当前位置：文档之家 › 第十一章 秩亏自由网平差

第十一章 秩亏自由网平差

  • 格式：ppt
  • 大小：309.00 KB
  • 文档页数：34

下载文档原格式

  / 34

合集下载

秩亏自由网平差

秩亏自由网平差

二、秩亏自由网平差原理
法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程没有唯一解！
二、秩亏自由网平差原理
1.
令： 得：
可 见 是与基准条件无关的不变量。
二、秩亏自由网平差原理
2.法方程的解算
由协因数传播律，得：
三、S的具体形式
三、S的具体形式
§12-3 秩亏自由网平差
一 问题的提出
二
秩亏自由网平差原理
三
S的具体形式
一、问题的提出
1.自由网——当控制网中仅含有必要起算数据或无已知数据并 以待定点坐标为待定参数时，称为自由网。
2.附合网——当控制网中除必要起算数据外，还有多余起算数
据时，称为附合网。 自由网
则有：
ˆ X ˆ H h 1 1 3 ˆ X ˆ X ˆ h
2 1
2
ˆ1 l1 V1 x ˆ1 x ˆ 2 l2 V2 x ˆ2 l3 V3 x
ˆ X ˆ H h 2 2 3
一、问题的提出
因为 所以
一、问题的提出
即：
一、问题的提出
因为
B
所以
此时
0
无解 才有解！
只有
一、问题的提出
3.秩亏自由网
—— —— ——

秩亏自由网平差及其通解

秩亏自由网平差及其通解

第32卷第2期2010年6月地球科学与环境学报Journal of Earth Sciences and EnvironmentVol.32No.2Jun.2010收稿日期:2009 07 15基金项目:国家自然科学基金项目(40672173;40802075) 作者简介:赵超英(1976 ),男,山西平遥人,副教授,工学博士,从事InSAR 理论与数据处理的教学与研究。

E mai l:zhaochaoying@秩亏自由网平差及其通解赵超英,黄观文(长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安710054)摘要:通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解,研究了秩亏自由网基准转换的实质。

结果表明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解,在实际应用中确定合适的基准是关键。

以西安地区GP S 沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动的基准才具有物理意义。

关键词:秩亏;自由网平差;基准条件;坐标系;通解中图分类号:P228.4 文献标志码:A 文章编号:1672 6561(2010)02 0215 03Rank Defect Free Net Adjustment andIts General SolutionZH AO Chao ying ,H UANG Guan w en(S chool of Ge olog ical E ngineer ing an d Su rv ey ing ,Chang an Unive rsity ,X i an 710054,S haanxi,China)Abstract:T hro ug h transfor ming the par ticular solut ion o f initial coo rdinates to the g ener al solution o f ar bitrar y co or dinate,rank def ect free net adjust ment is analyzed,and the essence of the datum tr ansfor matio n is discussed.T he results sho w t hat the o ptimized solution of rank defect fr ee net adjust ment is t he o ne so lution under t he datum which is calculated by the approx imat ion v alue.In pr act ice,the key problem is to determine t he appro pr iate datum.G PS monito ring netw or k in Xi an is t aken as an example to demonstrate the differ ent o pt imal so lutio ns under differ ent data,w hereas the so lutio ns in plate mo tion ar e physically significant.Key words:rank defect ;fr ee net adjustment;datum condition;co or dinate system;general so lutio n0 引言自Messl 提出自由网平差以来[1],其理论研究和应用研究均得到较大的发展,中国学者自20世纪80年代开始对其进行了系统研究[2 3]。

自由网平差

自由网平差

求导
ˆ T P 2 K T N 0 得到 K N 1P X ˆ 2X 1 X1 11 11 X 1 1 ˆ1 x
ˆ T P 2K T N 0 得到 X ˆ Q N K 2X 2 X2 12 2 X 2 21 X 2
于是
1 ˆ ˆ X 2 QX 2 N 21 N11 PX1 X 1
V BT ( BBT ) 1W
BR BT ( BBT ) 1
右逆
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
关于广义逆 2、广义逆（generalized Inverse)
设A是m×n矩阵，秩R（A）＝r<=min(m,n), 如果G满足如下方程，
AGA A
定义为A的广义逆，G为n×m矩阵，并记为 A 一般不唯一。
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
一、自由网平差概述
4、秩亏网平差方法分类（根据约束条件）
加权最小二乘最小范数解
V T PV min ˆTP X ˆ min X
X
最小二乘最小范数解
逆稳平差
V T PV min ˆTX ˆ min X
ˆ X ˆ 1 X ˆ X 2 V T PV min ˆ TX ˆ min X 2 2
关于向量范数（Norm of Vector) ——范数是比长度更广泛的概念
设
X ( x1, x2 xn )
1-范数
X xi
i 1
n
X
p
( xi )1/ p
i 1
n
p
p-范数
X

