安徽省安庆市第二中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题含答案

2018-2019学年安庆二中高二数学周考（六）（命题范围：圆与方程，算法初步、统计）（考试时间：50分钟）
一、选择题（本大题共8小题，共48分.）
根据上表提供的数据，求出y关于x的回归方程为∧
y=6.5x+17.5，
则t的值为__________.
10.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数
据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，
则x+y的值为________________.
11.已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y−2=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，则m+n的取值范围是_____________.
12.过点P(−1,1)作圆C:(x−t)2+(y−t+2)2=1(t∈R)的切线,切点分别为A,B,则PB
PA 的最小值为_________.
13.某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟),并将所得数据制成频率分布直方图(如图),若上学路上所需时间的范围为[0,100],样本数据分组为
[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
(1)求直方图中a的值；
(2))如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；
(3)求该校学生上学路上所需的平均时间.。

安庆市2018—2019学年度第二学期期末教学质量监测高二数学试题（理）一、选择题1.复数()2i i 12i 1z m m =-+++-对应的点在第二象限，其中m 为实数，i 为虚数单位，则实数的取值范围（ ） A. （﹣∞，﹣1） B. （﹣1，1）C. （﹣1，2）D. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）2.函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A. 1B. （1，﹣83）C. 3-D. （﹣3，8）3.双曲线2213x y a -=的离心率等于2，则实数a 等于（ ）A. 1C. 3D. 64.已知变量x ，y 之间的一组数据如下表：由散点图可知变量x ，y 具有线性相关，则y 与x 的回归直线必经过点（ ） A. ()2,2.5B. ()3,3C. ()4,3.5D. ()6,4.85.二项式62x ⎫⎪⎭展开式中常数项等于（ ）A. 60B. ﹣60C. 15D. ﹣156.函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.7.下列命题不正确的是（ ）A. 研究两个变量相关关系时，相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关B. 研究两个变量相关关系时，相关指数R 2越大，说明回归方程拟合效果越好．C. 命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定命题为“∃x 0∈R ，cos x 0＞1”D. 实数a ，b ，a ＞b 成立的一个充分不必要条件是a 3＞b 38.某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ） A. 《数学史选讲》B. 《球面上的几何》C. 《对称与群》D. 《矩阵与变换》9.某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教．甲老师主动要求去最偏远的村小A ，则不同的安排有（ ） A. 6 B. 12C. 18D. 2410.已知412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为5，则202ax x dx -⎰＝（ ）A.2πB. πC. 2πD. 4π11.抛物线y ＝214x 上一点M 到x 轴距离为d 1，到直线34x y-＝1的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为（ ） A.85B. 135C. 3D. 212.已知函数f （x ）＝（mx ﹣1）e x ﹣x 2，若不等式f （x ）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围（ ）A. 2211,12ee ⎛⎫++ ⎪⎝⎭B. 2211,12ee ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭C. 323121,32e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ D. 323121,32e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ 二、填空题13.随机变量X 服从于正态分布N （2，σ2）若P （X≤0）＝a ，则P （2＜X ＜4）＝_____ 14.复数z 及其共轭复数z 满足（1+i ）z ﹣2z ＝2+3i ，其中i 为虚数单位，则复数z ＝_____ 15.函数f （x ）＝sin x +a e x 的图象过点（0，2），则曲线y ＝f （x ）在（0，2）处的切线方程为__ 16.若存在两个正实数x ，y 使等式mx （lny ﹣lnx ）﹣y ＝0成立，则实数m 的取值范围是_____三、解答题17.（1）设p ：实数x 满足|x ﹣m |＜2，设q ：实数x 满足52x +＞1；若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围（2）已知p ：函数f （x ）＝ln （x 2﹣ax +3）的定义城为R ，已知q ：已知1a >且2a ≠，指数函数g （x ）＝（a ﹣1）x 在实数域内为减函数；若￢p ∨q 为假命题，求实数a 的取值范围． 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-， （1）求1a ，2a ，3a ，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是一个菱形，三角形PAD 是一个等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝3π，点E 在线段PC 上，且PE ＝3EC ．（1）求证：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD ，求二面角E ﹣AB ﹣P 的余弦值．20.2019年某地初中毕业升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项测试各项20分，满分60分．某学校在初三上学期开始时，为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，按照男女比例利用分层抽样抽取了100名学生进行测试，其中女生54人，得到下面的频率分布直方图，计分规则如表1：表1每分钟跳绳个数 [)155,165[)165,175[)175,185[)185,+∞得分 17181920（1）规定：学生1分钟跳绳得分20分为优秀，在抽取的100名学生中，男生跳绳个数大于等于185个的有28人，根据已知条件完成表2，并根据这100名学生测试成绩，能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关？ 表2 跳绳个数 185≥185<合计 男生 28 女生 54 合计100附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：（2）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步．假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，全年级恰有2000名学生，所有学生的跳绳个数X 服从正态分布()2,N μσ（用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，各组数据用中点值代替）．①估计正式测试时，1分钟跳182个以上的人数（结果四舍五入到整数）；②若在全年级所有学生中任意选取3人，正式测试时1分钟跳195个以上的人数为ξ，求ξ的分布列及期望． 附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=13≈．21.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ； （1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径最大值22.已知函数()2ln f x x ax =-（a ∈R ）． （1）讨论y ＝f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）有两个不同零点x 1，x 2，求实数a 的范围并证明12x x e >．安庆市2018—2019学年度第二学期期末教学质量监测高二数学试题（理）一、选择题1.复数()2i i 12i 1z m m =-+++-对应的点在第二象限，其中m 为实数，i 为虚数单位，则实数的取值范围（ ） A. （﹣∞，﹣1） B. （﹣1，1）C. （﹣1，2）D. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【答案】B 【解析】 【分析】整理复数z 为a bi +的形式，根据复数对应点在第二象限列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.