2014秋苏科版数学八上4.1《平方根》学案2

《4.1 平方根（1）》学案一、【学习目标】（1）了解平方根，会用符号表示一个非负数的平方根、（2）会求一个非负数的平方根、二、【学习重难点】 重点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地求某些非负数的平方根、难点：利用平方根定义解决问题。

三、【自主学习】：计算：（1）若一个正方形的面积是25cm 2，则它的边长是多少？（2）若一个正方形的面积是5cm 2，则它的边长是多少？分析：要解决题（1），大家基本都可以做出来，题（2）在我们现在已有的知识范围内却感觉无法解决，如何解决呢？来学习本节课的知识吧！四、【合作探究】阅读课本第94页到95页。

完成下列问题： 1、[探究1]课本94页图4-1中小方格边长为1，如何求长方形的对角线AB 、A ＇B ＇的长？帮助小丽解决问题；[探究2]我们一起研究一下a x =2中 ，X 是什么数？当42=x 时，因为()422=-.所以2±=x ；当1002=x 时，因为100102=，()100102=-，所以10±=x ； 当1692=x 时，因为169132=，()169132=-，所以13±=x 。

观察上面的内容我们发现使a x =2成立的数有 个，它们互为 。

2、总结：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根，也称为二次方根。

正数a 的正的平方根记作 ，负的平方根记作 ，读作“正负根号a ”，正数a 的两个平方根记作 ，读作“正负根号a ”.例如：2的平方根记作“2±”， 9的平方根记作9±你试着举几个类似的例子？3、观察你们所举的例子，你们会发现：一个正数的平方根有 个，它们有什么关系呢？ 怎么来表示一个正数a 的平方根呢？怎么读出它们呢？小试牛刀：（1）因为22=_____，（-2）2=______，所以2和-2都是_____的平方根．（2）3有______个平方根，它们互为______数，记作_______．4、[思考]（1）16的平方根是什么？5的平方根是什么？（2）0的平方根是什么？0的平方根有几个？（3）36,8,4---有平方根吗？为什么？5、[回忆]了一种运算：[定义]呢？ 说明：（1）“开平方”就是求一个数的平方根；（2）开平方与平方互为逆运算。

课题：4.1 平方根（1）学习目标: 姓名： 1．了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根； 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的平方根． 学习过程： 一.【情景创设】 设图中的小方格的边长为1，你能分别说出图中2个长方形的对角线AB ，A′B′的长吗？二.【问题探究】问题1：观察下面的式子：224= 2(2)4-=210100= 2(10)100-=213169= 2(13)169-=（1） 请你在右边举出与左边的式子类似的例子。

（2） 从这些式子中，你有什么发现？1、概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也称为二次方根．如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根，也称为二次方根．2、表示法：一个正数a 的正的平方根，记作“ ”，正数a 的负的平方根，记作“ ”．这两个平方根合起来记作“ ”，读作“ ”例如：224= 2(2)4-=，±2叫做4的平方根．记作：42±=± 210100= 2(10)100-=， 叫做 的平方根．记作：213169= 2(13)169-=， 叫做 的平方根．记作：问题2：在下列各括号中，你能填写适当的数使等式成立吗？如果能，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流．2()9=，2()25=， 29()25=； 2()0=，29()4=-， 2()4=-．3、探索交流后总结出以下结论：（1）（2）（3）4、求一个数的平方根的运算叫做开平方（开平方运算与平方运算互为逆运算）巩固练习：1、判断下列说法是否正确。

