因式分解培优复习进程

中考复习教案《因式分解》一、教学目标1. 掌握因式分解的基本概念和方法。

2. 能够运用提公因式法、公式法、分组分解法等方法进行因式分解。

3. 提高解决实际问题的能力，培养逻辑思维和运算能力。

二、教学重难点1. 重点：因式分解的方法和技巧。

2. 难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。

三、教学方法1. 采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等相结合的教学方法。

2. 以学生为主体，注重引导学生主动探究、合作交流。

四、教学内容1. 回顾因式分解的基本概念和方法。

2. 提公因式法：找出多项式的公因式，将其提出来进行因式分解。

3. 公式法：运用平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。

4. 分组分解法：将多项式中的项进行合理分组，分别进行因式分解。

五、教学过程1. 导入：通过复习已学过的因式分解实例，引发学生对因式分解的兴趣和思考。

2. 新课讲解：讲解提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，并结合例题进行演示。

3. 课堂练习：布置一些因式分解的练习题，让学生独立完成，并及时给予指导和反馈。

4. 合作交流：组织学生进行小组讨论，分享各自的解题方法和经验，互相学习和借鉴。

6. 课后作业：布置一些综合性的因式分解题目，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习环节，及时观察学生的掌握情况，针对性地进行个别辅导。

2. 通过课后作业的完成情况，了解学生对因式分解方法的掌握程度。

3. 在下一节课开始时，进行简短的测试，检验学生对上节课内容的复习情况。

七、教学拓展1. 引导学生思考：因式分解在实际生活中的应用，如分解数字、简化表达式等。

2. 鼓励学生探索更多的因式分解方法，提高解决问题的能力。

八、教学反思2. 根据学生的反馈，调整教学方法和策略，以提高教学效果。

九、课后作业1. 完成练习册上的因式分解题目，巩固所学知识。

2. 选择两道具有挑战性的题目进行思考和解答，提高自己的解题能力。

十、教学计划1. 下一节课将继续复习因式分解，重点讲解交叉相乘法和综合除法等高级因式分解技巧。

因式分解分式方程复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固因式分解分式方程的基本概念和方法。

2. 提高学生解题能力，使学生能够熟练运用因式分解法解决分式方程问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

二、教学内容1. 因式分解分式方程的基本概念和方法。

2. 常见的因式分解分式方程类型及解题策略。

3. 因式分解分式方程的综合应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：因式分解分式方程的基本概念和方法，常见类型及解题策略。

2. 教学难点：因式分解分式方程的综合应用，灵活运用解题方法。

四、教学方法1. 采用案例分析法，通过讲解典型的因式分解分式方程题目，使学生掌握解题方法。

2. 采用小组讨论法，引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

3. 采用练习法，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力。

五、教学过程1. 导入：通过回顾分式方程的基本概念，引导学生关注因式分解在分式方程解题中的应用。

2. 讲解：讲解因式分解分式方程的基本方法和常见类型，分析解题策略。

3. 实践：让学生分组讨论并解答典型的因式分解分式方程题目。

5. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂练习：通过课堂练习，检测学生对因式分解分式方程的理解和应用能力。

2. 课后作业：布置一定量的因式分解分式方程题目，要求学生在规定时间内完成，以检验学生的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和沟通能力。

七、教学反馈1. 课堂练习后，及时给予学生反馈，指出他们的错误，并解释正确答案的原因。

2. 课后收集学生的作业，对其中普遍存在的问题进行讲解和纠正。

3. 鼓励学生在小组讨论中积极发言，对于他们的想法给予肯定和鼓励。

八、教学拓展1. 引导学生思考：如何将因式分解分式方程的方法应用到其他类型的方程解答中？2. 介绍因式分解分式方程在实际问题中的应用，例如在商业、科技等领域的应用。

3. 鼓励学生进行自主学习，探索因式分解分式方程的更深入知识。

中考复习教案《因式分解》一、教学目标：1. 理解因式分解的概念和意义。

2. 掌握因式分解的基本方法和技巧。

3. 能够运用因式分解解决实际问题。

二、教学内容：1. 因式分解的定义和性质2. 提公因式法3. 公式法4. 交叉相乘法5. 分解因式的综合应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：因式分解的方法和技巧。