【详解】()()212z m m m =----i 对应点在第二象限，因此有()21020m m m -<⎧⎪⎨--->⎪⎩， 即11112m m m <⎧⇒-<<⎨-<<⎩，故选B【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A. 1 B. （1，﹣83）C. 3-D. （﹣3，8）【答案】A 【解析】 【分析】求得原函数的导数，令导数等于零，解出x 的值，并根据单调区间判断出函数在何处取得极小值，并求得极值，由此得出正确选项.【详解】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1.选A 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极值点，属于基础题.3.双曲线2213x y a -=的离心率等于2，则实数a 等于（ ）A. 1B.C. 3D. 6【答案】A 【解析】 【分析】利用离心率的平方列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由34a a+=可得1a =，从而选A. 【点睛】本小题主要考查已知双曲线的离心率求参数，考查方程的思想，属于基础题. 4.已知变量x ，y 之间的一组数据如下表：由散点图可知变量x ，y 具有线性相关，则y 与x 的回归直线必经过点（ ） A. ()2,2.5 B. ()3,3C. ()4,3.5D. ()6,4.8【答案】C 【解析】 【分析】由表中数据求出平均数x 和y 即可得到结果. 【详解】由表中数据知，135744x +++==，2+3+4+5=3.54y =，则y 与x 的回归直线必经过点()4,3.5.故选C ．【点睛】本题主要考查回归分析的基本思想及应用，理解并掌握回归直线方程必经过样本中心点(),x y ，属基础题.5.二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项等于（ ）A. 60B. ﹣60C. 15D. ﹣15【答案】A 【解析】 【分析】化简二项式展开式的通项公式，由此计算0x 的系数，从而得出正确选项. 【详解】()()6366216622rr rrr r r T C x C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当3602r -=时，即4r =，故常数项为()2456260T C =-=，选A. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题. 6.函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的导数，根据导函数的奇偶性和正负，判断出正确选项. 【详解】()cos f x x x '=，()cos f x x x '=为奇函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有()0f x '>，故选C.【点睛】本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.7.下列命题不正确的是（）A. 研究两个变量相关关系时，相关系数r为负数，说明两个变量线性负相关B. 研究两个变量相关关系时，相关指数R2越大，说明回归方程拟合效果越好．C. 命题“∀x∈R，cos x≤1”的否定命题为“∃x0∈R，cos x0＞1”D. 实数a，b，a＞b成立的一个充分不必要条件是a3＞b3【答案】D【解析】【分析】根据相关系数、相关指数的知识、全称命题的否定的知识，充分、必要条件的知识对四个选项逐一分析，由此得出命题不正确的选项.【详解】相关系数r为负数，说明两个变量线性负相关，A选项正确. 相关指数2R越大，回归方程拟合效果越好，B选项正确.根据全称命题的否定是特称命题的知识可知C选项正确.对于D选项，由于>的充分必要条件，故D选项错误.所以选D.33>是a b>⇔>，所以33a b a ba b【点睛】本小题主要考查相关系数、相关指数的知识，考查全称命题的否定是特称命题，考查充要条件的判断，属于基础题.8.某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（）A. 《数学史选讲》B. 《球面上的几何》C. 《对称与群》D. 《矩阵与变换》【答案】D【解析】【分析】列举出所有选择可能，然后根据三个信息，确定正确的选项.【详解】4个同学，选4门课，各选一门且不重复的方法共24种，如下：满足三个信息都正确的，是第2种.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查分析与推理，考查列举法，属于基础题.9.某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教．甲老师主动要求去最偏远的村小A ，则不同的安排有（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24【答案】B 【解析】 【分析】按照村小A 安排一个人和安排两个人两种情况分类讨论，按先分组后排序的方法，计算出不同的安排总数.【详解】村小A 安排一人，则有2232C A ；村小A 若安排2人，则有1232C A .故共有1212323212C A C A +=.选B.【点睛】本小题主要考查分类加法计算原理，考查简单的排列组合计算问题，属于基础题.10.已知412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为5，则0⎰＝（ ） A. 2πB. πC. 2πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】通过展开式中3x 项的系数为5列方程，解方程求得a 的值.利用几何法求得定积分的值. 【详解】()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项为()()()243234412x C x x aC x x ⋅-+-+- 即()3134a x -，条件知1345a -=，则2a =；于是=被积函数y =图像，0,2x x x ==轴，围成的图形是以()20，为圆心，以2为半径的圆的14，利用定积分的几何意义可得20124ππ=⨯⨯=，选B.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查几何法计算定积分，属于中档题. 11.抛物线y ＝214x 上一点M 到x 轴的距离为d 1，到直线34x y-＝1的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为（ ） A.85B. 135C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，将12d d +的最小值转化为抛物线焦点到直线43120x y --=的距离减1来求解. 【详解】根据题意12d d +的最小值等于抛物线焦点到直线43120x y --=的距离减1，而焦点为()01，故12min 15125d d +=-=（），故选D. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12.已知函数f （x ）＝（mx ﹣1）e x ﹣x 2，若不等式f （x ）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围（ ） A. 2211,12e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ B. 2211,12ee ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭C. 323121,32e e⎡⎫++⎪⎢⎣⎭D. 323121,32e e⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】令()0f x <，化简得21x x mx e -<，构造函数()()21,x x g x mx h x e=-=，画出两个函数图像，结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得m 的的取值范围.【详解】()210xmx e x --<有两个正整数解即21x x mx e-<有两个不同的正整数解，令()()21,x x g x mx h x e =-=，()()2'22x xx x x x h x e e--==，故函数()h x 在区间(),0-∞和()2,+∞上递减，在()0,2上递增，画出()(),g x h x 图像如下图所示，要使21x x mx e-<恰有两个不同正整数解等价于()()()()234212233931m g h e g h m e ⎧-<⎪⎧<⎪⎪⇒⎨⎨≥⎪⎩⎪-≥⎪⎩解得32312132m e e +≤<+ 故323121,32m e e⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，选C.【点睛】本小题主要考查不等式解集问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13.随机变量X 服从于正态分布N （2，σ2）若P （X≤0）＝a ，则P （2＜X ＜4）＝_____ 【答案】0.5a - 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，求得()24P X <<的值.【详解】由条件知()()40P X P X a ≥=≤=,故()240.5P X a <<=-. 【点睛】本小题主要考查正态分布在指定区间的概率，属于基础题.14.复数z 及其共轭复数z 满足（1+i ）z ﹣2z ＝2+3i ，其中i 为虚数单位，则复数z ＝_____ 【答案】9522i -+ 【解析】 【分析】设,(,)z a bi a b R =+∈，代入题目所给已知条件，利用复数相等的条件列方程组，解方程组求得z 的值. 