一类单圈图的Laplacian谱刻画

一类超线性p（t）-Laplacian系统的无穷多周期解张申贵【摘要】Using critical point theory, the author studied the existence of periodic solutions for non-autonomous p(t)-Laplacian systems with superlinear nonlinearity.Some sufficient conditions for the existence of infinitely many periodic solutions were obtained via the symmetric mountain pass theorem.%利用临界点理论研究非自治p(t)-Laplacian 系统周期解的存在性，在具有超线性增长非线性项时，根据对称山路定理，得到了系统无穷多个周期解存在的充分条件。

【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】5页(P34-38)【关键词】周期解;p(t)-Laplacian系统;临界点理论【作者】张申贵【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院，兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O175.120 引言考虑非自治p（t）－Laplacian系统：其中p（t）∈C（［0，T］，ℝ＋），p（t）＝p（t＋T），T＞0，且假设：（A）F：［0，T］×ℝN→ℝ满足：F（t，x）关于变量t可测，F（t，x）关于变量x连续可微，存在a∈C（ℝ＋，ℝ＋），b∈L1（0，T；ℝ＋），使得非自治p（t）－Laplacian系统在非线性力学模型［1］、变流体模型［2］和图像恢复模型［3］等领域应用广泛.当p（t）＝2时，Rabinowitz［4］给出了如下条件（AR）：存在μ＞2，L＞0，使得对所有的a.e.t∈［0，T］和都成立.由于p（t）－Laplacian算子具有较复杂的非线性性，所以将已有结果推广为非自治p（t）－Laplacian系统增加了研究难度.近年来，人们开始利用临界点理论研究非自治p（t）－Laplacian系统周期解的存在性［5－11］.特别地，当条件（AR）成立时，Zhang等［5］得到了非自治p （t）－Laplacian系统无穷周期解的存在性定理.条件（AR）可以推出非线性项▽F（t，x）是超线性的，但很多超线性函数并不满足条件（AR）.例如本文在比条件（AR）更弱的超线性条件下，研究p（t）－Laplacian系统无穷多周期解的存在性.先将系统（1）的周期解转化为定义在一个适当空间上泛函的临界点，然后利用临界点理论中对称山路定理得到该问题无穷多解存在性的充分条件.1 预备知识记p（t）∈C（［0，T］，ℝ＋），定义其范数为记Sobolev空间其范数为记其中引理1［5］紧嵌入C（［0，T］，ℝN），则存在常数C0＞0，使得对∀u∈W1，p（t）T，有引理2［5］记则：引理3［5］在Sobolev空间上定义泛函φ如下：φ弱下半连续且连续可微，则是问题（1）的周期解当且仅当u是泛函φ的临界点.定义1 设X为Banach空间，若泛函φ∈C1（X，ℝ）满足：对任何点列及任何｛un｝⊂X，由｛φ（un）｝有界，（1＋‖un‖）‖φ′（un）‖→0（n→∞），蕴含｛un｝有收敛子列，则称泛函φ满足（C）条件.命题1（对称山路定理）［12］设E 为实Banach空间，φ∈C1（X，ℝ）是偶函数且满足（C）条件，φ（0）＝0.令E＝V⊕X，dimV＜＋∞.若φ满足：1）存在常数ρ，α＞0，使得2）对所有E的有限维子空间及常数使得则泛函φ有无穷多个临界点.2 主要结果假设以下条件成立：（H1）对a.e.t∈［0，T］一致成立；（H2）设存在r1＞p＋和M＞0，对a.e.t∈［0，T］一致成立；（H3）存在常数L＞0，C1＞0，使得当时，有（H4）存在常数L＞0，C2＞0，使得当时，有其中（H5）F（t，u）关于u是偶的，即F（t，u）＝F（t，－u）.本文的主要结果如下：定理1 设（H1）～（H5）成立，则问题（1）在中有无穷多个周期解.证明：1）证明泛函φ满足（C）条件，设使得先证明｛un｝在中有界.用反证法.若｛un｝在中无界，则当n→∞时，‖un‖→∞.由条件（H3）和假设（A）知，存在常数C4＞0，使得对所有的u∈ℝN 和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（5），（6），有从而可得其中令则‖vn‖＝1.若｛un｝在 W1，p（t）T 中无界，反设当n→∞时，‖un‖→∞.由式（7），有由式（8）及内插不等式，有其中由反设，当n→∞时，‖un‖→∞，可取‖un‖＞1，由式（4），有又由式（5），当n充分大时，有由条件（H4）和式（5），当n充分大时，有其中由积分的绝对值不等式、Hölder不等式、式（9），（11），并注意到有由式（10），当n→∞时，有1＝o（1），矛盾.