【典型例题】例1. 把1—9这九个自然数填在九空格里，使横、竖和对角线上三个数的和都等于15。

第一种：变形法将1~9数依顺序填入下框；第二种：口诀法例2. 把5到25这25个自然数填入以下五阶幻方中（变形法、口诀法），使横、竖和对角线上三个数的和都相等。

例3、在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于18.25例4. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。

【小试锋芒】1.在下面的方格内分别填上3~11、5~13、7~15这九个数字，使横、竖和对角线上三个数的和都相等。

2.用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。

3.把12到36这25个数填入下图中，使横、竖和对角线上三个数的和都相等。

4.将九个连续自然数填入九宫格中，使横、竖和对角线上三个数的和都等于66.5.把25~33这九个数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。

6.把1~100中找出25个连续数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。

7.把10~60中找出25个连续数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。

8、在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于21.788、在空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等.4234 30。

n阶幻方的填法(n≥3)幻方，亦称纵横图。

台湾称为魔术方阵。

将自然数1，2，3，……n2排列成一个n2方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于(1+n2)n22×1n这样的方阵称为幻方。

幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。

而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。

我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。

公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。

在欧洲，直到574年，德国着名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。

例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4*4把它划分成k*k 个方阵。

因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

下面是8阶幻方的作法：(1) 先把数字按顺序填。

然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵n为偶数，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)这是三种里面最复杂的幻方。

幻方制作方法一、什么是阶数？横竖各3格就是3阶，各4格就是4阶，依此类推。

二、奇数阶幻方的构造方法：把1放在中间，右上行走，上边出头往下落，右边出头往左走，占位或者对角出头往下落三、4×n阶幻方的构造（一）4×1阶幻方的构造方法一第一步：依次填数第二步：对角交换1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16（二） 四阶幻方的构造方法二第一步：依次填数 第二步：不是对角的交换1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16总结：基本的四阶幻方的构造，是先依次填数，然后要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。

（三）4×n 阶幻方的构造我们已经知道了4×1阶幻方的构造方法：然后要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。

那么4×n 阶幻方的构造方法，完全与4阶幻方的构造一样，也是：要么是对角的数据都交换，要么是对角的数据都不交换。

但是，在构造4×2阶幻方时候，要把每2×2格作为一格，在构造4×3阶幻方时候，要把每3×3格作为一格，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 59 60 61 62 63 641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 575859606162636416 2 3 13 34 5 11 10 8 34 9 7 6 12 34 4 14 15 1 34 34 34 34 341 15 14 4 34 12 6 7 9 34 8 10 11 5 34 13 3 2 16 34 34 34 34 3464 63 3 4 5 6 58 57 56 55 11 12 13 14 50 49 17 18 46 45 44 43 23 24 25 26 38 37 36 35 31 32 33 34 30 29 28 27 39 40 41 42 22 21 20 19 47 48 16 15 51 52 53 54 10 9 8 7 59 60 61 62 2 11 2 62 61 60 59 7 89 10 54 53 52 51 15 1648 47 19 20 21 22 42 4140 39 27 28 29 30 34 3332 31 35 36 37 38 26 2524 23 43 44 45 46 18 1749 50 14 13 12 11 55 5657 58 6 5 4 3 63 641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 8485 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 9697 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 1441 2 3 141 140 139 138 137 136 10 11 1213 14 15 129 128 127 126 125 124 22 23 2425 26 27 117 116 115 114 113 112 34 35 36108 107 106 40 41 42 43 44 45 99 98 9796 95 94 52 53 54 55 56 57 87 86 8584 83 82 64 65 66 67 68 69 75 74 7372 71 70 76 77 78 79 80 81 63 62 6160 59 58 88 89 90 91 92 93 51 50 4948 47 46 100 101 102 103 104 105 39 38 37109 110 111 33 32 31 30 29 28 118 119 120121 122 123 21 20 19 18 17 16 130 131 132133 134 135 9 8 7 6 5 4 142 143 144（三）如何在纸上快速填写4n阶幻方，参看上图1、我们假设对角不变。