2、如图，说出左圈中“？”所表示的数。

（1）5-是25的平方根；（2）25的平方根是5-；（3）0的平方根是0；（4）1的平方根是1；（5）2(3)-的平方根是3-问题3: 求下列各数的平方根（1）25； （2）1681； （3）15； （4）21()5-．问题4:求下列各式中x 的值：（1）3x 2-27=0 （2）9(x 2+1)=10问题5:解答题：（1）已知一个数a 的两个平方根是b+1，b+3，求a 、b 的值．（2）若a ＋1没有平方根，求a 的取值范围.三.【变式拓展】问题6：已知2a －1的平方根是±3，4a ＋2b ＋1的平方根是±5，求a －2b 的平方根．四.【总结提升】1．说说你对平方根的理解．2．开平方运算与平方运算有什么联系？有什么区别？五. 【课堂反馈】六. 【课后作业】（选做题）八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ） A ．9710-⨯B ．8710-⨯C ．90.710-⨯D ．80.710-⨯ 【答案】A【分析】根据科学记数法绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【详解】由科学记数法的表示可知，90.000000007=710-⨯，故选：A ．【点睛】科学记数法表示数时，要注意形式10n a -⨯中，a 的取值范围，要求110a ≤<，而且n 的值和原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数一样.2．如图，射线OA 平分角，AB OM ⊥于点B ，AC ON ⊥于点C ，若130BOC ∠=︒，则BAC ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒【答案】C 【分析】根据题意可知A 、B 、O 、M 四点构成了四边形，且有两个角是直角，直接利用四边形的内角和即可求解．【详解】解：∵AB OM ⊥于点B ，AC ON ⊥于点C ，∠∠=90ABO ACO ∴=︒，130BOC ∠=︒，360-90-90-130=50∴∠=︒︒︒︒︒BAC ；故选：C ．【点睛】本题考查的是四边形的内角和，这里要注意到⊥构造的是90°的角即可求解本题．3．下列式子正确的是（ ）A ．336a a a +=B ．()235a a =C ．()2224612ab a b =D ．65a a a ÷=【答案】D【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法求出每个式子的值，再判断即可．【详解】解：A 、3332a a a +=，故本选项不符合题意；B 、326()a a =，故本选项不符合题意；C 、2224(6)36ab a b =，故本选项不符合题意；D 、65a a a ÷=，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．4．如图,已知ABC 为等腰三角形, , 90AB AC BAC =∠<︒,将ABC 沿AC 翻折至,ADC E 为BC的中点,F 为AD 的中点,线段EF 交AC 于点G ,若()1FCDGEC S m m S =≠，则AG GC=（ ）A ．mB ．11m m +-C ．1m +D ．1m -【答案】D 【分析】连接AE ，由三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分，用m 表示出△AEG 的面积，再由等高三角形面积比等于底边之比求解即可.【详解】解:如图，连接AE ，设1CEG S =，则FCD S m =，∵F 为AD 的中点，2ACD ACB S S m ∴==，1AEG S m ∴=- ∴1AEG CEG S AG m CG S==-故选：D.【点睛】 本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，掌握三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分是解题的关键.5．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是9.1环，方差分别是20.63S =甲，20.58S =乙，20.49S =丙，20.46S =丁，则本次测试射箭成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】D【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的射箭成绩最稳定．【详解】∵甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是9.1环，方差分别是20.63S =甲，20.58S =乙，20.49S =丙，20.46S =丁，丁的方差最小，∴射箭成绩最稳定的是丁．故选：D ．【点睛】此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关键．6．如果把分式232xx y -中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．扩大3倍B ．不变C ．缩小3倍D ．扩大9倍【答案】B【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】()23322332333232x xxx y x y x y ⨯⋅==⨯-⨯--．故选：B ．【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 7．下列命题，是真命题的是（ ）A ．三角形的外角和为180︒B ．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．C ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等．D ．垂直于同一直线的两直线互相垂直．【答案】B【分析】根据三角形的性质,平行与垂直的性质逐一判断即可.【详解】解:A.三角形的外角和为360︒,故错误;B.三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,所以它大于任何一个和它不相邻的内角,故正确;C.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故错误;D.垂直于同一直线的两直线互相平行,故错误.故选:B.【点睛】本题通过判断命题的真假考查了几何基本图形的性质定理,理解掌握相关性质是解答关键.8．9的平方根是（ ）A ．3B ．±3CD 【答案】B【分析】根据平方根的定义解答即可．=±1．故选B ．【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个．9．为了测量河两岸相对点A、B的距离，小明先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF 的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上（如图所示），可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED 的长度就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】B【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．