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与圆有关的证明及计算巩固集训1. (2016某某)已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ︵＝AC ︵，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，AE ＝BD .(1)求证：AD ＝CE ；(2)如果点G 在线段DC 上(不与点D 重合)，且AG ＝AD ，求证：四边形AGCE 是平行四边形．第1题图2. (2016某某)如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝CD ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F .(1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵的长．(结果保留π)第2题图3. (2016某某射阳县二模)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，D 是劣弧AC 上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求⊙O的面积．第3题图4. (2016某某一模)如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1)求证：∠CAD＝∠BAC；(2)如图②，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．第4题图5. (2016某某启东市二模)如图，已知扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，弦AB ＝23，点M 是AB ︵上任意一点(与端点A 、B 不重合)，ME ⊥AB 于点E ，以点M 为圆心、ME 长为半径作⊙M ，分别过点A 、B 作⊙M 的切线，两切线相交于点C .(1)求AB ︵的长；(2)试判断∠ACB 的大小是否随点M 的运动而改变？若不变，请求出∠ACB 的大小；若改变，请说明理由．第5题图6. (2016某某)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 是AB 边上的一点，以OA 为半径的⊙O 与边BC 相切于点E .(1)若AC ＝5，BC ＝13，求⊙O 的半径．(2)过点E 作弦EF ⊥AB 于M ，连接AF ，若∠F ＝2∠B ，求证：四边形ACEF 是菱形．第6题图7. (2016呼和浩特)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：∠FBC＝∠FCB；(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．第7题图8. (2016某某)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠F＝30°，EB＝4，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．第8题图9. (2016某某模拟)如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D是BC边上一动点，以AD为直径的⊙O 分别交AB、AC于点E、F.(1)如图①，若∠AEF＝∠C，求证：BC与⊙O相切；(2)如图②，若∠BAC＝90°，BD长为多少时，△AEF与△ABC相似．第9题图10. (2016某某)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.(1)求证：AE＝BF；(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．第10题图答案1. 证明：(1)在⊙O 中，∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ，∵∠B ＝∠ACB ，∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠EAC ，在△ABD 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CA ∠B＝∠EAC BD ＝AE，∴△ABD ≌△CAE (SAS)，∴AD ＝CE ；(2)如解图，连接AO 并延长，交BC 于点H ，在BC 上找一点G ，连接AG ，使AG ＝AD ，第1题解图∵AB ︵＝AC ︵，OA 为半径，∴AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ，∵AD ＝AG ，∴DH ＝HG ，∴BH －DH ＝CH －GH ，即BD ＝CG ，∵BD ＝AE ，∴CG ＝AE ，∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形．2. (1)证明：如解图，连接OD ，第2题解图∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，∴OD ⊥DF ，∴∠ODF ＝90°，∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°，∴DF ⊥AC ；(2)解：∵∠CDF ＝30°，由(1)得∠ODF ＝90°，∴∠ODB ＝180°－∠CDF －∠ODF ＝60°. ∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴∠BOD ＝60°，∴BD ︵的长＝n πr 180＝60π×5180＝53π.3. (1)证明：∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，又∵∠ADC ＋∠CDF ＝180°，∴∠CDF ＝∠ABC ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， ∵∠ADB ＝∠ ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF ，∵∠ADB ＝∠EDF ，∴∠EDF ＝∠CDF ，即AD 的延长线DF 平分∠CDE ；(2)解：如解图，连接AO 并延长交BC 于点H ，交⊙O 于点M ，连接OC ，第3题解图∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴AH ⊥BC ，∴∠OAC ＝∠OAB ＝12BAC ＝12×30°＝15°， ∴∠COH ＝2∠OAC ＝30°，设⊙O 的半径为r ，在Rt △OCH 中，则OH ＝OC ·cos 30°＝32r ， ∵△ABC 中BC 边上的高为2＋3，∴AH ＝OA ＋OH ＝r ＋32r ＝2＋3，解得r＝2.∴S＝πr2＝4π.∴△ABC的外接圆的面积为4π.4. (1)证明：如解图①，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，易得∠OCA＝∠OAC，∵AD⊥EF，OC⊥EF，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC；第4题解图(2)解：与∠CAD相等的角是∠BAG.证明如下：如解图②，连接BG.∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，∴∠ABG＋∠ACG＝180°，∵D，C，G三点共线，∴∠ACD＋∠ACG＝180°，∴∠ACD＝∠ABG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG＋∠ABG＝90°，∵AD⊥EF，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BAG .5. 解：(1)过点O 作OH ⊥AB 于点H ，如解图，则AH ＝12AB ＝3， ∵∠AOB ＝120°，∴∠OAH ＝30°，∴AO ＝AH cos30°＝2， ∴lAB ︵＝120π·2180＝4π3；第5题解图(2)如解图，连接AM 、BM ，∵ME ⊥AB ，∴AB 是⊙M 的切线，∵AC 、BC 是⊙M 的切线，∴⊙M 是△ABC 的内切圆，∴AM 、BM 是∠CAB 、∠ABC 的平分线，∴∠AMB ＝180°－(∠MAB ＋∠MBA )＝180°－12(∠CAB ＋∠ABC )＝180°－12(180°－∠ACB )， ∴∠AMB ＝90°＋12∠ACB ， ∵∠AOB ＝120°，∴∠AMB ＝120°，∴∠ACB ＝60°，即∠ACB 的大小不变，为60°.6. (1)解：如解图，连接OE ，设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OE ＝r . 在Rt△ABC 中，由勾股定理得AB ＝BC 2－AC 2＝132－52＝12，第6题解图∵⊙O 与BC 边相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∴∠OEB ＝∠CAB ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△BOE ∽△BCA ，∴BO BC ＝OECA ，即12－r13＝r5，解得r ＝103.