【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，则()()()1223i a bi a bi i ++--=+，()()323a b a b i i --++=+，于是有233a b a b --=⎧⎨+=⎩ 解得9252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即9522z i =-+. 【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的概念，考查方程的思想，属于基础题.15.函数f （x ）＝sin x +a e x 的图象过点（0，2），则曲线y ＝f （x ）在（0，2）处的切线方程为__ 【答案】320x y -+= 【解析】 【分析】先根据()02f =求得a 的值，然后利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程. 【详解】由()02f =可得2a =，从而()sin 2xf x x e =+，()cos 2x f x x e =+'，()03f '=故在()02，处的切线方程为32y x =+，即切线方程为320x y -+=. 【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，考查在函数图像上一点处切线方程的求法，属于基础题. 16.若存在两个正实数x ，y 使等式mx （lny ﹣lnx ）﹣y ＝0成立，则实数m 的取值范围是_____ 【答案】()[),0,m e ∈-∞+∞U 【解析】 【分析】将原方程转化为ln0y y m x x -=，令y t x =换元后构造函数()ln tg t t=，利用导数研究()g t 的单调性，由此求得()g t 的值域，进而求得m 的取值范围.【详解】()ln ln 0mx y x y --=两边同时除以x 可得ln 0yxym x-=，令y t x =题意即为存在0t >使得ln m t t =成立，显然1t =时等式不成立， 故当01t t >≠且时，存在t 使得ln tm t=成立． 记()()0,1ln tg t t t t=>≠且 ()()2ln 1ln t g t t -'=由()0g t '=得t e =()g t 在()0,1上为减函数，在()1e ，为减函数，在()e +∞，为增函数；且()g e e =，从而()()[),0,g t e ∈-∞⋃+∞， 故()[),0,m e ∈-∞⋃+∞.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、值域，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17.（1）设p ：实数x 满足|x ﹣m |＜2，设q ：实数x 满足52x +＞1；若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围（2）已知p ：函数f （x ）＝ln （x 2﹣ax +3）的定义城为R ，已知q ：已知1a >且2a ≠，指数函数g （x ）＝（a ﹣1）x 在实数域内为减函数；若￢p ∨q 为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]0,1m ∈；（2）(2,23a ∈ 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式求得p 中x 的范围，解分式不等式求得q 中x 的取值范围.由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件知p 是q 的充分不必要条件，由此列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.（2）根据()f x 的定义域为R 求得p 为真时，a 的取值范围.根据()g x 的单调性求得q 为假时a 的取值范围.p q ⌝∨为假命题可知p 真q 假，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】（1）记{}|2A x x m =-<，5|12B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭即()()2,2,2,3A m m B =-+=- 由条件 p ⌝是q ⌝的必要不充分条件知p 是q 的充分不必要条件，从而有A 是B 的真子集，则2223m m -≥-⎧⎨+≤⎩，可得01m ≤≤，故[]0,1m ∈（2）当p 为真命题时，函数()()2ln 3f x x ax =-+的定义域为R ，则230x ax -+>恒成立，即2120a ∆=-<，从而a -<< 条件p q ⌝∨为假命题可知p 真q 假， 当q 为假命题时有11a ->即2a >从而当p 真q 假有2a a ⎧-<<⎪⎨>⎪⎩即2a <<故(2,a ∈【点睛】本小题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，考查指数函数的单调性，考查含有简单逻辑联结词命题真假性有关知识，属于中档题. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-， （1）求1a ，2a ，3a ，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）11a =，23a =，37a =，21nn a =-；（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据条件可求出a 1，利用a n 与S n 的关系可得到数列递推式，对递推式进行赋值，可得2a 和3a 的值，从而可猜想数列{}n a 的通项公式；（2）检验1n =时等式成立，假设n k =时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立即可. 【详解】（1）2n n S a n =-Q ，当1n =时，11a =，且1121n n S a n ++=--，于是121n n a a +=+，从而可以得到23a =，37a =，猜想通项公式21nn a =-； （2）下面用数学归纳法证明：21nn a =-．①当1n =时，11a =满足通项公式；②假设当n k =时，命题成立，即21kk a =-，由（1）知()1212211kk k a a +=+=-+，1121k k a ++=-，即证当1n k =+时命题成立. 由①②可证21nn a =-成立．【点睛】本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力.注意在证明1n k =+时需用上假设，化为n k =的形式.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是一个菱形，三角形PAD 是一个等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝3π，点E 在线段PC 上，且PE ＝3EC ．（1）求证：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD ，求二面角E ﹣AB ﹣P 的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）11265【解析】 【分析】（1）取AD 中点O ,连接,PO OB ,根据等边三角形的性质证得AD ⊥平面POB ，由此证得AD PB ⊥.（2）以,,OA OB OP 分别为,.x y z 轴建立空间直角坐标系，通过计算平面EAB 和平面PAB 的法向量，计算出二面角E AB P --的余弦值.【详解】（1）取AD 中点O ,连接,PO OB , 由条件知PAD ABD ∆∆和均为等边三角形， 因此,AD PO AD BO ⊥⊥,而,PO POB BO POB ⊂⊂面面PO BO O I =由线面垂直定理可证AD POB ⊥面, 又PB POB ⊂面 即证AD PB ⊥（2）由（1）知PO AD ⊥，PAD ABCD ⊥平面平面 从而PO ABCD ⊥面；以,,OA OB OP x y z 分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设2AD a =，则(),0,0A a，()P，(),0B，()2,0C a -3PE EC =Q ,()()132,0,02,,42BE BC CE a a a ⎛⎫∴=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u v u u u v(),0AB a =-u u u v ，(),0AP a =-u u u v设面EAB 的法向量为()1111,,,n x y z =u v则11111030244ax ax ay az ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩可得)1n =u v ；设面PAB 的法向量为()2222,,,n x y z =u u v则222200ax ax ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩可得)2n =u u v121212•cos ,n n n n n n ===u v u u vu v u u v u v u u v由图知二面角E AB P --为锐角， 故二面角E AB P --. 【点睛】本小题主要考查线线垂直、线面垂直的证明，考查利用空间向量计算二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.2019年某地初中毕业升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项测试各项20分，满分60分．