若分式11xx-+的值为0，则x的值为（）A．1 B．-1 C．1或-1 D．0【答案】A【解析】根据分式的概念，分式有意义要求分母不为零，所以分式值为零，即分子为零即可．【详解】11xx-=+，10x∴-=，1x∴=，故选：A．【点睛】考查分式的定义，理解定义以及有意义的条件是解题的关键．二、填空题11．如图，两个四边形均为正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式__________.【答案】222()2a b a ab b +=++【分析】根据图形的分割前后面积相等，分别用大正方形的面积等于分割后四个小的图形的面积的和，即可得出结论.【详解】如图可知，把大正方形分割成四部分，大正方形的边长为()a b +，大正方形面积为2()a b +，两个小正方形的面积分别为2a 、2b ，两个长方形的面积相等为ab ，所以有222()2a b a ab b +=++，故答案为：222()2a b a ab b +=++. .【点睛】分割图形，找到分割前后图形的关系，利用面积相等，属于完全平方公式的证明，找到a 、b 的关系式，即可得出结论.12．如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ；作直线MN 分别交BC 、AC 于点D 、点E ，若3AE m =，ABD ∆的周长为13cm ，则ABC ∆的周长为________.【答案】19cm【分析】根据尺规作图得到MN 是线段AC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA DC =，26AC AE ==，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：由尺规作图可知，MN 是线段AC 的垂直平分线，DA DC ∴=，26AC AE ==，ABD ∆的周长为13，13AB AD BD AB DC BD AB BC ∴++=++=+=，则ABC ∆的周长13619()AB BC AC cm =++=+=，故答案为：19cm ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．如图，在t R ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC cm =，10AB cm =，分别以点A ，B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P ，Q ，过P ，Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是_______cm ．【答案】74【分析】连接AD ，如图，先利用勾股定理计算出BC=8，利用基本作图得到PQ 垂直平分AB ，所以DA=DB ，设CD=x ，则DB=DA=8-x ，利用勾股定理得到x 2+62=（8-x ）2，然后解方程即可．【详解】解：连接AD ，如图，∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴22106-=8，由作法得PQ 垂直平分AB ，∴DA=DB ，设CD=x ，则DB=DA=8-x ，在Rt △ACD 中，x 2+62=（8-x ）2，解得x=74， 即CD 的长为74. 故答案为：74.【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理.14．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于E ，连接AE ,若5,12,CE AC ==且ACE △的周长为30，则BE 的长是 __________．【答案】1【分析】根据CE=5，AC=12，且△ACE 的周长为30，可得AE 的长，再根据线段垂直平分线的性质，可得答案．【详解】解：∵CE=5，AC=12，且△ACE 的周长为30，∴AE=1．∵AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，∴BE=AE=1，故答案是：1．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．15．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ，则2m 的值为______．【答案】22-【分析】由点2-向右直爬2个单位，即22-，据此即可得到．【详解】解：由题意，∵点A 表示2-， ∴点B 表示22-+，即22m =-+，∴22(22)222m =⨯-+=-；故答案为：222-．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，理解向右移动是增大是关键．16．在平面直角坐标系中，已知一次函数21y x =+的图像经过111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若12x x <，则1y 2y .（填”>”，”<”或”=”）【答案】<.【解析】试题分析：一次函数y kx+b =的增减性有两种情况：①当k 0>时，函数y kx+b =的值随x 的值增大而增大；②当k 0<时，函数y kx+b = y 的值随x 的值增大而减小.由题意得，函数21y x =+的k 0>，故y 的值随x 的值增大而增大.∵12x x <，∴12y y <.考点：一次函数图象与系数的关系.17．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥CD ，OE ∥BC 交CD 于E ，若OC=4，CE=3，则BC 的长是____．【答案】1．【分析】首先利用三角形的中位线定理求得CD 的长，然后利用勾股定理求得AD 的长,即可求出BC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AD ∥BC ．∵OE ∥BC ，∴OE ∥AD ，∴OE 是△ACD 的中位线．∵CE=3cm ，∴DC=2OE=2×3=2．∵CO=4，∴AC=3．∵AC ⊥CD ，∴AD 222268AC CD =+=+=1，∴BC=AD=1．故答案为：1．【点睛】考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，正确的理解平行四边形的性质是解答本题的关键，难度不大．三、解答题18．先化简，再求值：22212212x x x x x x x --+÷-+-,其中12x = 【答案】－2【解析】试题分析：先化简,再将x 的值代入计算即可.试题解析：原式＝＝＋1 ＝当x ＝时，原式＝＝－219．