所以⊙O 的半径为103.(2)证明：分别连接OE 、OF ，如解图，∵BC ⊥OE ，∴∠B ＋∠BEF ＝∠OEF ＋∠BEF ，∴∠B ＝∠OEF ，∵OE ＝OF ，∴∠OFE ＝∠OEF ＝∠B ，∵∠F ＝2∠B ，∴∠OFA ＝∠AFE －∠OFE ＝2∠B －∠B ＝∠B ，又∵OA ＝OF ，∴∠OAF ＝∠OFA ＝∠B ，∴AF ∥CB ，∵CA⊥AB，EF⊥AB，∴CA∥EF，∴四边形AFEC是平行四边形．连接OC，如解图，∵AO＝EO，∠CAO＝∠CEO＝90°，CO＝CO，∴Rt△AOC∽Rt△EOC.∴CA＝CE，∴平行四边形AFEC是菱形．7. (1)证明：∵四边形AFBC是圆的内接四边形，∴∠FBC＋∠FAC＝180°，又∵∠CAD＋∠FAC＝180°，∴∠FBC＝∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD＝∠FBC，又∵∠EAD＝∠FAB，∴∠FAB＝∠CAD＝∠FBC，又∵∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB.(2)解：由(1)知∠FBC＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠FAB，∴∠FAB＝∠FBC，又∵∠BFA＝∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴BFDF＝FAFB，即BF2＝FA·FD＝12，解得：BF＝23，∴FD ＝6，AD ＝4，∵AB 为圆的直径，∴∠BFA ＝∠BCA ＝90°，∴tan ∠FBA ＝AFBF ＝223＝33，∴∠FBA ＝30°，由△AFB ∽△BFD 得，∠FBA ＝∠FDB ，∴∠FDB ＝30°，∴CD ＝AD ·cos 30°＝2 3.8. (1)证明：如解图，连接OD ，第8题解图∵四边形OBEC 是平行四边形，∴OC ∥BE ，∴∠AOC ＝∠OBE ，∠COD ＝∠ODB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠DOC ＝∠AOC ，在△COD 和△COA 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OC∠COD＝∠COA OD ＝OA，∴△COD ≌△COA (SAS )，∴∠CAO ＝∠CDO ＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；(2)解：∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠DOF＝∠AOC＝∠COD＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠DBO＝60°，∵∠DBO＝∠F＋∠FDB，∴∠FDB＝∠EDC＝30°，∵EC∥OB，∴∠E＝180°－∠OBD＝120°，∴∠ECD＝180°－∠E－∠EDC＝30°，∴EC＝ED＝BO＝DB，∵EB＝4，∴OB＝OD＝OA＝2，在Rt△AOC中，∵∠OAC＝90°，OA＝2，∠AOC＝60°，∴AC＝OA·tan60°＝23，∴S阴＝2S△OAC－S扇形OAD＝2×12×2×23－120π·22360＝43－4π3.9. (1)证明：如解图，连接DF，在⊙O中∠AEF＝∠ADF，第9题解图又∵∠AEF＝∠C，∴∠ADF＝∠C，∵AD为⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∴∠CFD＝90°，∴∠C＋∠CDF＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，又∵AD为⊙O的直径，∴BC与⊙O相切；(2)解：分两种情况：①若△AEF∽△ACB，则∠AEF＝∠C，由(1)知BC与⊙O相切，∴设BD＝x，∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴由勾股定理得BC＝10，∴DC＝10－x，∴根据勾股定理得62－x2＝82－（10－x）2，解得x，∴BD＝3.6；②若△AEF∽△ABC，∴∠AEF＝∠B，∴EF∥BC，∵∠EAF为直角，∴EF为直径，∴△AEO∽△ABD，∴EABA＝EOBD＝AOAD＝12，∴BD＝2EO＝EF，∵△AEF∽△ABC，∴EF BC ＝EA BA ＝12，即BD ＝2EO ＝EF ＝12BC ＝5.10. (1)证明：如解图，连接BD ，第10题解图在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°， AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ＝45°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即BD ⊥AC ，∴AD ＝DC ＝BD ＝12AC ，∠CBD ＝∠C ＝45°，∴∠A ＝∠FBD ，∵DF ⊥DG ，∴∠FDG ＝90°，∴∠FDB ＋∠BDG ＝90°，∵∠EDA ＝∠BDG ＝90°，∴∠EDA ＝∠FDB ，在△AED 和△BFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠FBDAD ＝BD ∠EDA＝∠FDB，∴△AED ≌△BFD (ASA)，∴AE ＝BF ；(2)证明：如解图，连接EF ，BG ，∵△AED ≌△BFD ，∴DF ＝DE ，∵∠EDF ＝90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DEF ＝45°，∵∠G ＝∠A ＝45°，∴∠G ＝∠DEF ，∴GB ∥EF ；(3)解：∵AE ＝BF ，AE ＝1，∴BF ＝1，在Rt △EBF 中，∠EBF ＝90°，∴根据勾股定理得：EF 2＝EB 2＋BF 2， ∵EB ＝2，BF ＝1，∴EF ＝22＋12＝5，∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF ＝90°， ∴cos ∠DEF ＝DE EF ，∵EF ＝5，∴DE ＝5×22＝102，∵∠G ＝∠A ，∠GEB ＝∠AED ，∴△GEB ∽△AED ， ∴GEAE ＝EBED ，即GE ·ED ＝AE ·EB ， ∴102·GE ＝2，即GE ＝2105，则GD ＝GE ＋ED ＝91010.。
第28课 和圆有关的计算第一部分 讲解部分（一）课标要求1.会计算圆的弧长、扇形的面积。
2.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
（二）知识要点1.圆的弧长、扇形面积及圆锥侧面积的计算： （1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π==（n 指圆心角，R 指扇形多对应的圆的半径，l 指扇形弧长，S 指扇形面积）；（3）圆锥的侧面积：rl S π=侧（ｒ指底面圆的半径，l 指母线长）。
2.圆内正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R n ， 边心距r n ，边长a n ，内角βn ， 边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行.（三）考点精讲考点一 ：求弧长例1 （2010年江苏省苏州市）如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O 、A 、B 分别是小正方形的顶点，则扇形OAB 的弧长等于 ．(结果保留根号及π)．分析:本题可以直接根据弧长公式180n Rl π=求解。
解: 由格点图可知，扇形OAB 的圆心角等于90°，弧AB 所在的圆O 的半径等于22，根据弧长公式得弧AB 的长度是：ππ21802290=⨯． 评注：求一条弧的弧长，一般要知道两个量：（1）这条弧所在的圆的半径；（2）这条弧所对的圆心角．考点二 ：求扇形的面积αnβnABCDEOa r n nnR例2 （2010年山东省菏泽市）如图，△OAB 中，OA=OB ，∠A=30°,⊙O 经过AB 的中点E 分别交OA 、OB 于C 、D 两点 ，连结CD ，且CD=34，求扇形OCED 的面积．分析：先求出扇形所在圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式求解。
解：连接OE ，∵OA =OB ，E 是AB 的中点，∴OE ⊥AB . 在△OAB 和△OCD 中，∠COD =∠AOB ,OC =OD ,OA =OB ,∴∠OCD =∠OAB ,∴CD ∥AB .又∵∠A =30°,∴∠OCD =30°,OE ⊥CD ,CF =23,∠COD =120°,OC =2332=4,S 扇形OCED=120π×1616π3603=.评注：本题利用扇形的面积计算公式解决问题．扇形的面积公式是：3602R n S π=扇形，计算扇形的面积，首先要根据已知条件求扇形所在的圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式计算即可．考点三 ：圆内正多边形的有关计算例3（2011年安徽省芜湖市）如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为_______。
