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2021年中考数学一轮复习(通用版)第2章整式与因式分解考点梳理考点一列代数式及求值1．代数式的概念用加、减、乘、除、乘方、开方等把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．2．列代数式把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来．3．代数式的求值用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做求代数式的值.【点拨】代数式求值的一般方法：(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值．(2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式的关系；①将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法；①把已知代数式看成一个整体代入求值．考点二整式及其运算1．单项式只含有数字与字母的的代数式叫做单项式．单独一个数字或字母也是单项式．(1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．【点拨】在确定系数时不要遗漏数字前面的符号，如－12πa2b，系数是－12π，而不是12π或12.(2)一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数．2．多项式几个单项式的叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．一个多项式含有几项，这个多项式就是几项式，多项式中项的次数，就是这个多项式的次数．3．整式单项式与多项式统称为整式．4．同类项(1)同类项：多项式中，所含相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．所有项都是同类项．(2)合并同类项：把多项式中的合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的不变．5．整式的加减(1)整式加减的实质是．(2)去括号法则：括号前是“＋”号，括号内各项都不变号，如a＋(b＋c)＝a＋b＋c；括号前是“－”号，括号内每一项都，如a－(b＋c)＝a－b－c.(3)添加括号法则：括号前是“＋”号，括到括号内的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号内的各项都改变符号．6．整式的乘除(1)单项式乘单项式：把它们的、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的相同字母的幂作为的一个因式.如2a·3ab＝6a2b.(2)单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积.如m(a＋b)＝ma＋mb.(3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积.如(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.(4)单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除，作为的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的作为商的一个因式.如ma2÷na＝man(n≠0，a≠0).(5)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商.如(ma ＋mb)÷m＝a＋b(m≠0).7. 幂的运算8(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝．(2)完全平方公式：(a±b)2＝．考点三因式分解把一个多项式化为的形式叫做把这个多项式因式分解．1．因式分解的方法(1)提公因式法公式：ma＋mb＋mc＝．【点拨】公因式的确定：(1)取系数：取多项式中各项系数的最大公因数；(2)取字母：取各项中相同的字母；(3)取指数：取各项中相同字母的最低次幂．(2)公式法①平方差公式：a2－b2＝；①完全平方公式：a2±2ab＋b2＝；拓展内容：①十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝．①分组分解法：a2＋b2－c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2－c2＝(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c).2．因式分解的步骤(1)若有公因式，要先提公因式，首项含有负号的，连同负号一起提出；(2)若多项式是二项式，考虑是否具备平方差公式的特点；(3)若多项式是三项式，考虑是否具备完全平方公式的特点；(4)若多项式是四项及以上，考虑局部提公因式或使用分组分解法，然后再继续分解；(5)检查因式分解是否彻底．重难点讲解考点一代数式求值方法指导：根据已知条件求代数式的值，有时需要将已知条件进行适当变形，或将已知关系式作为整体，直接代入所求代数式中进行计算．经典例题1 (2020•四川一模)已知3x－y＝－2，则代数式2020－3x＋y＝．【解析】原式＝2020－(3x－y)，∵3x－y＝－2，∴原式＝2020－(－2)＝2022．【答案】2022考点二整式的运算方法指导：进行整式的运算，要掌握整式的所有运算法则、公式，并按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序进行运算，有括号的可先算括号里的，也可以利用去括号法则先去括号.经典例题2 (2020•安徽模拟)下列各式中计算结果为x5的是( )A．x3＋x2B．x3﹒x2C．x﹒x3D．12x7－x2【解析】x3与x2不是同类项不能合并，故选项A不符合题意；x3﹒x2＝x5，故选项B符合题意；x﹒x3＝x4，故选项C不符合题意；12x7与－x2不是同类项不能合并，故选项D不符合题意．【答案】B考点三乘法公式的应用方法指导：乘法公式特殊的结构特点，特别是完全平方式的非负性使其在初中数学中具有广泛地应用，解决相关问题的关键是把握乘法公式的结构特点，能进行灵活变形，并具有整体性及方程思想．经典例题3 (2020•安徽合肥二模)若a＋b＝3，a2＋b2＝7－3ab，则ab等于( )A．2B．1C．－2D．－1【解析】∵a＋b＝3，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝9，∴a2＋b2＝9－2ab，∵a2＋b2＝7－3ab，∴9－2ab＝7－3ab，解得ab＝－2.【答案】C考点四因式分解方法指导：首先要熟练掌握公式的结构特征，并牢记公式，“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式；分解因式的题目中，一般采用“一提、二套、三检查”的方法进行综合分析，即如果整式中含有公因式，要先提取公因式；如果没有公因式，考虑用公式法来分解；并检查因式分解是否彻底．经典例题4(2020•河北一模)分解因式：x3－4x2＋4x＝.【解析】x3－4x2＋4x＝x(x2－4x＋4)＝x(x－2)2.【答案】x(x－2)2过关演练1．(2020•安徽亳州二模)某公司去年10月份的利润为a万元，11月份比10月份减少5%，12月份比11月份增加了9%，则该公司12月份的利润为( )A．(a－5%)(a＋9%)万元B．(a－5%＋9%)万元C．a(1－5%＋9%)万元D．a(1－5%)(1＋9%)万元2．(2020•辽宁模拟)下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是( )A．a2﹒a3B．(a2)3C．(a3)2D．a2﹒a43．(2020•浙江金华模拟)计算x6÷x2(x≠0)的结果是( )A．x3B．x－3C．x4D．x－44．(2020•青海模拟)把多项式4x －4x 3因式分解正确的是( ) A ．－x (x ＋2)(x －2) B ．x (x ＋2)(2－x ) C ．－4x (x ＋1)(1－x )D ．4x (x ＋1)(1－x )5．(2020•重庆)已知a ＋b ＝4，则代数式1＋2a ＋2b的值为( ) A ．3B ．1C ．0D ．﹣16．(2020•四川泸州)下列各式运算正确的是( ) A ．x 2＋x 3＝x 5B ．x 3﹣x 2＝xC ．x 2•x 3＝x 6D ．(x 3)2＝x 67．(2020•黑龙江绥化)下列计算正确的是( ) A ．b 2•b 3＝b 6B ．(a 2)3＝a 6C ．﹣a 2÷a ＝aD ．(a 3)2•a ＝a 68．(2020•山东德州)下列运算正确的是( ) A ．6a ﹣5a ＝1 B ．a 2•a 3＝a 5C ．(﹣2a )2＝﹣4a 2D ．a 6÷a 2＝a 39．(2020•江苏连云港)下列计算正确的是( ) A ．2x ＋3y ＝5xy B ．(x ＋1)(x ﹣2)＝x 2﹣x ﹣2C ．a 2•a 3＝a 6D ．(a ﹣2)2＝a 2﹣410．(2020•黑龙江齐齐哈尔)下列计算正确的是( ) A ．a ＋2a ＝3a B ．(a ＋b )2＝a 2＋ab ＋b 2 C ．(﹣2a )2＝﹣4a 2D ．a •2a 2＝2a 211．(2020•江苏无锡)若x ＋y ＝2，z ﹣y ＝﹣3，则x ＋z 的值是( ) A ．5B ．1C ．﹣1D ．﹣512．(2020•浙江金华)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是()A．a2＋b2B．2a﹣b2C．a2﹣b2D．﹣a2﹣b2 13．(2020•四川甘孜州中考第22题4分)若m2﹣2m＝1，则代数式2m2﹣4m＋3的值为．14．(2020•贵州黔西南州)若7a x b2与﹣a3b y的和为单项式，则y x＝．15．(2020•贵州铜仁)因式分解：a2＋ab﹣a＝．16．(2020•浙江温州)分解因式：m2﹣25＝．17．(2020•贵州黔西南州)把多项式a3﹣4a分解因式，结果是．18．(2020•黑龙江齐齐哈尔)因式分解：3a2﹣48.19．(2020•浙江嘉兴)(1)计算：(2020)0＋|﹣3|；(2)化简：(a＋2)(a﹣2)﹣a(a＋1)．20．(2020•山东济宁)先化简，再求值：(x＋1)(x﹣1)＋x(2﹣x)，其中x＝12．参考答案考点梳理考点一 1.运算符号考点二 1.乘积 2.和次数最高 4.(1)字母常数(2)同类项指数 5.(1)合并同类项(2)变号 6.(1)系数积(2)相加(3)相加(4)商指数(5)相加7. a m＋n a m－n a mn a mp b npnnba8.(1)a2－b2(2)a2±2ab＋b2考点三n个最简整式的积(1)m(a＋b＋c) (2)①(a＋b)(a－b) ①(a±b)2 ①(x＋p)(x＋q)过关演练1. D 解析：先表示11月份利润为a(1－5%)万元，则12月份利润为a(1－5%)(1＋9%)万元．2. A 解析：分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一计算，得出选项A的正确结果为a2﹒a3＝a5；选项B的正确结果为(a2)3＝a6；选项C的正确结果为(a3)2＝a6；选项D的正确结果为a2﹒a4＝a6．3. C 解析：直接利用同底数幂的除法运算法则计算得原式＝x6－2＝x4．4. D 解析：原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．即原式＝4x(1－x2)＝4x(x＋1)(1－x)．5. A 解析：当a＋b＝4时，原式＝1＋12(a＋b)＝1＋12×4＝1＋2＝3．