从宁海县到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程与普通列车的行驶路程之和是920千米，而普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车的平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．【答案】（1）普通列车的行驶路程是520千米；（2）高铁的平均速度是300千米/时【解析】（1）设高铁的行驶路程为x千米，则普通列车的行驶路程为1.3x千米，根据“普通列车的行驶路程+高铁的行驶路程＝920千米”列出方程并解答．（2）设普通列车平均速度是a千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．【详解】解：（1）设高铁的行驶路程为x千米，则普通列车的行驶路程为1.3x千米，依题意得：x+1.3x＝920解得x＝1．所以1.3x＝520（千米）答：普通列车的行驶路程是520千米；（2）设普通列车平均速度是a千米/时，则高铁平均速度是2.5a千米/时，根据题意得：5204003,2.5a a-=解得：a＝120，经检验a＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300（千米/时），答：高铁的平均速度是300千米/时【点睛】此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程．注意：解分式方程时要注意检验．20．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？【答案】原计划每天种树40棵．【解析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．【详解】设原计划每天种树x棵,实际每天植树(1+25%)x棵，由题意，得1000 x −1000+%x （125）=5，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解. 答：原计划每天种树40棵. 21．观察下列各式：22221(12)23+⨯+=，22222(23)37+⨯+=，22223(34)413+⨯+=，….（1）2224(45)5+⨯+=____________；（2）用含有n （n 为正整数）的等式表示出来，并加以证明；（3）利用上面得到的规律，写出222100(100101)101+⨯+是哪个数的平方数. 【答案】（1）221；（2）[][]2222(1)(1)(1)1n n n n n n ++++=++或()221n n ++，理由见解析；（3）210101 【分析】（1）根据规律为2(451)⨯+（2）根据规律为()211n n ++⎡⎤⎣⎦（3）()2222100(100101)1001011011+⨯+=⨯+【详解】解：（1）()222221(12)2121=3+⨯+=⨯+()222222(23)3231=7+⨯+=⨯+()222223(34)4341=13+⨯+=⨯+∴()222224(45)545121+⨯+=⨯+=.故答案为：221；（2）[][]2222(1)(1)(1)1n n n n n n ++++=++或()221n n ++.理由如下：[]222(1)(1)n n n n ++++[]22(1)221n n n n =++++[]2(1)2(1)1n n n n =++++[]()222(1)11n n n n =++=++.（3）22222100(100101)101(1001011)10101+⨯+=⨯+=.【点睛】本题考查了数字的规律，根据给出的式子找到规律是解题的关键.22．（1）计算：()()322423523a a a a ⎡⎤⋅+-÷⎢⎥⎣⎦；（2）先化简，再求值：524223x x x x -⎛⎫++⋅ ⎪--⎝⎭，其中5x =．【答案】（1）13-；（2）62x --；16-【分析】（1）根据单项式乘单项式法则、合并同类项法则和单项式除以单项式法则计算即可；（2）根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可．【详解】解：（1）()()322423523a a a a ⎡⎤⋅+-÷⎢⎥⎣⎦ =()()666589a a a ⎡⎤+-÷⎣⎦ =()()6639aa -÷ =13- （2）524223x x x x-⎛⎫++⋅ ⎪--⎝⎭ =24524223x x x x x⎛⎫--+⋅ ⎪---⎝⎭ =()222923x x x x--⋅-- =()()()332223x x x x x+--⋅-- =()23x -+=62x --将5x =代入，得原式=62516--⨯=-【点睛】此题考查的是整式的混合运算和分式的混合运算，掌握整式的各个运算法则和分式的各个运算法则是解决此题的关键．23．如图，△ABC 是等边三角形，△ADC 与△ABC 关于直线AC 对称，AE 与CD 垂直交BC 的延长线于点E ，∠EAF ＝45°，且AF 与AB 在AE 的两侧，EF ⊥AF ．（1）依题意补全图形．（2）①在AE 上找一点P ，使点P 到点B ，点C 的距离和最短；②求证：点D 到AF ，EF 的距离相等．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．【分析】（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．【详解】（1）补全图形，如图1所示（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点∵等边△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短故B,D之间直线最短，点P即为所求．②证明：连接DE，DF．如图3所示∵△ABC，△ADC是等边三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝12∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE ＝∠DEA∵EF ⊥AF ，∠EAF ＝45°∴∠FEA ＝45°∴∠FEA ＝∠EAF∴FA ＝FE ，∠FAD ＝∠FED∴△FAD ≌△FED （SAS ）∴∠AFD ＝∠EFD∴点D 到AF ，EF 的距离相等．【点睛】本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．24．如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边三角形ABC 的边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ．（1）连接AQ 、CP 交于点M ，则在P ，Q 运动的过程中，证明ABQ ∆≌CAP ∆；（2）CMQ ∠会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（3）P 、Q 运动几秒时，PBQ ∆是直角三角形？（4）如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则CMQ ∠变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。