课时训练(二十八)与圆有关的位置关系(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2018·常州]如图K28-1,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为()图K28-1A.76°B.56°C.54°D.52°2.如图K28-2,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sin E的值为 ()图K28-2A.B. C.D.3.[2017·吉林]如图K28-3,直线l是☉O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交☉O于点C,若AB=12,OA=5,则BC的长为()图K28-3A.15B.6C.7D.84.[2017·日照]如图K28-4,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是()图K28-4A.5B.5C.5D.5.如图K28-5,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是()图K28-5A.6B.2+1C.9D.6.在周长为26π的☉O中,CD是☉O的一条弦,AB是☉O的切线,且AB∥CD,若AB和CD之间的距离为18,则弦CD的长为.7.如图K28-6,一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为.图K28-68.如图K28-7,给定一个半径长为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1点的个数记为m.如d=0,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4,由此可知:(1)当d=3时,m= ;(2)当m=2时,d的取值范围是.图K28-79.如图K28-8,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A.若∠MAB=30°,则∠B= °.图K28-810.如图K28-9,AB为☉O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切☉O于点C,B是的中点,弦CF交AB于点E.若☉O的半径为2,则CF= .图K28-911.如图K28-10所示,直线l与半径为4的☉O相切于点A,P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则x-y的最大值是.图K28-1012.[2017·宿迁]如图K28-11,AB与☉O相切于点B,BC为☉O的弦,OC⊥OA,OA与BC相交于点P.(1)求证:AP=AB;(2)若OB=4,AB=3,求线段BP的长.图K28-1113.[2018·苏州]如图K28-12,AB是☉O的直径,点C在☉O上,AD垂直于过点C的切线,垂足为D,CE垂直AB,垂足为E.延长DA交☉O于点F,连接FC,FC与AB相交于点G,连接OC.(1)求证:CD=CE;(2)若AE=GE,求证:△CEO是等腰直角三角形.图K28-12|拓展提升|14.[2018·泰州]如图K28-13,△ABC中,∠ACB=90°,sin A=,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P 为线段A'B'上的动点,以点P为圆心,PA'长为半径作☉P,当☉P与△ABC的边相切时,☉P的半径为.图K28-1315.[2018·扬州]如图K28-14,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.图K28-14参考答案1.A2.A[解析] 连接OC.∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE,∵∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=60°,∴∠E=90°-∠BOC=30°,∴sin E=sin30°=.故选A.3.D[解析] 由切线的性质得OA⊥AB,∵OA=5,AB=12,∴由勾股定理得BO=13,由圆的性质知OC=OA,∴BC=BO-OC=13-5=8.4.A[解析] 过点O作OD⊥AC于点D,由已知条件和圆的性质易求OD的长,再根据勾股定理即可求出AD的长,进而可求出AC的长.过点O作OD⊥AC于点D,∵AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,∴AB⊥AP,∴∠BAP=90°,∵∠P=30°,∴∠AOP=60°,∴∠AOC=120°,∵OA=OC,∴∠OAD=30°,∵AB=10,∴OA=5,∴OD=AO=2.5, ∴AD==,∴AC=2AD=5,故选A.5.C[解析] 如图,设半圆O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC,垂足为P1,交半圆O于Q1,此时垂线段OP1最短,即此时PQ取得最小值,为P1Q1=OP1-OQ1,∵AB=10,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2,∴∠C=90°,∵∠OP1B=90°,∠OEC=90°,∴OP1∥AC,OE∥BC.∵AO=OB,∴P1C=P1B,AE=EC,∴OP1=AC=4,OE=BC=3,∴P1Q1=OP1-OQ1=4-3=1.当Q2在AB边上,P2与B重合时,PQ取得最大值,为P2Q2=5+3=8,∴PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C.6.24[解析] 如图,设AB与☉O相切于点F,连接OF,OD,延长FO交CD于点E.设☉O的半径为R,∵2πR=26π,∴R=13,∴OF=OD=13,∵AB是☉O的切线,∴OF⊥AB,∵AB∥CD,∴EF⊥CD,即OE⊥CD,∴CE=ED,∵EF=18,OF=13,∴OE=5,在Rt△OED中,∵∠OED=90°,OD=13,OE=5,∴ED===12,∴CD=2ED=24.7.528.(1)1(2)1<d<39.6010.2[解析] 如图,连接OC.∵DC切☉O于点C,∴∠OCD=90°.∵BD=OB,∴OB=OD.∵OC=OB,∴OC=OD,∴∠D=30°,∴∠COD=60°.∵AB为☉O的直径,B是的中点,∴CF⊥OB,CE=EF,∴CE=OC·sin60°=2×=,∴CF=2.11.2[解析] 如图,作☉O的直径AC,连接PC,所以∠APC=∠ABP=90°.因为直线l与☉O相切于点A,所以∠CAB=90°,所以AC∥BP,所以∠CAP=∠BPA,所以△ABP∽△CPA,可得AP2=AC·BP,则有y=BP=,所以x-y=x-=-(x-4)2+2,则当x=4时,x-y有最大值,最大值是2.12.解:(1)证明:∵AB与☉O相切,∴OB⊥AB,∠ABP+∠OBC=90°,∵CO⊥AO,∴∠C+∠CPO=90°,∵OB=OC,∴∠C=∠OBC,∴∠ABP=∠CPO=∠APB,∴AP=AB.(2)如图,过点A作AD⊥BP于D点,∴∠ADP=90°.由(1)得:AP=AB,∴PD=BP,∵∠ABO=90°,OB=4,AB=3,∴OA=5,OP=OA-AP=2,∴CP=2,∵∠ADP=∠COP,∠APD=∠CPO,∴△ADP∽△COP,∴=,即PD=,∴PB=.13.证明:(1)连接AC.∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴∠DCO=∠D=90°.∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO.又∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO.又∵CE⊥AB,∴∠CEA=90°.在△CDA和△CEA中,∵∠D=∠CEA,∠DAC=∠EAC,AC=AC,∴△CDA≌△CEA(AAS),∴CD=CE.(2)连接BC.∵△CDA≌△CEA,∴∠DCA=∠ECA.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG.∴∠ECA=∠ECG.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵CE⊥AB,∴∠ACE=∠B.又∵∠B=∠F,∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG.又∵∠D=90°,∴∠DCF+∠F=90°,∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°.∴∠AOC=2∠F=45°.∴△CEO是等腰直角三角形.14.或[解析] 设☉P的半径为r,∵∠ACB=90°,∴=sin A=,BC2+AC2=AB2,∵AC=12,∴BC=5,AB=13,由旋转得∠A'CB'=∠ACB=90°,∠A'=∠A,A'C=AC=12,B'C=BC=5,A'B'=AB=13, ∴∠A'CB=180°,∴A',C,B三点共线,∵点P到直线BC的距离小于半径PA',∴☉P与直线BC始终相交.