2. 教学难点：灵活运用因式分解解决实际问题。

四、教学过程：1. 复习导入：回顾上节课的内容，巩固因式分解的基本概念。

2. 知识讲解：讲解因式分解的定义、性质和各种方法。

3. 例题解析：分析并解答典型的因式分解题目，引导学生掌握解题思路。

4. 课堂练习：布置适量的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

五、课后作业：1. 完成教材后的练习题。

2. 选择两道难度较高的因式分解题目进行挑战。

3. 总结因式分解的心得体会，下周分享。

注意：教师在教学过程中要注重启发式教学，引导学生主动探索、积极思考，提高学生的动手能力和解决问题的能力。

要注意因材施教，针对不同学生的实际情况进行有针对性的辅导。

六、教学策略与方法：1. 案例分析：通过分析具体的数学案例，让学生理解因式分解的应用场景。

2. 互动讨论：鼓励学生参与课堂讨论，分享自己的解题心得。

3. 小组合作：组织学生进行小组合作，共同解决因式分解问题。

4. 信息技术辅助：利用多媒体教学资源，展示因式分解的动画和步骤，帮助学生形象理解。

七、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂上的即时练习，评估学生对因式分解概念和方法的掌握程度。

2. 课后作业：通过学生完成的课后作业，检查其对课堂所学知识的应用能力。

3. 单元测试：安排单元测试，全面评估学生对因式分解的理解和运用能力。

4. 学生反馈：收集学生的学习反馈，了解其在学习过程中的困惑和需求。

八、教学资源：1. 教材：选用权威的数学教材，提供系统的因式分解知识体系。

2. 教学课件：制作精美的教学课件，辅助展示因式分解的步骤和例题。

初中数学因式分解复习教案教案：初中数学因式分解的复习一、教学目标：1.知识目标：了解因式分解的基本概念和步骤，能够正确分解一元多项式。

2.技能目标：掌握因式分解的方法和技巧，能够灵活运用于解决实际问题。

3.过程目标：培养学生的思维逻辑能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1.复习因式分解的基本概念和步骤。

2.复习因式分解的基本方法和技巧。

3.练习因式分解的实际应用题。

三、教学过程：1.复习因式分解的基本概念和步骤：（1）因式分解的基本概念：因式分解是将一个多项式写成几个简单的因式相乘的形式。

（2）因式分解的步骤：①找出最大公因式；②利用分配律进行因式的提取。

2.复习因式分解的基本方法和技巧：（1）提取公因式法：对于多项式中的每一项，找出它们的最大公因式，将公因式提取出来，然后将剩余部分写在括号内。

（2）公式法：在使用公式法进行因式分解时，首先要确定要分解的多项式是否符合公式的形式。

常见的因式分解公式有：①二次平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；② 二次平方和公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$；③ 二次立方和公式：$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$。

3.练习因式分解的实际应用题：（1）例题一：将多项式$3x^3-6x^2-3x$进行因式分解。

解析：首先找出最大公因式，发现$3x$是每一项的公因式，因此将其提取出来，有$3x(x^2-2x-1)$。

（2）例题二：将多项式 $4x^2y + 12xy^2 - 8xy$ 进行因式分解。

解析：首先找出最大公因式，发现 $4xy$ 是每一项的公因式，因此将其提取出来，有 $4xy(x + 3y - 2)$。

四、教学小结：通过本次复习，我们回顾了因式分解的基本概念、步骤、方法和技巧。

因式分解是数学中的重要内容，我们要善于运用所学的知识解决实际问题。

希望同学们能够加强练习，提高因式分解的能力。

课题：因式分解 复习案复习目标：1.牢固理解因式分解的概念并能辨别；2.熟练掌握因式分解的几种常用方法；3.灵活运用因式分解的解题思维顺序；4.基本了解因式分解的实际运用情景。

教学过程：一、学习回顾：本章知识归纳：一、定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。

（反复强调化成乘积的形式，而且要进行到每个因式都不能再分解为止）二、常用的方法 （1）提公因式法 注意点：①公因式要提尽，先系数（最大公约数），再字母（指数最低次数） ②多项式的第一项系数为负数时，把“—”作为公式写在括号外，使第一项系数为正。

（2）运用公式法（平方差、完全平方公式）（3）十字相乘（4）分组分解法：把各项适当分组，使分组分解能分组进行 分组时要用到添括号：括号前面是“+”，括号里面各项都不变号；括号前面是“—”，括号里面各项都变号。

三、步骤 应先提公因式，注意要提尽，再应用公式。

如果多项式为二项式考虑用平方差；如果是三项式可以考虑用完全平方公式，如果不能用完全平方公式，考虑能否用十字相乘；如果是四项及以上的，可以先考虑分组，再分解。

二、学习过程：1.因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式叫因式分解（或分解因式）. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A. xy x y x x 62)3(22-=-B. 4)4(442++=++x x x xC. )2)(3()2)(3(--=--m m m mD.)2)(2(422y x y x y x -+=-2.常用方法： 提公因式法：=++mc mb ma .确定公因式：1)取系数的公约数 ；2)取相同字母（或整体）的最低指数幂。