某学校在初三上学期开始时，为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，按照男女比例利用分层抽样抽取了100名学生进行测试，其中女生54人，得到下面的频率分布直方图，计分规则如表1：表1每分钟跳绳个数 [)155,165[)165,175[)175,185[)185,+∞得分 17181920（1）规定：学生1分钟跳绳得分20分为优秀，在抽取的100名学生中，男生跳绳个数大于等于185个的有28人，根据已知条件完成表2，并根据这100名学生测试成绩，能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关？ 表2 跳绳个数 185≥185<合计 男生28女生 54合计 100附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：（2）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步．假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，全年级恰有2000名学生，所有学生的跳绳个数X 服从正态分布()2,N μσ（用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，各组数据用中点值代替）．①估计正式测试时，1分钟跳182个以上的人数（结果四舍五入到整数）；②若在全年级所有学生中任意选取3人，正式测试时1分钟跳195个以上的人数为ξ，求ξ的分布列及期望． 附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=13≈．【答案】（1）不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关；（2）①约为1683人，②见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目所给信息，完成表2，根据表中数据计算K 2的观测值k ，查表判断即可；（2）利用频率分布直方图求解平均数和标准差，推出正式测试时，μ=185+10=195，σ=13，μ-σ=182． ①()11[1(182208)]0.84131822P X P ξ-==<>-…，由此可推出人数．②由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，得到ξ服从13,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，求出ξ的分布列，然后求解期望即可． 【详解】（1）在抽取的 100 人中 ， 满分的总人数为 100×(0.03+0.01+0.008)×10=48人， 男生满分的有 28 人，所以女生满分的有 20 人，男生共有 46 人，女生 54 人，所以男生跳绳个数不足 185 个的有46−28=18人，女生跳绳个数不足 185 的有 54−20=34 人， 完成表2如下图所示：由公式可得()2210028341820 5.65348524654K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.653 6.635<，所以不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关； （2）①根据频率分布直方图可得初三上学期跳绳个数的平均数：=1600.061700.121800.341900.32000.12100.08185x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，而13σ≈，所以正式测试时，18510195μ=+=，故X 服从正态分布()2195,13N ，且182μσ-=，则()11[1(182208)]0.84131822P X P ξ-==<>-…，所以20000.84131682.61683⨯=≈，故正式测试时，1分钟跳182个以上的人数约为1683人； ②()11952P X >=Q ，ξ∴服从13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 311(0)28P ξ∴===，31313(1)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，32313(2)28P C ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 3331(3)218P C ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭===， 则ξ的分布列为：()13322=⨯=E ξ． 【点睛】本题考查了频率分布直方图中平均数的计算、独立性检验和正态分布的问题，以及二项式分布，主要考查分析数据，处理数据的能力，综合性强，属中档题.21.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ； （1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径的最大值【答案】（1）22198x y +=；（2）max 89r =【解析】 【分析】（1）根据椭圆上点与1F 的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩ ，所以2228b a c =-=.故椭圆的标准方程为22198x y +=；（2）由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ，由221198x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=，1212221664,8989m y y y y m m -+==++ 22221(2F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆Q 为的周长）2121166F MN r S y y ∴==-即r ==令21t m =+，（1t ≥），则r ==当1,0t m ==即时，max 89r =. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题. 22.已知函数()2ln f x x ax =-（a ∈R ）． （1）讨论y ＝f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）有两个不同零点x 1，x 2，求实数a 的范围并证明12x x e >． 【答案】（1）见解析；（2）10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明见解析【解析】 【分析】（1）先求得函数的单调区间，然后求函数的导数，对a 分成0,0a a ≤>两种情况，分类讨论函数的单调区间.（2）令()0f x =，分离常数a ，构造函数()2ln xg x x =，利用导数求得()g x 的单调区间和最大值，结合图像求得a 的取值范围.构造函数()()e F x g x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x >，利用导数证得()0F x >在)+∞成立，从而证得()e g x g x ⎛⎫>⎪⎝⎭在)+∞上成立.根据()g x 的单调性证得12x x e >.【详解】函数的定义域为()0,x ∈+∞()21212ax f x ax x x-='+=-当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上为增函数； 当0a >时，()0f x '=，12x a =，()102f x a ⎛⎫ '⎪ ⎪⎝⎭在，有()0f x '>， 在()12f x a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎝'⎪⎭在，有()0f x '<， 即()()11022f x f x a a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上为增函数，在，上为减函数， 综上：当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数；当0a >时，()()11022f x f x a a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上为增函数，在，上为减函数. （2）()2ln f x x ax =-有两个不同的零点，即2ln 0x ax -=有两个不同的根，即2ln xa x=有两个不同的根， 即()2ln xy a g x x==与 有两个不同的交点；()312ln xg x x -'=，()()()0,g x e e +∞在，为增函数，为减函数， ()12g e e=，当1x >时，()0g x >()g x 图像如图所示：故10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 由上设120x e x <<<令()()e F x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x e >()()()()422322ln 1x e x e e F x g x g x x x e--⎛⎫=+= ⎪⎝'''⎭当x >()0F x '>，故()()e F x g x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在)+∞上为增函数，0F=，从而有())0F x >+∞在成立，即()e g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，而)2x ∈+∞则()22e g x g x ⎛⎫>⎪⎝⎭，又因为()()12g x g x > 所以()()122e g x g x g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，又(12,ex x ∈，()(0g x 在上为增函数， 故12ex x >，即证12x x e >. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数研究零点问题，考查利用导数证明不等式，综合性很强，属于难题.。