如图①,过点P作PD⊥AC于点D,则∠B'DP=∠B'CA'=90°,∵∠DB'P=∠CB'A',∴△B'DP∽△B'CA',∴=,∴=,∴PD==12-r,当☉P与AC边相切时,PD=PA',∴12-r=r,∴r=.如图②,延长A'B'交AB于点E,∵∠A+∠B=90°,∠A'=∠A,∴∠A'+∠B=90°,∴∠A'EB=90°,同上得A'E=A'B=,当☉P与AB边相切时,A'E=2PA',∴r=, 综上所述,☉P的半径为或.15.解:(1)证明:作OH⊥AC于H,如图.∵AB=AC,AO⊥BC于点O,∴AO平分∠BAC.∵OE⊥AB,OH⊥AC,∴OH=OE,∴AC是☉O的切线.(2)∵点F是AO的中点,∴AO=2OF=6,而OE=3,∠AEO=90°,∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,∴AE=OE=3.∴图中阴影部分的面积=S△AOE-S扇形EOF=×3×3-=. (3).提示:作点F关于BC的对称点F',连接EF'交BC于P,如图.∵PF=PF',∴PE+PF=PE+PF'=EF',此时EP+FP最小.∵OF'=OF=OE,∴∠F'=∠OEF',而∠AOE=∠F'+∠OEF'=60°,∴∠F'=30°,∴∠F'=∠EAF',∴EF'=EA=3,即PE+PF的最小值为3.在Rt△OPF'中,OP=OF'=.在Rt△ABO中,OB=OA=×6=2.∴BP=2-=,即当PE+PF取最小值时,BP的长为.。
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课时训练(二十八)与圆有关的位置关系(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2018·常州]如图K28-1,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为()图K28-1A.76°B.56°C.54°D.52°2.如图K28-2,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sin E的值为 ()图K28-2A.B. C.D.3.[2017·吉林]如图K28-3,直线l是☉O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交☉O于点C,若AB=12,OA=5,则BC的长为()图K28-3A.15B.6C.7D.84.[2017·日照]如图K28-4,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是()图K28-4A.5B.5C.5D.5.如图K28-5,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是()图K28-5A.6B.2+1C.9D.6.在周长为26π的☉O中,CD是☉O的一条弦,AB是☉O的切线,且AB∥CD,若AB和CD之间的距离为18,则弦CD的长为.7.如图K28-6,一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为.图K28-68.如图K28-7,给定一个半径长为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4,由此可知:(1)当d=3时,m= ;(2)当m=2时,d的取值范围是.图K28-79.如图K28-8,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A.若∠MAB=30°,则∠B= °.图K28-810.如图K28-9,AB为☉O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切☉O于点C,B是的中点,弦CF交AB于点E.若☉O的半径为2,则CF= .图K28-911.如图K28-10所示,直线l与半径为4的☉O相切于点A,P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则x-y的最大值是.图K28-1012.[2017·宿迁]如图K28-11,AB与☉O相切于点B,BC为☉O的弦,OC⊥OA,OA与BC相交于点P.(1)求证:AP=AB;(2)若OB=4,AB=3,求线段BP的长.图K28-1113.[2018·苏州]如图K28-12,AB是☉O的直径,点C在☉O上,AD垂直于过点C的切线,垂足为D,CE垂直AB,垂足为E.延长DA交☉O于点F,连接FC,FC与AB相交于点G,连接OC.(1)求证:CD=CE;(2)若AE=GE,求证:△CEO是等腰直角三角形.图K28-12|拓展提升|14.[2018·泰州]如图K28-13,△ABC中,∠ACB=90°,sin A=,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P 为线段A'B'上的动点,以点P为圆心,PA'长为半径作☉P,当☉P与△ABC的边相切时,☉P的半径为.图K28-1315.[2018·扬州]如图K28-14,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.图K28-14参考答案1.A2.A[解析] 连接OC.∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE,∵∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=60°,∴∠E=90°-∠BOC=30°,∴sin E=sin30°=.故选A.3.D[解析] 由切线的性质得OA⊥AB,∵OA=5,AB=12,∴由勾股定理得BO=13,由圆的性质知OC=OA,∴BC=BO-OC=13-5=8.4.A[解析] 过点O作OD⊥AC于点D,由已知条件和圆的性质易求OD的长,再根据勾股定理即可求出AD的长,进而可求出AC的长.过点O作OD⊥AC于点D,∵AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,∴AB⊥AP,∴∠BAP=90°,∵∠P=30°,∴∠AOP=60°,∴∠AOC=120°,∵OA=OC,∴∠OAD=30°,∵AB=10,∴OA=5,∴OD=AO=2.5,∴AD==,∴AC=2AD=5,故选A.5.C[解析] 如图,设半圆O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC,垂足为P1,交半圆O于Q1,此时垂线段OP1最短,即此时PQ取得最小值,为P1Q1=OP1-OQ1,∵AB=10,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2,∴∠C=90°,∵∠OP1B=90°,∠OEC=90°,∴OP1∥AC,OE∥BC.∵AO=OB,∴P1C=P1B,AE=EC,∴OP1=AC=4,OE=BC=3,∴P1Q1=OP1-OQ1=4-3=1.当Q2在AB边上,P2与B重合时,PQ取得最大值,为P2Q2=5+3=8,∴PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C.6.24[解析] 如图,设AB与☉O相切于点F,连接OF,OD,延长FO交CD于点E.设☉O的半径为R,∵2πR=26π,∴R=13,∴OF=OD=13,∵AB是☉O的切线,∴OF⊥AB,∵AB∥CD,∴EF⊥CD,即OE⊥CD,∴CE=ED,∵EF=18,OF=13,∴OE=5,在Rt△OED中,∵∠OED=90°,OD=13,OE=5,∴ED===12,∴CD=2ED=24.7.528.(1)1(2)1<d<39.6010.2[解析] 如图,连接OC.∵DC切☉O于点C,∴∠OCD=90°.∵BD=OB,∴OB=OD.∵OC=OB,∴OC=OD,∴∠D=30°,∴∠COD=60°.∵AB为☉O的直径,B是的中点,∴CF⊥OB,CE=EF,∴CE=OC·sin60°=2×=,∴CF=2.11.2[解析] 如图,作☉O的直径AC,连接PC,所以∠APC=∠ABP=90°.因为直线l与☉O相切于点A,所以∠CAB=90°,所以AC∥BP,所以∠CAP=∠BPA,所以△ABP∽△CPA,可得AP2=AC·BP,则有y=BP=,所以x-y=x-=-(x-4)2+2,则当x=4时,x-y有最大值,最大值是2.12.解:(1)证明:∵AB与☉O相切,∴OB⊥AB,∠ABP+∠OBC=90°,∵CO⊥AO,∴∠C+∠CPO=90°,∵OB=OC,∴∠C=∠OBC,∴∠ABP=∠CPO=∠APB,∴AP=AB.(2)如图,过点A作AD⊥BP于D点,∴∠ADP=90°.由(1)得:AP=AB,∴PD=BP,∵∠ABO=90°,OB=4,AB=3,∴OA=5,OP=OA-AP=2,∴CP=2,∵∠ADP=∠COP,∠APD=∠CPO,∴△ADP∽△COP,∴=,即PD=,∴PB=.13.证明:(1)连接AC.∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴∠DCO=∠D=90°.∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO.又∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO.又∵CE⊥AB,∴∠CEA=90°.在△CDA和△CEA中,∵∠D=∠CEA,∠DAC=∠EAC,AC=AC,∴△CDA≌△CEA(AAS),∴CD=CE.(2)连接BC.∵△CDA≌△CEA,∴∠DCA=∠ECA.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG.∴∠ECA=∠ECG.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵CE⊥AB,∴∠ACE=∠B.又∵∠B=∠F,∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG.又∵∠D=90°,∴∠DCF+∠F=90°,∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°.∴∠AOC=2∠F=45°.∴△CEO是等腰直角三角形.14.或[解析] 设☉P的半径为r,∵∠ACB=90°,∴=sin A=,BC2+AC2=AB2,∵AC=12,∴BC=5,AB=13,由旋转得∠A'CB'=∠ACB=90°,∠A'=∠A,A'C=AC=12,B'C=BC=5,A'B'=AB=13,∴∠A'CB=180°,∴A',C,B三点共线,∵点P到直线BC的距离小于半径PA',∴☉P与直线BC始终相交.如图①,过点P作PD⊥AC于点D,则∠B'DP=∠B'CA'=90°,∵∠DB'P=∠CB'A',∴△B'DP∽△B'CA',∴=,∴=,∴PD==12-r,当☉P与AC边相切时,PD=PA',∴12-r=r,∴r=.如图②,延长A'B'交AB于点E,∵∠A+∠B=90°,∠A'=∠A,∴∠A'+∠B=90°,∴∠A'EB=90°,同上得A'E=A'B=,当☉P与AB边相切时,A'E=2PA',∴r=,综上所述,☉P的半径为或.15.解:(1)证明:作OH⊥AC于H,如图.∵AB=AC,AO⊥BC于点O,∴AO平分∠BAC.∵OE⊥AB,OH⊥AC,∴OH=OE,∴AC是☉O的切线.(2)∵点F是AO的中点,∴AO=2OF=6,而OE=3,∠AEO=90°,∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,∴AE=OE=3.∴图中阴影部分的面积=S△AOE-S扇形EOF=×3×3-=.(3).提示:作点F关于BC的对称点F',连接EF'交BC于P,如图.∵PF=PF',∴PE+PF=PE+PF'=EF',此时EP+FP最小.∵OF'=OF=OE,∴∠F'=∠OEF',而∠AOE=∠F'+∠OEF'=60°,∴∠F'=30°,∴∠F'=∠EAF',∴EF'=EA=3,即PE+PF的最小值为3.在Rt△OPF'中,OP=OF'=.在Rt△ABO中,OB=OA=×6=2.∴BP=2-=,即当PE+PF取最小值时,BP的长为.。
圆的有关概念及与圆有关的位置关系一、学习目标1．了解圆的对称性，掌握圆的有关概念及定理的应用；会解决与圆有关的位置关系问题；2．了解圆的内接三角形（四边形）与三角形的内切圆，会利用其性质解决相关问题；3．体会数形结合等思想，会寻找圆中隐藏的等角（如同弧或等弧所对的圆周角、圆心角，圆内接四边形的外角与不相邻的内角等相等的角）．二、题型训练题型一、圆的有关概念【例题1】如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为________.【例题2】如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 是⌒BC 的中点，BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F . （1）求证：DO ∥AC ；（2）求证：DE ·DA ＝DC ²；（3）若tan ∠CAD ＝12，求sin ∠CDA 的值.【题小结】利用圆周角定理、圆的对称性、相似三角形的判定和性质及勾股定理解决问题． 借题发挥：1.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C ，都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则sin ∠ADC 的值为（ ）A ．21313B ．31313C ．23D ．322.如图，在⊙O 中，点P 为⌒AB的中点，弦AD ，PC 互相垂直，垂足为M ，BC 分别与AD ，PD 相交于点E ，N ，连接BD ，MN .（1）求证：N 为BE 的中点；（2）若⊙O 的半径为8，⌒AB的度数为90°，求线段MN 的长.例题1 例题2 借题发挥1 借题发挥23.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径的⊙O 经过点B .（1）求⊙O 的半径；（2）点P 为⌒AB的中点，作PQ ⊥AC ，垂足为Q ，求OQ 的长； （3）在（2）的条件下，连接PC ，求tan ∠PCA 的值.题型二、与圆有关的位置关系【例题3】如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D .若⊙P 的半径为5，点A 的坐标是（0，8），则点D 的坐标是（ ）A ．（9,2）B ．（9,3）C ．（10,2）D ．（10,3）【例题4】如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，点C ，D 在⊙O 上.若∠P ＝102°，则∠A ＋∠C ＝_________°.【例题5】如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，∠DCA ＝∠B ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F ，求证：△DCF 是等腰三角形．【题小结】利用圆的切线的性质和判定．借题发挥：1．平面内，⊙O O 的切线条数为（ ）A ．0条B ．1例题3 例题4 例题5 F E B O A C D借题发挥2C OD 借题发挥4。
第六章 圆第28课时 与圆有关的计算 江苏近4年中考真题精选命题点1 扇形弧长和面积的计算(2016年3次，2015年5次，2014年5次，2013年6次)1. (2013淮安5题3分)若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是( )A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π2. (2014南通10题3分)如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a (a >23r )的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是( )A. π3 r 2B. 33－π3r 2C. (33－π) r 2D. πr 2第2题图 第4题图3. (2014徐州13题3分)半径为4 cm ，圆心角为60°的扇形的面积为________cm 2.4. (2015盐城17题3分)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边DC 于点E ，则BE ︵的长度为________．5. (2013扬州15题3分)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝110°，半径OA ＝18，将扇形OAB 沿过点B的直线折叠，点O 恰好落在AB ︵上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则AD ︵的长为________．第5题图 第6题图6. (2014连云港15题3分)如图①，折线段AOB 将面积为S 的⊙O 分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S 1、S 2.若S 1S ＝S 2S 1＝0.618，则称分成的小扇形．．．为“黄金扇形”．生活中的折扇(如图②)大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为________°.(精确到0.1)第7题图 第8题图7. (2013苏州16题3分)如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA ，劣弧BC ︵的弧长为________．(结果保留π)8. (2016连云港16题3分)如图，⊙P 的半径为5，A 、B 是圆上任意两点，且AB ＝6，以AB 为边作正方形ABCD (点D 、P 在直线AB 两侧)．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为________．9. (2015苏州24题8分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD .(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)若BC ＝6，∠BAC ＝50°，求DE ︵、DF ︵的长度之和(结果保留π)．