6. D 解析：x2与x3不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；x2•x3＝x5，故选项C不合题意；(x3)2＝x6，故选项D符合题意．7. B 解析：b2•b3＝b5，故选项A不合题意；(a2)3＝a6，故选项B符合题意；﹣a2÷a＝﹣a，故选项C不合题意；(a3)2•a＝a7，故选项D不合题意．8. B 解析：6a﹣5a＝a，故选项A不符合题意；a2•a3＝a5，故选项B符合题意；(﹣2a)2＝4a2，故选项C 不符合题意；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故选项D不符合题意．9. B 解析：2x与3y不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；(x＋1)(x﹣2)＝x2﹣x﹣2，故选项B 符合题意；a2•a3＝a5，故选项C不合题意；(a﹣2)2＝a2﹣4a＋4，故选项D不合题意．10. A 解析：a＋2a＝(1＋2)a＝3a，故选项A计算正确；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，故选项B计算错误；(﹣2a)2＝4a2，故选项C计算错误；a•2a2＝2a3，故选项D计算错误．11. C 解析：∵x＋y＝2，z﹣y＝﹣3，∴(x＋y)＋(z﹣y)＝2＋(﹣3)，整理得：x＋y＋z﹣y＝2﹣3，即x＋z＝﹣1，则x＋z的值为﹣1．12. C 解析：a2＋b2不能运用平方差公式分解，故选项A错误；2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故选项B错误；a2﹣b2能运用平方差公式分解，故选项C正确；﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故选项D错误．13. 5 解析：∵m2﹣2m＝1，∴原式＝2(m2﹣2m)＋3＝2＋3＝5．14. 8 解析：∵7a x b2与﹣a3b y的和为单项式，∴7a x b2与﹣a3b y是同类项，∴x＝3，y＝2，∴y x＝23＝8．15. a(a＋b﹣1) 解析：原式＝a(a＋b﹣1)．16. (m﹣5)(m＋5) 解析：原式＝(m﹣5)(m＋5)．17. a(a＋2)(a﹣2) 解析：原式＝a(a2﹣4)＝a(a＋2)(a﹣2)．18. 解：3a2﹣48＝3(a2﹣16)＝3(a＋4)(a﹣4)．19. 解：(1)(2020)0|﹣3|＝1﹣2＋3＝2；(2)(a＋2)(a﹣2)﹣a(a＋1)＝a2﹣4﹣a2﹣a＝﹣4﹣a．20. 解：原式＝x2﹣1＋2x﹣x2＝2x﹣1，当x＝12时，原式＝2×12﹣1＝0．。
浙教版2021年中考数学一轮复习专题2——整式与因式分解一、单选题1.计算a2·a4的结果是（）A. a6B. a5C. 2a3D. a2.下列式子中正确的是（）．A. B. C. D.3.下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )A. (x＋2)(x－2)＝x2－4B. x2＋4x－2＝x(x＋4)－2C. x2－4＝(x＋2)(x－2)D. x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x4.把多项式分解因式，结果正确的是（）A. B. C. D.5.对代数式a2+b2的意义表达不确切的是（）A. a与b的平方和B. a与b的平方的和C. a2与b2的和D. a的平方与b的平方的和6.请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2B. （x+y）2=x2+2xy+y2C. （x﹣y）2=x2﹣2xy+y2D. （x+y）2=x2+xy+y27.计算：3（22+1）（24+1）（28+1）-216 的结果为（）A. 216-1B. -1C. 216+1D. 18.从下图的变形中验证了我们学习的公式（）A. B.C. D.9.下列说法中错误的是（）A. 9600用科学记数法表示为9.6x103B. 互为相反数的两数的积为-1C. ab比c可以写成D. 单项式的系数是，次数是710.下列说法不正确的个数为（）①﹣0.5x2y3与2πy3x2不是同类项；②多项式3ab3﹣ab﹣1的次数为6次3项式；③单项式﹣4πxy3的系数为与次数之和0；④多项式3x3y2﹣xy﹣3的常数项为3．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.下列等式成立的是( )A. (-x-1)2=(x-1)2B. (-x-1)2=(x+1)2C. (-x+1)2=(x+1)2D. (x+1)2=(x-1)212.将2x2﹣x﹣2分解因式为（）A. B. 2C. 2D. 213.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，…，按此规律，第⑥个图形中矩形的个数为（）A. 30B. 25C. 28D. 3114.在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：……①然后在①式的两边都乘以6，得：……②②-①得，即，所以.得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出的值?你的答案是（）A. B. C. D.二、填空题15.已知与（m，n是整数）是同类项，则=________.16.用代数式表示：“x的2倍与y的差的平方”是________．17.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），卡片长为x，宽为y，不重叠地放在一个底面为长方形（宽为a）的盒子底部（如图②），盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是________（用只含b的代数式表示）．18.多项式a2-ab2-3a2c-8是________次________项式,它的常数项是________19.把多项式5xy﹣x2+4按x的降幂排列________．20.观察下面两行数－2，4，－8，16，－32……－1，6，－5，20，－27……则第二行数的第8个数等于________.三、综合题21.先化简，再求值．(2+3x)(-2+3x)-5x(x-1)-(2x-1)2，其中．22.计算：（1）；（2）4（a﹣b）﹣（2a﹣b）．23.计算：（1）6x2•3xy（2）(4a﹣b2)(﹣2b)（3）2a·（a+1）- a（3a- 2）+2a2 (a2-1).24.请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y=1，x⊕2y=﹣2，分别求出x和y的值；（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．25.先化简，再求的值，其中a= ，b=﹣．26.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?, , , - ,- x+3,- +3, , .27.计算（1）|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（）﹣1（2）（﹣a2）3﹣6a2•a4（3）3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）（4）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4．28.已知，有一组不为零的数a，b，c，d，e，f，m，满足，求解：∵a=bm，c=md，e=fm∴= = m利用数学的恒等变形及转化思想，试完成：（1）244，333，422的大小关系是________（2）已知a，b，c 不相等且不为零，若，求的值．29.阅读理解：对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式分解因式．（2）拓展应用：二次三项式有最小值或有最大值吗?如果有，请你求出来并说明理由．答案一、单选题1. A2. D3. C4.B5. B6.B7. B8. D9. B 10.A 11. B 12. D 13. D 14. B二、填空题15. -1 16. （2x-y）217.4b 18. 三；四；19.﹣x2+5xy+4．20. 264三、综合题21. 解：== = ，当时，．故答案为：-8．22. （1）解：（-1）2016-2÷ ×3+(−2)2=1-4×3+4=1-12+4=-7（2）解：4（a-b）-（2a-b）=4a-4b-2a+b=2a-3b23. （1）解：6x2•3xy=18x3y；（2）解：（4a﹣b2）(﹣2b）=﹣8ab+2b3（3）解：2a·（a+1）- a（3a-2）+2a2 (a2-1) =2a2+2a - 3a2+2a +2a4 -2a2=2a4 -3a2+4a24. （1）解：根据题意得：，解得：（2）解：根据题意得：，解得：﹣2＜x≤ ．故x的取值范围是﹣2＜x≤25.解：原式= + + = = ，当a=，b=﹣时，原式=﹣26.解:整式: , , ;分式: ,、、、27. （1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（）﹣1=1﹣8+1﹣3=﹣9（2）解：（﹣a2）3﹣6a2•a4=﹣a6﹣6a6=﹣7a6（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）=3x﹣2x+2﹣3x﹣3=﹣2x﹣1（4）解：（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4=m8+m8+m8=3m828. （1）333＞244=422（2）解：∵，，，∴a+b=3ab，b+c=4bc，a+c=5ac，∴（a+b）c=3abc，（b+c）a=4abc，（a+c）b=5abc，即ac+bc=3abc，ab+ac=4abc，ab+bc=5abc，∴2（ab+bc+ac）=12abc，即ab+bc+ac=6abc，∴.29. （1）解：==== ；（2）解：有最小值，为-4，== ，∵，∴当时，有最小值，为-4．。
初中数学因式分解的应用培优练习题2（附答案详解）1．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）. A ．3B ．-3C ．5D ．-52．如果一个三角形的三边a 、b 、c ，满足2ab bc b ac +=+，那么这个三角形一定是（ ）A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解: 22228160m mn n n -+-+=Q ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.4．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．. 5．阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) …… ＝例2：因式分解：x 4+x 2+1 解：原式＝x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1﹣x 2 ＝(x 2+1)2﹣x 2 ＝(x 2+1+x)(x 2+1﹣x) 根据材料解决下列问题： (1)计算：；(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x 4+4来表示，所以他决定先对x 4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x 4+4； ②计算：.6．已知xy 15=，满足()()22x y xyx y 28---=（1）利用因式分解求x y -的值；（2）求22x y ,x y ++的值7．用双十字相乘法分解因式 例：20x 2+9xy-18y 2-18x+33y-14。
