2018-2019学年最新华东师大版八年级数学上册《幂的乘方》教学设计-评奖教案
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八年级上§13.1 幂的运算 幂的乘方 教案三维教学目标知识与技能:1、探索并了解幂的乘方的性质,并会运用它进行计算。
2、在推导性质的过程中,培养学生观察、概括和抽象能力。
过程与方法:根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质推导出幂的乘方的性质。
情感态度与价值观:经历探索幂的乘方的运算性质过程,进一步体会幂的意义,体验“转化”可以获得新的结论,体会探索的乐趣。
教学重点:幂的乘方法则的推导及运用。
教学难点:区别幂的乘方运算中的指数运算与同底数幂的乘法运算中的指数的运算不同。
课堂导入一个棱长为2102⨯的正方体,在某种物质的作用下,以每秒扩大到原来100倍的速度膨胀,求10秒后该正方体的体积。
教学过程一、复习回顾1、什么叫做乘方?什么叫幂?2、口述同底数幂的乘法法则。
二、探索发现做一做:先说出下列各式的意义,再计算下列各式: ()232=___________________________; ()23a =___________________________; ()3m a =___________________________; 从上面的计算中,你发现了什么规律?概括:幂的乘方法则(a m )n =a m ·a m ·…·a m (n 个)=a m m m +++...(n 个)=a mn可得 (a m )n =a mn (m 、n 为正整数).这就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘.三、举例应用例2计算:(1) (103)5;(2) (b 3)4.解(1) (103)5=105*3=1015.(2)(b 3)4=b 4*3=b 12. 例 3: 计算:(1) x 2·x 4+(x 3)2; (2)(a 3)3·(a 4)3.解:(1)x 2·x 4+(x 3)2=x 2+4+x 3×2=x 6+x 6=2x 6;(2)(a 3)3·(a 4)3=a 3×3·a 4×3=a 9·a 12=a 9+12=a21. 四、课堂练习1、判断下列计算是否正确,并简要说明理由:(1) (a 3)5=a 8;(2) a 5·a 5=a 15;(3) (a 2)3·a 4=a 9.2、计算:(1) (22)2;(2) (y 2)5;(3) (x 4)3;(4) (y 3)2·(y 2)3.答案:1、 全部错误2、 (1)(22)2=42,(2)(y 2)5=10y ,(3)(x 4)3=12x(4) (y 3)2·(y 2)3=12y五、课堂小结1、说说幂的乘方的运算性质;2、通过探索幂的乘方运算性质的活动,你有什么感受?3、举例说明幂的乘方运算性质与同底数幂的乘法性质的联系与区别。
12.1.2幂的乘方教学目标:1、知识与技能:(1)同底数幂的乘法性质(2)幂的乘方的性质2、过程与方法:在掌握同底数幂的乘法时,掌握逆运算,掌握米的乘方的性质3、情感、态度与价值观:培养学生的创新能力和探索能力 学情分析1、个别学生可能会对两种法则的逆运算掌握的不是很好2、本节课易错的是底数为负数时的运算结果的写法教学重点:幂的乘方的性质及应用教学难点:同底数幂的乘法及幂的乘方的混合运算教学过程:活动一:温故知新1、有理数混合运算的顺序是什么?2、同底数幂乘法的法则是什么?(用符号语言表示)3、计算:()53991⨯ ()262a a ⋅()4323x x x ⋅⋅ ()()()53-4x x −⋅()()33-5x x ⋅ ()6a a a a ⋅+⋅432 4、下面的计算对不对?如果不对,应该怎样改正?()33321x x x =⋅ ()6332x x x =+()63323x x x =⋅ ()9334x x x =⋅()335a a a =⋅ 活动二:探究新知1、()323表示什么? ()32a 表示什么? ()3m a 表示什么? 2、根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律?()()()33333122232=⋅⋅=()()()a a a a a =⋅⋅=222322()()()a a a a a m m m m =⋅⋅=333、猜想:对任意的底数a 与任意正整数m 、n,()?=n m a 幂的乘方的运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