第9题图命题点2 圆锥、圆柱的相关计算(2016年6次，2015年2次，2014年6次，2013年4次)10. (2013无锡6题3分)已知圆柱的底面半径为3 cm ，母线长为 5 cm ，则圆柱的侧面积是( )A. 30 cm 2B. 30π cm 2C. 15 cm 2D. 15π cm 211. (2016徐州16题3分)用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为________．12. (2016淮安17题3分)若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是______°.13. (2016盐城14题3分)若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为________．14. (2014南京14题2分)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥底面圆的半径r ＝2 cm ，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l 为________cm.第14题图命题点3 圆中阴影部分面积的计算(2016年3次，2015年4次，2014年盐城17题，2013年3次) 15. (2016苏州16题3分)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为________．第15题图第16题图16. (2016泰州15题3分)如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝3，则图中阴影部分的面积为________．17. (2013盐城17题3分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5 cm，AC＝2 cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°到△A1B1C的位置，则线段AB扫过区域(图中的阴影部分)的面积为________cm2.第17题图第18题图18. (2013宿迁17题3分)如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π) 19. (2016淮安25题10分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA 为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A.(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．第19题图答案1. B 【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴此扇形的弧长l ＝120π×6180＝4π.2. C 【解析】如解图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 1作∠A两边的垂线，垂足分别为D 、E ，连接AO 1，则在Rt △ADO 1中，∠O 1AD ＝30°，O 1D ＝r ，AD ＝3r .∴S△ADO 1＝12O 1D ·AD ＝32r 2.∴S 四边形ADO 1E ＝2S △ADO 1＝3r 2.由题意得，∠DO 1E ＝120°，∴S 扇形O 1DE ＝π3r 2，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为3(3r 2－π3r 2)＝(33－π)r 2.第2题解图3. 83π 【解析】半径为4 cm ，圆心角为60°的扇形的面积为：60π×42360＝83π(cm 2)．4. 23π 【解析】如解图，连接AE ，在Rt △ADE 中，AE ＝4，AD ＝2，∴∠DEA ＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠DEA ＝30°，∴BE ︵的长度为30×π×4180＝23π.第4题解图5. 5π 【解析】如解图，连接OD ，根据折叠的性质知，OB ＝BD .又∵OD ＝OB ，∴OD ＝OB ＝DB ，即△ODB 是等边三角形，∴∠DOB ＝60°.∵∠AOB ＝110°，∴∠AOD ＝∠AOB －∠DOB ＝50°，∴AD ︵的长为50π×18180＝5π.第5题解图6. 137.5 【解析】设黄金扇形的圆心角为n °，那么余下的大扇形的圆心角为(360°－n °)．利用扇形面积公式列方程．设圆的半径为r .则S 2S 1＝n πr 2360（360－n ）πr 360＝0.618，解得n ≈137.5.7. 13π 【解析】如解图，连接OB ，OC ，∵AB 为⊙O 的切线，∴∠ABO ＝90°，在Rt △ABO 中，OA ＝2，∠OAB ＝30°，∴OB ＝1，∠AOB ＝60°，∵BC ∥OA ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°，又∵OB ＝OC ，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝60°，则劣弧BC ︵长为60π×1180＝13π.第7题解图8. 9π 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，延长PF 交CD 于点E ，则有AF ＝12AB ＝3，∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ∥AB ，∴PE ⊥CD ，∴PF ＝AP 2－AF 2＝52－32＝4，∴PE ＝PF ＋EF ＝AD ＋PF ＝6＋4＝10，∴PD 2＝DE 2＋PE 2＝9＋100＝109，所以AB 绕点P 旋转一周，CD 边扫过的面积＝π×PD 2－π×PE 2＝109π－100π＝9π.第8题解图9. (1)证明：由作图可知BD ＝CD . 在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC BD ＝CD AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS)．∴∠BAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC .(2)解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°.∵BD ＝CD ＝BC ，∴△BDC 为等边三角形．∴∠DBC ＝∠DCB ＝60°.∴∠DBE ＝∠DCF ＝180°－∠ABC －∠CBD ＝55°.∵BC ＝6，∴BD ＝CD ＝6.∴DE ︵的长度＝DF ︵的长度＝55×π×6180＝11π6.∴DE ︵、DF ︵的长度之和为11π6＋11π6＝11π3.10. B 【解析】根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5＝30π cm 2.11. 5 【解析】由题意知，半圆的周长为πr ＝10π，∴围成的圆锥的底面圆的半径为10π÷2π＝5.12. 120 【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长、扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n °，则2π×2＝n π·6180，解得n ＝120. 13. 8π 【解析】圆锥底面圆的周长为4π，∴侧面积等于12×4×4π＝8π.14. 6 【解析】由圆锥底面周长等于侧面展开图弧长可得，2πr ＝n πl 180，即2π×2＝120π180l ，解得l ＝6 cm.15.33－π2【解析】如解图，连接OC ，则OC ⊥CD . ∵∠A ＝∠D ，∠A ＝∠ACO ，∠COD ＝∠A ＋∠ACO ，∴∠COD ＝2∠D ，又∵∠COD ＋∠D ＝90°，∴∠D ＝30°，∠COD ＝60°；在Rt △COD 中，OC ＝CD ·tan∠D ＝3×tan 30°＝3；∴S 阴影＝S △COD －S 扇形OBC ＝12×3×3－60×π×（3）2360＝33－π2.第15题解图16. 53π 【解析】如解图，连接OC 、OA ，∵∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD ＝3，OA ＝OC ＝2, ∴∠COD ＝60°，∠AOB ＝30°，OD ＝1，OB ＝3， ∴∠AOC ＝150°， ∴S 阴影＝S 扇形AOC ＋S △OCD －S △OAB ＝150360×22·π＋12×3×1－12×3×1＝53π.第16题解图17. 25π8 【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29，S 扇形BCB 1＝45π×（29）2360＝29π8，S△ABC ＝S △CB 1A 1＝12×5×2＝5；S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2.