2013年高考第二轮复习数学江西理科专题一常以客观题形式考查的几个问题第2讲平面向量、复数、框图及合情推

2013年江西高考数学理科试卷(带详解)2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M 1,2,zi ,i为虚数单位,N 3,4 ,M N 4 ,则复数zA.2iB.2iC.4iD.4i【测量目标】集合的基本运算和复数的四则运算【考查方式】利用并集运算、复数的乘法运算求解.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】 M 1,2,zi ,N 3,4 ,由M N 4 ,得4 M, zi=4,z 4i.2.函数y （）x)的定义域为A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1] （）【测量目标】函数的定义域.【考查方式】利用根式和对数函数有意义的条件求解.【难易程度】容易【参考答案】Bx…0 0…x 1. 1x 03.等比数列x,3x3,6x6, 的第四项等于A.24B.0C.12D.24 【试题解析】由【测量目标】等比数列性质.【考查方式】利用等比中项和等比数列的特点求解.【难易程度】容易【参考答案】A ( )【试题解析】由(3x3)2 x(6x6) x 1或x 3，（步骤1）当x 1时，3x3 0，故舍去，（步骤2）所以当x 3，则等比数列的前3项为3,6,12，故第四项为24.（步骤3）4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号【测量目标】简单的随机抽样.【考查方式】利用随机抽样方法中随机数表的应用求解.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】依题意，第一次得到的两个数为65,65 20,将它去掉；第二次得到的两个数为72，由于72 20,将它去掉；第三次得到的两个数字为08，由于08 20，说明号码08在总体内,将它取出;继续向右读，依次可以取出02,14,07,02;但由于02在前面已经选出，故需要继续选一个,再选一个数就是01，故选出来的第五个个体是01.5.(x225)展开式中的常数项为 3xA.80B.80C.40D.40 ( )【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用二项展开式的通项公式求解.【难易程度】容易【参考答案】C 2rr) (2)r C5 x105r， 3x2令105r 0 r 2，故展开式的常数项为(2)2C5 40.22122dx,S3 exdx,则S1,S2,S3的大小关系为 6.若S1 xdx,S2 11x1A.S1 S2 S3B.S2 S1 S3 (x)【试题解析】展开式的通项为Tr1 C5 r25r ( ( )C.S2 S3 S1D.S3 S2 S1【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】利用定积分的求法比较三个的大小来求解.【难易程度】中等【参考答案】B 【试题解析】S1显然S2 S1 S37.阅读如下程序框图，如果输出i 5,那么在空白矩形框中应填入的语句为 ()2121222x327xdx ,S2 dx lnx ln2,S3 exdx ex e2e，1x1332 第7题图i 2 B.S 2 i 1 C.S 2 i D.S 2 i 4 A.S 2【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图表示的算法对i的取值进行验证.【难易程度】中等【参考答案】CS 2 41 9 10 S 2 2 5 10;当i 3时，【试题解析】当i 2时，仍然循环，排除D;当i 4时，当i 5时，不满足S 10,即此时S…10输出i.（步骤1）此时A项求得S 2 52 8,B项求得 S 2 51 9,C项求得S 2 5 10,故只有C 项满足条件. （步骤2）8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且AB CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n，那么m n （）第8题图A.8B.9C.10D.11【测量目标】线面平行的判定.【考查方式】利用线面平行,线面相交的判断及空间想象力求解.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】直线CE在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行；与正方体的左右两个侧面,前后两个侧面都相交,故m 4;(步骤1)作CD的中点G，显然易证平面EFG的底边EG上的高线与正方体的前后两个侧面平行,故直线EF一定与正方体的前后两个侧面相交;另外,直线EF显然与正方体的上下两个底面相交;综上,直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4，故n 4,所以m n 8.(步骤2)9.过点引直线l与曲线y A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于 ( )A.B.C.D.333【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】利用角形的面积,点到直线的距离公式,三角函数的最值求解.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】因为△AOB的面积在 AOB π时,取得最大值.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为2y k(x,即kx y 0,(步骤1)由题意，曲线y O到直线l的距离为1 sin或k π,,k 423.(步骤2) 10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC 夹在两平行线，l1,l2之间l l1,l与半圆相交于F,G两（）的长为x(0 x π),y EB BC CD，点，与三角形ABC两边相交于E,D两点，设弧FG若l从l1平行移动到l2,则函数y f(x)的图象大致是第10题图A B C D【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】利用函数的图象、扇形弧长、三角函数，以及数形结合的数学思想求解.【难易程度】较难【参考答案】D的长度为x,【试题解析】连接OF,OG,过点O作OM FG,过点A作AH BC,交DE于点N.因为弧FGxANAExx,所以cos,则AE, 2AHAB22xx EB. y EB BC CD 22所以 FOG x,则AN OM cosx x π) 2第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.函数y sin2x2x的最小正周期为T为【测量目标】三角函数的周期.【考查方式】利用三角恒等变换求解三角函数的最小周期.【难易程度】容易【参考答案】πx【试题解析】y sin2x sinx sin22πcosx2 2sin(2x33，故最小正周期为T 2π π. 2π,若a e13e2,b 2e1,则向量a在b方向上的射影为 312.设e1,e2为单位向量.且e1,e2的夹角为___________.【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】利用向量的投影，向量的数量积运算求解.【难易程度】容易【参考答案】5 2a ba b(e13e2) 2e1 |a||b||b|2π26 1 1 cos22e6e1 e2 5. 1 22213.设函数f(x)在(0, )内可导,且f(ex) x ex,则f (1) 【试题解析】|a|cos |a|【测量目标】导数的运算.【考查方式】利用导数的运算,函数解析式的求解,以及转化与化归的数学思想求解.【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】由f(e) x e f(x) lnx x(x 0) f (x)2xx11(x 0),故f (1) 2. xx2y21相交于A,B两点,若△ABF为14.抛物线x 2py(p 0)的焦点为F,其准线与双曲线33等边三角形,则p .【测量目标】直线与双曲线位置关系.【考查方式】利用抛物线与双曲线的简单性质，等边三角形的特征求解.【难易程度】中等【参考答案】6pp【试题解析】不妨设点A在左方,AB的中点为C,则易求得点F(0,),A(), 22pB).（步骤1） 2因为△ABF为等边三角形，所以由正切函数易知tan60 FC CB p 6. （步骤2）三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分15.（1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为 x ty t2（t为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 .