初中数学因式分解综合训练培优练习2（附答案详解）1．下列各式分解因式正确的是A ．()()2228244a b a b a b -=+- B ．()22693x x x -+=-C ．()22224923m mn n m n -+=-D ．()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+2．因式分解：a (n －1)2－2a (n －1)＋a.3．分解因式：412x 3y xy -+4．因式分解：（1）316x x - （2）221218x x -+5．因式分解：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2； （2）a 3-4ab 2．6．2221x x y ++-7．(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+18．分解因式：(1) 3a 3－6a 2+3a ．(2) a 2(x －y)+b 2(y －x)．9．因式分解：(1)3349x y xy - (2)222(6)6(6)9x x ---+10．因式分解： (1) x 2﹣36；(2) xy 2﹣x ；(3) ab 4﹣4ab 3+4ab 2；(4) （m +1）（m ﹣9）+8m ．11．已知ab ＝－3，a ＋b ＝2．求下列各式的值： (1)a 2＋b 2； (2)a 3b ＋2a 2b 2 ＋ab 3； (3)a －b ．12．（1）因式分解：3a 3+12a 2+12a ；2016+20162-20172（2）解不等式组：()263125x x x -<⎧⎨+≤+⎩，并将解集在数轴上表示出来．（3）解分式方程：2236x 1x 1x 1+=+--．13．观察下列式子：23(1)(1)1x x x x +-+=+;23(2)(24)8x x x x +-+=+;2233(2)(42)8m n m mn n m n +-+=+;……（1）上面的整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方公式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含a 、b 的字母表示），并加以证明；（2）直接用你发现的公式写出计算结果：（2a +3b ）（4a 2﹣6ab +9b 2）= ；（3）分解因式：m 3 + n 3 + 3mn （m + n ）.14．分解因式：4322221x x x x ++++15．因式分解：(1)x 2y －2xy ＋xy 2； (2)422x -+．16．222---x xy y =__________17．分解因式212x 123y xy y -+-=___________18．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．19．在实数范围内分解因式：4244x x -+=_____________．20．因式分解：m 3n ﹣9mn ＝______．21．分解因式：339a b ab -=_____________．22．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．23．分解因式：3x 2﹣3y 2＝_____．24．因式分解：2328x y y -=_________.25．分解因式：am 2﹣9a=_________________．26． 分解因式：（p+1）（p ﹣4）+3p ＝_____．27．因式分解：x 3﹣6x 2y +9xy 2＝____．28．分解因式：222x 2y -= ______.29．分解因式：22xy xy x -+-=__________．30．分解因式：a 3b +2a 2b 2+ab 3＝_____．31．分解因式：3a 2+6ab+3b 2=________________．32．分解因式：29y x y -=_____________．33．分解因式：4a 2b ﹣b ＝_____．34．分解因式：222m -=_________________________．35．分解因式：2a 2﹣18=________．36．分解因式：x 3﹣2x 2+x=______．37．因式分解：34x x -=____________________．参考答案1．B【解析】【分析】利用完全平方公式a 2-2ab+b 2=（a-b ）2和平方差公式以及提公因式法分别进行分解即可．【详解】A. ()()2222282(4)222a b a b a b a b -=-=+-，故该选项错误； B. ()22693x x x -+=-，分解正确；C. ()22224923m mn n m n -+≠-，故原选项错误；D. ()()()()2()x x y y y x x y x y x y -+-=--=-，故原选项错误. 故选B.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．2．a(n-2)2【解析】试题分析：根据题意，先提公因式a ，然后把n-1看做一个整体，利用完全平方公式分解即可.试题解析：原式=a[(n-1)2-2(n-1)+1]=a[(n-1)-1]2=a(n-2)2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 3．()()32121xy x x -+-【解析】试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式-3xy ，然后根据平方差公式因式分解即可. 试题解析：()()()4212x 334132121y xy xy x xy x x -+=--=-+- 4．（1）(4)(4)x x x +-；（2）22(3)x -【解析】试题分析：根据因式分解的方法步骤，一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三检查（是否分解彻底），可直接进行因式分解.试题解析：（1）原式=()216x x -=()()44x x x +-（2）原式=()2269x x -+=()223x -5．（1）-3x （x-y ）2；（2） a （a+2b ）（a-2b ）．【解析】试题分析：根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），可以直接接计算即可.试题解析：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2=-3x （x 2-2xy+y 2）=-3x （x-y ）2（2）a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 6．(1)(1)x y x y +++-【解析】解：原式=()221x y +-=()()11x y x y +++- 7．4(1)x +【解析】解：原式=()2221x x ++=()41x +8．(1) 3 a （a －1）2；(2) (x －y)（a －b)（a+b ）；(3)（a+7b ）（7a+b ）【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：(1) 原式=3 a （a 2－2a+3）=3 a （a －1）2；(2) 原式= (x －y)（a 2－b 2)= (x －y)（a －b)（a+b ）；(3) 原式=[4(a+b)－3(a －b)] [4(a+b)+3(a －b)]=（a+7b ）（7a+b ）．9．（1）（2）22(3)(3)x x +- 【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：（1）3349x y xy -=xy （2x-3y ）（2x+3y ）（2）()()2226669x x ---+ =（x 2-6-3）2=（x+3）2（x-3）210．（1）（x +6）（x ﹣6）．（2）x （y ﹣1）（y +1）．（3）ab 2（b ﹣2）2． （4）（m +3）（m ﹣3）．【解析】试题分析：（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再根据平方差公式分解即可；（3）先提公因式，再根据完全平方公式分解即可；（4）先根据乘法公式计算，再合并同类项，最后根据平方差公式分解即可.试题解析：（1）x 2﹣36=（x +6）（x ﹣6）．（2）xy2﹣x=x（y2﹣1）=x（y﹣1）（y+1）．（3）ab4﹣4ab3+4ab2=ab2（b2﹣4b+4）=ab2（b﹣2）2．（4）（m+1）（m﹣9）+8m=m2﹣9m+m﹣9+8m=m2﹣9=（m+3）（m﹣3）．点睛：此题主要考查了因式分解，解题的关键是灵活选用适当的方法进行饮食费解。
2021年中考整式乘法与因式分解真题精编二一、 整式乘法1.(2021年广东)已知93m =，274n =，则233m n +=（ ）A ．1B ．6C ．7D ．12【答案】D【解析】23233339713422m n m n m n +=⋅=⨯⋅==，考查幂的运算公式的灵活变形2.（2021年自贡）已知x 2﹣3x ﹣12＝0，则代数式﹣3x 2+9x +5的值是（） A ．31 B ．﹣31 C ．41 D ．﹣41【分析】由已知可得：x 2﹣3x ＝12，将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即可得出结论．【解答】解：∵x 2﹣3x ﹣12＝0，∴x 2﹣3x ＝12．原式＝﹣3（x 2﹣3x ）+5＝﹣3×12+5＝﹣36+5＝﹣31．故选：B ．3. (2021泸州)已知10a ＝20，100b ＝50，则a +b +的值是（ ）A ．2B ．C ．3D ．【分析】把100变形为102，两个条件相乘得a +2b ＝3，整体代入求值即可．【解答】解：∵10a ×100b ＝10a ×102b ＝10a +2b ＝20×50＝1000＝103， ∴a +2b ＝3，∴原式＝（a +2b +3）＝×（3+3）＝3，故选：C．4.(2021年宜昌)从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定【分析】矩形的长为（a+6）米，矩形的宽为（a﹣6）米，矩形的面积为（a+6）（a﹣6），根据平方差公式即可得出答案．【解答】解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，故选：C．5,(2021年内江)若实数x满足210-+=2020 ．x x22021--=，则32x x【解答】解：210--=，x x21∴=+，21x x-=，x x32-+22021x x2(1)22021=+-+x x x22x x x=+-+2202122021=-+x x=-+12021=．2020故答案为2020．6. (2021年永州)若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：（1）43xy•47xy＝（2021 ）x+y；（2）+＝ 1 ．【分析】（1）将43xy•47xy化成（43x）y•（47y）x代入数值即可计算；（2）由（1）知43xy •47xy ＝2021（x +y ），43xy •47xy ＝（43×47）xy ＝2021xy ，得出xy ＝x +y 即可求．【解答】解：（1）43xy •47xy ＝（43x ）y •（47y ）x ＝2021y ×2021x ＝2021x +y ， 故答案为：2021；（2）由（1）知，43xy •47xy ＝2021（x +y ），∵43xy •47xy ＝（43×47）xy ＝2021xy ，∴xy ＝x +y ，∴+＝＝1，故答案为：1．二、 乘法公式1.(2021年金华)已知16x =,求()()()2311313x x x -++-的值.2. (2021年吉林)先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中12x =． 3.(2021年衡阳)计算：（x +2y ）2+（x ﹣2y ）（x +2y ）+x （x ﹣4y ）．