故S 阴影＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8cm 2.18.8π3【解析】如解图，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，交BC ︵于点E ，连接OC ，则点E 是BEC ︵的中点，由折叠的性质可得点O 为BOC ︵的中点，∴S 弓形BO ＝S 弓形CO ，∵OD ＝12r ＝2，OB ＝OC ＝r ＝4，∴∠OBD ＝∠OCD ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形AOC ＝60π×42360＝8π3.第18题解图19. 解：(1)直接MN 与⊙O 相切． 理由： 如解图，连接OC ，第19题解图∵OA 、OC 均为⊙O 的半径，∴OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ，又∵∠BOC 为△OAC 的外角，∴∠BOC ＝∠A ＋∠OCA ＝2∠A ，又∵∠BCM ＝2∠A ，∴∠BOC ＝∠BCM ，∵∠B ＝90°，∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∴∠BCO ＋∠BCM ＝90°，∴∠OCM ＝90°.∴直线MN 与⊙O 相切．(2)∵∠BCM ＝60°，∴∠A ＝30°，∴∠AOC ＝120°，又∵∠AOC ＝∠B ＋∠OCB ，∴∠OCB ＝30°， ∵OA ＝4，∴OC ＝OA ＝4，∴BC ＝23，∴S 扇形OAC ＝120×π×42360＝16π3， S △AOC ＝12×OA ×BC ＝12×4×23＝43， ∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＝16π3－4 3.16π3－4 3.∴图中阴影部分的面积为。
第六章 圆第28课时 与圆有关的计算基础过关1. (2016遵义)如图，半圆的圆心为O ，直径AB 的长为12，C 为半圆上一点，∠CAB ＝30°，AC ︵的长是( )A. 12πB. 6πC. 5πD. 4π第1题图 第2题图2. (2016青岛)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120˚，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为( )A. 175π cm 2B. 350π cm 2C. 8003π cm 2 D. 150π cm 23. (2016十堰)如图，从一张腰长为60 cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( )A. 10 cmB. 15 cmC. 10 3 cmD. 20 2 cm第3题图 第4题图4. (2016贵港)如图，点A 在以BC 为直径的⊙O 内，且AB ＝AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，得到扇形ABC ，剪下扇形ABC 围成一个圆锥(AB 和AC 重合)，若∠BAC ＝120°，BC ＝23，则这个圆锥底面圆的半径是( )A. 13B. 23C. 2D. 3 5. (2016兰州)如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )A. π cmB. 2π cmC. 3π cmD. 5π cm第5题图6. (2016山西)如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为( )A.π3B.π2C ．πD ．2π第6题图 第7题图7. (2016深圳)如图，在扇形AOB 中∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( )A. 2π－4B. 4π－8C. 2π－8D. 4π－48. (2016东营)如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD 的面积为________．第8题图9. (2016烟台)如图，在正方形纸片ABCD 中，EF ∥AD ，M ，N 是线段EF 的六等分点．若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A 与点D 重合，此时，底面圆的直径为10 cm ，则圆柱上M ，N 两点间的距离是________cm.第9题图 第10题图10. (2016安徽)如图，已知⊙O 的半径为2，A 为⊙O 外一点．过点A 作⊙O 的一条切线AB ，切点是B ，AO 的延长线交⊙O 于点C .若∠BAC ＝30°，则劣弧BC ︵的长为______．11. (2016巴中)如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)．则所得扇形AFB (阴影部分)的面积为________．第11题图12. (2016安顺)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是________(结果保留π)．第12题图 第13题图13. (2016乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为________．14. (2016淮安二模)如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，点O 为Rt △ABC 斜边AB 上的一点，以OA为半径的⊙O 与BC 相切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD .(1)求∠CAD的度数；(2)若OA＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．第14题图满分冲关1. (2016武汉)如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22.点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是( )A. 2πB. πC. 2 2D. 2第1题图第2题图2. (2016重庆B)如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是( )A. 183－9πB. 18－3πC. 93－9π2D. 183－3π 3. (2016绥化)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则图中阴影部分的面积为________．(结果用含π的式子表示)第3题图 第4题图4. (2016广州)如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB＝123，OP ＝6，则劣弧AB ︵的长为________(结果保留π)5. (2016河南)如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作OC ︵交AB ︵于点C .若OA ＝2，则阴影部分的面积为________．第5题图 第6题图6. (2016德州)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．7. (2016宜昌)如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径．且CD ∥AB .连接AC 、AD 、OD ，其中AC ＝CD ，过点B的切线交CD的延长线于E.(1)求证：DA平分∠CDO；(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和．(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)第7题图答案基础过关1. D 【解析】如解图，连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠C ＝∠A ＝30°，∴∠AOC ＝120°，∴AC ︵的长度＝120π×6180＝4π.第1题解图2. B 【解析】S 贴纸＝2S 扇环＝2(S 扇形BAC －S 扇形DAE )＝2[120π·252360－120π·（25－15）2360]＝350π cm 2.3. D 【解析】如解图，在△OAB 中，作OE ⊥AB ，垂足为点E ，则OE ＝60×sin 30°＝30 cm ，即圆锥的母线长为30 cm ，所以l CED ︵＝120×π×30180＝20π，设围成的圆锥底面半径为r ，则20π＝2πr ，解得：r ＝10，∴h ＝302－102＝20 2 cm ，故选D .第3题解图4. B 【解析】如解图，连接AO ，∵AB ＝AC ，∴AO ⊥BC 且AO 平分∠BAC ，∴∠OAC ＝60°，∵BC ＝23，∴CO ＝3，∴AC ＝CO sin60°＝2，设扇形ABC 围成的圆锥的底面圆的半径是r ，∴l BC ︵＝120π×2180＝2πr ，∴r ＝23.第4题解图5. C 【解析】由题意得，点P 的运动路径是一段弧，其弧长为108×π×5180＝3π cm ，重物上升的距离与点P 运动的距离相等，为3π cm.6. C 【解析】如解图，连接OE 、OF ，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝12，∴AO ＝OB ＝6，∵⊙O 与DC 相切于点E ，∴∠OEC ＝90°，∵在▱ABCD 中，∠C ＝60°，AB ∥DC ，∴∠A ＝∠C ＝60°，∠AOE ＝∠OEC＝90°，在△AOF 中，∠A ＝60°，AO ＝FO ，∴△AOF 是等边三角形，即∠AOF ＝∠A ＝60°，∴∠EOF＝∠AOE －∠AOF ＝90°－60°＝30°，∴FE ︵的长＝30π×6180＝π.