学习目标1．了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。

重点算术平方根的概念。

难点根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。

教学过程教学环节教学活动设计意图创设情境导入新课复习平方根的定义和性质及平方根的计算（1）下列说法正确的是（）A 16的平方根是2±， B 1=1±，C -9的平方根是3±， D -5是5的平方根的相反数。

（2）求下列各数的平方根169，729，2.56，()24-，16（2）若240x x y-++-=，求x.y的值。

让学生复习平方根的定义和性质。

通过计算非负数的平方根，进而引入算术平方根的概念。

自主探究合作交流出示自学提纲：阅读教材96~97页，并回答下列问题：1．算术平方根的概念。

2．为什么规定：0算术的平方根为0？3．总结一个数的算术平方根的性质？4．自学例2、例3、例4先试做后对照。

5．144的算术平方根是多少？怎样用符号表示？学生活动：独立思考1、2答案，提出疑难问题。

给学生充足的时间和空间，理解和感知算术平方根概念，通过讨论、交流，提出共同的问题，使学生的自主性和合作性得到很好的发展。

师生互动归纳新知1.问题1：你能叙术算术平方根的概念吗？一般地：正数a有两个平方根a±，我们把正数a的正的平方根“a，”叫做a的算术平方根。

强调：书写时根号一定要把被开方数盖住。

问题2：a表示什么意思？它的值是怎样的数？这里的被开方数a应该是怎样的数？问题3：0的算术平方根是多少？怎么表示？2、试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．3、想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？1625-）（225建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根。

课题：4.1平方根教学目标1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.教学重难点重点：平方根的概念和求数的平方根。

难点：平方根和算术平方根的联系与区别。

教学准备1、导案2、课件教学过程一、问题导入1、如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？平方等于一个正数的有理数有 个，它们之间的关系是 。

二、明确概念1、什么叫做平方根？如何表示？平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的 ．即：如果2x =a ，那么x 叫做 。

记作 。

2、什么叫做开平方？试说明开平方与平方之间的关系？求一个数的平方根的运算，叫做 ， 与开平方互为逆运算； 3、理解算术平方根与平方根的区别：表一算术平方根与平方根的联系：三、巩固练习1．判断下列说法是否正确：（1） 0的平方根是0 （ ） （2）65是3625的一个平方根 （ ） （3）（-4）2的平方根是-4 （ ） （4） 81的平方根是81=±9 ( )（5）4． （ ）2.求下列各数的平方根：（1）256， （2） 0.0016， （3） 971 （4） 6101 3.求下列各式中x 的值：(1) 252=x ； （2）0812=-x ； （3）36252=x四、合作探究小组内探究下列问题：1、一个正数x 的两个平方根分别是1+a 和3+a ，则=a ,=x .2、拓展应用：已知13705a b -++=，求：()ab a -的平方根. 五、总结反思本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？课堂检测班别： 姓名： 学号： 等级：1、判断题：对的画“√”，错的画“×”.（1）0的平方根是0； （ ） （2）－5的平方是25； （ ） （3）5是25的平方根； （ ） （4）25的平方根是5； （ ） （5）49的算术平方根是－7.（ ） 2、下列各数中没有平方根的是（ ） A ．（－3）2B ．0C ．31 D ．－（－2）23、下列说法中正确的是（ ）A ．－1的平方根是－1；B ．2是4的平方根；C 、若一个数有平方根，则这个数一定是正数；D 、任何一个非负数的平方根都是非负数。