( x x x )
2 1 2 2

自由网平差结果的相互转换

自由网平差结果的相互转换
3
x2
h1
h2
解：
1 1 0 ˆ1 x v 0 1 0 ˆ2 x 0 1 6
2 1 N 1 2
6 v 0
x1
h3
x3
ˆ1 1 2 x ˆc x ˆ2 3 1 x

QP ( N Px GGT Px ) I QP N I QP Px GGT Px
同时右乘G
又


令
0 G QP PxG QP PxG G
QP N I GG Px
T
NG=0、GTPxG=I
ˆ p ( I GG Px ) x ˆc x
T

TP c I GGT Px
同一、数据可以采用：
经典最小二乘平差、普通秩亏网平差、加权秩亏网平差、拟稳平差 不同平差基准下的数据处理 避免因基准不同，对同一网进行多次平差
坐标转换 不同基准下平差解的相互转换
一
经典平差结果转换至秩亏网平差结果
加权秩亏网平差结果
1. 经典平差
经典平差：
ˆc L V Ax T ˆc 0 GC x T V PV min
tr (Qx ˆ2 ) min
结论： 1、最小范数条件与最小方差条件一致 2、所得参数为最优无偏解
注意： 1、对于线性问题，近似值可以任意给定！ 2、近似值提供了基准信息 思考： 1、对于非线性问题，近似值如何给定？为什么？ 2、以上三种结果的关系是什么？
主要内容
秩亏自由网平差的性质 秩亏自由网结果的相互转换 秩亏自由网平差的应用举例
T
tr ((Px Qx ˆ PL )

论秩亏自由网平差的性质及稳健基准的意义

论秩亏自由网平差的性质及稳健基准的意义

论秩亏自由网平差的性质及稳健基准的意义
自由网平差是一种网络平差方法，它可以用来解决复杂的网络平差问题。

自由网平差具有三个特点：1、自由网平差是一种秩亏的网络平差方法，它可以解决复杂的网络平差问题；2、自由网平差是一种稳健的网络平差方法，它可以抵消网络中的噪声和误差；3、自由网平差是一种有效的网络平差方法，它可以有效地提高网络的精度和稳定性。

秩亏的自由网平差是指在网络平差过程中，网络的观测数据和计算结果之间存在着秩亏的状态，即观测数据和计算结果之间存在着不可解释的差异。

这种秩亏的状态可以通过调整网络中的参数来消除，从而达到网络平差的目的。

稳健基准是指在网络平差过程中，通过调整网络中的参数，使网络对噪声和误差具有较强的抗干扰能力，有效地抵消噪声和误差，从而提高网络的精度和稳定性。

稳健基准的意义在于，可以有效地抵消网络中的噪声和误差，保证网络的精度和稳定性。

秩亏网平差

秩亏网平差

h2
C
原因：网中没有已知高 程点。
秩亏网平差的概念
2、平差基准
测量控制网以点的坐标（及高程）为未知参数进行参数平 差时，网中必须具有必要的起算数据。例如，水平控制网必须 有一个已知点的坐标，一条已知边长和一个已知方位角；水准 网必须有一个已知点的高程。有时，网中还会有多余的起算数 据。测量平差中，将仅含必要起算数据的控制网称为 经典自由 网，将含有多余起算数据的控制网称为附合网。当控制网中存 在必要起算数据或多余起算数据时，观测方程的系数矩阵才可 能列满秩，起算数据不足时，就产生数亏。
B BT ( BBT )1
当 C 为满秩方阵时，
(GA) GA
T
C C C 1
对于参数平差模型（等精度） ：
( AG)T AG
G 称为 A 的广义逆。
可以只满足一个或几个方程，共有 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 种不同的广 义逆。
ˆ L V AX ˆ ( AT A)1 AT L A L X
B
h1
A
h3
h2
C
ˆ 1 l1 v1 1 1 0 x v 1 0 1 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3 0 l1 1 1 0 x1 h1 l 1 0 1 x 0 h 2 2 2 0 l 0 1 1 x 3 3 h3
（D-4）
R( A) u n ， s n u
相容方程组的通解：
是满足（A-1）和（A-3）的最小范 Am
X X Gα