故｛un｝在中有界.再注意到紧嵌入C（［0，T］；ℝN）和的一致凸性，类似于文献［5］中定理3.2的证明，｛un｝有收敛子列，故泛函φ满足（C）条件.2）证明存在常数ρ，α＞0，使得其中由条件（H2），存在两个正常数ε和δ，使得0＜ε＜C0，0＜δ＜ε，其中C0为式（3）中的正常数，且对a.e.t∈［0，T］和成立.令ρ＝δ／C0，‖u‖＝ρ，因为ρ＜1，由式（4），（12），有令ρ充分小，使得取从而φ（u）≥α，对和‖u‖＝ρ成立.3）证明对任何的有限维子空间W，存在正常数R，使得φ（u）≤0对u∈W＼BR（0）成立，其中BR（0）为以原点为球心、以R为半径的球.由于dim W＜＋∞，有限维空间上各种范数等价，故存在正常数C7，使得对∀u∈W，有由条件（H1）及假设（A）知，存在常数C8＞0，使得对所有的u∈ℝN和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（13），（14），取‖u‖＝R＞1，又由式（4），有因此，对充分大的‖u‖＝R＞1，有φ（u）≤0对u∈W＼BR（0）成立.从而泛函φ满足命题1的所有条件，故由命题1知，泛函φ 在中有无穷多个临界点，于是问题（1）在中有无穷多个周期解.注1 当p（t）＝2时，令取σ＜2，则F满足定理1中条件（H1）～（H5），但不满足文献［5－11］中定理的条件.参考文献【相关文献】［1］Zhikov V.On Some Variational Problems［J］.Russian J Math Phys，1997，11（5）：105－116.［2］Ruzicka M.Electrorheologial Fluids：Modeling and Mathematial Throry［M］.Berlin：Springer，2000.［3］CHEN Yun－mei，Levine S，Rao M.Variable Exponent，Linear Growth Functionals in Image Restoration［J］.SIAM J Appl Math，2006，66（4）：1383－1406.［4］Rabinowitz P H.Periodic Solutions of Hamiltonian Systems［J］.Comm Pure Appl Math，1978，31（2）：157－184.［5］ZHANG Liang，TANG Xian－hua，CHEN Jing.Infinitely Many Periodic Solutions for Some Second－Order Differential Systems with p（t）－Laplacian［J］.Boundary Value Problems，2011，33（2）：1－15.［6］FAN Xian－ling，FAN Xing.A Knobloch－Type Result for p（t）－Laplacian Systems ［J］.J Math Anal Appl，2003，282（2）：453－464.［7］WANG Xian－jun，YUAN Rong.Existence of Periodic Solutions for p（t）－Laplacian Systems［J］.Nonlinear Anal：Theory Methods ＆ Applications，2009，70（2）：866－880.［8］GE Bin，XUE Xiao－ping，ZHOU Qing－mei.Existence of Periodic Solutions for a Differential Inclusion Systems Involving the p（t）－Laplacian［J］.Acta Mathematica Scientia，2011，31（5）：1786－1802.［9］ZHANG Liang，TANG Xian－hua.Subharmonic Solutions for Some Non－autonomous Hamiltonian Systems with p（t）－Laplacian［J］.Bull Belg Math Soc，2011，18（3）：385－400.［10］ZHANG Liang，CHEN Yi.Existence of Periodic Solutions of p（t）－Laplacian Systems［J］.Bull Malays Math Sci Soc，2012，35（1）：25－38.［11］ZHANG Liang，ZHANG Peng.Periodic Solutions of Second－Order Differential Inclusions Systems with p（t）－Laplacian［J］.Abstract and Applied Analysis，2012，38（2）：475965.［12］Mawhin J，Willem M.Critical Point Theory and Hamiltonian Systems［M］.New York：Springer，1989.。