【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】利用参数方程、直角坐标系方程和极从标的互化.【难易程度】容易【参考答案】 c os2 sin 0【试题解析】由曲线C的参数方程为x t,y t2（t为参数），得曲线C的直角坐标系方程为x2 y，（步骤1）又由极坐标的定义得，( cos )2 sin ，即化简曲线C的极坐标方程为 cos2 sin 0.（步骤2）（2）.（不等式选做题）在实数范围内,不等式x21…1的解集为 .【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】利用绝对值不等式的解法，结合绝对值的性质求解.【难易程度】容易【参考答案】 0,41 1|x2|1剟1 0|x2|剟2 2x2剟2 0【试题解析】||x2|1|剟四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosC(cosAA)cosB 0.（1）求角B的大小；（2）若a c 1,求b的取值范围【测量目标】两角和与差的正余弦,余弦定理.【考查方式】给出相关信息,利用两角和的余弦函数,余弦定理求解.【难易程度】中等【试题解析】（1）由已知得cos(A B)cosAcosBAcosB 0即有sinAsinBAcosB 0 （步骤1）因为sinA0，所以sinBB 0，又cosB0，所以tanB x?4.π.（步骤2） 3222（2）由余弦定理，有b a c2accosB.（步骤3）11212 因为a c 1,cosB ，有b 3(a). 224112 又0 a 1，于是有…b 1，即有…b 1.（步骤4） 4222217.（本小题满分12分）正项数列 an 的前n项和Sn满足：Sn(n n1)Sn(n n) 0 又0 B π，所以 B（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn 5n1*T n N,数列{}的前项和为.证明:对于任意的,都有bTnnnn2264(n2)a【测量目标】数列的通项公式与前n项和Sn的关系，裂项求和法.【考查方式】利用数列通项公式的求法和数列的求和，裂项求和法求出其前n项和，通过放缩法证明.【难易程度】中等22【试题解析】（1）由Sn(n2n1)Sn(n2n) 0，得Sn(n n) (Sn1) 0.由于 an 是正项数列，所以Sn 0,Sn n2n.（步骤1）于是a1 S1 2,n…2时,an Sn Sn1 n2n(n1)2(n1) 2n.综上,数列 an 的通项an 2n.（步骤1）（2）证明:由于an 2n,bn则bn n 1. 22(n2)ann11 11 .（步骤3）22 4n2(n2)216 n(n2)1 111111111Tn 122222…2222 16 32435(n1)(n1)n(n 2)1 11112216 2n(1)n( 22 )115.（步骤4）(12 )1626418.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(,如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X 0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，离散型随机变量分布列和期望.【考查方式】利用组合数的公式、向量数量积运算、古典概型概率等求解.【难易程度】中等2【试题解析】（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有C8 28种，当X 0时，两向量夹82 .（步骤1） 287（2）两向量数量积X的所有可能取值为2,1,0,1,X 2时,有两种情形;X 1时,有8种情形；X 1时,有1EX (2) +(1) 0 1 .（步骤2） 14147714角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X 0)19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD中,PA 平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点，△DAB≌△DCB,EA EB AB 1,PA3，连接CE并延长交AD于F. 2（1）求证:AD 平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角,空间直角坐标系，空间向量及运算. 【考查方式】利用线面垂直的定理求解，通过建系求二面角的平面角的余弦值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）在△ABD中，因为E是BD 的中点,所以EA EB ED AB 1,ππ, ABE AEB ，（步骤1） 23因为△DAB≌△DCB,所以△EAB≌△ECB, 从而有 FED FEA，（步骤2）故EF AD,AF FD,又因为PG GD,所以FG PA. 又PA 平面ABCD，所以GF AD,故AD 平面CFG.（步骤3）故 BAD（2）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(3D, 2第19题(2)图1 333 3P(0,0,),故BC (0),CP (，),CD (, （步骤4） 222222221y 0221设平面BCP的法向量n1 (1,y1,z1)，则 ，3y3z 011 22y 1，即n (1,,2).（步骤5）解得 1 33 z 21 33 2设平面DCP的法向量n2 (1,y2,z2)，则32y2 0y ，解得 2，（步骤6）3 z2 2y2z2 0224n n即n2 (1.从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos 12 n1n2（步骤7）31x2y220. (本小题满分13分)如图,椭圆C2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=，直线l的方程为22abx=4.（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数 ，使得k1+k2= k3？若存在求 的值；若不存在,说明理由.第20题图【测量目标】椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用椭圆方程的方法及直线的斜率求解. 【难易程度】较难3191 ① 222a4b22依题设知a 2c,则b 3c. ②（步骤1）②代入①解得c2 1,a2 4,b2 3.【试题解析】（1）由P(1,)在椭圆上得,x2y21.（步骤2）故椭圆C的方程为43（2）方法一:由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y k(x1) ③代入椭圆方程3x24y2 12并整理,得(4k23)x28k2x4(k23) 0，（步骤3）设A(x1,y1),B(x2,y2),则有8k24(k23)x1x2 2,x1x2 ④（步骤4）4k34k2 3在方程③中令x 4得,M的坐标为(4,3k).333y1y23k,k ,k k 1. 从而k1 23x11x21412yy2k. 注意到A,F,B共线,则有k kAF kBF,即有1x11x2 133y2 y1y23(11) 所以k1k2x11x21x11x212x11x2 2x1x2232k. ⑤（步骤5）2x1x2(x1x2) 1y18k2223④代入⑤得k1k2 2k 2k1， 228k24(k3)1224k34k 31又k3 k，所以k1k2 2k3.故存在常数 2符合题意. （步骤6） 2y0方法二:设B(x0,y0)(x0 1),则直线FB的方程为:y (x1)，x0 13y0令x 4,求得M(4,)，x0 12y0x0 1从而直线PM的斜率为k3 ,（步骤3）2(x01)y0 y (x1) x015x83y0 联立 ,得A(0（步骤4） ,)，222x52x500 x y 1 3 42y02x052y0 3则直线PA的斜率为:k1 ，直线PB的斜率为:k2 ，2(x01)2(x01)2y02x052y032y0x0 1所以k1k2 （步骤5） 2k3，2(x01)2(x01)x0 1故存在常数 2符合题意. （步骤6）21. (本小题满分14分)1),a为常数且a>0. 21（1）证明:函数f(x)的图象关于直线x=对称；2（2）若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0) x0,则称x0为函数f(x)的二阶周期点,如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围；已知函数f(x)=a(12x（3）对于（2）中的x1,x2和a, 设x3为函数ff x的最大值点,A x,f f x,1Bx2,f f x2,C x3,0.记△ABC的面积为S a,讨论S a的单调性.