()mn n m a a =(m 、n 都是正整数)活动三:综合运用计算:()()53101 ()()442a ()()23m a ()()34-4x活动四:相信你能做得对!1、计算:()()33101 ()()232x ()()5-3m x ()()5324a a ⋅ ()()[]23-5y ()()[]436b a −2、下列各式对吗?请说出你的观点和理由()()7341a a = ( ) ()12342a a a =⋅ ( ) ()()()()2623323a a a =+( ) ()()()3223-4x x −=( ) 活动五:扩展训练1、下列各式中,与15+m x 相等的是( )()15+m x A 、 ()51+m x B 、 ()m x x C 5⋅、 mx x x D ⋅⋅5、2、14x 不可以写成( )()335x x A ⋅、()()()()832x x x x B −⋅−⋅−⋅−、()77x C 、2543x x x x D ⋅⋅⋅、活动六:活学活用幂的乘方的逆用 ()()m n n m mn a a a ==幂的乘方的逆运算:()()()()()10457131====⋅x x x()()()m m a ==222(m 为正整数)活动七:范例学习已知x 28434=⋅,求x 的值。
八年级上§13.1 幂的运算 积的乘方 教案三维教学目标知识与技能:1、能说出积的乘方的运算性质,并会用符号表示;2、会运用积的乘方的运算性质进行运算,并能说出每一步运算的依据;3、经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,从中感受具体到抽象, 特殊到一般的思考方法,发展数感和归纳的能力。
过程与方法:将积的乘方转化为乘方的积,在对具体例子进行了“概括”“抽象”后归纳得出积的乘方的性质。
情感态度与价值观:培养学生初步应用“转化”思想方法的能力,学会从经验中归纳、猜想、概括,并从中感受成功的乐趣。
教学重点:积的乘方运算性质的理解和应用。
教学难点:积的乘方运算中每个因式都要乘方,防止漏乘;混合运算注意运算顺序。
课堂导入一正方体边长为acm,另一正方形的边长是这个正方形边长的3倍,那么这个正方形的面积是多少?教学过程一、复习巩固1、计算下列各式:(1)_______25=⋅x x ;(2)_______66=⋅x x ;(3)_______66=+x x(4)_______53=⋅⋅-x x x ;(5)_______)()(3=-⋅-x x ;(6)_______3423=⋅+⋅x x x x ;(7)_____)(33=x ;(8)_____)(52=-x ;(9)_____)(532=⋅a a ;(10)________)()(4233=⋅-m m ;(11)_____)(32=n x .二、探索归纳1、计算:333___)(____________________________52⨯==⨯=⨯2、计算:888___)(____________________________52⨯==⨯=⨯3、计算:121212___)(____________________________52⨯==⨯=⨯从上面的计算中,你发现了什么规律?_________________________ 4、猜一猜填空:(1)(___)(__)453)53(⋅=⨯;(2)(___)(__)53)53(⋅=⨯m ;3)(___)(__))(b a ab n ⋅=,你能推出它的结果吗?概括:积的乘方等于把各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.三、举例应用例3计算:(1) (2b )3; (2) (2a 3)2;(2) (3) (-a )3; (4) (-3x )4.解(1) (2b )3=23b 3=8b 3.(2) (2a 3)2=22×(a 3)2=4a 6.(3) (-a )3=(-1)3·a 3=-a 3.(4) (-3x )4=(-3)4·x 4=81x 4.四、课堂练习1、判断下列计算是否正确,并说明理由:(1) (xy 3)2=xy 6;(2) (-2x )3=-2x 3.2、计算:(1) (3a )2;(2) (-3a )3;(3) (ab 2)2;(4) (-2×103)3.3、球的体积V=334r π(其中V 、r 分别表示球的体积和半径),地球可以近似地看成球体,地球的半径约是31037.6⨯km ,地球的体积大约是多少(单位:km 3,.3≈π)? 答案:1、 全部错误2、 (1) (3a )2=29a ,(2) (-3a )3=327a -(3) (ab 2)2=42b a ,(4) (-2×103)3=9108⨯- 3、V=()113331011037.6.33434⨯≈⨯⨯⨯≈r π五、课堂小结1、积的乘方适用的范围、方法。