卡氏积图的Laplacian谱半径的上界周后卿【摘要】We organize the results of the upper bounds of Laplacian spectral radius for some graphs in the last few years and explore the upper bounds of Laplacian spectral radius for the Cartesian product of circulant graphs based on the eigenvalues of the Cartesian product of two graphs.Our results generalize and improve the conclusion of the existing literatures.%对近年来图的Laplacian谱半径上界的研究成果进行了简单梳理.利用2个图的卡氏积图的特征值,讨论了2个循环图的卡氏积图的Laplacian谱半径的上界问题,得到了几个上界,推广了已有文献的结论.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(045)001【总页数】5页(P10-13,17)【关键词】卡氏积图;Laplacian矩阵;谱半径;上界【作者】周后卿【作者单位】邵阳学院理学院,湖南邵阳 422000【正文语种】中文【中图分类】O157.5图谱理论是图论重要的研究领域之一，在计算机科学、通信网络、信息科学、量子化学以及统计力学中均有广泛应用.利用代数的非负矩阵理论,借助组合数学的一些理论与技巧,研究图谱与图的结构性质,与图的有关不变量(譬如色数、度序列、直径、围长、连通度等)之间的关系.在图谱理论中,为了研究图的性质,常引入一些矩阵,如图的邻接矩阵、Laplacian 矩阵、距离矩阵等,这些矩阵与图的结构密切相关. 通过矩阵论,特别是非负矩阵理论、对称矩阵理论以及组合矩阵论中的经典结论,对图的拓扑结构进行研究;通过图的邻接矩阵或 Laplacian 矩阵表示,建立图的拓扑结构与图的矩阵表示的置换相似不变量之间的联系；同时，将图论中的一些经典结果用于非负矩阵理论和组合矩阵论,从而推动这些理论的发展.图的拉普拉斯矩阵及其特征值可用于多个领域的研究,并且在物理和化学理论中也有其物理解释.早在19世纪中叶,KIRCHHOFF 就利用 Laplacian 矩阵谱研究了电流网络，并给出了著名的矩阵-树定理. 近几十年来,学者们对图的 Laplacian 谱半径情有独钟,得到了许多深刻的结果.正如 MOHAR[1]所说，Laplacian 特征值比邻接矩阵特征值更能反映图的特质,而且比图的邻接谱更加自然和重要.对图的邻接矩阵和 Laplacian 矩阵特征值而言,最大特征值 (也即图的谱半径)是所有特征值中最重要的一个量.随着科学技术的进步，新的研究方法不断涌现,借助计算机得到了许多更精确的结果.在网络设计中,循环图网络结构性能好,能长时间稳定运行;实用性强,且具有可靠性、安全性、拓展性等特点,因而,循环图是一类重要的网络拓扑图.借助卡氏积图,可以将网络做大,并且能保持原有的一些特征,这种构造网络的方法行之有效.在相关文献的基础上,本文着重研究循环图的卡氏积图的Laplacian半径的上界.设G=(V,E)是一个简单图，顶点集为V=(v1,v2,…,vn),边集为E(G).用表示G的补图, A(G)表示G的邻接矩阵,dj表示顶点j的度数; Δ表示最大度，δ表示最小度,D(G)=(dj)n×n表示G的顶点度对角矩阵. 定义G的拉普拉斯矩阵为L(G)=D(G)-A(G),由于L(G)是一个对称的半正定矩阵，所以0是L(G)的最小特征值. 不妨设L(G)的特征值为将μ1(G)称作图G的Laplacian谱半径, 用μ(G)表示；将μn-1(G)称作G的代数连通度,用a(G)表示. 由于这里I表示单位矩阵,J表示所有元素全为1的矩阵.因此特别地).从而得到下列事实：设G是一个具有n个顶点的简单图.那么,μ(G)≤n等式成立当且仅当不连通.