【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式展开再合并同类项即可．【解答】解：原式＝(x 2+4xy +4y 2)+(x 2﹣4y 2)+(x 2﹣4xy )＝x 2+4xy +4y 2+x 2﹣4y 2+x 2﹣4xy＝3x 2．【答案】4x -，132- 【解析】【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()221x x x x +---224x x x =--+4x =-， 当12x =时，原式114322=-=-． 【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，运用平方差公式是解题的关键．4.(2021年绵阳) 若x ﹣y =√3，xy =−34，则x 2﹣y 2＝ ．5.(2021年北京) 已知22210a b +-=，求代数式()()22-++a b b a b 的值．【答案】16. (2021年重庆A)计算（1）()()22x y x x y -++；=222x y + 7.(2021年永州)先化简，再求值：（x +1）2+（2+x ）（2﹣x ），其中x ＝1．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【解答】解：（x +1）2+（2+x ）（2﹣x ）＝x2+2x+1+4﹣x2＝2x+5，当x＝1时，原式＝2+5＝7三、因式分解1.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．232393x y z x z y=⋅B．25(2)(3)1x x x x+-=-++C．22()a b ab ab a b+=+D．211x x xx⎛⎫+=+⎪⎝⎭2.(2021年仙桃)分解因式：5x4﹣5x2＝．3.(2021年菏泽)因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝﹣a（a﹣1）2．【分析】先提公因式﹣a，再用完全平方式分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）＝﹣a（a﹣1）2．故答案为：﹣a（a﹣1）2．故选：B．4.(2021年威海)分解因式：2x3﹣18xy2＝．5.(2021年连云港) 分解因式：9x2+6x+1＝．6.(2021年株洲)因式分解：6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y) ．【分析】直接提取公因式2x,即可分解因式得出答案．【解答】解：6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y)．故答案为：2x(3x﹣2y)．【点睛】本题考查题公因式法因式分解．掌握提公因式法是关键．7.(2021年恩施)分解因式：a﹣ax2＝a（1+x）（1﹣x）．【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a﹣ax2＝a（1﹣x2）＝a（1+x）（1﹣x）．故答案为：a（1+x）（1﹣x）．8.因式分解：3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b）．【分析】提取公因式，即可得出答案．【解答】解：3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b），故答案为：3a（a﹣3b）．9.(2021年本溪)分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．10.(2021年连云港)分解因式：2x3﹣8x＝2x（x﹣2）（x+2）．【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．【解答】解：2x3﹣8x，＝2x（x2﹣4），＝2x（x+2）（x﹣2）．11.(2021•武汉 )分解因式：a3﹣a = a (a +1 ) (a﹣1 ) ．＝4（1+m）（1﹣m）．【分析】先提取公因式4，再用平方差公式因式分解．【解答】解：原式＝4（1﹣m2）＝4（1+m）（1﹣m）．故答案为：4（1+m）（1﹣m）．13.(2021年朝阳) 因式分解：﹣3am2+12an2＝．14.(2021黄石)分解因式：a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．【解答】解：a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2．故答案为：a（a﹣1）2．15.(2021年内江)分解因式：32327-=3(3)(3)a ab+-．a ab a b【解答】解：原式223(9)a a b =-3(3)(3)a a b a b =+-，故答案为：3(3)(3)a a b a b +-．16.(2021年荆门)把多项式x 3+2x 2﹣3x 因式分解，结果为 x （x +3）（x ﹣1） ．【分析】先提取公因式x ，再利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：原式＝x （x 2+2x ﹣3）＝x （x +3）（x ﹣1），故答案为：x （x +3）（x ﹣1）．17.(2021年黔南州)分解因式：4ax 2﹣4ay 2＝ 4a （x ﹣y ）（x +y ） ．【分析】首先提取公因式4a ，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：4ax 2﹣4ay 2＝4a （x 2﹣y 2）＝4a （x ﹣y ）（x +y ）．故答案为：4a （x ﹣y ）（x +y ）．18.（2021年呼和浩特）因式分解：34x y xy-=_____________________________．【答案】xy （x +2）（x -2）19. (2021年绥化)在实数范围内分解因式：22ab a -=_________．【答案】(a b b +．20.(2021十堰)已知xy =2，x −3y =3，则2x 3y −12x 2y 2+18xy 3= ______ ．12.【答案】36【解析】解：原式=2xy(x 2−6xy +9y 2)=2xy(x −3y)2，∵xy =2，x −3y =3，∴原式=2×2×32=4×9=36，故答案为：36．先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入求值即可．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，利用因式分解将代数式化简是解题的关键．21．(17年安顺）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ±10 ．22.(17年黔南州）在实数范围内因式分解：x5﹣4x= x（x2+3）（x+）（x﹣）．。
2021年中考数学一轮核心考点单元达标测试专题2整式及因式分解姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•黔南州）下列运算正确的是（）A．（a3）4＝a12B．a3•a4＝a12C．a2+a2＝a4D．（ab）2＝ab2【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．【解析】A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；B、a3•a4＝a7，故原题计算错误；C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；故选：A．2．（2020•陕西）计算：（2x﹣y）2＝（）A．4x2﹣4xy+y2B．4x2﹣2xy+y2C．4x2﹣y2D．4x2+y2【分析】利用完全平方公式计算得到结果，即可做出判断．【解析】（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，故选：A．3．（2020•日照）单项式﹣3ab的系数是（）A．3B．﹣3C．3a D．﹣3a【分析】根据单项式系数的定义即可求解．【解析】单项式﹣3ab的系数是﹣3．故选：B．4．（2020•西藏）下列分解因式正确的一项是（）A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）B．2xy+4x＝2（xy+2x）C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2D．x2+y2＝（x+y）2【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．【解析】A 、原式＝（x +3）（x ﹣3），符合题意；B 、原式＝2x （y +2），不符合题意；C 、原式不能分解，不符合题意；D 、原式不能分解，不符合题意．故选：A ．5．（2020•柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．a 2﹣b 2B ．﹣a 2﹣b 2C ．a 2+b 2D ．a 2+2ab +b 2【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】A 、a 2﹣b 2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；B 、﹣a 2﹣b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C 、a 2+b 2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D 、a 2+2ab +b 2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：A ．6．（2020•眉山）已知a 2+14b 2＝2a ﹣b ﹣2，则3a −12b 的值为（ ）A ．4B ．2C ．﹣2D ．﹣4 【分析】先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a 、b ，进而代入代数式求得结果．【解析】∵a 2+14b 2＝2a ﹣b ﹣2，∴a 2﹣2a +1+14b 2+b +1＝0，∴(a −1)2+(12b +1)2=0，∴a ﹣1＝0，12b +1＝0， ∴a ＝1，b ＝﹣2，∴3a −12b ＝3+1＝4．故选：A ．7．（2020•河北）若(92−1)(112−1)k =8×10×12，则k ＝（ ）A．12B．10C．8D．6【分析】根据平方差公式和分式方程的解法，即可得到k的值．【解析】方程两边都乘以k，得（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，∴80×120＝8×10×12k，∴k＝10．经检验k＝10是原方程的解．故选：B．8．（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．9．（2020•西藏）观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（）A．18B．19C．20D．21【分析】根据探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，第n个相同的数是6（n﹣1）+1＝6n﹣5，进而可得n的值．【解析】第1个相同的数是1＝0×6+1，第2个相同的数是7＝1×6+1，第3个相同的数是13＝2×6+1，第4个相同的数是19＝3×6+1，…，第n个相同的数是6（n﹣1）+1＝6n﹣5，所以6n﹣5＝103，解得n＝18．答：第n个相同的数是103，则n等于18．故选：A．10．（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（）A．160B．