秩亏自由网

§8-2 秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。

如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。

当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。

在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。

在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R Tbb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即W N xbb 1ˆ-= （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。

尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。

组成法方程0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN（8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。

即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。

也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。

秩亏自由网平差的解法

秩亏G-M模型：
R( A) r t
增加虚拟观测：
ˆ l AX 2 2 1 D ( l ) Q P 0 0
（1）
d t r
P 非奇异对称矩阵
ˆ l B X
d ,t
PI
T 即当 BB I
R( B ) d
（2）
① R( B ) d T ② AB 0
h3 15.817 m
x2 h1 x1 h3 x3 h2
各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。 解： 取各点近似高程为：
0 0 0 0 x10 H 10 0 m , x2 H2 12.345 m , x3 H3 15.817 m
PI
1. 列误差方程式
ˆ l V AX
( N i I )S i NSi 0 ( i 1,d )
因N 具有秩亏d=t-r，故N的特征值中必有d个为零，对应 零特征值必存在d个线性无关的特征向量，由此构成矩阵
ud
S ( S 1 S 2 S d )
BT S
R( S ) d
AS 0
（1）再确定
l
T ˆ ˆ X r X r min

Q N Q ( AT PA BT B) I Q A PA I Q B B 右乘 B
T T
T，顾及
ABT O
B T Q B T BBT O
Q B T B T ( BBT ) 1
Q B T B T ( BBT ) 1
左乘 AQ
伪观测法
AQ Q B T AQ B T ( BBT ) 1 ABT ( BBT ) 1 ( BBT ) 1 O
时满足该条件。 相当于

秩亏网平差若干计算方法

秩亏网平差若干计算方法1.概述在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵都是满秩的，由此得到的法方程系数阵也是满秩的，即法方程有唯一解。

这是经典平差的范畴。

自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。

此时的误差方程的系数阵是列亏阵，由此所得的法方程系数阵也是秩亏阵。

一般设网中全部的待定坐标个数为，必要观测数为，全部观测数为，为阶矩阵，相应的法方程系数阵是阶矩阵，，秩亏数都为，所以法方程有无穷组解。

这里产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以就是网中必要的起算数据个数。

对于水准网，必要起算数据是一个点的高程，故；对于测角网，必要起算数据是两个点的坐标，故；对于测边网或是边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一条边的方位，故。

2.秩亏网平差模型以间接平差为例，令个坐标参数的平差值为，观测向量为，则秩亏网的误差方程为：（1）式中，，，，随机模型是：（2）根据最小二乘原理，在下，可组成发方程如下：（3）若是按照直接解法用如下的方程组来解求的解：（a）容易得到，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但有无穷多组的解，无法求得唯一的，因为参数必须在一定的坐标基准下才能唯一确定。

为了得到的唯一解，增加个坐标基准约束条件，即：(4)在限制条件下，得到法方程如下：（5）由此可以根据下面的方程组解得的唯一解：（b）由上述方程组（b），可以得到：（）(7)（）（）3.矩阵分解应用于秩亏网平差3.1 奇异值分解用于秩亏网平差可以看出，上面提到的这种计算秩亏网平差的方式很复杂，现在我们不妨把秩亏自由网平差看成在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，也就是通过对如下的方程组来解求的唯一解：(c)这是个复杂的方程组，如果按照正常求解的方法是很困难的，下面我们把矩阵的奇异值分解融合进来。

秩亏自由网平差

秩亏自由网平差的研究刘 阳（江苏师范大学，城建学部，江苏 徐州 ）摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bbN B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 从而得到未知参数的唯一确定解.本文主要利用MATLAB 从传统的测量平差的观点出发, 来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了附加矩阵S 的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系, 给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方法的各自的优缺点,给出总结。

关键词：秩亏自由网；平差；间接平差Research Rank Defect Free NetworkAdjustmentLiuyang(School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116)Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, when carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters.The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary.Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison引言在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