幂的乘方教学内容教科书P.19的内容教学目标知识与技能:使学生掌握幂的乘方的法则,并能够用式子表示;过程与方法:通过自主探索,让学生明确幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂法则推导出来的,并能利用乘方的法则熟悉地进行幂的乘方运算;情感态度与价值观:在双向应用幂的乘方运算公式中,培养学生符号感,思维的灵活性。
教学分析重点:掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。
难点:对法则推导过程的理解及逆用法则。
关键:利用教材内容安排的特点,把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密联系起来。
教学过程一、复习活动。
1.如果—个正方体的棱长为16厘米,即42厘米,那么它的体积是多少?2.计算:(1)a4·a4·a4; (2)x3·x3·x3·x3。
3.你会计算(a4)3与(x3)5吗?(由第1题得出幂的乘方的课题,第2题是复习同底数幂的乘法,第3题既是复习又是引入。
对于第3题应着重让学生讨论。
)6.用同样的方法计算:(a3)4; (a11)9; (b3)n(n为正整数)。
这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例。
教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错。
此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:(23)2=23×2=26; (32)3=32×3=36; (a11)9=a11×9=a99 (b3)n=b3×n=b3n(现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?)怎样说明你的猜想是正确的?即(a m)n=a m·n(m、n是正整数)。
这就是幂的乘方法则。
你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘。
三、举例及应用。
1.例1、计算:(课本例2)(1)(103)5; (2)(b3)4。
华东师大版数学八年级上册《同底数幂的乘法》教学设计一. 教材分析华东师大版数学八年级上册《同底数幂的乘法》是初中数学的重要内容,它为学生提供了理解指数运算规律的基础。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、幂的定义及幂的运算性质等知识的基础上进行学习的,对于学生来说,同底数幂的乘法是一种全新的运算方式,需要学生理解和掌握其中的规律。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前,已经掌握了有理数的乘法和幂的定义,对于幂的运算性质也有了一定的了解。
但是,同底数幂的乘法作为一种新的运算方式,需要学生进行理解和消化。
此外,学生可能对于幂的运算规律的理解不够深入,需要教师在教学过程中进行引导和启发。
三. 教学目标1.理解同底数幂的乘法运算规律。
2.能够熟练地进行同底数幂的乘法运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和发散思维能力。
四. 教学重难点1.同底数幂的乘法运算规律的理解和掌握。
2.同底数幂的乘法运算在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导法:教师通过提问、启发等方式引导学生思考和探索,帮助学生理解和掌握同底数幂的乘法运算规律。
2.实例解析法:教师通过具体的例子,让学生理解和掌握同底数幂的乘法运算规律。
3.练习法:教师布置一定的练习题,让学生进行练习,巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件:教师制作同底数幂的乘法教学课件,用于辅助教学。
2.练习题:教师准备一定数量的练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过提问,引导学生回顾幂的定义和幂的运算性质,为新课的学习做好铺垫。