A.abc ab 422+= ;B.32323m n n m --= ;C. )(6)(22y x m y x m +++= .公式法---平方差公式 =-22b a 。

1．42-a = ； 2．216x -= ；3.221b a -= ；4.229)(m y x -+= 。

中考复习教案《因式分解》一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握因式分解的基本概念和方法；（2）能够运用提公因式法、公式法、分组分解法等方法进行因式分解；（3）能够解决与因式分解相关的实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过复习和练习，巩固已学的因式分解方法；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。

二、教学内容1. 回顾因式分解的基本概念和方法；2. 复习提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法；3. 分析常见的因式分解题型及解题策略；4. 解决与因式分解相关的实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）因式分解的基本概念和方法；（2）提公因式法、公式法、分组分解法的运用；（3）解决实际问题中的因式分解。

2. 教学难点：（1）复杂的因式分解题目；（2）灵活运用各种因式分解方法；（3）解决实际问题中的因式分解。

四、教学过程1. 导入：（1）回顾因式分解的基本概念和方法；（2）引发学生对因式分解的兴趣和思考。

2. 讲解与示范：（1）讲解提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法；（2）示例讲解常见的因式分解题型及解题策略；（3）引导学生进行思考和讨论。

3. 练习与巩固：（1）布置针对性的练习题，让学生独立完成；（2）引导学生总结解题规律和方法；（3）进行分组讨论和交流，共同解决问题。

4. 拓展与应用：（1）引导学生解决与因式分解相关的实际问题；（2）让学生运用因式分解解决实际问题，培养学生的应用能力。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学内容；2. 选择一道复杂的因式分解题目进行挑战；3. 尝试解决一个与因式分解相关的实际问题。

教学反思：本节课通过复习和练习，帮助学生巩固了因式分解的基本概念和方法，提高了学生的解题能力。

在教学过程中，注重引导学生思考和讨论，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

因式分解复习步骤详解因式分解是数学中常见的一种运算方式，用于将一个多项式拆分成更简单的因子。

以下是因式分解的详细步骤：1. 提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。

这样做可以简化表达式，减少计算量。

提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。

这样做可以简化表达式，减少计算量。

2. 判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。

常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。

不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。

判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。

常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。

不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。

3. 观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。

例如，是否存在平方差、立方差等特点。

这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。

观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。

例如，是否存在平方差、立方差等特点。

这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。

4. 使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。

常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。

使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。

常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。

5. 检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。

可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。

检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。

可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。

6. 合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。

合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。

通过以上步骤，我们可以在解决数学问题时运用因式分解的方法。

因式分解是数学中的一项基础技能，熟练掌握这一技能可以提高解题的效率。

第五讲1因式分解培优竞赛专题辅导第五讲因式分解培优专题辅导初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

⽽在竞赛上，⼜有⼗字相乘法，分组分解法，换元法，拆项和添减项法，双⼗字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，求根公式法，余数定理法，长除法，除法等。

因式分解⼀些注意点：（1）必须分解到每个因式都不能为⽌，即分解要彻底；（2）结果应该是的形式，（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式；（4）最后结果只有⼩括号；（5）最后结果中多项式⾸项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）。

因式分解⼀般要遵循的步骤：“⼀提⼆⽤三分四查”即先考虑能否提公因式，再考虑能否运⽤公式或⼗字相乘法，最后考虑分组分解法．对于⼀个还能继续分解的多项式因式仍然⽤这⼀步骤反复进⾏．以上步骤可⽤⼝诀概括如下：“⾸先提取公因式，然后考虑⽤公式、⼗字相乘试⼀试，分组分解要合适，四种⽅法反复试，结果应是乘积式”．⼀、因式分解的定义把⼀个多项式公成⼏个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。