本课程的任务为： 二、本课程的任务为：
求平差值； 求平差值； 精度评定（包括点位精度的各种表示方法）。 点位精度的各种表示方法 精度评定（包括点位精度的各种表示方法）。
三、五种平差方法的共性和特性。
第十二章 秩亏自由网平差
本节内容： 本节内容：
秩亏自由网平差的提出； 秩亏自由网平差原理； 秩亏自由网平差的基准条件。 。
1、经典自由网平差
例：
选定x3的高程为已知， 选定 的高程为已知，则可列出误差方程为： 的高程为已知
v1 1 0 l1 ˆ v = −1 1 x1 − l 2 x 2 ˆ2 l v3 0 −1 3
参数的协因数为
Qxx = (BT PB + SST )−1 BT PB(BT PB + SST )−1 ˆˆ ′ = QNbbQ′
参数平差值函数
ˆ ˆ ϕ = f (X)
三、S的具体形式 的具体形式
基准条件： 基准条件： 个参数之间存在的d个约束条件， U个参数之间存在的d个约束条件，是由基 准秩亏（d≠0）所致。 准秩亏（d≠0）所致。 经典自由网平差的基准
思考： 思考：
在没有起算数据的网中， 在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个数 相等？ 相等？ 水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网 水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网 GPS 的秩亏数各是多少？ 的秩亏数各是多少？
二、秩亏自由网平差原理
秩亏自由网平差的函数模型为
ˆ ˆ L = B X+d
也可先设定各点的高程为参数，但取x 也可先设定各点的高程为参数，但取x3的已知高程为 近似值，即 x3 = 0 。（即设一点的高程为已知）其函 近似值， 。（即设一点的高程为已知） ˆ 即设一点的高程为已知 数模型为： 数模型为：
ˆ v1 1 0 −1 x1 l1 v = −1 1 0 x − l ˆ 2 2 2 v3 0 −1 1 x3 l3 ˆ ˆ x3 = 0
如何合理解算这类平差问题， 如何合理解算这类平差问题，就是本节要讨论 的秩亏自由网平差问题。 的秩亏自由网平差问题。 秩亏自由网平差： 秩亏自由网平差： 如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据， 如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据， 而且又设所有网点坐标为参数， 而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问 题称为秩亏自由网平差 秩亏自由网平差。 题称为秩亏自由网平差。
2）为确定唯一解，在最小二乘原则下再附加另外的条件： ）为确定唯一解，在最小二乘原则下再附加另外的条件：
ˆ ˆ x x = min
T
（而这条件应保证所求的的平差值是最优 的，称为最小范数条件。）
求最小范数的法方程解
即求下列数学解： ˆ − BT PL = 0 NX
ˆ ˆ XT X = min
பைடு நூலகம்ˆ Φ= XT X − 2KT (NX − BT PL) = min
我们需要（ 掌握的程度： 一、我们需要（已）掌握的程度：
对于任一个平差问题，能够用所学过的四（ 对于任一个平差问题，能够用所学过的四（五）种平差方 法分别求解， 平差值以及精度评定。 以及精度评定 法分别求解，即：求平差值以及精度评定。 当然，实践中，具体该用哪种方法进行平差，完全取决于 当然，实践中，具体该用哪种方法进行平差， 具体的问题以及计算工具。（ 。（常用间接平差和附有限制条 具体的问题以及计算工具。（常用间接平差和附有限制条 件的间接平差。） 件的间接平差。）
经典平差法的条件： 经典平差法的条件： 是在控制网中必需设定（ 已有） 是在控制网中必需设定（或已有）足够的坐 设定 标起算数据； 标起算数据；
如果“设定”的坐标起算数据等于必要起始数据， 如果“设定”的坐标起算数据等于必要起始数据， 则称为经典自由网平差 经典自由网平差。 则称为经典自由网平差。
ˆ S x =0
T du u1
一、基础方程及其解 • 则函数模型是
ˆ V = Bx −l ˆ S x =0
T du u1
• 按附有限制条件的间接平差解算： 按附有限制条件的间接平差解算： 按最小二乘原则， 按最小二乘原则，作函数
ˆ Φ=VT PV + 2KT (ST x) = min
得法方程为
ˆ BT PBx + SK = BT Pl ˆ S x =0
• 可以验证：
AA A = A
−
值得说明的是： 值得说明的是： 1）因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的 广义逆（NN）-代入直接解公式后，求得的 X向量却是相同的，故X有唯一解！ 2）以上解法又称为“直接解法”。