安庆市第二中学2019届高三下学期开学考试数学理科试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意。

）1．已知复数12iz m i-=+为纯虚数，i 为虚数单位，则实数m 的值为 ( ) A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-2．已知集合1{|1}M x x=≤，{|lg(1)}N x y x ==-，则M N = ( )A ．∅B ．{|0}x x <C ．{|1}x x >D ．{|1}x x ≥ 3．已知直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，则“//a b ”是“//αβ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是等边三角形，其正视图（如图1所示）的面积为8，则侧视图的面积为 ( )A ．8B ．4C ．D ．245．某学习兴趣小组正在做一项调查研究，需要了解高三学生的身体状况，于是从该校的高三学生中抽取了部分学生进行问卷调查，其中一项关于男生的体重的数据整理后得到如图2所示的频率分布直方图。

已知图中从左向右的前三个小组的频率成等差数列，第二个小组的频数是57，则此次调查中抽取的男生总人数是 ( )A ．152B ．180C ．228D ．342 6．图3是一个程序框图，输出的结果是 ( )A ．1616B ．1617C ．1716D ． 17177.已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1<x 1<x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c8. 函数()()sin f x A x ωϕ=+，,,,002,>,A A πωϕωϕ⎛⎫>≤⎪⎝⎭是常数的部分图象如图所示，若方程()=f x a 在,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A. ⎡⎢⎣ B .⎣C. 2⎡-⎢⎣D. 2⎣9． 在半径为5的球面上有,,A B C 三点，若060,AB ACB =∠= 则球心到面ABC 距离是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 110．如图4，平面四边形ABCD 中，AB AC BC ===，1CD AD ==，已知AE AC λ=，CF CB λ=，(0,1)λ∈，且存在实数t 使(1)CE tCD t CF =+-，则EA AB ⋅= ( )A B ． C ．34- D ．1- 11. 已知正数,x y 满足22=+yx ，则8x yxy+的最小值为（ ）．A.9B.10C.11D.1212. 已知函数1,0()ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数(())1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（ ）A. 当k ＞0时，有3个零点；当k ＜0时，有2个零点B. 当k ＞0时，有4个零点；当k ＜0时，有1个零点C. 无论k 为何值，均有2个零点D. 无论k 为何值，均有4个零点第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分。