二、单偶幻方的解法将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。

将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。

A CD BA 用1至()221m +填写成2m+1阶幻方；B 用()2211m ++至2*()221m +填写成2m+1阶幻方；C 用2*()221m ++1至3*()221m +填写成2m+1阶幻方；D 用3*()221m ++1至4*()221m +填写成2m+1阶幻方；在A 每行取m 个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），也就是说在A 中间一行取包括中心格在内的m 个小格，其他行左侧边缘取m 个小格，将其与D 相应方格内交换；B 与C 任取m-1列相互交换。

6阶幻方就是4*1+2，那么m 就是1。

在A 中间一行取中心格1个小格，其他行左侧边缘取1个小格，将其与D 相应方格内交换；B 与C 接近右侧m-1列相互交换（6阶幻方m-1=0，则不用互换）。

如下图用Strachey 法生成的6阶幻方：也就是A用1至25填写成5阶幻方；B用26至50填写成5阶幻方；C用51至75填写成5阶幻方；D用76至100填写成5阶幻方。

（5阶幻方的填法你会的话）第二步，在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），简单地说，就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格，其他行左侧边缘取m个小格，将其与D相应方格内交换；B与C在最右侧取m-1列相互交换。

10阶幻方就是4*2+2，那么m就是2。

在A中间一行取包括中心格在内的2个小格，其他行左侧边缘取2个小格，将其与D相应方格内交换；B与C在最右侧取1列相互交换。

n阶幻方的填法 Prepared on 24 November 2020
n阶幻方的填法(n≥3)
幻方，亦称纵横图。

台湾称为魔术方阵。

将自然数1，2，3，……n2排列成一个n2方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于
(1+n2)n2
2×1
n
这样的方阵称为幻方。

幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。

而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。

我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。

公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。

在欧洲，直到574年，德国着名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。

例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
(2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。

幻方一般地说，在n×n的方格里，既不重复也不遗漏地填上n²个连续的自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上n个自然数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方。

这个相等的和叫幻和。

奇数阶幻方奇数阶幻方的方法可以简单概括为方阵斜线对换法：（1）三阶幻方（九宫幻方）：具体可以概括为以下几步：第一步：将1——9九个整数如图1那样排列成方阵；第二步：如图2，画斜线；第三部：如图3，将图2中得到的正方形外四角的数字1、3、7、9，分别向斜线对面数三格，把数字填入空格内，即1和9交换，3和7交换入幻方格内。

便得到了图4的三阶幻方（九宫幻方），横排、数列，对角线上每三个数字的和都为15。

（2）五阶幻方：五阶幻方具体可以概括为以下几步：第一步：将1——25这二十五个整数如图5排列成方阵；第二步：如图6，画斜线；第三部：如图7，将图2中得到的正方形外四角的数字（1、2、6），（4、5、10）；（16、21、22），和（20、24、25）分别向斜线对面数五格，把数字填入空格内，即1 和25交换，2和20交换，6 和24交换，5和21交换，4和16交换，10和22交换填入幻方格内便得到了图8的五阶幻方，横排、数列，对角线上每三个数字的和都为65。

偶数阶幻方偶数阶幻方的方法可以简单概括为方阵对角线数字互换和对面数字互换的方法：比如四阶幻方四阶幻方比较简单，只需要交换对角线上的数字就能使横排、竖列、对角线上的和分别都等于34。

具体步骤为：第一步：将1——16十六个整数如图9排列成方阵；第二步：如图10那样画出对角线和方框；第三步：如图10—图11，将方阵中对角线上的数字1和16，4和13，6和12，以及7和10 对换，便得到了图12的四阶幻方，而六阶幻方就要复杂得多了，不仅仅需要交换对角线上的数字，还需要横排对面交换，竖列对面交换。

反幻方将1～9九个自然数，填在3×3正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。

幻方构造方法：（有很多种，这里只举出几种）奇数阶：n=2*m+1,m为自然数1)将数字1填在(0,(n+1)/2) ；要注意c中是从下标0开始2)从左上往右下依次填。