关于图的Laplacian谱半径上界,学者们研究了一般图,并且讨论了树、单圈图、二部图等特殊图,得到了许多深刻的结果.(1) ANDERSON等[2]利用相邻2个顶点度给出了其上界：等式成立当且仅当G是一个正则二部图或半正则二部图.(2) MERRIS[3]利用平均度改进了上述上界，得到这里mu表示G中与顶点u相邻的顶点的平均二次度，即(3) DAS[4]在文献[2]的基础上做了改进,证明了：设G是一个具有n个顶点的连通图，则μ(G)≤ max{du+dv-|NG(u)∩NG(v)|：uv∈E(G)},其中，NG(u)表示顶点u在G中的邻点集,NG(u)∩NG(v)表示这2个邻点集中的公共顶点数.(4) LI等[5]在上述文献的基础上,得到等式成立当且仅当G是一个正则二部图.(5) SHI[6]利用最大、最小、平均度证明了：设G是一个具有n个顶点、直径为D、最大度为Δ、最小度为δ、平均度为d的非正则连通图.则(6) STEVANOVIC[7]证明了具有顶点最大度的树的Laplacian谱半径的一个上界(7) GUO[8]利用匹配数得到了下列结论：设表示顶点为n的树，由星图K1,n-m中的m-1个悬挂点吸附m-1条悬挂边而得到.T是一个具有n个顶点,且匹配数为β的树，则μ(T)≤r等式成立当且仅当T≅其中r是方程x3-(n-β+4)x2+(3n-3β+4)x-n=0的最大根.(8) FENG等[9]讨论了具有给定独立数的单圈图的Laplacian谱半径问题,得到下列结果：设G是一个具有n(n≥k+4)个顶点、k(k≥1)个悬挂点的单圈图，则μ(G)≤μ(U4,k)等式成立当且仅当G≅U4,k，这里，Ug,k表示顶点为n(n≥k+4)的单圈图，由圈图Cg的一个顶点吸附k条长度几乎相等的路(这些路长度最多相差1)而得到.文献[9]还得到了下列结论：若G是一个具有n个顶点，且有k个悬挂点、围长为3、独立数为α(α≥2) 的单圈图.如果p≤α-1,则等式成立当且仅当G≅这里是单圈图,由圈图C3的1个顶点吸附2α-n+1条悬挂边和n-α-2条长为2的路得到.(9) GRONE 等[10]获得了以下二部图结果：设G是一个连通图,则μ(G)≤q(G)等式成立当且仅当G是一个二部图,这里q(G)表示矩阵Q(G)=D(G)+A(G)的最大特征值.设Βn,m表示所有顶点为n,边为m的二部图，Gm表示在Βn,m中具有最大Laplacian谱半径的一个二部图.(10) LI等[11]证明了以下结果：对固定的n,令m< .(i) 对所有的若m≠t(n-t),则μ(Gm)<μ(Gm+1);(ii) 对某些若 m=t(n-t), 则μ(Gm+1)<μ(Gm)=n.(11) PATRA 等[12]得到了以下结论：设G是一个二部图,G′是由G中的一个顶点邻接另外一个新顶点所得，则μ(G)≤μ(G′).更一般地(见文献[1]),在图G中插入一条新边e，得到另一个图G′,即G′=G+e.则有μ(G)≤μ(G′).(12) MOHAR[1]证明了下列定理：设G=G1∪G2 是图G的因子分解,则(13) 周后卿[13]研究了图在二元运算下,Cartesian 积图的最大Laplacian特征值的上界问题.(14) 对于具有n个顶点的Halin图G,JIA等[14]证明了其Laplacian谱半径满足不等式：右边不等式成立当且仅当G=Wn，Wn表示有n个顶点的轮图.(15) LIU等[15]讨论了具有最大Laplacian谱半径的极图问题.(16) XING等[16]得到了具有固定控制数的Laplacian谱半径，并刻画了其极图. 循环图具有n个顶点的循环图G(n,S)可以定义为循环群上的一个Cayley图,其顶点是循环群Zn上的元素,顶点i,j相连当且仅当j-i是S中的元素,这里S是 Zn{0}的一个子集.循环图的矩阵是一个循环矩阵,循环图是一个正则图,每个顶点的度相等. 卡氏积图设G=(V(G),E(G)),H=(V(H),E(H))是2个简单的连通图,那么G与H的卡氏积图G×H是这样的图：其顶点集为V(G×H)=V(H)×E(H); G×H中任何2个顶点(u,v)与(s,t)相邻当且仅当u=s且v与t在H中相邻；或v=t且u与s在G中相邻，这里u,s∈V(G),v,t∈V(H).