2020年高二年级春季开学考理科数学一.选择题(每小题5分,共60分)1.已知复数z 满足(2)12,i z i +=-(其中i 为虚数单位),则z 的共轭复数z =( ) A. iB. i -C.455i- D.455i+ 【参考答案】A 【试题解析】利用等式把复数z 计算出来,然后计算z 的共轭复数得到答案.122iz i i-==-+,则z i =.故选A 本题考查了复数的计算和共轭复数,意在考查学生对于复数的计算能力和共轭复数的概念,属于简单题.2.“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【参考答案】B 【试题解析】试题分析:由|x-1|＜2得-1＜x ＜3,由x(x-3)＜0得0＜x ＜3,所以“|x -1|＜2成立”是“x (x-3)＜0成立”的必要不充分条件【知识点】1.解不等式；2.充分条件与必要条件3.设命题0:p x ∃<0,001xe x ->,则p ⌝为A. 0,1xx e x ∀≥-> B. 0,1xx e x ∀<-≤ C. 0000,1xx e x ∃≥-≤ D. 0000,1xx e x ∃<-≤【参考答案】B 【试题解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识,判断出正确选项.原命题是特称命题,否定是全称命题,注意要否定结论,故本小题选B.本小题主要考查全称命题与特称命题,考查特称命题的否定是全称命题,属于基础题. 4.111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为( ) A. e 2- B. eC. e 1+D. e 1-【参考答案】A 【试题解析】直接利用定积分公式计算得到答案.11111111d 1d d ln 1102e e ee ex x x x x e e x x ⎛⎫-=-=-=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 故选A本题考查了定积分的计算,意在考查学生的计算能力. 5.函数21ln 2y x x =-的单调递增区间为( ) A. (－1,1] B. (0,1]C. [1,＋∞)D. (0,＋∞)【参考答案】C 【试题解析】求导分析导函数大于0的区间即可.对函数21ln 2y x x =-求导,得()211,0x y x x x x -'=-=>,令2100x xx ⎧-≥⎪⎨⎪>⎩,解得[)1,x ∈+∞, 因此函数21ln 2y x x =-单调增区间为[)1,+∞. 故选:C本小题考查导数问题,意在考查考生利用导数求函数单调区间,注意函数本身隐含的定义域.属于基础题.6.若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【参考答案】C 【试题解析】因为函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以函数()210f x x ax =-+≤'在区间1[,3]2上恒成立,即211x a x x x+≥=+在1[,3]2恒成立,而1()g x x x =+在1[,1]2递减,在[1,3]递增,且1510()(3)223g g =<=,即103a ≥；故选C.7.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,则其渐近线方程为( ).A. y =B. 6y x =±C. y =D. 2y x =±【参考答案】D 【试题解析】根据双曲线离心率求得c a ,进而求得ba,由此求得渐近线方程.由于双曲线离心率为,故c a =,即=,解得2b a =,故渐近线方程为2y x =±.故选D.本小题主要考查双曲线离心率,考查双曲线渐近线方程的求法,属于基础题.8.甲、乙、丙,丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有两位优秀,两位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( ) A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩【参考答案】A 【试题解析】根据甲的所说的话,可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好,再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好,又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立,即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好, 又乙看了丙的成绩,则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩,又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好,则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此,乙、丁知道自己的成绩,故选A.本题考查简单的合情推理,解题时要根据已知的情况逐一分析,必要时可采用分类讨论的思想进行推理,考查逻辑推理能力,属于中等题.9.已知A ,B 是椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点,M 是E 上不同于A ,B 的任意一点,若直线AM ,BM 的斜率之积为49-,则E 的离心率为()C.23【参考答案】D 【试题解析】由题意方程可知,(,0),(,0)A a B a -,设00(,)M x y ,利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49-列式并化简得:2022049y x a =-- ,①,再根据M 在椭圆上可得2202220y b x a a =-- ,②,联立①②可解得.由题意方程可知,(,0),(,0)A a B a -, 设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,,整理得:2022049y x a =--,① 又2200221x y a b+=,得2222002()b y a x a =-,即2202220y b x a a =--,②联立①②,得2249b a -=-,即22249a c a -=,解得5e =. 故选D .本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题.10.已知抛物线C :y 2＝8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则|QF |＝( )A.72B.52C. 3D. 2【参考答案】C 【试题解析】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′,利用抛物线定义以及相似得到|QF |＝|QQ ′|＝3. 如图所示:过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′,因为4FP FQ =, 所以|PQ |∶|PF |＝3∶4,又焦点F 到准线l 的距离为4, 所以|QF |＝|QQ ′|＝3. 故选C.本题考查了抛物线的定义应用,意在考查学生的计算能力.11.对于函数()2ln xf x x=,下列说法正确的是( ) A. ()f x 在x e =12eB. ()f x 有两个不同的零点C. ()(23f f f π<<D. 若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立,则2e k >【参考答案】ACD 【试题解析】对于选项A 、C,只需研究()f x 的单调性即可；对于选项B,令()0f x =解方程即可；对于选项D,采用分离常数,转化为函数的最值即可.由已知,()3'12ln x fx x-=,令'()0f x >得0x <<令'()0f x <得x >故()f x在上单调递增,在)+∞单调递减,所以()f x 的极大值为12f e=,A 正确；又令()0f x =得ln 0x =,即1x =,当()(),0,x f x f x →+∞→∴只有1个零点,B 不正确；2>>>所以()2f ff <<,故C 正确；若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立,即()21f x k x +<在()0,∞+上恒成立,设()221ln 1()x g x f x x x +=+=,'32ln 1()x g x x--=,令'()0g x >得120x e -<<,令'()0g x <得12x e ->,故()g x 在12(0,)e -上单调递增,在12(,)e -+∞单调递减,所以12max ()()2eg x g e -==,2e k >,故D 正确. 故选:ACD本题考查利用导数研究函数的性质,涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题,考查学生的逻辑推理能力,是一道中档题.12.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面的中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周)若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( )A.6B.5C.2D.4【参考答案】C 【试题解析】建立空间直角坐标系,写出点的坐标,设出动点的坐标,利用向量的坐标公式求出向量坐标,利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程,得到P 的轨迹是底面圆的弦,利用勾股定理求出弦长.建立空间直角坐标系.设A (0,﹣1,0),B (0,1,0),S (0,0,3),M (0,0,32),P (x ,y ,0). 于是有AM =(0,1,32),MP =(x ,y ,32-). 由于AM ⊥MP ,所以(0,1,3)•(x ,y ,3-)＝0, 即y 34=,此为P 点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为22371()4-=. 故选C .本题考查通过建立坐标系,将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法.属中档题 二.填空题(每小题5分,共20分)13.曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________. 【参考答案】30x y -=. 【试题解析】本题根据导数的几何意义,通过求导数,确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程详解:/223(21)3()3(31),xxxy x e x x e x x e =+++=++所以,/0|3x k y ===所以,曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =,即30x y -=.准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,二导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求. 14.已知函数21()(0)2xf x e f x x =-+,则(1)f '=__________. 【参考答案】e 【试题解析】()()()()21()(0)01012x x f x e f x x f x e f x f e f ''=-+∴=-+∴=-+,令0x =得()01f =所以(1)e f15.若椭圆221123x y +=的一条弦被点()2,1平分,则这条弦所在的直线方程是__________.【参考答案】240x y +-= 【试题解析】设弦的两个端点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,代入椭圆的方程,两式相减求得直线的斜率,利用直线的点斜式方程,即可求解.设弦的两个端点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则222211221,1123123x y x y +=+=,两式相减可得12121212()()()()123x x x x y y y y -+-+=-,所以12121212414()422y y x x x x y y -+=-=-=--+⨯,即弦AB 所在直线的斜率为12-,直线方程为11(2)2y x -=--, 整理得240x y +-=,即弦所在的直线方程是240x y +-=.本题主要考查了椭圆的几何性质,以及利用“点差法”求解过中点的直线方程,其中解答中熟记中点弦的性质,合理利用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键,着重考查运算与求解能力.16.已知a 为常数,函数()()ln 2f x x x ax =-有两个极值点,则a 的取值范围为_________. 【参考答案】1(0,)4【试题解析】求得函数的导数,把函数()f x 有2个极值点,所以()0f x '=有两个不相等的实数根,构造新函数()ln 41g x x ax =-+,求得函数()g x 的单调性与极值,列出不等式,即可求解. 