2.呈现(15分钟)教师通过讲解和展示实例,向学生介绍同底数幂的乘法运算规律,让学生理解和掌握。
3.操练(10分钟)教师布置一定的练习题,让学生进行练习,巩固所学知识。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
4.巩固(5分钟)教师通过提问和讲解,帮助学生巩固同底数幂的乘法运算规律。
5.拓展(5分钟)教师引导学生思考同底数幂的乘法在实际问题中的应用,拓宽学生的思维。
华东师大版八年级数学上册《幂的乘方》评课稿引言本文是对华东师大版八年级数学上册《幂的乘方》这一教材进行评课的稿件。
在本评课稿中,我们将对该教材从教学目标、教学内容、教学过程和教学手段等方面进行详细分析和评价,以期为教师和学生提供有价值的反馈和启示。
一、教学目标教材的教学目标是课程设计的核心,对于教学的有效进行起着至关重要的作用。
针对《幂的乘方》这一单元,教材明确的教学目标是:1.理解幂数的定义和性质;2.掌握幂的运算规律,包括同底数幂相乘、幂的乘方、幂的除法等;3.能够应用幂的运算规律解决实际问题;4.培养学生分析问题和解决问题的能力。
本教材的教学目标在定位上较为明确,符合当前教学大纲和学生的学习需求。
同时,重点调动学生的主动性和积极性,培养学生的问题解决能力,具有一定针对性和前瞻性。
二、教学内容《幂的乘方》这一单元的教学内容贴近初中数学的学科特点,结合实际生活和实际问题,包括以下几个方面:1.幂数和指数的定义和性质;2.同底数幂相乘的运算规律;3.幂的乘方和幂的除法的运算规律;4.乘方的应用,如科学记数法等。
教材的内容设计合理,有助于培养学生的逻辑思维和数学运算能力。
但在实际教学中,应注意一些抽象概念的引入和辅助教具的使用,以提高学生的理解力和学习效果。
三、教学过程教学过程是教学中最为重要且关键的环节之一,它直接影响到学生的学习效果和教学效果的达成。
对于《幂的乘方》这一单元的教学过程,教材将整个学习过程分为了以下几个环节:1.导入新知:通过引入实际问题和生活场景,激发学生的兴趣和学习积极性;2.理解概念:通过示例和归纳总结,帮助学生理解幂的定义和幂的性质;3.探究规律:引导学生发现幂的运算规律,培养学生的探究能力;4.课堂练习:通过课堂练习,巩固和提高学生的运算能力;5.拓展应用:搭建实际问题解决的桥梁,提高学生的应用能力和解决问题的能力;6.总结反思:对学习过程进行总结和反思,加深学生对幂的理解。
华东师大版八年级第十三章第二节 幂的乘方 教案 三维教学目标知识与技能:1、探索并了解幂的乘方的性质,并会运用它进行计算。
2、在推导性质的过程中,培养学生观察、概括和抽象能力。
过程与方法:根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质推导出幂的乘方的性质。
情感态度与价值观:经历探索幂的乘方的运算性质过程,进一步体会幂的意义,体验“转化”可以获得新的结论,体会探索的乐趣。
教学重点:幂的乘方法则的推导及运用。
教学难点:区别幂的乘方运算中的指数运算与同底数幂的乘法运算中的指数的运算不同。
课堂导入一个棱长为2102⨯的正方体,在某种物质的作用下,以每秒扩大到原来100倍的速度膨胀,求10秒后该正方体的体积。
教学过程一、复习回顾1、什么叫做乘方?什么叫幂?2、口述同底数幂的乘法法则。
二、探索发现做一做:先说出下列各式的意义,再计算下列各式: ()232=___________________________; ()23a =___________________________; ()3m a =___________________________; 从上面的计算中,你发现了什么规律?概括:幂的乘方法则(a m )n =a m ·a m ·…·a m (n 个)=a m m m +++...(n 个)=a mn可得 (a m )n =a mn (m 、n 为正整数).这就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘.三、举例应用例2计算:(1) (103)5;(2) (b 3)4.解(1) (103)5=105*3=1015.(2)(b 3)4=b 4*3=b 12. 例 3: 计算:(1) x 2·x 4+(x 3)2; (2)(a 3)3·(a 4)3.解:(1)x 2·x 4+(x 3)2=x 2+4+x 3×2=x 6+x 6=2x 6;(2)(a 3)3·(a 4)3=a 3×3·a 4×3=a 9·a 12=a 9+12=a21. 