为了证明本文结论，需要下列引理：引理1[17] 设图G与H的顶点分别为n,m,图G与H的Laplacian特征值分别为μ1(G)≥μ2(G)≥…≥μn-1(G)≥μn(G)=0,μ1(H)≥μ2(H)≥…≥μn-1(H)≥μn(H)=0，则G与H的笛卡尔乘积G×H的Laplacian矩阵的特征值为引理2[18] 设G是一个顶点为n(n≥4)的连通、非完全图.则G的邻接矩阵的最小特征值λmin(G)满足引理3[19] 设图G的顶点为n(n≥4),若G的补图是连通的.则λmin(G)≥-,等式成立当且仅当图是中的任意一条边.对于一个γ-正则图G,其Laplacian特征值与其邻接矩阵特征值之间的关系为其中,λj为G的邻接矩阵的特征值.定理1 设G与H是2个顶点分别为n,m(n,m≥4), 度分别为s,t的循环图.则G与H的卡氏积图G×H的Laplacian谱半径满足不等式：其中,Ν,E,O分别表示正整数集、偶数集、奇数集.并且,p1=,p2=,q1=,q2=.证明不妨设Ν,Ε,Ο分别表示正整数集、偶数集、奇数集.(1) 由引理2可知,所以,即μ(G)≤s+, μ(H)≤t+, m,n∈N.由引理1,结论得证.(2) 由引理3,当n∈Ε时,λmin(G)≥-,即-λmin(G)≤,所以有μ(G)≤s+.同理,当m∈Ε时可得μ(H)≤t+.记由引理1得(3) 当n∈O时，λmin(G)≥-,即-λmin(G)≤,所以有同理,当m∈Ο时可得记于是,由引理1得(4) 当n∈E,m∈O时，即根据引理1,有(5) 当n∈Ο,m∈Ε时,即由引理1，有定理得证.定理2 设G与H是2个顶点分别为n,m, 度分别为s,t的循环图.则G与H的卡氏积图G×H的Laplacian谱半径等式成立当且仅当G,H是完全图,其中，证明由μ(G)≤max{du+dv-|NG(u)∩NG(v)|：uv∈E(G)}可知,对于循环图G,有μ(G)≤2du-|NG(u)∩NG(v)|=2s-|NG(u)∩NG(v)|=2s-k,这里,|NG(u)∩NG(v)|=k,uv∈E(G).同理,对于循环图H,有μ(H)≤2t-l,其中,由引理1,便可推得上述结论.特别地,当G,H是完全图时，因而,有例1 循环图G=G(15,S1),H=H(20,S2)，S1={3,5,6,9,10,12},S2={4,5,8,10,12,15,16},分别是度为6,7的正则图.由定理1可得μ(G×H)≤30.5 以及μ(G×H)≤40.2；由定理2得到μ(G×H)≤20.借助计算软件,实际求得说明定理2的结果准确性更高.衷心感谢审稿专家给予本文的宝贵意见！【相关文献】[1] MOHAR B. 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给定最大度的极大拉普拉斯谱单圈偶图林国光;宋海洲【摘要】By considering the effect of adding and grafting edges to a graph on the Laplacian spectral radius, this paper studies the properties of maximal Laplacian spectrum unicyclic bipartite graphs with order n and the given maximum degree Δ>2 , and concludes that the component of the normalized Laplacian vector which has the larg⁃est absolute value is corresponding to a vertex of degreeΔ, and this vertex is on the circle.%通过图的移接变形对拉普拉斯谱半径的影响，研究了给定最大度为Δ>2的n阶极大拉普拉斯谱单圈偶图的性质，得到了它的规范拉普拉斯谱向量中绝对值最大的分量对应的顶点的度均等于Δ且这些顶点的位置均在圈上。