由题意,函数()()ln 2f x x x ax =-的定义域为(0,)+∞, 则()1ln 2(2)ln 41f x x ax x a x ax x'=-+-=-+,因为函数()f x 有2个极值点,所以()ln 410f x x ax '=-+=有两个不相等的实数根, 令()ln 41g x x ax =-+,则()1144,0ax g x a x x x-'=-=>, 若0a ≤时,()0g x '>,所以函数()g x 单调递增,所以函数()0g x =在(0,)+∞上不可能有两个实数根,(舍去)； 若0a >时,令()0g x '=,即140axx -=,解得14x a=, 当104x a<<时,()0g x '>,此时函数()g x 单调递增, 当14x a>时,()0g x '<,此时函数()g x 单调递减, 所以当14x a=时,函数()g x 求得极大值,极大值为11()ln 44g a a =,又由0x →时,()g x →-∞,x →+∞时,()g x →-∞, 要使得()0g x =在区间(0,)+∞有两个不相等的实数根,则满足11()ln 044g a a =>,解得104a <<, 即实数a 的取值范围是1(0,)4.故答案为:1(0,)4.本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值,其中解答中把函数()f x 有两个极值点,转化为()0f x '=有两个不相等的实数根是解答的关键,着重考查了等价转化思想,以及推理与运算能力.三.解答题.(共70分)17.已知命题p :“方程22191x y kk +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”,命题q :“方程2212x y k k+=-表示双曲线”. (1)若p 是真命题,求实数k 的取值范围；(2)若命题p 和q 都是真命题,求实数k 的取值范围. 【参考答案】(1)15k <<(2)25k << 【试题解析】(1)根据方程表示焦点在x 轴上的椭圆得到9110k k k ->-⎧⎨->⎩,计算得到答案.(2)命题q 为真命题时满足2k >或k 0<,求交集得到答案.(1)命题p :“方程22191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”,则9110k k k ->-⎧⎨->⎩,解得15k <<.(2)命题q :“方程2212x yk k+=-表示双曲线”,则()20k k -<,解得2k >或k 0<.若“p 和q ”都是真命题,1520k k k <<⎧⎨><⎩或,所以25k <<.本题考查了根据命题的真假求参数范围,意在考查学生的计算能力. 18.已知函数()()323f x ax bx=+,1x =时有极大值3.(1)求a 、b 的值；(2)求函数()f x 在[]1,3-上的最值.【参考答案】(1)2a =-,3b =；(2)最大值()115f -=,最小值()381f =-.【试题解析】(1)求出函数()y f x =的导数()f x ',由题意得出()()1310f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩,列出a 、b 的方程组,可解出实数a 、b 的值；(2)由(1)得出()3269f x x x '=-+,利用导数求出函数()y f x =在区间[]1,3-上的极值,并与端点函数值比较大小,可得出函数()y f x =在区间[]1,3-上的最大值和最小值. (1)()()323f x ax bx =+,()296f x ax bx '∴=+, 由题意得()()13331960f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+='⎪⎩,解得23a b =-⎧⎨=⎩；(2)由(1)知()3269f x x x =-+,则()()21818181f x x x x x '=-+=--. 令()0f x '=,得0x =或1x =,列表如下:因此,函数()y f x =在区间[]1,3-上的最大值()115f -=,最小值()381f =-.本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值,解题时要注意导数与极值、最值之间的关系,同时要注意导数求函数最值的基本步骤,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 19.(2017新课标全国Ⅲ理科)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD =∠CBD ,AB =BD.(1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D –AE –C 的余弦值.【参考答案】(1)见解析；7. 【试题解析】试题分析:(1)利用题意证得二面角的平面角为90°,则可得到面面垂直；(2)利用题意求得两个半平面的法向量,然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D –AE –C 7. 试题解析:(1)由题设可得,ABD CBD ≌△△,从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形,所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ,连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO . 又由于ABC 是正三角形,故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中,222BO AO AB +=.又AB BD =,所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==, 故90DOB ∠=. 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知,,,OA OB OD 两两垂直,以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴正方向,OA 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,即E 为DB 的中点,得312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()311,0,1,2,0,0,1,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量,则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,310.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩可取3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n . 设m 是平面AEC 的法向量,则00m AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取(0,3=-m .则7cos ,7⋅==n m n m n m . 所以二面角D -AE -C 的余弦值为77. 【名师点睛】(1)求解本题要注意两点:一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想进行向量运算时,要认真细心,准确计算.(2)设m ,n 分别为平面α,β的法向量,则二面角θ与,m n 互补或相等,故有cos cos ,m nm n m nθ⋅==.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. 20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F (1,0),O 为坐标原点,A ,B 是抛物线C 上异于 O 的两点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 过点(8,0),求证:直线OA ,OB 的斜率之积为定值 【参考答案】(1)24y x =；(2)详见解析. 【试题解析】(1)根据抛物线方程和焦点坐标得12p=,从而可得抛物线方程；(2)当AB 斜率不存在时,求出交点坐标,从而得到12OA OB k k ⋅=-；当AB 斜率存在时,联立直线方程与抛物线方程,可得韦达定理的形式,列出OA OB k k ⋅,代入韦达定理,整理可得12OA OB k k ⋅=-,从而可证得结论. (1)抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为()1,0 12p∴= 即2p = ∴抛物线C 的方程为24y x =(2)证明:①当直线AB 的斜率不存在时,即:8AB x = 可得直线AB 与抛物线交点坐标为:(8,±1882OA OBk k ⎛∴⋅=-⨯=- ⎝⎭②当直线AB 的斜率存在时,设AB 方程为()8y k x =-,()(),,,A A B B A x y B x y联立方程组()248y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 得:()2222416640k x k x k -++=则:22416A B k x x k++=,64A B x x = ()()()2286488A B A B A B A B OA OBA BA BA Bk x x x x k x x y yk k x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦∴⋅===222416648641642k k k ⎛⎫+-⨯+ ⎪⎝⎭==-综合①②可知,直线OA ,OB 的斜率之积为定值12-本题考查抛物线方程的求解、抛物线中的定值问题.解决定值问题的关键是能够通过直线与圆锥曲线方程联立,利用韦达定理表示出所求的值,通过整理消元得到所求定值.21.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点到两焦点12F F 距离之和为42,离心率为32. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.点(2,1)P 为椭圆上一点,求PAB △的面积的最大值. 【参考答案】(1)；(2)2【试题解析】试题分析:(1)由椭圆定义,椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数242a =,又因为32e =,从而求得即可得椭圆的标准方程；(2)设的方程为,把其与椭圆的方程联立,求出弦长25(4)AB m =-为△PAB 的底,由点线距离公式求出△PAB 的高25m d =,,表示出三角形的面积,然后用基本不等式求最值即可试题解析:(1)由条件得:,解得,所以椭圆的方程为(2)设的方程为,点由消去得.令,解得,由韦达定理得.则由弦长公式得22121211()45(4)4AB x x x x m =+⨯+-=-. 又点P 到直线的距离,∴,当且仅当,即时取得最大值.∴△PAB 面积的最大值为2.【知识点】圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值.【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知；有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.22.已知函数()ln ()af x x a R x=+∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当0a >时,若函数()f x 在[1,]e 上的最小值是2,求a 的值. 【参考答案】(1)见解析；(2),a e =. 【试题解析】(1)求得()2x af x x ='-,分类讨论,即可求解函数的单调性； (2)当1a ≤时,由(1)知()f x 在[]1,e 上单调递增,分1a e <<和a e ≥两种情况讨论,求得函数的最小值,即可求解.(1)定义域为()0,+∞,求得()221a x a f x x x x='-=-, 当0a ≤时,()0f x '>,故()f x 在()0,+∞单调递增 ,当0a >时,令()0f x '=,得 x a =,所以当()0,x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减 当(),x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增.(2)当1a ≤时,由(1)知()f x 在[]1,e 上单调递增,所以 ()()min 12f x f a ===(舍去), 当1a e <<时,由(1)知()f x 在[]1,a 单调递减,在[],a e 单调递增 所以()()min ln 12f x f a a ==+=,解得a e = (舍去),当a e ≥时,由(1)知()f x 在[]1,e 单调递减, 所以()()min ln 12a af x f e e e e==+=+=,解得a e = , 综上所述,a e =.本题主要考查了导数在函数中的应用,其中解答中熟记函数的导数与函数的关系,准确判定函数的单调性,求得函数的最值是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.。