二、广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆） 1、定义：满足下列四个条件，即
T
法方程写成： 法方程写成：
ˆ BT PB S x BT Pl T = S O K O
可解出参数改正数。 可解出参数改正数。 或者： 或者：
ˆ x = (B PB + SS ) B Pl
T T
T −1
二）精度评定
单位权方差估值
VT PV VT PV ˆ σ0 = = n −t n −(u − d)
法方程：
ˆ 2 −1 x1 l1 −l2 −1 2 x − l −l = 0 ˆ2 2 3
系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异， 方程有唯一解：
ˆ x1 2 −1 l1 −l2 x = −1 2 l −l 2 3 ˆ2
单位权方差估值仍为：
VT PV VT PV ˆ2 σ0 = = n − R(A) n − r
广义逆矩阵的概念
一、广义逆A1、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列 矩阵方程的A-定义为A的广义逆
nm mn nm
AA A = A
nm
−
2、广义逆A-的计算 A是非奇异方阵，凯利逆A-1就是A的广义逆。 − AL1 = ( AT A)−1 AT A是列满秩时 − A是行满秩时 AR1 = AT ( AT A)−1 A是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。
降阶法求广义逆： • 在秩亏的方阵A中，删去d个某一行和相应的某 一列降阶求逆，删去位置均以“0”代之，即得奇 异方阵的广义逆A-。 • 可见A-不唯一。 −1 1 0 • 例如：
−1 1 ，（ ） 2 d = 3− 2 =1 RA= ， 0 −1 −1 1 −1 −1 −1 A = ,A = 1 1 0 −1 0 −1 −1 −1 0 A− = 0 −1 0 0 0 0 A= 0 1
n1 nu u1
n1
相应的误差方程为
ˆ V = Bx −l
随机模型为
D = σ QLL = σ P
2 0 2 0
−1
方法之一：直接解法
1）按最小二乘原则组法方程： ）按最小二乘原则组法方程：
ˆ V = Bx −l V PV = min
T
（N的行列式等于零，法方程 有无穷多组解。）
ˆ Nx − BT Pl = 0
组法方程： 组法方程：
ˆ − BT Pl = 0 B PBx
T
2 −1 −1 法方程系数阵： 法方程系数阵： BT PB = −1 2 −1 −1 −1 2
可见，系数阵是一个奇异阵，方程有无穷多组解。 可见，系数阵是一个奇异阵，方程有无穷多组解。 原因是B不为列满秩阵， 秩亏。） （原因是B不为列满秩阵，称B秩亏。） 产生秩亏的原因： 产生秩亏的原因：就是平差网形中缺少的必要起算 数据个数。 数据个数。 秩亏数d 就是秩亏自由网中的基准亏损数， 秩亏数d：就是秩亏自由网中的基准亏损数， d=R‘（ d=R （B）-R（B）=必要起算数据 （ R‘（B）是B的列满秩数，R（B）是实际秩数。） （ 的列满秩数， 是实际秩数。）
AA+ A = A A+ AA+ = A (AA+ )T = AA+ (A+ A)T = A+ A
2、 A+的计算 当A为对称方阵时：
A = A(AA) A(AA) A
+
−
−
秩亏自由网平差解法二： 秩亏自由网平差解法二：附加条件法 由于网中没有起算数据，平差中多选了d 由于网中没有起算数据，平差中多选了d 个参数，因此，若在U个参数之间适当给定d 个参数，因此，若在U个参数之间适当给定d个附 加约束条件（基准条件）， ），即在原平差函树模型 加约束条件（基准条件），即在原平差函树模型 中附加入d个参数间的限制条件方程， 中附加入d个参数间的限制条件方程，从而可使秩 亏平差问题化为附有限制条件的间接平差问题。 亏平差问题化为附有限制条件的间接平差问题。 • 网的基准： 网的基准： 必要的起算数据称之为网的基准。 必要的起算数据称之为网的基准。 • d个基准条件形式为 ：
上节内容<误差椭圆> 上节内容<误差椭圆>
1)点位误差计算方法； 1)点位误差计算方法； 点位误差计算方法 任意方向（ 位差的计算方法； 2）任意方向（φ、ψ）位差的计算方法； 误差曲线、误差椭圆的概念，椭圆参数的计算； 3）误差曲线、误差椭圆的概念，椭圆参数的计算； 误差曲线与误差椭圆间的关系，误差椭圆的应用 曲线与误差椭圆间的关系 的应用； 4）误差曲线与误差椭圆间的关系，误差椭圆的应用； 相对误差椭圆的概念 参数的计算。 误差椭圆的概念、 4）相对误差椭圆的概念、参数的计算。
高程网中取平差后一点高程改正数为零、 高程网中取平差后一点高程改正数为零、 平面网中取两点的坐标改正数为零。 平面网中取两点的坐标改正数为零。
秩亏自由网平差的基准
• 附加的基准条件式应与法方程式线性无关：