【期刊名称】《华东交通大学学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】7页(P126-132)【关键词】单圈偶图;最大度;拉普拉斯谱半径;移接变形;向量【作者】林国光;宋海洲【作者单位】华侨大学数学科学学院，福建泉州362021;华侨大学数学科学学院，福建泉州 362021【正文语种】中文【中图分类】O157.5作通者讯简作介者：宋海洲（1971—），男，副教授，主要研究方向为图论。

本文所考虑的图均为无环、无重边、有限且无向的简单连通图。

设G=(V(G),E(G))是n阶简单连通图，其顶点集为V(G)={v1,v2,...,vn}，边集为E(G)={e1,e2,…,em}。

给定直径的单圈图的拟拉普拉斯谱半径【摘要】文章研究的是单圈图的拟拉普拉斯的最大特征值（谱半径），刻画了所有阶数为，直径为的单圈图中取得最大谱半径的单圈图是。

【关键词】单圈图直径拟拉谱拉斯谱半径[abstract] this paper vestigates the signless laplacian spectral radius of unicyclic graphs and unicyclic graphs of fixed order and diameter with greatest signless laplacian spectral radius are determined.[keywords] unicyclic graphs；diameter；signless laplacian；spectral radius1.引言及预备知识设是一个阶简单连通无向图，定义g的邻接矩阵为，这里。

矩阵为图g的度对角矩阵，其中表示顶点的度。

矩阵称为g的拉普拉斯矩阵，矩阵称为g的拟拉普拉斯矩阵。

由于是一个实对称方阵，它的特征值均为实数，不妨将其排列为。

称的最大特征值称为图g的拟拉普拉斯谱半径，通常记为。

此外，文中未给出定义的一些概念可以参考文献[6][7]。

图的拟拉普拉斯谱半径的研究是近年来热门的一个课题，在给定一个图的集合，在这个集合中寻找一个谱半径的上界或下界，并刻画达到这个界的图。

即在给定条件下确定具有最大或者最小谱半径的极图。

文献[2][3][5]分别研究了在给定围长、悬挂点个数、度序列的条件下的极图。

本文研究的是在给定直径的条件下，所有单圈图取得最大拟拉普拉斯谱半径的极图。

2.引理及相关定理引理1[3] 设为图g的一条边，在边中间加上一个新的顶点之后所得的图记为，那么有：（1）若不是图g的内部路，且，则，其中是n阶圈。

（2）若是图g的内部路，且，则，其中这里是阶路的首尾两个顶点各添加两条悬挂边而得到的图。

图的谱整变化与Laplace整图的开题报告本文主要介绍图的谱整变化与Laplace整图的概念及其应用。

首先简单介绍了图的基本概念和性质，然后阐述了图的谱整变化的定义和性质。

最后介绍了Laplace整图的定义、性质和应用。

一、图的基本概念和性质图是由一些点和连接这些点的线组成的结构，通常用G = (V, E)表示，其中V是点集合，E是边集合。

对于无向图G=(V,E)，一个边(u,v)可以表示为一对点u和v的无序偶(u,v)。

对于有向图，一个边(u,v)通常表示为有序偶< u,v > 或从顶点u到顶点v的箭头。

在图论中，图有许多代表性的性质，如连通性、完全性、路径、度数等。

其中，连通性是最基本的性质之一，指图中的任意两个顶点之间都存在一条路径。

二、图的谱整变化图的谱整变换是指对于一个给定的图G，通过改变其权重和/或连接方式而产生的另一个新的图G'，使得它们的谱分布有相似的变化。

在实际应用中，谱整变换可以用于图形压缩、图像分析、网络聚类等领域。

具体地讲，要进行图的谱整变换，需要定义一个指标来度量谱分布的相似度，常用的指标有谱距离、谱偏差等。

谱距离是通过比较两个图的特征谱向量之间的欧几里得距离来衡量它们之间的相似度；谱偏差是通过计算两个图的拉普拉斯矩阵之间的Fr茅chet距离来衡量它们之间的相似度。

三、Laplace整图Laplace整图是指对于一个给定的图G，通过改变其权重和/或连接方式而产生的另一个新的图G'，使得它们的Laplace矩阵有相似的变化。

在实际应用中，Laplace整图可以用于图像处理、模式识别、信号处理等领域。

其具体应用包括基于拉普拉斯特征映射的分类、基于谱几何的形状匹配等。

总之，图的谱整变化和Laplace整图是图论中的两个重要概念，其在各个领域中具有广泛的应用价值。