【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】利用函数的对称性,解方程,导数的应用及函数单调性求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）证明:因为f(x) a(12x),f(x) a(12x), 有f(x) f(x),（步骤1）121212121对称. （步骤2） 21x…,21 4ax,2（2）当0 a 时,有f(f(x)) 22 4a(1x),x 1.2所以f(f(x)) x只有一个解x 0，又f(0) 0，故0不是二阶周期点. （步骤3）所以函数f(x)的图象关于直线x1 x,x (2)f(f(x)) .1当a 时，有1 1x,x 22所以f(f(x)) x有解集 x|x…点.（步骤4）11 1 x…f(x) x,又当时,,故x|x… 中的所有点都不是二阶周期22 21 24ax,x… 4a2a4a2x,1 x (1)14a2当a 时，有f(f(x)) . 22a(12a)4a2x,1 x…4a1 24a 4a1 4a24a2x,x4a2a2a4a2,,所以f(f(x)) x有四个解0,，（步骤5）14a212a14a22a2a) 又f(0) 0,f(， 12a12a2a2a4a4a2a4a2f() ,f() ,,故只有是f(x)的二阶周期点.（步骤6）22214a14a14a14a214a214a21综上所述，所求a 的取值范围为a .（步骤7）22a4a2,x2 （3）由（2）得x1 ，14a214a214a 1因为x3为函数f(f(x))的最大值点，所以x3 或x3 .（步骤8） 4a4a112(a a12a1当x3 时，S(a) .求导得：S (a) ，4a(14a2)24(14a2)1时，S(a)单调递增，当a )时S(a)单调递减；（步骤9）24a18a26a112a24a3当x3 时，S(a) ，求导得：S (a) ， 4a4(14a2)2(14a2)2所以当a (112a24a3因a ，从而有S (a) （步骤10） 0，2222(14a)1所以当a (, )时S(a)单调递增. （步骤11）2。

专题升级训练16　计数原理、二项式定理 (时间：60分钟　满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )． A．24 B．18 C．12 D．6 2．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )． A．1或3B．1或4 C．2或3D．2或4 3．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )． A．－3 B．－2 C．2 D．3 4．设集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，3，…，9}，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )． A．9个 B．14个 C．15个 D．21个 5．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )． A．74 B．121 C．－74 D．－121 6．将1,2,3，…，9这9个数字填在3×3的正方形方格中，要求每一列从上到下的数字依次增大，每一行从左到右的数字也依次增大，当4固定在中心位置时，则填写方格的方法有( )． A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 7．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答)． 8．(2012·江西南昌一模，理12)设，则二项式n的展开式中，x2项的系数为__________． 9．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝__________. 三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 10．(本小题满分15分)将一个四棱锥的每个顶点染上颜色，使同一条棱上的两端点异色，如果有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数有多少种？ 11．(本小题满分15分)6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？ 12．(本小题满分16分)(1)若(1＋x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n. (2)已知(ax＋1)7(a≠0)的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a. 一、选择题 1．B　解析：先分成两类：(一)从0,2中选数字2，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为×4＝12； (二)从0,2中选数字0，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为×2＝6. 故满足条件的奇数的总个数为12＋6＝18. 2．D　解析：6人之间互相交换，总共有＝15种，而实际只交换了13次，故有2次未交换．不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换，当甲与乙、丙与丁之间未交换时，甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物；当甲与乙、甲与丙之间未交换时，只有乙、丙两人收到4份礼物，故选D. 3．D　解析：5的通项为Tr＋1＝5－r(－1)r＝(－1)r.要使(x2＋2)5的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或5.故(x2＋2)5的展开式的常数项是(－1)4×＋2×(－1)5×＝3. 4．B　解析：∵PQ，∴x＝2或x＝y，当x＝2时，y可取3,4，…，9等7个值，此时点的个数是7个；当x＝y时，x，y可取3,4，…，9等7个值，此时点的个数是7个，∴这样的点的个数是14个，∴选B. 5．D　解析：＋＋＋＝＝，∴展开式中含x3的项的系数为(1－x)5，(1－x)9的展开式中含x4的项的系数，为－＝－121.∴选D. 6．B　解析：首先确定1,9分别在左上角和右下角，2,3只能在4的上方和左方，有2种填法，5,6,7,8填在其他位置有种方法．依分步乘法计数原理有种填法，所以选B. 二、填空题 7．　解析：基本事件总数为，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类，第一类：三节艺术课各不相邻有；第二类：有两节艺术课相邻有；第三类：三节艺术课相邻有.由古典概型概率公式得概率为＝. 8．60　解析：n＝6(－cos x)，二项展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rx6－2r，当r＝2时含有x2，此时该项的系数是(－2)2×＝60. 9．0　解析：(x－1)21的通项为Tr＋1＝x21－r(－1)r， ∴T12＝x10(－1)11＝－x10. ∴a10＝－. T11＝x11(－1)10＝x11， ∴a11＝.∴a10＋a11＝－＋＝0. 三、解答题 10．解：将四棱锥记为SABCD，先染S，A，B，由于颜色各不相同，∴有＝60种方法；再染C，D，若C的颜色与A相同，则D有3种染色方法，若C的颜色与A不相同，则C有2种染色方法，D有2种染色方法，依两个基本原理，不同的染色方法数为×(3＋2×2)＝420种． 11．解：6个人坐在一起有种坐法，6人坐好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位． (1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有＝35种插法， 故空位不相邻的坐法有·＝25 200种． (2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有·＝30 240种． (3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类： ①4个空位各不相邻有种坐法； ②4个空位有2个相邻，另有2个不相邻有种坐法； ③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有种坐法． 综上所述，应有(＋·＋)＝115 920种坐法． 12．解：(1)＝7，＝7n，n2－3n－40＝0，由n∈N*，得n＝8. (2)由题意知，a2＋a4＝2a3,21a2＋35a4＝70a3，a≠0，得5a2－10a＋3＝0a＝1±.。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i2．