四、课堂练习1、判断下列计算是否正确,并简要说明理由:(1) (a 3)5=a 8;(2) a 5·a 5=a 15;(3) (a 2)3·a 4=a 9.2、计算:(1) (22)2;(2) (y 2)5;(3) (x 4)3;(4) (y 3)2·(y 2)3.答案:1、 全部错误2、 (1)(22)2=42,(2)(y 2)5=10y ,(3)(x 4)3=12x(4) (y 3)2·(y 2)3=12y五、课堂小结1、说说幂的乘方的运算性质;2、通过探索幂的乘方运算性质的活动,你有什么感受?3、举例说明幂的乘方运算性质与同底数幂的乘法性质的联系与区别。
第十二章整式的乘除12.1幂的运算2. 幂的乘方【知识与技能】(1)知道幂的乘方的意义.(2)会进行幂的乘方的计算.【过程与方法】经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展学生的推理能力和有条理的表达能力.【情感态度与价值观】通过分组探究,培养学生合作交流的意识,提高学生勇于探索数学的品质.会进行幂的乘方的运算.幂的乘方法则的总结及运用.多媒体课件.教师出示问题:(1)叙述同底数幂的乘法法则,并用字母表示.(2)计算:请学生代表口答.教师:大家已经学会进行同底数幂的乘法运算,那么幂的乘方运算又应该如何进行呢?(引入本节课的内容,板书课题).探究:幂的乘方的法则教师:我们知道,表示几个相同因数的积的运算叫作乘方,根据乘方的意义,请同学们解决以下问题:1.思考.根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空,看看计算的结果有什么规律:教师要加强引导,强调运用同底数幂的乘法法则的注意事项.2.小组讨论.对正整数m,n,你认为(a m)n等于什么?能对你的猜想给出检验过程吗?学生小组内互相探索、交流,积极思考,然后各组派代表回答,相互点评,补充得出关于幂的乘方法则.师生共同总结:一般地,对于任意底数a与任意正整数m,n,幂的乘方法则:即幂的乘方,底数不变,指数相乘.(教师板书)教师说明:(1)法则中a可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式.(2)在形式上,幂的乘方的底数本身就是一个幂.(3)法则可推广到[(a m)n]k=a mnk(m,n,k是正整数).(4)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆.例如,不能把(a5)2的计算结果写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10.教师出示教材P96例2:计算:师生共同分析解答,教师板书(1),请学生代表上台板演(2)(3)(4).教师追问:a mn等于(a m)n(m,n都是正整数)吗?学生类比同底数幂的乘法法则的逆用得出a mn=(a m)n(m,n都是正整数),也就是说对于幂的乘方法则,它的逆用同样成立.当一个幂的指数是积的形式时,就可以写成幂的乘方的形式.学生口答.接着教师让学生独立完成P97练习,同桌之间互相检查.1.(a m)n=a mn(m,n是正整数).语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.2.法则可推广到[(a m)n]k=a mnk(m,n,k是正整数).【正式作业】教材P104习题14.1第1(3)(4)题【家庭作业】《高效课时通》P68-P69。
课题幂的乘方
【学习目标】
1.理解幂的乘方法则,并能灵活运用法则进行计算;
2.能利用幂的乘方的性质解决一些实际问题;
3.经历探索幂的乘方的运算性质,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.
【学习重点】
了解幂的乘方的性质,会进行幂的乘方的运算.
【学习难点】
了解幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质的区别,并能解决一些实际问题.
行为提示:点燃激情,引发学生思考本节课学什么.情景导入生成问题1.32中,底数是3,指数是2,n a表示a个n的积,那么92=81,(-2)9=-512.
2.计算:(1)102×105;(2)a3·a7;(3)x·x5·x7;(4)93×95.
解:(1)107;(2)a10;(3)x13;(4)98.