分解因式与整式乘法的关系：分解因式与整式乘法是的恒等变形。

例1：下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?(1))11(22xx x x +=+; (2)3)1(4x 222+-=+-x x (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x(5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x⼆、因式分解的⽅法：（⼀）提公因式法：ab ＋ac ＝a (b ＋c)确定公因式的⽅法(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为 ;（2）字母公因式:应取多项式中各项字母为 .常见的两个⼆项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-；②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）例2、把下列各式分解因式（1）)a 1(-)1(--n a m =（2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----=（3）32)2()2(2x y b y x a -+-=（4）32)3(25)3(15a b b a b -+-=（⼆）、公式法乘法公式逆变形（1）平⽅差公式：22b a -=（2）完全平⽅公式：222b ab a ++= 222-b ab a +=例3．1、如果2592++kx x 是⼀个完全平⽅式，那么k 的值是（）A 15B 15±C 30D 30±2、下列多项式，不能运⽤平⽅差公式分解的是（）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +-- 例4 ：利⽤平⽅差公式进⾏因式分解： ))((22b a b a b a -+=-（1）12-x = （2）2294-b a += （3)22)(16z y x +- =（4)221164a b -= （5)22)2()2(b a b a --+ =（6)4348x - =（7）117218-+-n n x x =（8）4()()2223362a b a b +-- =例5：利⽤完全平⽅公式进⾏因式分解：完全平⽅公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- （1）442+-m m = （2）2269y xy x ++=（3)24x -9162+x = （4）36)(12)(2++-+b a b a =（5）225101x x -+-= （6）222212123m n m n m -+=（三）、***⼗字相乘法：对于⼆次项系数为1的⼆次三项式因式分解⼗字相乘法⼝诀：⾸尾分解，交叉相乘，求和凑中例6：利⽤⼗字相乘法进⾏因式分解：（1）892++x x = （2）、x 2－5x －6=（2）、x 2－5x ＋6= （4）8652-+x x =（5）3x 2－11xy －14y 2 = （6）6(x+y)2 －7(x+y)－3=（四）、***分组分解法：把⼀个多项式分成⼏组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应⽤公式来分解.这种分解因式的⽅法叫分组分解法.（1）运⽤分组分解因式的关键是要能预见到分组之后能否进⼀步⽤其他⽅法（如提公因式法、公式法等）来分解，难点是恰当地分组.（2）分组分解法不是⼀种独⽴的分解因式的⽅法，⽽且适当的分组也没有固定的形式，但要掌运⽤分组分解法分解因式常⽤以下⼀些⽅法：①分组后能提取公因式；②分组后能运⽤公式；③重新分组例7：运⽤分组分解法分解因式：（⼀）分组后能直接提公因式分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（三）分组后能直接运⽤公式:分解因式：ay ax y x +--22 2222c b ab a -+-（五）、配⽅法对于某些不能利⽤公式法的多项式，可以将其配成⼀个完全平⽅式，然后再利⽤平⽅差公式，就能将其因式分解，这种⽅法叫配⽅法。