第6题解图7. A 【解析】如解图，连接OC ，∵C 是AB ︵的中点，∴∠BOC ＝12∠AOB ＝45°，∵CD ＝22，∴OD＝CD ＝22，OC ＝OD 2＋CD 2＝4，∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △OCD ＝45π×42360－12×22×22＝2π－4.第7题解图8. 25 【解析】l 扇形＝BC ＋CD ＝10，所以S 扇形＝12lr ＝12×10×5＝25.9. 5 3 【解析】如解图，通过图中的操作，可得到如下的一个平面图，由题意可得EN 是直径且为10 cm ，∠EOM ＝60°， ∠ENM ＝30°，所以MN ＝10cos30°＝5 3 cm.第9题解图 第10题解图10. 43π 【解析】如解图，连接OB .∵AB 为⊙O 的切线，B 为切点，∴∠B ＝90°，又∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∴劣弧BC ︵的长＝120×π×2180＝43π.11. 18 【解析】∵扇形的半径r ＝AB ＝3，l扇形＝正六边形的周长－(AB ＋AF )＝6AB －2AB ＝4AB ＝12.∴扇形的面积＝12l r ＝12×12×3＝18.12. 2π 【解析】∵在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∴S 扇形ABD ＝90π·42360＝4π，以AB为直径的半圆面积为S 半圆＝12π×22＝2π.∴S 阴影＝S 扇形ABD －S 半圆＝4π－2π＝2π. 13. 23－2π3 【解析】∵BD ︵绕点D 旋转180°后点B 与点A 重合，∴BD ＝AD ＝12AB ，∴CD 是Rt △ACB 斜边上的中线，∴CD ＝12AB ，∴CD ＝BD ＝AD .又∵CB ＝CD ，∴CB ＝CD ＝BD ＝AD ，∴△BDC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠BCD ＝60°.∵CD 是Rt △ACB 斜边上的中线，∴S △ABC ＝2S △BDC ＝2S △ADC .在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝23，∠ABC ＝60°，∴tan ∠ABC ＝AC BC ，∴BC ＝AC tan ∠ABC ＝23tan60°＝2.∵S 阴影＝S △ADC －S 弓形AD ＝S △BDC －S 弓形BD ，而S 弓形BD ＝S 扇形CBD －S △BDC ，∴S 阴影＝S △BDC －(S 扇形CBD －S △BDC )＝2S △BDC －S 扇形CBD ＝S △ABC －S 扇形CBD ＝12×2×23－60·π·22360＝23－2π3. 14. 解：(1)如解图①，连接OD ，第14题解图①∵BC 与⊙O 相切于点D ，∴DO ⊥BC ，∵AC ⊥BC ,∴OD ∥AC ，∴∠ADO ＝∠CAD ，∵OD ＝OA ，∴∠ADO ＝∠OAD ，∴∠CAD ＝∠OAD ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝12∠BAC ＝30°；(2)如解图②，连接OE ，ED ，OD .第14题解图②∵∠EAD ＝12∠EOD ，∴∠EOD ＝60°，∵OE ＝OD ，∴△EOD 是等边三角形，∴∠DEO ＝60°，又∵∠EAO ＝60°，OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形，∴∠AOE ＝60°，∴∠AOE ＝∠DEO ，∴ED ∥AO ，∴S △AED ＝S △EOD ，∴S 阴影＝S 扇形EOD ＝60π·22360＝2π3. 满分冲关1. B 【解析】如解图，M 点运动的路径是以△ABC 的两直角边上中点的连线为直径的半圆弧长，设AC 与BC 的中点分别是D 、Q 两点，则有DQ ＝CD 2＋CQ 2＝（2）2＋（2）2＝2，则M 运动的路径长为：2π2＝π.第1题解图2. A 【解析】∵∠DAB ＝60°，DF ⊥AB ，AD ＝6，∴DF ＝AD ·sin 60°＝33，∠ADC ＝120°，S 阴影＝S 菱形ABCD －S 扇形EDG ＝6×33－120π×（33）2360＝183－9π.3. π－1 【解析】利用转化思想可得S 阴影＝S 扇形－S △ACD ，即S 阴影＝90π×22360－2×22＝π－1.4. 8π 【解析】如解图，∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB ，∴AP ＝12AB ＝6 3.连接OA ，OB , ∵OA ＝OB ，∴∠AOB ＝2∠AOP .在Rt △AOP 中，OA ＝OP 2＋AP 2＝12，tan ∠AOP ＝AP OP ＝636＝3，∴∠AOP ＝60°.∴∠AOB ＝120°，∴劣弧AB ︵＝120π·12180＝8π.第4题解图 5. 3－13π 【解析】 如解图，连接OC 、AC ，过点C 作CH ⊥OA 于点H ，根据题意，以点A 为圆心，OA 的长为半径作OC ︵交AB ︵于点C ，易得OA ＝AC ＝OC ，∴△AOC 为等边三角形，∠AOC ＝60°，∴弓形AmC 与弓形OnC 是全等的图形，∵S 弓形AmC ＝S 扇形AOC －S △AOC ＝60π×22360－12OA ×CH ＝23π－12×2×2×sin60°＝23π－ 3.∴S 弓形OnC ＝S 弓形AmC ＝23π－ 3.∵∠AOB ＝90°，∴∠COB ＝30°，∴S 扇形COB ＝30π×22360＝13π，∴S 阴影＝S 扇形COB －S 弓形OnC ＝13π－(23π－3)＝3－13π.第5题解图6. －π6＋32 【解析】如解图，连接OM ，OA ，OB ，∵点M 、O 关于AB 对称，∴OC ⊥AB ，OC ＝12OM ＝12OA ＝12，AB ＝2AC ，∴∠OAC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，同理∠BOC ＝60°，∠AOB ＝120°.∵cos 30°＝AC OA ＝AC 1，∴AC ＝1×cos 30°＝32，∴AB ＝ 3.S 阴影＝S 半圆－2S 弓形AMB ＝ 12π·12－2(S 扇形AOB －S △AOB )＝12π－2(120π·12360－12×3×12)＝12π－2(π3－34)＝12π－2π3＋32＝－π6＋32.第6题解图7. (1)证明：∵CD ∥AB ，∴∠CDA ＝∠BAD ，又∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠BAD ，∴∠ADO ＝∠CDA ，∴DA 平分∠CDO ；(2)解：如解图①，连接BD ，∵AB 是⊙O 的直径，第7题解图①∴∠ADB ＝90°.∵AC ＝CD ，∴∠CAD ＝∠CDA ，又∵CD ∥AB ，∴∠CDA ＝∠BAD ，∴∠CDA ＝∠BAD ＝∠CAD ，∴AC ︵＝DC ︵＝BD ︵.∠AOB ＝180°，∴∠DOB ＝60°，∴∠BAD ＝12∠DOB ＝30°.在Rt △ADB 中，∠DAB ＝30°，∠ABD ＝60°，AB ＝12.∴BD ＝12×AB ＝6.∴AC ＝BD ＝6.∵BE 切⊙O 于点B ，∴BE ⊥AB ，∴∠DBE ＝∠ABE －∠ABD ＝30°，又∵CD ∥AB ，∴BE ⊥CE ，∴DE ＝12BD ＝3，BE ＝BD ×cos∠DBE ＝6×32＝33， ∴BD ︵的长为60π×6180＝2π. 又∵AC ︵＝BD ︵，∴AC ︵的长为2π， ∴图中阴影部分周长之和为：AC ︵＋AC ＋BD ︵＋DE ＋BE ＝2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.【一题多解】如解图②，连接CO ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F .∵AC ＝CD ，第7题解图②∴∠ADC ＝∠CAD ，∴AC ︵＝DC ︵，∵∠CDA ＝∠BAD ，∴AC ︵＝BD ︵，∵AC ︵＝DC ︵＝BD ︵，∠AOB ＝180°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°.在Rt △DFO 中，∠ODF ＝30°，OD ＝6，∴OF ＝12OD ＝3.∴DF ＝OD 2－OF 2＝3 3.∵BE 切⊙O 于点B ，∴BE ⊥AB ，即∠B ＝90°.又∵CD ∥AB ，∴∠E ＝90°.又∵∠DFB ＝90°.∴四边形DFBE 为矩形．∴DE ＝BF ＝OB －OF ＝3，BE ＝DF ＝3 3.AC ︵的长为60π×6180＝2π，又∵AC ︵＝BD ︵， ∴BD ︵的长为2π. 综上可知△ACO 为等边三角形，∴AC ＝CO ＝AO ＝6.∴图中阴影部分周长之和为：AC ︵＋AC ＋BD ︵＋DE ＋BE ＝2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.。