128C．80D．48【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．【解析】观察图象可知（4）中共有4×5×2＝40个3×2的长方形，由（3）可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4＝160．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•兰州）因式分解：m3﹣6m2+9m＝m（m﹣3）2．【分析】先提公因式，再利用公式法进行分解即可．【解析】m3﹣6m2+9m＝m（m2﹣6m+9）＝m（m﹣3）2，故答案为：m（m﹣3）2．12．（2020•绵阳）若多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝0或8．【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．【解析】∵多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，∴n﹣2＝0，1+|m﹣n|＝3，∴n＝2，|m﹣n|＝2，∴m﹣n＝2或n﹣m＝2，∴m＝4或m＝0，∴mn＝0或8．故答案为：0或8．13．（2020•临沂）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝﹣1．【分析】由于a+b＝1，将a2﹣b2+2b﹣2变形为含有a+b的形式，整体代入计算即可求解．【解析】∵a+b＝1，∴a2﹣b2+2b﹣2＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2＝a﹣b+2b﹣2＝a+b﹣2＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（2020•成都）已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为49．【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．【解析】∵a＝7﹣3b，∴a+3b＝7，∴a2+6ab+9b2＝（a+3b）2＝72＝49，故答案为：49．15．（2020•衢州）定义a ※b ＝a （b +1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x ﹣1）※x 的结果为 x 2﹣1 ．【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．【解析】根据题意得：（x ﹣1）※x ＝（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1．故答案为：x 2﹣1．16．（2020•雅安）若（x 2+y 2）2﹣5（x 2+y 2）﹣6＝0，则x 2+y 2＝ 6 ．【分析】设x 2+y 2＝z ，则原方程转化为关于z 的一元二次方程．解一元二次方程即可．【解析】设x 2+y 2＝z ，则原方程转化为z 2﹣5z ﹣6＝0，（z ﹣6）（z +1）＝0，解得z 1＝6，z 2＝﹣1，∵x 2+y 2≥0，∴x 2+y 2＝6，故答案为6．17．（2020•杭州）设M ＝x +y ，N ＝x ﹣y ，P ＝xy ．若M ＝1，N ＝2，则P ＝ −34．【分析】根据完全平方公式得到（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2＝1，（x ﹣y ）2＝x 2﹣2xy +y 2＝4，两式相减即可求解． 【解析】法一：（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2＝1，（x ﹣y ）2＝x 2﹣2xy +y 2＝4，两式相减得4xy ＝﹣3，解得xy =−34，则P =−34．法二：由题可得{x +y =1x −y =2， 解之得：{x =32y =−12，∴P＝xy=−3 4，故答案为：−3 4．18．（2020•淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．【解析】当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1n﹣12（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．故答案为：210．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•西宁）化简：3（x2+2）﹣（x﹣1）2．【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．【解析】原式＝3x2+6﹣（x2﹣2x+1）＝3x 2+6﹣x 2+2x ﹣1＝2x 2+2x +5．20．（2020•邵阳）已知：|m ﹣1|+√n +2=0，（1）求m ，n 的值；（2）先化简，再求值：m （m ﹣3n ）+（m +2n ）2﹣4n 2．【分析】（1）根据非负数的和为0的性质进行解答便可；（2）根据整式乘法法则，完全平方公式计算，再合并同类项后，最后再代值计算．【解析】（1）根据非负数得：m ﹣1＝0且n +2＝0，解得：m ＝1，n ＝﹣2，（2）原式＝m 2﹣3mn +m 2+4mn +4n 2﹣4n 2＝2m 2+mn ，当m ＝1，n ＝﹣2，原式＝2×1+1×（﹣2）＝0．21．（2020•荆门）先化简，再求值：（2x +y ）2+（x +2y ）2﹣x （x +y ）﹣2（x +2y ）（2x +y ），其中x =√2+1，y =√2−1．【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【解析】原式＝[（2x +y ）﹣（x +2y ）]2﹣x 2﹣xy＝（x ﹣y ）2﹣x 2﹣xy＝x 2﹣2xy +y 2﹣x 2﹣xy＝y 2﹣3xy ，当x =√2+1，y =√2−1时，原式＝（√2−1）2﹣3（√2+1）（√2−1）＝3﹣2√2−3＝﹣2√2．22．（2020•安徽）观察以下等式：第1个等式：13×（1+21）＝2−11， 第2个等式：34×（1+22）＝2−12， 第3个等式：55×（1+23）＝2−13， 第4个等式：76×（1+24）＝2−14．第5个等式：97×（1+25）＝2−15． … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： 118×（1+26）＝2−16 ；（2）写出你猜想的第n 个等式： 2n−1n+2×（1+2n ）＝2−1n（用含n 的等式表示），并证明． 【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n 表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【解析】（1）第6个等式：118×（1+26）＝2−16； （2）猜想的第n 个等式：2n−1n+2×（1+2n ）＝2−1n ． 证明：∵左边=2n−1n+2×n+2n =2n−1n =2−1n =右边， ∴等式成立．故答案为：118×（1+26）＝2−16；2n−1n+2×（1+2n ）＝2−1n ． 23．（2019•贵阳）如图是一个长为a ，宽为b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a ，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a ＝3，b ＝2时，求矩形中空白部分的面积．【分析】（1）空白区域面积＝矩形面积﹣两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；（2）将a ＝3，b ＝2代入（1）中即可；【解析】（1）S ＝ab ﹣a ﹣b +1；（2）当a ＝3，b ＝2时，S ＝6﹣3﹣2+1＝2；24．（2019•安顺）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若a x ＝N （a ＞0且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 216，对数式2＝log 525，可以转化为指数式52＝25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M •N ）＝log a M +log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0），理由如下：设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，∴M •N ＝a m •a n ＝a m +n ，由对数的定义得m +n ＝log a （M •N ）又∵m +n ＝log a M +log a N∴log a （M •N ）＝log a M +log a N根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式34＝81转化为对数式 4＝log 381 ；（2）求证：log a M N =log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）（3）拓展运用：计算log 69+log 68﹣log 62＝ 2 ．【分析】（1）根据题意可以把指数式34＝81写成对数式；（2）先设log a M ＝m ，log a N ＝n ，根据对数的定义可表示为指数式为：M ＝a m ，N ＝a n ，计算M N 的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log a （M •N ）＝log a M +log a N 和log aM N =log a M ﹣log a N 的逆用，将所求式子表示为：log 3（2×6÷4），计算可得结论．【解析】（1）4＝log 381（或log 381＝4），故答案为：4＝log 381；（2）证明：设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，∴M N =a ma =a m ﹣n ，由对数的定义得m ﹣n ＝log a M N， 又∵m ﹣n ＝log a M ﹣log a N ，∴log aM N =log a M ﹣log a N ；（3）log69+log68﹣log62＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．故答案为：2．。