4.1 平方根2班级_______姓名____________学习目标：1．了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根； 2. 会用平方运算求某些非负数的算术平方根；3．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题． 学习重点、难点：会用平方运算求某些非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．学习过程： 一、回顾旧知1．下列说法正确的是…………………………………………………………………（ ） A ．81-的平方根是9±B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C ．任何一个非负数的平方根都不大于这个数D ．2是4的平方根2．若a 的一个平方根是b ，则它的另一个平方根是 ． 3．已知3612=x，则=x ；已知22)41(-=x ，则=x ．二、探索新知1．填空：（1）0的平方根是_______，算术平方根是______. (2) 25的平方根是_______，算术平方根是______. (3)641的平方根是_______，算术平方根是______.[拓展]⑴25的算术平方根是_______，平方根是_______；(－4)2的平方根是_________⑵若0|5|)12(2=-+-y x ，则y x 516-的算术平方根___________2.判断下列说法是否正确：（1）6是36的平方根； （ ） （2）36的平方根是6； （ ） （3）36的算术平方根是6； （ ） （4）()23-的算术平方根是3；（ ） （5）0.01是0.1的算术平方根；（ ） （6）3-的算术平方根是3； （ ） 三、例题讲解例1． 求下列各数的平方根和算术平方根： ⑴225 ⑵1.69 ⑶412 ⑷16 ⑸30例2． 求下列各式的值： ⑴10000 ⑵225121-⑶8149±⑷()23- ⑸25.004.0-例3．（1）=2)01.0( ；=2)5( ；=2)7( ；（2）=23 ；=25 ；=216；（3）=-2)3( ；=-2)5( ；=-2)16( .思考：① =2)(a ，其中a 0.②发现：当a ＞0时，2a ＝ ；当a ＜0，2a ＝ ；当a = 0时，2a ＝即 2a ＝()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a四、课堂反馈1.填空：⑴169的平方根是__________，算术平方根是___________．⑵1691的平方根是___________，算术平方根是__________．⑶()29-的平方根是___________，算术平方根是_________． ⑷64的平方根是___________，算术平方根是________． 2．计算：____144=-____0=_____0001.0=499±＝____________416=-.3．2)4(= ；．2)(π= ；_____432=⎪⎭⎫⎝⎛-；()_____22=-．4．若42=x，则x ＝________；若()412=+x ，则x ＝________.五、课堂小结这节课你学到了什么？巩固拓展 一、填空题1、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；2、若3a +1没有算术平方根，则a 的取值范围是 。

新苏科版八年级数学上册4.1平方根（2）学案姓名 班级 等第1、预习书本第96页，掌握算术平方根的概念，会求一个非负数的算术平方根。

2、预习检测：（1）4的平方根是 ， 叫做4的算术平方根，记作2的平方根是 ， 叫做2的算术平方根，记作 。

0的算术平方根是 ，记作 (2)2)01.0(= ，=2)5( (3)24= ，2)4(-= ，2)5(-= ，20=【例1】求下列各数的算术平方根:（1）625；（2）0.0081；（3）6；（4）0。

三、课堂练习：1. 1的平方根是 ；算术平方根是 ；2.的平方根是 ；算术平方根是 ；3. 若2x =9，则x=；若，则x=42()0x y -=，则x +y 的值是（ ）.A.-2B.-3C.-4D.无法确定5. 平方根等于它本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 。

6. 若x²=16，则5-x 的算术平方根是 。

7. 若4a+1的平方根是±5，则a²的算术平方根是 。

8 .（ ）A 正数B 负数C 0D 不存在9. 已知y=，求xy 的算术平方根。

10、已知13---+y x y x 与互为相反数。

求2)y x -（的算术平方根。

11. 的平方根等于 ，算术平方根等于 。

四．课后作业：一、填空题：1．一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；算数平方根是本身的数____________2．若3a+1没有算术平方根，则a 的取值范围是 。

若3x-6总有平方根， 则x 的取值范围是 。

若式子x －3的平方根只有一个，则x 的值是 。

3．若4a+1的平方根是±5，则a= 。

4．若==a a ，则2.1 ；若==m m ，则22 ；5．若的算术平方根是，则x x -=5162 。

6、下列计算正确的是（ ）A 、451691=B 、212214=C 、05.025.0=D 、525=--7．81的算术平方根是（ ）A 、±9 B、9 C 、±3 D、38．下列说法错误的是（ ）A 、3是3的平方根之一B 、3是3的算术平方根C 、3的平方根就是3的算术平方根D 、3-的平方是39．求下列各式中的x 的值:(1)1962=x (2)01052=-x (3)()2336-x －25=010. 若y=211+-+-x x ，则2x ＋y 的算术平方根是 ．11.已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，且满足04412=+-+-b b a ，求c 的范围.36。