《因式分解》全章复习与巩固（一）【学习目标】1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】 要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq cp q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、（2016•长春模拟）先将代数式因式分解，再求值：()()222x a y a ---，其中05152a .,x .,y ===-．【思路点拨】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将字母的值代入计算即可．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值．【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解． 举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）A ．229a y +B ．229a y -+C ．229a y -D ．229a y --3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？ 【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键． 举一反三：【变式】利用因式分解计算（1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317-4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++； （2）222xy x y ---（3）()()22224222x xyy x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全． 举一反三： 【变式】（2015春•禅城区校级期末）分解因式：（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1．5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+．【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答； （2）根据（1）的结论直接作答．【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2． （1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； （2）指出A 与C 哪个大？说明理由． 【巩固练习】 一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）．A ．()()22422m n m n m n -=+-B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=--D ．()224529m m m --=--2.（2016•濮阳校级自主招生）多项式22215x xy y --的一个因式为（ ） A ．25x y -B ．3x y -C ．3x y +D ．5x y -3. 下列多项式能分解因式的是（ ） A ．22x y +B ．22x y--C ．222x xy y-+-D ．22x xy y-+4. 将2m()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（）A ．()2a -()2m m - B ．()()21m a m -+C ．()()21m a m --D ．()()21m a m --5. 下列四个选项中，哪一个为多项式28102x x -+的因式？（ ）A ．2x －2B ．2x ＋2C ．4x ＋1D ．4x ＋26. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.2 7. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（）A ．2)5(b a - B ．2)5(b a +C ．)23)(23(b a b a +-D ．2)25(b a -8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+； ⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题9.分解因式：()241x x -- ＝________.10.把23x x c ++分解因式得：23x x c ++＝()()12x x ++，则c 的值为________.11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________．12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________.13.（2017•禹州市一模）分解因式：32244a a b ab -+= ． 14.把多项式22ax ax a --分解因式_________.15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________. 16.把2221x y y ---分解因式结果正确的是_____________. 三.解答题 17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---； （2）2292416a ab b -+； （3）21840ma ma m --.18. 已知10a b +=，6ab =，求：（1）22a b +的值；（2）32232a b a b ab -+的值．19.（2015春•禅城区校级期末）请你说明：当n 为自然数时，（n+7）2﹣（n ﹣5）2能被24整除． 20. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成()()219x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --，请将原多项式分解因式．《因式分解》全章复习与巩固（二）【学习目标】2. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq cp q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、 分解因式：(1)222284a bc ac abc +-；(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：712255-能被120整除．【思路点拨】25＝25，进而把725整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式． 类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：()()()222244x y x y x y++---，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把()()x y x y +-、分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b 是解题的关键． 举一反三：【变式】下面是某同学对多项式()()2242464x x xx -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=原式＝()()264y y +++（第一步） ＝2816y y ++（第二步） ＝()24y +（第三步） ＝22(44)x x -+（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）． A 、提取公因式 B ．平方差公式C 、两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x xxx --++进行因式分解．4、（2016秋•海安县期末）因式分解： （1）22369xy x y y --； （2）()()413p p p -++.【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键． 举一反三：【变式】设22131a =-，22253a =-，…，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）．（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出1a ，2a ，…，n a ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数（不必说明理由）．类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）()()222222x x----（2）()2224420x xx x +---（3）2244634a ab b a b -+-+-【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题. 举一反三：【变式】（浦东新区校级期末）（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x 厘米、y 厘米，且322344x x y xy y +--＝0，求长方形的面积．【思路点拨】把322344x x y xy y +--＝0化简成()()()22x y x y x y ++-，可得2x y =，由题意可得150x y +=，解方程组2150x yx y =⎧⎨+=⎩即可.【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法． 举一反三：【变式】因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（ ）A ．22(14)(84)x xy y -+- B ．22(144)8x y xy --+ C ．22(18)(44)xy x y +-+ D ．221(448)x y xy -+-当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中22448x y xy --+正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．【巩固练习】 一.选择题1. 下列式子变形是因式分解的是（ ）A ．()25656x x x x -+=-+B ．()()25623x x x x -+=--C ．()()22356x x x x --=-+D ．()()25623x x x x -+=++2. 已知：△ABC 的三边长分别为a b c 、、，那么代数式2222b c ac a -+-的值（ ）A.大于零B.等于零C.小于零 D 不能确定 3．已知31216x x -+有一个因式是4x +，把它分解因式后应当是（ ）A ．2(4)(2)x x +-B ．2(4)(1)x x x +++C ．2(4)(2)x x ++D ．2(4)(1)x x x +-+4．若()()2x a x b x px q ++=++，且0p >，0q <，那么a b ，必须满足条件( )．A.a b ，都是正数B. a b ，异号，且正数的绝对值较大C.a b ，都是负数D. a b ，异号，且负数的绝对值较大5.（2016•张家港市期末）把2288x y xy y -+分解因式，正确的是（ ）A ．()2244x y xy y -+B ．()2244y x x -+C ．()222y x -D ．()222y x +6．将下述多项式分解后，有相同因式1x -的多项式有 ( )①； ②； ③； ④；⑤； ⑥A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7. 已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解成()()8ax b x c ++，其中,,a b c 均为整数，则a b c ++=（ ）A ．－12B ．－32C ．38D ．728. 将3223x x y xy y --+分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）A. 3223()()x x y xy y -+-+ B. 3223()()x xy x y y -+-+ C. 3322()()x y x y xy ++-- D. 3223()x x y xy y --+ 二.填空题9.（2016•诸城市一模）因式分解：()222416x x +-= ．10. 分解因式：()()229a b a b +--＝_____________. 11.已知2226100m m n n ++-+=，则mn ＝ ． 12.分解因式：()()223a a a +-+＝__________.13．若32213x x x k --+有一个因式为21x +，则k 的值应当是_________. 14.把多项式22ac bc a b -+-分解因式的结果是__________. 15.已知5,3a b ab +==，则32232a b a b ab -+＝ ．16.分解因式：（1）4254x x -+＝________；（2）3322a m a m am +--＝________.三.解答题17.求证：791381279--能被45整除．18.（2015春•焦作校级期中）已知x 2+x=1，求x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015的值．19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积； ②由此，你可以得出的一个等式为：________. （2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出22252a ab b ++因式分解的结果，画出你的拼图．20.下面是某同学对多项式()()642422+-+-x x x x ＋4进行因式分解的过程： 解：设y x x =-42原式＝()()264y y +++ （第一步） ＝2816y y ++ （第二步）＝()24+y （第三步）＝()2244+-x x （第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式 B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()122222++--x x x x 进行因式分解.。