2021年九年级数学中考一轮复习专项突破训练：整式的乘除与因式分解（附答案） 1．计算：m 6•m 2的结果为（ ） A ．m 12B ．m 8C ．m 4D ．m 32．下列计算结果是x 5的为（ ） A ．x 10÷x 2B ．x 6﹣xC ．x 2•x 3D ．（x 3）23．下列运算正确的是（ ） A ．a 5﹣a 3＝a 2 B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2 C ．2212a2a-=D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 34．如果(x －2)(x ＋3)=x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值是（ ） A ．p=5，q=6B ．p=1，q=－6C ．p=1，q=6D ．p=5，q=－65．从边长为（a+1）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a ﹣1）cm 的正方形（a ＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ） A ．2cm 2B ．2acm 2C ．4acm 2D ．（a 2﹣1）cm 26．下列因式分解正确的是（ ）A ．4a b ﹣63a b+92a b=2a b （2a ﹣6a+9）B ．2x ﹣x+=21()2x -C ．2x ﹣2x+4=2(2)x -D ．42x ﹣2y =（4x+y ）（4x ﹣y ）7．如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b (b <a )的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的等式是( )A ．a 2＋b 2＝(a ＋b )(a －b )B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ) 8．已知x+1x=6，则x 2+21x =（ ）A ．38B ．36C ．34D ．329．分解因式b 2（x -3）+b （x -3）的正确结果是 A ．（x -3）（b 2+b ） B ．b （x -3）（b +1） C ．（x -3）（b 2-b ） D ．b （x -3）（b -1）10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y-++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x ， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030 B ．201010 C ．301020D ．20301011．已知，，则的值是____．12．把多项式9x 3﹣x 分解因式的结果是_____．13．如图，小倩家买了一套新房，其结构如图所示（单位：m ）．施工方已经根据合同约定把公共区域（客厅、餐厅、厨房、卫生间）铺上了地板砖，小倩打算把两个卧室铺上实木地板，则小倩需要准备的地板面积是________________．14．计算4444444444(34)(74)(114)(154) (394)(54)(94)(134)(174) (414)++++++++++ =_____．15．计算：（1）（﹣4x 2）（3x+1） （2）5x 2y÷（﹣xy ）×2xy 216．先化简，再求值：（x ﹣2y ）2+（x+y ）（x ﹣4y ），其中x ＝5，y ＝15． 17．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了（a +b ）n（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 2展开式中的系数等． （1）（a +b ）n 展开式中项数共有 项． （2）写出（a +b ）5的展开式：（a +b ）5＝ ．（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．18．在多项式的乘法公式中，完全平方公式()2222a b a ab b +=++是其中重要的一个. （1）请补全完全平方公式的推导过程：()()()2a b a b a b +=++，22____________a b =+++， 22______a b =++.（2）用完全平方公式求2598的值. 19．分解因式： （1）x 2﹣16x ．（2）（x 2﹣x ）2﹣12（x 2﹣x ）+36．20．如果一个正整数m 能写成m ＝a 2﹣b 2（a 、b 均为正整数，且a ≠b ），我们称这个数为“平方差数”，则a 、b 为m 的一个平方差分解，规定：F （m ）＝ba． 例如：8＝8×1＝4×2，由8＝a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），可得81a b a b +=⎧⎨-=⎩或42a b a b +=⎧⎨-=⎩．因为a 、b 为正整数，解得31a b =⎧⎨=⎩，所以F （8）＝13．又例如：48＝132﹣112＝82﹣42＝72﹣12，所以F （48）＝1113或12或17． （1）判断：6 平方差数（填“是“或“不是“），并求F （45）的值；（2）若s 是一个三位数，t 是一个两位数，s ＝100x +5，t ＝10y +x （1≤x ≤4，1≤y ≤9，x 、y 是整数），且满足s +t 是11的倍数，求F （t ）的最大值参考答案 1．B2．C3．D4．B5．C6．B7. D．8．C9．B10．B11．1012．x（3x+1）（3x﹣1）13．10ab14．1 35315．（1）（﹣4x2）（3x+1）＝﹣12x3﹣4x2；（2）5x2y÷（﹣xy）×2xy2＝﹣5x×2xy2＝﹣10x2y2．16.原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2＝2x2﹣7xy，当x＝5，y＝15时，原式＝50﹣7＝43．17.解：（1））（a+b）n展开式中项数共有n+1项，故答案为n+1；（2）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5故答案为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5（3）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5＝（2﹣1）5＝1．18.（1）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a 2+ab+ab+b 2 =a 2+2ab+b 2故答案为：ab ，ab ，2ab ； （2）5982=[（600+（-2）]2 =6002+2×600×（-2）+（-2）2 =360000-2400+4 =357604． 或5982=（600-2）2 =6002-2×600×2+22 =360000-2400+4 =357604．19.（1）原式=x （x 2﹣16）=x （x+4）（x ﹣4）； （2）原式=（x 2﹣x ﹣6）2=（x+2）2（x ﹣3）2．20．解：（1）根据题意，6＝2×3＝1×6，由6＝a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）可得，23a b a b +=⎧⎨-=⎩或16a b a b +=⎧⎨-=⎩，因为a ，b 为正整数，则可判断出6不是平方差数． 故答案为：不是．根据题意，45＝3×15＝5×9＝1×45，由45＝a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），可得153a b a b +=⎧⎨-=⎩或95a b a b +=⎧⎨-=⎩或451a b a b +=⎧⎨-=⎩． ∵a 和b 都为正整数，解得96a b =⎧⎨=⎩或72a b =⎧⎨=⎩或2322a b =⎧⎨=⎩，∴F （45）＝23或27或2223． （2）根据题意，s ＝100x +5，t ＝10y +x ， ∴s +t ＝100x +10y +x +5 ∵1≤x ≤4，1≤y ≤9，x 、y 是整数 ∴100≤100x ≤400，10≤10≤90，6≤x +5≤9∴116≤s +t ≤499 ∵s +t 为11的倍数∴s +t 最小为11的11倍，最大为11的45倍∵100x 末位为0，10y 末位为0，x +5末位为6到9之间的任意一个整数 ∴s +t 为一个末位是6到9之间的任意一个整数 ①当x ＝1时，x +5＝6∴11×16＝176，此时x ＝1，y ＝7 ∴t ＝71根据题意，71＝71×1，由71＝a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），可得711a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得3635a b =⎧⎨=⎩，∴F （t ）＝3536 ②当x ＝2时，x +5＝7∴11×27＝297，此时x ＝2，y ＝9 ∴t ＝92根据题意，92＝92×1＝46×2＝23×4，由92＝a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），可得921a b a b +=⎧⎨-=⎩ 或462a b a b +=⎧⎨-=⎩或234a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2422a b =⎧⎨=⎩，∴F （t ）＝1112③当x ＝3时，x +5＝8∴11×38＝418，此时x ＝3，y 没有符合题意的值 ∴11×28＝308，此时x ＝3，y 没有符合题意的值 ④当x ＝4时，x +5＝9∴11×39＝429，此时x ＝4，y ＝2 ∴t ＝24根据题意，24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，由24＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得241 a ba b+=⎧⎨-=⎩或122a ba b+=⎧⎨-=⎩或83a ba b+=⎧⎨-=⎩或64a ba b+=⎧⎨-=⎩解得75ab=⎧⎨=⎩或51ab=⎧⎨=⎩，∴F（t）＝57或1511×49＝539不符合题意综上，F（t）＝3536或F（t）＝1112或F（t）＝57或F（t）＝15∴F（t）的最大值为35 36。
2021年中考数学一轮复习整式乘法与因式分解一、单选题1．计算32x x ⋅的结果是（ ）A ．6xB ．5xC ．2xD ．x 2．计算2(3)a 的结果是（ ）A ．6aB ．3a 2C ．6a 2D ．9a 23．下列计算中，结果等于a 2m 的是（ ）A ．a m +a mB ．a m •a 2C ．（a m ）mD ．（a m ）24．下列等式从左至右变形，属于因式分解的是（ ）A ．2221(1)x x x +-=-B ．22()()a b a b a b +-=-C ．2244(2)x x x ++=+D ．215()15x mx x x m --=-- 5．如果a 2﹣2a ﹣1＝0，那么代数式（a ﹣3）（a +1）的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣46．已知，则a 2－b 2－2b 的值为 A ．4 B ．3 C ．1 D ．0 7．在多项式24x ++_________的空中，添加一个含x 的单项式，使得它对任意x 都是完全平方式．可以添加的单项式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．把多项式a²－4a 分解因式，结果正确的是（ ）A ．a (a -4)B ．(a+2)(a -2)C ．a(a+2)( a -2)D ．(a －2 ) ²－49．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 10．将4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a +b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为S 1，阴影部分的面积之和为S 2．若S 1＝53S 2，则a ，b 满足（ ）A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．a ＝2b二、填空题 11．若25x =，21y =，2 6.4z =，则x y z ++=______．12．已知x 2+kx +14是完全平方式，则k ＝___________． 13．小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：26(2)()x x x x +-=++☆，（其中、☆代表两个被污染的系数），则=_______，=☆_______． 14．一个矩形的两边长分别为a ，b ，其周长为14，面积是12，则22ab a b +的值为__________．三、解答题15．计算：()232453x x x x ⎡⎤-⋅÷⎢⎥⎣⎦．16．化简：()()2a b a 2b a -+-.17．先化简，再求值：(23)(23)(1)(43)a a a a -+-+-，其中6a ．18．因式分解：（1）4(2x -3)2 -(x -9)2（2）ab 4-4ab 3+4ab 219．在化简()()22342m n mn m n mn mn +--◆题目中：◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．（1）若◆表示－，请化简()()22342m n mn m n mn mn +--- （2）当2m =-，1n =时，()()22342m n mn m n mn mn +--◆的值为12，请推算出◆所表示的符号．20．已知一个两位数，用a表示十位上的数，用b表示个位上的数.（1）用含a，b的式子表示这个两位数；（2）把这个两位数个位上的数字与十位上的数字交换位置，得到一个新的两位数.①若原数个位上的数是十位上的数的3倍，且新数与原数的差是36，求原来的两位数是多少？②列式表示所得新数的平方与原数的平方的差（结果要化简），并判断其是11的倍数吗？答案1．B 2．D 3．D 4．C 5．B6．C7．C8．A9．A10．C11．512．±113．－1 －3 14．8415．8x16．2b17．6a --，18．（1）15(3)(1)x x -+；（2）22(2)ab b -19．（1）25m n mn -+；（2）◆表示÷20．（1）这个两位数为10a+b ；（2）①原来的两位数是26；②（10b+a ）2-（10a+b ）2=99（b 2-a 2）；该差是11的倍数。