苏科版数学八年级上册教学设计《4-1平方根（2）》一. 教材分析《平方根（2）》这一节的内容，主要是在学生已经掌握了平方根的概念和求法的基础上，进一步探究平方根的性质和运算规律。

教材通过例题和练习，使学生进一步理解和掌握平方根的概念，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平方根的基本概念和求法，但对于平方根的性质和运算规律，可能还不是很清楚。

因此，在教学过程中，教师需要通过举例和讲解，使学生理解和掌握平方根的性质和运算规律。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方根的概念，提高学生解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过举例和讲解，使学生理解和掌握平方根的性质和运算规律。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：平方根的概念和求法。

2.难点：平方根的性质和运算规律。

五. 教学方法采用讲授法、举例法和练习法进行教学。

通过讲解和举例，使学生理解和掌握平方根的性质和运算规律。

六. 教学准备1.教材和教案。

2.投影仪和幻灯片。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式，复习平方根的概念和求法。

例如：请问，一个正整数的平方根是什么？如何求一个正整数的平方根？2.呈现（15分钟）通过幻灯片，展示平方根的性质和运算规律。

例如：一个正整数的平方根有两个，互为相反数；一个正整数的平方根的平方，等于这个正整数。

3.操练（15分钟）让学生在练习本上完成幻灯片上的练习题。

教师巡视课堂，指导学生解答。

4.巩固（10分钟）让学生在小组内，互相讨论平方根的性质和运算规律。

教师选取小组代表，进行解答。

5.拓展（10分钟）让学生思考：平方根的性质和运算规律，在实际生活中有哪些应用？教师引导学生，结合生活实际，举例说明。

6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调平方根的性质和运算规律。

7.家庭作业（5分钟）布置适量的家庭作业，让学生进一步巩固平方根的概念和运算规律。

4.1 平方根教学案1班级_______姓名__________学习目标：1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方根的概念求某些非负数的平方根.学习重点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根. 学习难点：平方根的意义自主学习一、课前预习：1．填空：5的平方是 ；34的平方是 ；0的平方是 ； (－3)2= ；(－35)2= ． 总结：观察上述结果，发现：任意有理数．．．．．的平方是 数． 2.我们知道：4的平方是16， 的平方也是16，所以 的平方是16．类似的： 的平方是25； 的平方是121； 的平方是2549； 的平方是179； 的平方是0； 的平方是－4． 二、新知讲解：一般在，如果一个数X 的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也称为二次方根.也就是说，如果 ，那么x 就叫做a 的 .记作 . 初步感悟：① 因为25= , 2)5(-= ,所以 ±5是 的平方根 . ② 平方得81的数是 ，因此81的平方根是 .③ 9的平方根是 ；49的正的平方根是 ；1.44的负的平方根是 ．讨论提高：① 4有 个平方根，它们互为 数，记作 .② 0有 个平方根，0的平方根是 ．③ -4、-8、-36有平方根吗？为什么？总结：一个数的平方根有几个？三、例题研讨例1.求下列各数的平方根：（1）0.25； （2）8116； （3）15； （4）()22- （5）210-．例2.求下列各式中的x 的值⑴1962=x ； ⑵01052=-x ； ⑶()2336-x －25=0．例3.下列各数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由.（1）64- ； （2） 2)4(-； （3）25-- ； （4）81. 四、课堂反馈1.121的平方根是11±的数学表达式是……………………………………………（ ）A.11121=B.11121±= C. 11121=± D.11121±=± 2.下列说法中正确的是………………………………………………………………（ ）A.24-的平方根是 4±B.把一个数先平方再开平方得原数C.a -没有平方根D.正数a 的平方根是a ±3.能使5-x 有平方根的是…………………………………………………………（ ）A.0≥xB.0>xC. 5>xD. 5≥x4.一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根之和是……………………………（ ）A.大于0B.等于0C.小于0D.大于或等于05．749±=±的意义是 ．6.正数a 的两个平方根的商为 ；若正数a 的两个平方根的积为－259，则a = ． 7.下列各数：－8，()23-，25-，4.0-，52，0，()2--中有平方根的数有 个． 8.平方为16的数是 ，将16开平方得 ，因此平方与 互为逆运算.9.289的平方根是 ，2)4(-的平方根是 ，7的平方根是 .10.若223=y ，则=y ；若22)7(-=x ，则=x . 五、课堂小结：本节课你有哪些收获？巩固拓展一、填空题：1．下列各数：－8，()23-，25-，4.0-，52，0，()2--中有平方根的数有 个． 2. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是 . 3．正数a 的两个平方根的商是 ；若正数a 的两个平方根的积是－259，则a = ． 4．式子2-x ，当x 时，这个式子有意义．5．如果一个正数的平方根是3+a 与152-a ，那么这个数是 ；如果3+a 与152-a 是一个正数的平方根，那么这个数是 ．6. 求下列各式的值：⑴16-= ⑵09.0 = ⑶2)13(-±= .⑷412-= ⑸8172-= ⑹)3)(27(---= .二、选择题：1.一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根的和是 （ ）A.大于0B..等于0C.小于0D.大于或等于02．4的平方根是 （ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2±3.若－b 是a 的平方根，则下列各式中正确的是………………………………… （ ）A. 2a b =B. 2b a =C.2a b -=D.2b a -=三.求下列各式中的x . （1）492=x ； ⑵25)1(42=-x ； （3）09)12(42=-+x三、解答题：1、已知：()()7233=-+++y x y x ，求y x +的值．2、已知2a －1的平方根是±3，4a ＋2b ＋1的平方根是±5，求a －2b 的平方根．3、某纸箱加工厂，有一批边长为４０㎝的正方形硬纸板，现准备将此纸板折成没盖的纸盒。