(2013江西，理2)函数yln(1－x )的定义域为( )． A ．(0,1) B ． [0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．244．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－406．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x =⎰，231e d xS x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S1＜S2＜S3B ．S2＜S1＜S3C ．S2＜S3＜S1D ．S3＜S2＜S1 7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S=2*iD ．S ＝2*i ＋48．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．119．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A ．3B ．3-C ．3±D ．10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x＋2x 的最小正周期T 为________．12．(2013江西，理12)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a ＝e1＋3e2，b ＝2e1，则向量a 在b 方向上的射影为________．13．(2013江西，理13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x ＋ex ，则f ′(1)＝________.14．(2013江西，理14)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________．四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos AA )cosB ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝32，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C：2222=1x ya b+(a>b>0)经过点P31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝1122a x⎛⎫--⎪⎝⎭，a为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线12x=对称；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3,0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24. 4．答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D. 5．答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C r x 2(5－r )(－2)r x －3r＝5C r (－2)r x10－5r.令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C.6．答案：B解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =，231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B. 7．答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5； 当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C. 8．答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．答案：B解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴2ππ2T ==.12．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos 3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b .13．答案：2解析：令e x＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2.14．答案：6解析：抛物线的准线方程为2p y =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B，又0＜B ＜π，所以π3B =.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n nn b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦.18．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：EX ＝152(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥PA .又PA ⊥平面ABCD ， 所以CF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,,022BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,22330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得11,32,3y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得22 2.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(1，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝21124||||||4⋅==n n n n . 20．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，①依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，②②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +.(2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--.注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--.所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1，又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3. 故存在常数λ＝2符合题意．(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--，令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-). 联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线PA 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-， 所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3， 故存在常数λ＝2符合题意．21． (1)证明：因为12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称． (2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点． 当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期点． 当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214a x a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得： S ′(a )＝221122214a a a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛+ ⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)， 因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0， 所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．