2021年九年级数学中考一轮复习基础达标测评：因式分解（附答案）1．下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（）A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+abC．ab﹣3b+2a﹣6D．ab﹣2a+3b﹣62．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣13．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）4．若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（）A．1﹣3x﹣4y B．﹣1﹣3x﹣4y C．1+3x﹣4y D．﹣1﹣3x+4y 5．下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056 D．1.1111111×10177．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）8．下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（）（1）（m3+m2﹣m）﹣1；（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）；（3）（5x2+6y）+（15x+2xy）；（4）（x2﹣y2）+（mx+my）A．1个B．2个C．3个D．4个10．把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）A．（4x2﹣y）﹣（2x+y2）B．（4x2﹣y2）﹣（2x+y）C．4x2﹣（2x+y2+y）D．（4x2﹣2x）﹣（y2+y）11．有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②无论k取任何实数，多项式x2﹣ky2总能分解成两个一次因式积的形式；③若（t﹣3）3﹣2t＝1，则t可以取的值有3个；④关于x，y的方程组为，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是．其中正确的说法是（）A．①④B．①③④C．②③D．①②12．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）13．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为．14．已知关于x的三次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为．15．2x3y2与12x4y的公因式是．16．多项式6a2b+9ab2﹣15ab的公因式是．17．分解因式：x2﹣4x＝．18．因式分解：a2+3a＝．19．若|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，则x2﹣y2＝．20．多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式，则m＝．21．因式分解：﹣3x2+27＝．22．把多项式4mx2﹣my2因式分解的结果是．23．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．24．1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：x3+2x2﹣3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b ﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝0．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a，b的值．25．分解因式：（1）x2y﹣xy；（2）x2﹣4y2．26．计算：分解因式：m3n﹣mn327．已知，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2（2）x2﹣y2．28．请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题：解：令x2﹣4x+2＝y，则：原式＝y（y+4）+4（第一步）＝y2+4y+4（第二步）＝（y+2）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．29．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．30．因式分解：4x2﹣4．31．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x ﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．32．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：（1）﹣x2y+6xy﹣9y；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（3）1﹣x2﹣y2+2xy．参考答案1．解：（a﹣2）（b+3）＝﹣6﹣2b+3a+ab．故选：B．2．解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，∴b＝0.5，a＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．3．解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．4．解：﹣6ab+18abx+24aby＝﹣6ab（1﹣3x﹣4y），所以另一个因式是（1﹣3x﹣4y）．故选：A．5．解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；②﹣a2b2+1＝1﹣（ab）2＝（1+ab）（1﹣ab），因此②能用公式法分解因式；③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；⑤﹣mn+m2n2＝（﹣mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．6．解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552﹣4444444452＝（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）＝1.1111111×1017．故选：D．7．解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．8．解：①原式＝（2x+y）（2x﹣y），能分解因式；②原式＝2x2（x+2y）2，能分解因式；③两个数的平方项，且异号，不能分解因式；④原式＝（x+3y）（x﹣2y），能分解因式；⑤不能化为两个整式积的形式，故不能分解因式．则不能分解因式的有2个．故选：B．9．解：（1）分组错误，无法继续分解因式；（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）可用完全平方公式和平方差公式分解；（3）分组错误，无法继续分解因式；（4）（x2﹣y2）+（mx+my）用平方差公式和提公因式法继续分解因式．故选：B．10．解：原式＝4x2﹣2x﹣y2﹣y，＝（4x2﹣y2）﹣（2x+y），＝（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y），＝（2x+y）（2x﹣y﹣1）．故选：B．11．解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；②当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；③当t＝4、时，（t﹣3）3﹣2t＝1，故本选项不正确；④新方程为（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，∵a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，∴当a＝1时，y＝﹣1，当a＝﹣2时，x＝3，∴公共解是．综上正确的说法是①④．故选：A．12．解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．故选：C．13．解：设另一个因式为x+a，则（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，∴﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a，∴m＝3﹣a∴3m﹣n＝3（3﹣a）﹣（﹣3a）＝9﹣3a+3a＝9，故答案为：9．14．解：设另一个因式为x2+ax+b，则2x3+3x﹣k＝（2x﹣5）（x2+ax+b）＝2x3+（2a﹣5）x2+（2b﹣5a）x﹣5b，所以，解得：a＝2.5，b＝，即另一个因式为x2+2.5x+，故答案为：x2+2.5x+．15．解：∵2x3y2＝2x3y•y，12x4y＝2x3y•6x，∴2x3y2与12x4y的公因式是2x3y，故答案为：2x3y．16．解：多项式6a2b+9ab2﹣15ab的公因式是3ab，故答案为：3ab．17．解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案为：x（x﹣4）．18．解：a2+3a＝a（a+3）．故答案为：a（a+3）．19．解：∵|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，∴，则原式＝（x+y）（x﹣y）＝﹣5，故答案为：﹣520．解：∵多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式，∴m＝±10．故答案为：±10．21．解：原式＝﹣3（x2﹣9）＝﹣3（x+3）（x﹣3），故答案为：﹣3（x+3）（x﹣3）22．解：原式＝m（4x2﹣y2）＝m（2x+y）（2x﹣y），故答案为：m（2x+y）（2x﹣y）23．