3)由2),列的下标出界(超过n-1)时，行加1，以n为摸的余数为应填的列数；4)由2),行的下标出界(超过n-1)时，列加1，以n为摸的余数为应填的行数；5)由2),行列都未出界，但已添上其他数，应在当前位置左横移一个位置进行填数。

然后是偶数阶：前一种：n=4*m+2, m为自然数1)将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列：B CD A因为n*n=4*(2*m+1)*(2*m+1),记u=n/2=2*m+1,分为1~u*u,u*u+1~2*u*u,2*u*u+1~3*u*u,3*u*u+1~4*u*u即在调用子函数的时候分别如下面传递参数:A(0),B(u*u),C(2*u*u),D(3*u*u)分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好(注意加上所传参数作为基数，每一个元素都要加上这个值)，最后做如下交换：(1)B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换(2)D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素交换(3)交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)(4)交换D:(n-1,m)与A中对应元素(实际为矩阵最大值n*n)所谓对应位置，指相对于小魔方阵的左顶角的相对的行列位置上面的这些你可以用数学进行证明，利用魔方阵常数(注意n阶的和u阶的关系)后一种：n=4*m,m为自然数因为行列都是4的倍数，因而可以将整个矩阵分为每4*4的小矩阵。

先判断一个数是否在划为4*4小矩阵的对角线上，如果在，则填该位置的数为n*n-i+1(i为该元素的相对位置，从1开始，比如n阶的第s行第t个元素则其i=s*n+t)如果不在，则填上i。

参考资料：/archives/structure/2ae241192e129bc795deb5a721562f3d.php五阶幻方简便算法悬赏分：10 - 解决时间：2008-10-8 19:08五阶幻方简便算法提问者：狐老大- 试用期一级最佳答案五阶幻方10 11 17 23 `422 `3 `9 15 1614 20 21 `2 `81` 7` 13 19 259 `3 22 16 1521 20 14 `8 `213 `7 `1 25 195 `24 18 12 `617 11 10 `4 2317 24 `1 8 1523 `5 `7 14 16`4 `6 13 20 2210 12 19 21 `311 18 25 `2 `9下面这些构造方法都是比较适合于编程的。

幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n －1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6789 1011121314 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

会飞的朱会飞的朱会飞的朱作成：会飞的朱时间：2020.03.22一、定义：将构成等差数列的(4n×4n)个数填入一个(4n×4n)的方阵内，使此方阵每一行的和、每一列的和、两对角线的和都等于幻和S。

(N为正整数)设此数列为：a1、a2、a3、………a4n。

则幻和S=2n(a1+a4n)。

二、填法：（一）方法一：①以4阶幻方为例，将数列按图一所示方法填入方阵中(相邻两列逆顺序)，此时每一行的和为幻和S。

②将图一的方阵的后面2n列以中心线对称地交换位置(如图一箭头所指两数互相交换位置)，得到图二方阵。

则可在行和不变的情况下使得对角线也为幻和S。

③再将图二所得方阵中间2n行以中心线对称地交换位置(如图二箭头所指两数互相交换位置)，则可在行和、对角和不变的情况下使得列和也为幻和S，如图三方阵。

189161812131812132710152711141411723611143610151510634512134591645916图一图二图三如下图8阶幻方实例：116173233484964116173240415657215183134475063215183139425558314193035465162314193038435459413202936455261413202937445360512212837445360512212836455261611222738435459611222735465162710232639425558710232634475063892425404156578924253348496411617324041565711617324041565721518313942555821518313942555859544338301914359544338301914360534437292013460534437292013461524536282112561524536282112562514635272211662514635272211671023263447506371023263447506389242533484964892425334849644n阶幻方填法会飞的朱会飞的朱会飞的朱规律总结：六区间法：1、将方格按列左右均分成两部分，再按行上中下分成三部分共6个区间；2、从1区间左上角按列开始顺序填数，遇到列分线则跳到行分线对 称空格按顺序填。

幻方实例教你如何填幻方幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。

而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。

我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。

公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。

在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。

目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。

1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。

互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。

将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。

这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。