安庆二中2018-2019学年度第二学期高二年级开学检测理科数学试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．命题“∃x 0∈R ，x ＞1”否定是（ ）A ．∀x ∈R ，x ＞1B ．∃x 0∈R ，x 0≤1C．∀x ∈R ，x ≤1D．∃x 0∈R ，x 0＜12．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B．C ．D． 3．双曲线﹣x 2＝1过点（，4），则它的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y＝x C ．y ＝±4x D ．y＝x4.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学。

“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，A. 4 B ．5 C ． 6 D ．75．设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．既不充分也不必要条件C．充要条件D ．必要而不充分条件6．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据 的平均数为10，方差为2，则|x ﹣y|的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，空间四边形OABC 中，＝，＝，＝，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则＝（ ）A ．﹣++B ．﹣+C ．+﹣D ．+﹣8．若在区间]3,3[-内任取一个实数m ，则使直线0=+-m y x 与圆4)2()1(22=++-y x 有公共点的概率为（）A 、31B 、53C 、32D 、322 9．已知正方形ABCD 的顶点A ，B 为椭圆的焦点，顶点C ，D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线﹣y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．B ．C ．1D ．11．若动圆与圆（x ﹣3）2+y 2＝1外切，又与直线x +2＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．y 2＝12xB ．y 2＝﹣12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝﹣6x12．已知椭圆M ： +y 2＝1，圆C ：x 2+y 2＝6﹣a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则的取值范围为（ ）A ．（1，6）B ．（1，5）C ．（3，6）D ．（3，5）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分） 13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题．“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人．则西乡遣人”．14．若椭圆的方程为+＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝．15．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电。

安庆二中高二数学周考（九）一、选择题（本大题共8小题，共48.0分）1. 下列说法正确的是（ ）A. 若命题p:01,:,01,20200>++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x 均有则使得B. 若一定是真命题是真命题，则p q p ""∨C. 的必要不充分条件是则已知"121""1",<⎪⎭⎫ ⎝⎛>∈x x R x D. 的逆命题为真命题则若命题"sin sin ,"y x y x ≠≠2的取值范围是实数的必要不充分条件，则是且命题已知命题a p q a x q p x ⌝⌝>≥-,:.42:|1|（ ）A. [)+∞,3B.(]3,∞-C.[)+∞-,1D.(]1,-∞-3.已知曲线C 的方程为给定下列两个命题：,192522=-+-k y k x 为椭圆则曲线若C k p ,259:<<.9:<k x C q 轴上的双曲线，则是焦点在若曲线那么，下列命题为真命题的是（ ）A.q p ∧B.()q p ⌝∧C.()q p ∧⌝D.()()q p ⌝∧⌝4. ()为椭圆上的一点，为右顶点，的左焦点，是椭圆已知P A b a by a x F 012222>>=+则该椭圆的离心率是轴，若|,|43||AF PF x PF =⊥（ ） A.41 B.31 C.21 D.225. 椭圆()，若椭圆上不存在点的两个焦点分别为P F F b a by a x ,2,1012222>>=+ 使得的取值范围是是钝角，则椭圆离心率21PF F ∠（ ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 6.椭圆()斜率为为中点的弦所在的直线中，以点1,216822M y x =+（ ） A.43- B.83- C.23- D.34- 7.点P 的坐标()()的最大值为则点满足方程||1,0,148,22PB B y x y x =+ A. 1 B. 3 C.10 D.328. 已知椭圆()为其右焦点，关于原点的对称点上一点F B A b a by a x ,012222>>=+若,BF AF ⊥的取值范围为则该椭圆离心率且设e a a ABF ,4,6,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=∠ππ（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13,22B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,22D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡36,33二．填空题（本大题共4小题，共24.0分）9.过椭圆两点，交椭圆于做直线的左焦点B A l F y x ,11422=+是椭圆的右焦点2F 则的周长为2ABF ∆10.已知椭圆C:的两个焦点，是椭圆，C F F y x 2,11422=+是该椭圆的一个动点P ，则的取值范围是11.已知椭圆()为椭圆的右焦点，内有一点F P y x ,1,113422-=+为椭圆的一个M 动点， 则的最大值为||||MF MP +12. 已知椭圆()为椭圆的上点的左右焦点分别为A F F b a by a x ,2,1012222>>=+顶点，B 是直线AF2与椭圆的另一个交点，且a B AF AF F ，则的面积为，34016021∆︒=∠的值是三．解答题（本大题共2小题，共28.0分）13. 已知椭圆C:()()，离心率为的一个顶点22,0,2012222A b a by a x >>=+直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于不同的两点M,N(1) 求椭圆的方程；(2) 当△AMN 的面积为310时，求实数k 的值。

安庆二中2018-2019学年度第二学期高二年级开学检测物理试题(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。

1～8题为单项选择题，9～12题为多项选择题)1.下列装置中，没有利用带电粒子在磁场中发生偏转的物理原理的是()2.下列说法正确的是( ) A.将通电直导线放在某处，若通电直导线所受安培力为零，则该处的磁感应强度为零B.磁场中某点的磁场方向，与放在该点的极短的通电导线所受安培力的方向可以成任意夹角C.磁场中某点的磁场方向，与放在该点的小磁针北极受到的磁场力的方向相同D.给两平行直导线通以方向相反的电流时，两通电导线通过磁场相互吸引3. 静电场中某电场线如图所示。

把点电荷从电场中的A 点移到B 点，其电势能增加1.2×10－7 J ，则该点电荷的电性及在此过程中电场力做功分别为( )A.正电 －1.2×10－7 JB.负电 －1.2×10－7 JC.正电 1.2×10－7 JD.负电 1.2×10－74. 如图所示，真空中有等量异种点电荷＋Q 、－Q分别放置在M 、N 两点，在MN的连线上有对称点a 、c ，MN 连线的中垂线上有对称点b 、d ，则下列说法正确的是( )A. 在MN 连线的中垂线上，O 点电势最高B. 正电荷＋q 从b 点移到d 点的过程中，受到的电场力先减小后增大C. 正电荷＋q 在c 点电势能大于在a 点电势能D. 正电荷＋q 在c 点电势能小于在a 点电势能5. 如图所示，A 和B 均可视为点电荷，A 固定在绝缘支架上，B 通过绝缘轻质细线连接 在天花板上，由于二者之间库仑力的作用，细线与水平方向成30°角。

A 、B 均带正电，电荷量分别为Q 、q ，A 、B 处于同一高度，二者之间的距离为L 。

已知静电力常量为k ，重力加速度为g 。

则B 的质量为( )A.kQq gL 2B.2kQqgL 2 C.3kQqgL 2 D.3kQq3gL2 6. 如图所示，电源电动势为E ，内阻为r ，电表为理想电表，灯泡L 和电阻R 阻值均恒定，在滑动变阻器的滑片由a 端滑向b 端的过程中，下列说法正确的是( )A.灯泡消耗的功率逐渐增大B.电压表、电流表示数均减小C.电源消耗的总功率增大，热功率减小D.电压表示数变化量与电流表示数变化量比值的绝对值恒定不变第6题图 第7题图 第8题图7.阻值相等的四个电阻、电容器C 及电池E (内阻可忽略)连接成如图所示电路。