3.(1)a n的意义是n个a相乘;
(2)同底数幂的乘法运算:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即a m·a n=a m+n(m,n是正整数).推广:a m·a n·a p=a m+n+p.逆用:a m+n=a m·a n(m,n是正整数).
知识链接:1.幂a n的意义是n个a相乘,a n的底数是a,指数是n.
2.底数a可以是字母,也可以是单或多项式.
行为提示:教会学生看书,独学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案.
教会学生落实重点.
学法指导:根据幂的法则进行计算,前提条件:必须是相同的底数的乘法形式.
知识链接:(a m)n=a mn.(m、n为正整数)
学法指导:幂的乘方法则的推广:
幂的乘方法则还可以逆用,即:a mn=(a m)n(m、n为正整数)
学法指导:逆用同底数幂乘法法则.
行为提示:教会学生怎么交流.先对学,再群学.充分在小组内展示自己,分析答案,提出疑惑,共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展).在群学后期教师可有意安排每组展示问题,并给学生板书题目和组内演练的时间.
自学互研生成能力
知识模块一探究幂的乘方的意义与法则
阅读教材P19~P20,完成下面的内容:
1.猜一猜:请同学们根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则做下面一组题:
(1)53表示2个2相乘,(23)2表示2个23相乘.(23)2=23×23=23+3=26;
(2)53表示3个5相乘,(52)3表示3个52相乘.(52)3=52×52×52=52+2+2=56;
(3)a4表示4个a相乘,(a3)4表示4个a3相乘.(a3)4=a3×a3×a3×a3=a3+3+3+3=a12.
2.猜一猜:从上面的计算你发现了什么规律?用自己的语言描述所发现的规律.上
面各式的括号里都是幂的形式,然后再乘方,我们把这种运算叫做幂的乘方.猜想:(a m)n=a mn(m,n是正整数).
3.证一证:当m,n为正整数时候,(a m)n=a m·a m·…·a m,\s\do4(n个am))=am+m+…+m,\s\up6(n个m))=a mn.
4.归纳幂的乘方法则:一般地,(a m)n=a mn(m,n都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
范例:计算:
(1)(103)5;(2)(a5)4;(3)(b m)4;(4)[(2a-3)2]5.
解:(1)(103)5=103×5=1015;(2)(a5)4=a5×4=a20;
(3)(b m)4=b m×4=b4m;(4)[(2a-3)2]5=(2a-3)2×5=(2a-3)10.
仿例:计算:
(1)(104)100;(2)(10m)2;(3)(a3-m)2;(4)-[(x+y)2]5.
解:(1)(104)100=104×100=10400;(2)(10m)2=10m×2=102m;
(3)(a3-m)2=a2(3-m)=a6-2m;(4)-[(x+y)2]5=-(x+y)2×5=-(x+y)10.
变例:计算:
(1)(24)7=228;(2)[(-3)5]2=310;
(3)[(a3)2]4=a24;(4)[(1-2b)3]3=(1-2b)9.
知识模块二幂的乘方法则的逆用
范例:填空:
(1)m12=(m2)(6)=(m6)(2)=(m(3))4=(m4)3;(2)102n=100n.
变例:已知10a=5,10b=6,求102a+3b的值.
解:102a+3b=102a·103b=(10a)2·(10b)3=52×63=5400.
仿例:计算:
(1)(43)2=[(22)3]2=(26)2=2(12);
(2)(93)3=[(3)9]2;
(3)已知x2n=6,求x6n的值.
解:x6n=x2n×3=(x2n)3=63=216.
交流展示生成新知
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
知识模块一探究幂的乘方的意义与法则
知识模块二幂的乘方法则的逆用
仿例:(1)(43)2=46=(22)6=2(12);
(2)(93)3=99=(32)9=2(18).
检测反馈达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书;【课后检测】见学生用书.
课后反思查漏补缺
1.收获:________________________________________________________________________ 2.存在困惑:________________________________________________________________________。