(2013江西，理2)函数y －x )的定义域为( )．A ．(0,1)B ． [0,1)C ．(0,1]D ．[0,1] 答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．24 答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.4．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．08 答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C rx 2(5－r )(－2)r x －3r ＝5C r(－2)r x 10－5r .令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C. 6．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x=⎰，231e d x S x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =， 231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B.7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S =2*iD ．S ＝2*i ＋4 答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5；当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C.8．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A B ． C ．± D ．解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．答案：D第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x ＋2x 的最小正周期T 为________．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2ππ2T ==.12．(2013江西，理12)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b . 13．(2013江西，理13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案：2解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2. 14．(2013江西，理14)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案：6解析：抛物线的准线方程为2py =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||2p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分． 15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________． 答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C＋(cos A sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B sin A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin BB ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B， 又0＜B ＜π，所以π3B =. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564. (1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n n n b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦ 22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦. 18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：EX ＝15(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3， 因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3， 所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以CF⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,2330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得112,3y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得222.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(12)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cosθ＝21124||||||4⋅==n n n n .20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C ：2222=1x y a b +(a >b >0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +. (2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--. 注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--. 所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1， 又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3.(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--， 令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-).联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线P A 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-，所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝1122a x ⎛⎫--⎪⎝⎭，a 为常数且a >0. (1)证明：函数f (x )的图像关于直线12x =对称； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数f (f (x ))的最大值点，A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (x 3,0)．记△ABC 的面积为S (a )，讨论S (a )的单调性．(1)证明：因为12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称．(2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214ax a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得：S ′(a )＝22214a a a ⎛ ⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)，因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0，所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。