解：设另一个因式为（x+a），得（1分）2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）∴（6分）解得：a＝4，k＝20（8分）故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）24．解：（1）令x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c），而（x+1）（x2+bx+c）＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c，∵等式两边x同次幂的系数相等，即x3+（b+1）x2+（c+b）x+c＝x3+ax+1∴解得∴a的值为0，x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1）（2）（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2令3x4+ax3+bx﹣34＝（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d），而（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d）＝3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d，∵等式两边x同次幂的系数相等，即3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d＝3x4+ax3+bx﹣34∴解得答：a、b的值分别为8、﹣39．25．解：（1）x2y﹣xy，＝xy（x﹣1）．解：（2）x2﹣4y2，＝x2﹣（2y）2，＝（x+2y）（x﹣2y）．26．解:m3n﹣mn3＝mn（m2﹣n2）＝mn（m+n）（m﹣n）；27．解：x+y＝2，xy＝（）2﹣（）2＝4，x﹣y＝2（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝24；（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝8．28．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；故答案为：C；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2﹣2x+1）2，＝（x﹣1）4．29．解：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m），＝n2（m﹣2）+n（m﹣2），＝n（m﹣2）（n+1）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1，＝x2﹣4x+4，＝（x﹣2）2．30．解：4x2﹣4＝4（x2﹣1）＝4（x+1）（x﹣1）．31．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形．﹣3）2；。
【2022年陕西中考备考】数学一轮复习专题训练2整式及因式分解【2021陕西考题训练】1．[2021陕西，3]计算：（a 3b ）-2＝（ ） A ．B ．a 6b 2C ．D ．﹣2a 3b2．[2021陕西，9]分解因式x 3+6x 2+9x ＝ ．【知识点训练】知识点1 整式的运算1．[2021陕西，3]计算：（a 3b ）-2＝（ ） A ．B ．a 6b 2C ．D ．﹣2a 3b2．[2020陕西，5]计算：⎝⎛⎭⎫－23x 2y 3＝ ( )A ．－2x 6y 3B ．827x 6y 3C ．－827x 6y 3D ．－827x 5y 43．[2019陕西，5]下列计算正确的是( ) A ．2a 2·3a 2＝6a 2 B ．(－3a 2b )2＝6a 4b 2C ．(a －b )2＝a 2－b 2D ．－a 2＋2a 2＝a 2 4．[2018陕西，5]下列计算正确的是( ) A ．a 2·a 2＝2a 4 B ．(－a 2)3＝－a 6 C ．3a 2－6a 2＝3a 2D ．(a －2)2＝a 2－4 5．[2016陕西，3]下列计算正确的是( ) A ．x 2＋3x 2＝4x 4 B ．x 2y ·2x 3＝2x 4y C ．(6x 3y 2)÷(3x )＝2x 2D ．(－3x )2＝9x 2 6．下列各式中，计算结果为x 5的是 ( ) A ．x 10÷x 2 B ．x 6－x C ．(x 2)3D ．x 2·x 3知识点2 因式分解7．[2021陕西，9]分解因式x 3+6x 2+9x ＝ ． 8．下列因式分解正确的是( )A ．x 2－x ＝x (x ＋1)B ．a 2－3a －4＝(a ＋4)(a －1)C ．a 2＋2ab －b 2＝(a －b )2D ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )9.[2020西工大附中第二次网考]分解因式：8a 2－2b 2＝ .【基础题型训练】1．[2020湘潭]已知2x n ＋1y 3与13x 4y 3是同类项，则n 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．[2020扬州]下列各式中，计算结果为m 6的是 ( ) A ．m 2·m 3 B ．m 3＋m 3 C ．m 12÷m 2D ．(m 2)33．[2020台州]计算2a 2·3a 4的结果是 ( )A ．5a 6B ．5a 8C ．6a 6D ．6a 84．[2020西工大附中第一次网考]计算⎝⎛⎭⎫－12x 2y 3，结果正确的是 ( )A ．－18x 6y 3B ．18x 5y 3C ．－16x 6y 3D ．16x 5y 35．[2020潍坊]若m 2＋2m ＝1，则4m 2＋8m －3的值是 ( )A ．4B ．3C ．2D ．16．[2020西安二十六中二模]下列计算正确的是 ( )A ．2x 2·6x 4＝12x 8B ．(y 4)m ÷(y 3)m ＝y mC ．(2ab )3＝6a 3b 3D ．4a 2－a 2＝3 7．[2020遵义]下列计算正确的是( )A ．x 2＋x ＝x 3B ．(－3x )2＝6x 2C ．8x 4÷2x 2＝4x 2D ．(x －2y )(x ＋2y )＝x 2－2y 28．[2020铁一中一模]下列运算中正确的是 ( )A ．2m ×3n ＝6m ＋n B ．(2a 3)4＝8a 12C ．(6x 2－xy )÷2x ＝3x －2yD . (2x ＋1)(2x －1)＝4x 2－19．[2020黔东南州]下列运算正确的是( )A ．(x ＋y )2＝x 2＋y 2B ．x 3＋x 4＝x 7C ．x 3·x 2＝x 6D ．(－3x )2＝9x 210．[2019临沂]下列计算错误的是 ( )A ．(a 3b )·(ab 2)＝a 4b 3B ．(－mn 3)2＝m 2n 6C ．a 5÷a －2＝a 3D ．xy 2－15xy 2＝45xy 211．[2020铁一中三模]下列计算正确的是 ( )A ．－2a －3a ＝－aB ．2a 2b ·3a 3＝6a 6bC ．(2a 2b )2＝2a 4b 2D ．6a 6b ÷(－2a 2b )＝－3a 412．[2020达州]如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m ，下列代数式表示正方体上小球总数，则表示错误的是( )第12题图A ．12(m －1)B ．4m ＋8(m －2)C ．12(m －2)＋8D ．12m －1613．[2020广东]已知x ＝5－y ，xy ＝2，计算3x ＋3y －4xy 的值为 . 14．[2020广东]若a －2＋|b ＋1|＝0，则(a ＋b )2 020＝ .15．[2020杭州]设M ＝x ＋y ，N ＝x －y ，P ＝xy .若M ＝1，N ＝2，则P ＝ . 16．[2020沈阳]因式分解：2x 2＋x ＝ . 17．[2020丹东]因式分解：mn 3－4mn ＝ . 18．[2019温州]分解因式：m 2＋4m ＋4＝.19．[2020益新中学一模]因式分解：m (x －y )＋n (x －y )＝ . 20．[2020黔西南州]如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2 020次输出的结果为 .第20题图【提高题型训练】1．下列因式分解正确的是( )A ．－2a 2＋4a ＝－2a (a ＋2)B ．3ax 2－6axy ＋3ay 2＝3a (x －y )2C ．2x 2＋3x 3＋x ＝x (2x ＋3x 2)D ．m 2＋n 2＝(m ＋n )22．[2020重庆A卷]把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()第2题图A．10B．15C．18D．213．[2020云南]按一定规律排列的单项式：a，－2a，4a，－8a，16a，－32a，…，第n 个单项式是() A．(－2)n－1a B．(－2)n aC．2n－1a D．2n a4．[2020十堰]根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n＝()第4题图A．17B．18C．19D．205．[2020内江]分解因式：b4－b2－12＝.6．[2020高新一中五模]分解因式：m2(x－3)＋(3－x)＝.7．[2020绵阳]若多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，则mn ＝.8．[2020雅安]若(x2＋y2)2－5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2＝.9．[2020山西]如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…按此规律摆下去，第n个图案有个三角形(用含n的代数式表示)．…第9题图10．[2020铜仁]观察下列等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；2＋22＋23＋24＋25＝26－2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220＋221＋222＋223＋224＋…＋238＋239＋240＝(结果用含m的代数式表示)．11．[2020赤峰]一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2 019的中点A2 020，则点A2 020表示的数为.第11题图12．[2020绍兴]化简：(x＋y)2－x(x＋2y)．13．[2020衡阳]化简：b(a＋b)＋(a＋b)(a－b)．参考答案【2021陕西考题训练】1．解：（a 3b ）﹣2＝＝．故选：A ．2.解：原式＝x （9+6x +x 5）＝x （x +3）2． 故答案为x （x +5）2【知识点训练】1．解：（a 3b ）﹣2＝＝．故选：A ．2．C 3.D 4.B 5.D 6.D 7. x （x +5）2 8.D 9.2(2a ＋b )(2a －b )【基础题型训练】1．B 2.D 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.D 9.D 10.C 11.D 12.A 13．7 14.1 15.－34 16.x (2x ＋1) 17.mn (n ＋2)(n －2)18．(m ＋2)2 19.(x －y )(m ＋n ) 20.1【提高题型训练】1．B 2.B 3.A 4.B 5.(b ＋2)(b －2)(b 2＋3) 6．(m ＋1)(m －1)(x －3) 7.0或8 8.6 9.(3n ＋1) 10．m (2m －1) 11.122 01912．解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－x 2－2xy＝y 2.13．解：原式＝ab ＋b 2＋a 2－b 2＝ab ＋a 2.。