平方根【基础巩固】1．非负数a的算术平方根表示为_______，225的算术平方根是_______，0的算术平方根是_______．2=_______=_______．-的算术平方根是_______．3_______，0.644．若是49的算术平方根，则等于( )A．7 B．－7 C．49 D．－4957，则的算术平方根是( )A．49 B．53 C．7 D6．若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( )A．1 B．－1 C．0 D．0或17( )A．2 B．－2 C．2或－2 D．48．（－11)2的算术平方根是( )A．121 B．11 C．±11 D．没有平方根9．求下列各数的算术平方根．；(1)100；(2)4964(3)0.0001；(4)0．10．求下列各式的值．11．求下列各式中的．(1)162－25＝0；(2)(＋2)（－1）＝7＋．【拓展提优】12a的值有( )A．0个B．1个C．无数个D．以上都不对13在实数范围内有意义，则的取值范围是A．>1 B．<1 C．≥1 D．≤1141的值在( )A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间15．下列式子中，正确的是( )A B＝－0.6C＝13 D 616．一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是( )A ．a ＋2B 2C 2D ．a 2＋217．下列说法正确的是 ( )A ．2是－4的平方根B ．2是(－2)2的算术平方根C ．(－2)2的平方根是2D ．8的平方根是418()23y ++＝0，则－y 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－719_______．20．已知a ，b 为两个连续整数，且<b ，则a ＋b ＝_______．21．若a b a ，b 的值．22．若()2130x y -++=，求，y ，的值．23．已知2a －1的算术平方根是3，3a ＋b －1的算术平方根是4，c 求a ＋2b －c 的算术平方根．24．已知2y =，求11x y+的算术平方根．25．比较下列各组数的大小．(1)9．26．已知a ，b 是有理数，且11120344a b ⎛⎛++--= ⎝⎭⎝⎭，求a ，b 的值．参考答案【基础巩固】115 0 2．945 －119 3．2 0.8 4．A 5．D 6．D 7．A 8．B 9．(1)10 (2)78 (3)0.01 (4)0 10．(1)318 (2)3 (3)9 (4)45 11．(1)＝±54(2)＝±3 【拓展提优】12．B 13．C 14．D 15．C 16．D 17．B 18．C 19 20．521．a ＝5，b －5 22． ＝1，y ＝－3，＝2 23 2425．(1)< (2)< (3)> (4)>26．a＝335b＝145。