第1讲　选择题技法指导 纵观近几年的高考题，无论是全国卷还是省市自主命题卷，选择题是高考试题的三大题型之一．除上海卷外，其他高考卷中选择题的个数均在8～12之间，约占总分的27%～40%.该题型的基本特点是：绝大部分选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分地体现和应用，选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法．正是因为选择题具有上述特点，所以该题型能有效地检测学生的思维层次及考查学生的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等能力．选择题也在尝试创新，在“形成适当梯度”“用学过的知识解决没有见过的问题”“活用方法和应变能力”“知识的交会”等四个维度上不断出现新颖题，这些新颖题成为高考试卷中一道亮丽的风景线． 1．直接法与定义法 直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，即“小题大做”，选择正确答案，这种解法叫直接法．直接法是选择题最基本的方法，绝大多数选择题都适宜用直接法解决．它的一般步骤是：计算推理、分析比较、对照选择．直接法又分定性分析法、定量分析法和定性、定量综合分析法． 若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )． A． B．8－4 C．1 D． 变式训练1 已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝( )． A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 2．数形结合法 根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形或草图，借助几何图形的直观性、形状、位置、性质等图象特征作出正确的判断，得出结论．这种方法通过“以形助数”或“以数助形”，使抽象问题直观化、复杂问题简单化． 设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为( )． A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 变式训练2 若函数f(x)＝ex＋ln x，g(x)＝e－x＋ln x，h(x)＝e－x－ln x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小依次为( )． A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 3．特例法与排除法 用符合条件的特例，来检验各选择项，排除错误的，留下正确的一种方法叫特例法(特值法)，常用的特例有特殊数值、特殊函数、特殊数列、特殊图形等．排除法就是根据高考数学选择题中有且只有一个答案是正确的这一特点，在解题时，结合估算、特例、逻辑分析等手段先排除一些肯定是错误的选项，从而缩小选择范围确保答案的准确性，并提高答题速度． 函数f(x)＝(0≤x≤2π)的值域是( )． A． B．[－1,0] C．[－，－1] D． 4．估算法 由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义，估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 已知sin θ＝，cos θ＝，则tan＝( )． A． B． C． D．5 变式训练3 若D为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过D中的那部分区域的面积为( )． A． B．1 C． D．2 方法例析 【例1】A　解析：由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2＋2ab－c2＝4， 由C＝60°，得 cos C＝＝＝． 解得ab＝． 【变式训练1】C　解析：本题可用验证法逐一验证，但以直接法最为简单． 由＝1－ni，得m＝(1＋i)(1－ni)＝(1＋n)＋(1－n)i，根据复数相等的条件得∴ ∴m＋ni＝2＋i，故选C． 【例2】C　解析：当K＝时， fK(x)＝＝ 即＝ 的图象如下图． 由图象可知，所求单调递增区间为(－∞，－1)． 【变式训练2】D　解析：在同一坐标系中作出函数y＝ex，y＝e－x，y＝－ln x，y＝ln x的图象，则函数f(x)，g(x)，h(x)的零点a，b，c分别为函数y＝ex与y＝－ln x，y＝e－x与y＝－ln x，y＝e－x与y＝ln x图象交点的横坐标．观察图象可知c＞b＞a，故选D． 【例3】B　解析：令sinx＝0，cosx＝1， 则f(x)＝＝－1，排除A，D； 令sinx＝1，cosx＝0，则f(x)＝＝0，排除C，故选B． 【例4】D　解析：因为cos2θ＋sin2θ＝1，则m一定为确定的值，因此sin θ，cos θ的值与m无关，从而tan也与m无关，A，B排除．我们可估算tan的大致取值范围来排除不正确的答案，＜θ＜π，＜＜，所以tan＞1，故选D． 【变式训练3】C　解析：如图知所求区域的面积是△OAB的面积减去Rt△CDB的面积，所求面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小，故选C．。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题0两部分.第I卷1至2页，第II 卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0、5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第一卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={1,2，zi}，i，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A、-2iB、2iC、-4iD、4i2.函数的定义域为A．（0,1）B、[0,1) C、(0,1] D、[0,1]3.等比数列x，3x+3，6x+6，…、、的第四项等于A．-24 B、0 C、12 D、244. 总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第55. (x 2-32x)5展开式中的常数项为 A 、80 B 、-80 C 、40 D 、-406、若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为A 、123S S S <<B 、213S S S <<C 、231S S S <<D 、321S S S <<7、阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为A 、2*2S i =-B 、2*1S i =-C 、2*S i =D 、2*4S i =+8、如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=A、8B、9C、10D、119、过点引直线l与曲线y=A,B两点，O为坐标原点，当∆AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于=++A、y EB BC CD-B、3±C、3D、10、如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧 FG的长为(0)x x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是第Ⅱ卷注意事项：第卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11、函数2sin2y x x =+的最小正周期为T 为 .12、设1e ，2e 为单位向量.且1e ，2e 的夹角为3π，若123a e e =+，12b e =，则向量a 在b 方向上的射影为13设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)x f =14、抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则P =三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c 的极坐标方程为x--≤的解集为15（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式211四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0、（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围17、 （本小题满分12分）正项数列{a n }的前项和{a n }满足：222(1)()0n n s n n s n n -+--+=（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令221(2)n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为nT .证明：对于任意的*n N ∈，都有564n T <18、（本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X 、若0X 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.（1） 求小波参加学校合唱团的概率； （2） 求X 的分布列和数学期望.19（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ,A B C D EB D ⊥平面为的中点， G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，，连接CE 并延长交AD 于F 、(1) 求证：AD CFG ⊥平面；(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值、20、(本小题满分13分)如图，椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x 、（1） 求椭圆C 的方程；（2） AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问：是否存在常数λ，使得123+=.k k k λ？若存在求λ的值；若不存在，说明理由、21、 (本小题满分14分)已知函数1()=(1-2-)2f x a x ，a 为常数且>0a 、 (1) 证明：函数()f x 的图像关于直线1=2x 对称； (2) 若0x 满足00(())=f f x x ，但00()f x x ，则称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围；(3) 对于（2）中的12,x x 和a ， 设x 3为函数f （f （x ））的最大值点，A （x 1，f （f （x 1））），B （x 2，f （f （x 2））），C （x 3，0），记△ABC 的面积为S （a ），讨论S （a ）的单调性、。

专题升级训练21　选择题专项训练(一) 1．设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( )． A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3] 2．“x＞1”是“|x|＞1”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )． A．－9 B．－3 C．9 D．15 4．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．设a＞0，b＞0.下列说法正确的是( )． A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b 6．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )． A．15 B．12 C．－12 D．－15 7．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )． A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 8．若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为( )． A．0 B． C．1 D． 9．设函数f(x)＝sin＋cos，则( )． A．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称 B．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称 C．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称 D．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称 10．函数y＝的定义域为( )． A． B．∪(－1，＋∞) C． D．∪(－1，＋∞) 11．设变量x，y满足则x＋2y的最大值和最小值分别为( )． A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 12．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )． A．－12 B．－6 C．6 D．12 14．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )． A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80 15．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，a－c与b－c的夹角为60°，则|c|的最大值为( )． A．2 B． C． D．1 16．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切．则C的圆心轨迹为( )． A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 17．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )． A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 18．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )． A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1D．λμ＝1 19．同时随机掷两颗骰子，则至少有一颗骰子向上的点数小于4的概率为( )． A． B． C． D． 20．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝，算得K2的观测值k＝≈7.8. 附表： P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )． A．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 21．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )． A．3 B．11 C．38 D．123 22．执行如图所示的程序框图，输出的k值是( )． A．4 B．5 C．6 D．7 23．若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( )． A．－3 B．－2 C．－1 D．0 24．已知，，，则( )． A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 25．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )． A．或　B．或2　C．或2　D．或 26．已知α∈，cos α＝－，则tan 2α＝( )． A． B．－ C．－2 D．2 27．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于( )． A． B． C． D． 28．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是( )． A．(0，) B．(0，) C．(1，) D．(1，) 29．已知函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断： ①△ABC一定是钝角三角形； ②△ABC可能是直角三角形； ③△ABC可能是等腰三角形； ④△ABC不可能是等腰三角形． 其中正确的判断是( )． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 1．A　解析：因为M＝{x|－3＜x＜2}，所以M∩N＝{x|1≤x＜2}，故选A. 2．A　解析：因为x＞1|x|＞1，另一方面，|x|＞1x＞1或x＜－1，故选A. 3．C　解析：因为y′＝3x2，切点为P(1,12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为3x－y＋9＝0.令x＝0，得y＝9，故选C. 4．D　解析：因为z＝＝＝＝，故复数z的对应点在第四象限，选D. 5．A　解析：若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a＞2b＋2b.构造函数f(x)＝2x＋2x，x＞0，则f′(x)＝2x·ln2＋2＞0恒成立，故有函数f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除． 6．A　解析：方法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 方法二：a1＋a2＝a3＋a4＝…＝a9＋a10＝3，故a1＋a2＋…＋a10＝3×5＝15.故选A. 7．D　解析：由函数y＝x单调递减， 可知－＞－＞0＝1， 又函数y＝x单调递增，可知－＜0＝1. 所以c＜b＜a.选D. 8．D　解析：由题意知：9＝3a，解得a＝2，所以tan＝tan＝tan＝，故选D. 9．D　解析：因为f(x)＝sin＝sin＝cos 2x，故选D. 10．A　解析：由得x∈. 11．B　解析：x＋y＝1，x－y＝1，x＝0三条直线的交点分别为(0,1)，(0，－1)，(1,0)，分别代入x＋2y，得最大值为2，最小值为－2.故选B. 12．D　解析：若a＝－2，b＝－，则ab＝∈(0,1)，＝－＜b＝－D/b＜，所以不是充分条件； 若b＝－1，a＝，则b＜，＝2＞b＝－D/0＜ab＜1，所以不是必要条件，故选D. 13．D　解析：由题意，得2a－b＝(5,2－k)，a·(2a－b)＝2×5＋2－k＝0，所以k＝12. 14．C　解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱．底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为2××(2＋4)×4＝24，四个侧面的面积为4×(4＋2＋2)＝24＋8，所以几何体的表面积为48＋8.故选C. 15．A　解析：设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上．当OC经过圆心时，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝，由正弦定理得△AOB的外接圆的直径是＝2，即|c|的最大值是2，故选A. 16．A　解析：设圆心C(x，y)，半径为R，A(0,3)，由题得|CA|＝R＋1＝y＋1，∴＝y＋1，∴y＝x2＋1，∴圆心C的轨迹是抛物线，∴选A. 17．C　解析：设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知4＜r.因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，所以有x02＝8y0.又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上，所以x02＋(y0－2)2＝r2＞16，所以8y0＋(y0－2)2＞16，即有＋4y0－12＞0，解得y0＞2或y0＜－6，又因为y0≥0，所以y0＞2，选C. 18．D　解析：∵∥，∴＝m，∴ ∴λμ＝1，故正确选项为D. 19．D　解析：共有36种情况，其中至少有一颗骰子向上的点数小于4有27种情况，所以所求概率为＝. 20．A　解析：由K2≈7.8＞6.635，而P(K2≥6.635)＝0.010，故由独立性检验的意义可知选A. 21．B　解析：a＝1，a＜10，a＝12＋2＝3；a＝3＜10，a＝32＋2＝11；a＝11＞10，所以输出a＝11，选B. 22．B　解析：当n＝5，k＝0时，判断n为偶数，不成立，执行n＝3n＋1＝16，k＝k＋1＝1，判断n＝1不成立； 当n＝16，k＝1时，判断n为偶数成立，执行n＝＝8，k＝k＋1＝2，判断n＝1不成立； 当n＝8，k＝1时，判断n为偶数成立，执行n＝＝4，k＝k＋1＝3，判断n＝1不成立； 当n＝4，k＝3时，判断n为偶数成立，执行n＝＝2，k＝k＋1＝4，判断n＝1不成立； 当n＝2，k＝4时，判断n为偶数成立，执行n＝＝1，k＝k＋1＝5. 此时判断n＝1成立，输出k＝5，故选B. 23．C　解析：可行域如图所示． 当a＝－1时，整点的个数为1＋3＋5＝9. 24．C　解析：令m＝log23.4，n＝log43.6，l＝log3，在同一坐标系中作出三个函数的图象，由图象可得m＞l＞n. 又∵y＝5x为单调递增函数，∴a＞c＞b. 25．A　解析：设|F1F2|＝2c(c＞0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|＞|PF2|. 若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝＝； 若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝＝，故选A. 26．B　解析：因为α∈，cos α＝－， 所以sin α＝－＝－.所以tan α＝2. 则tan 2α＝＝－.故选B. 27．D　解析：∵sin2α＋cos 2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α， ∴cos2α＝，sin2α＝1－cos2α＝. ∵α∈， ∴cos α＝，sin α＝，tan α＝＝，故选D. 28．A　解析：设四面体的底面是BCD，其中BC＝a，BD＝CD＝1，顶点为A，AD＝，在△BCD中，0＜a＜2.① 取BC的中点E，在△AED中，AE＝ED＝， 由＜2，得0＜a＜.② 由①②得0＜a＜. 29．B　解析：(1)设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)． ∵f′(x)＝ex＋1＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(x1)＜f(x2)＜f(x3)，且f＜. ∵＝(x1－x2，f(x1)－f(x2))，＝(x3－x2，f(x3)－f(x2))， ∴·＝(x1－x2)(x3－x2)＋(f(x1)－f(x2))(f(x3)－f(x2))＜0， ∴∠ABC为钝角，判断①正确，②错误． (2)若△ABC为等腰三角形，则只需AB＝BC，即 (x1－x2)2＋(f(x1)－f(x2))2＝(x3－x2)2＋(f(x3)－f(x2))2. ∵x1，x2，x3成等差数列，即2x2＝x1＋x3， 且f(x1)＜f(x2)＜f(x3)， 只需f(x2)－f(x1)＝f(x3)－f(x2)，即2f(x2)＝f(x1)＋f(x3)， 即f＝， 这与f＜相矛盾， ∴△ABC不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选B.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西)卷数学(理科)一 •选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给也的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1 •已知集合M =：1,2,zi ”i 为虚数单位)，N 」3,4?，且M 门N ，则复数z =() (A ) -2i (B ) 2i (C ) -4i ( D ) 4i 2.函数y = •. xln 1 -x 的定义域为() (A ) 0,1( B ) 0,1(C ) 0,11(D ) 10,11 3•等比数列x,3x 3,6x 6^1的第四项等于( ) (A ) -24( B ) 0(C ) 12(D ) 244 •总体有编号为01,02,111,20的20个个体组成。

利用下面的随机数表 选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5个个体的 编号为( )(A ) 08(B ) 07 (C ) 02 (D ) 012_355. x -2x 展开式中常数项为() (A ) 80( B ) -80(C ) 40( D ) -402 2 21 26 .若 3 =彳 x 2dx, S2 =打 dx, S3 二 1 e x dx ，则 §, S 2 ,$ 的大小关系为()x(A )S| :: S 2 :: S 3( B ) S 2 ::: Sj ： S 3( C )S 2 S 3 < S,( D ) S 3 ：：：S 2 S r7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 74817•阅读如下程序框图，如果输出i =5 ,那么在空白矩形框中应填入的语句为()8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面:-上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m, n，那么m n 二( )(A) 8 ( B) 9 (C) 10r c (D) 119.过点-‘2,0弓I直线l与曲线y二.1-x2相交于代B两点，O为坐标原点，当AOB11. ____________________________________________________ 函数y=sin2x 2,3sin 2x 的最小正周期为T 为 _______________________________________________ 。