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第5章 杆系结构有限元(1)有限元方法是在结构力学中的结构矩阵位移法的基础上发展起来的。
杆系结构：几何形状简单 杆系结构矩阵位移法：（直接有限元法）： 杆的力与位移的关系容易求得 几乎包含了有限元的主要思想 （没有位移插值的问题）(2)基于最小势能原理的杆系结构FEM 分析5．1 直杆受轴向力杆的有限元受力特点： 只有轴向力的作用主要的控制方程：几何关系： x ux ε∂=∂应力应变关系： x x uE E xσε∂==∂边界条件： u u = （给定位移）uA E P x ∂⋅=∂ （给定载荷）平衡方程： 22()()x A uAE f x x x σ∂∂==∂∂最小势能原理的描述：200()2LLp EA u dx uf x dx x ∂⎛⎫∏=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰直杆的解u 满足上述控制方程等价于u 使得势能p ∏取最小值。
同样的划分单元，并且单元和节点编号 单元编号：1,2,.....e N =节点编号：1,2,...i n =节点的位移和力向量[][][][]i ii i u p P δ==单元节点位移和节点力向量（总体编号）[][]i i e e j j u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单元节点位移和节点力向量（局部编号）[][]1122e e u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦以下讨论基于变分原理的有限元。
假定直杆单元内任意一点的位移可以表示为两个节点位移的线性插值。
取单元的局部坐标 11ξ-≤≤ 1212()[(),()][,]Tu N N u u ξξξ= 多个节点参数eu N u ]][[=)1(21)(1ξξ-=N)1(21)(2ξξ+=N)(2c x x l-=ξN 的将单元节点位移和单元内任意一点的位移建立了联系。
这个联系（线性插值）是我们假定的，因此不同的单元，可以采用不同插值模式，也就形成了不同精度的单元。
由势能极小 0pe u ∂∏=∂并注意到 2ld dx ξ=1012()()()()l eT T dN dN EA dN dN K EA dx d dx dx l d d ξξξ+-==⎰⎰101()()2leTTlP N f x dx N f d ξξ+-==⎰⎰可以直接给出刚度矩阵的积分以及等效载荷（均布轴向载荷）列阵的计算类似的三节点单元以及其他更高级的单元。
CHAPTER02 平面问题的有限元2.1 引言●平面应力和平面应变问题的有限元分析●位移有限元建立的一般方法●三角形单元、矩形单元●线性单元、高阶单元●轴对称单元2.2 弹性力学平面问题基本方程平面应力和平面应变杆系结构: 长度远大于两个方向的尺度变形在轴向采用了平面假设只有一个未知函数()=w w x非杆系: 比如深梁,平面假定不再成立u v u x y v x y(,)[(,),=图2-1 平面应力平面应力: 厚度很小, 载荷(包括位移边界)和o xy-平面平行,沿z均匀分布,因此可以近似地认为沿z向所有的应力分量为零.图2-2 平面应变平面应变: 横向尺度远小于纵向尺度, 载荷(包括位移边界)和o xy-平面平行,沿z均匀分布,认为沿z位移分量为零.（1）平面应力:沿z厚度很薄，可以认为沿厚度均匀各个分量和z 无关，只和,x y 有关板的两个面上没有外力， 因此两个面上有： 0z z z x y zσσσ=== 也即对薄片所有点有：0z z z x y z σσσ=== 并进一步有: 0zx yz εε== 于是：1[]1[]2(1)xx xx yy yy yy xx xy xyE E Eεσμσεσμσμγσ=-=-+= 注意: 0ZZ ε≠（2）平面应变: 沿z 没有位移，0w =只有u 和v 不为零.0z z x z y zεεε=== 1[()]1[()]2(1)xx xx yy zz yy yy xx zz xy xyE E Eεσμσσεσμσσμγσ=-+=-++= 但0zz ε= ， 0zz σ≠ ()zz xx yy σμσσ=+2221()11()12(1)2(1)11xx xx yy yy yy xx xy xy xyE E E Eμμεσσμμμεσσμμμμγσσμ-=---=--++-==-平面应力和平面应变的关系211E E μμμμ⇒-⇒-以下仅研究平面应力[][][]D σε=2.2 平面问题的三角形单元格式 2.2.1 三角形单元任意的一个平面采用三角形单元离散 节点编号k j i ,,单元节点位移：Tkk j j i i e v u v u v u a ],,,,,[= 如果单元节点位移已知，如何给出单元内部任意一点的位移δ， 其中[]Tv u =δ FEM 的思想：单元内部插值2.2.2 单元分析若节点位移已知，如何求单元内部任意一点的位移，称为位移模式或位移函数一般取为多项式，多项式选取：由低向高 y x u 321βββ++= y x v 654βββ++= )6,1(=i iβ为待定 在节点上应满足节点位移 123i i i u x y βββ=++ 123j j j u x y βββ=++ 123k k k u x y βββ=++依照方程组求解的行列式方法，可以求出)3,2,1(=i iβ，它应该是节点坐标和节点位移的函数。
111()2i i ijj j i i j j k k kkku x y u x y a u a u a u D Au x y β==++ 21111()21iijj i i j j k k kku y u y b u b u b u DAu y β==++31111()21iijj i i j j k k kkx u x u c u c u c u DAx u β==++ 其中A 是单元三角形的面积1211ii jj kkx y A x y D x y ==j j i j k k j kkx y a x y x y x y ==-11ji jkky b y y y =-=-11j i k jkx c x x x ==- 上述,,i j k 相同同理可以求出)6,5,4(=i iβ41()2i i j j k k a v a v a v A β=++51()2i i j j k k b v b v b v A β=++61()2i i j j k k c v c v c v Aβ=++其中A 是单元三角形的面积1211i i jj kkx y A x y D x y ==j j i j k k j kkx y a x y x y x y ==-11ji jkky b y y y =-=-11j i k jkx c x x x ==- 上述,,i j k 相同代入假定的位移表达式 经过演算： 123,,1()21()21()21[()]2i i j j k k i i j j k k i i j j k k i i i i i j k u x ya u a u a u Ab u b u b u x Ac u c u c u y A a b x c y u Aβββ=++=++++++++=++∑v 也可以同上。
最后给出位移的形式为：i i j j k k i i j j k k u N u N u N u v N v N v N v =++=++其中： 1()(,,)2i i i i N a b x c y i j k A=++ 或：000000i i j i j k j i k j k k u v u u N N N N N N v v u v δ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦或 e Na δ=由于N 是线性函数，因此任意一点的位移就表现为单元节点位移（取决于eu ）的线性组合（取决于N ）或就是插值，因此N 也叫做插值函数。
整个有限元的核心就是构造N 和eaN 所具有的性质（也是今后构造N 所必须满足的条件）（1） ⎩⎨⎧≠==i j ij y x N j j i 01),( （2） 任意点插值函数的和为1意味着如果单元三个节点位移相同（具有刚体位移），则内部任意一点也有这个位移。
i j k u u u u ===00()i i j j k ki j k u N u N u N u N N N u u =++=++=从而有： 1i j k N N N ++=由于单元受相邻单元的影响，必然产生刚体位移，因此我们在构造N 的时候必须使得位移模式包含刚体位移。
（3） 单元与单元边界上的位移是唯一的。
保证唯一的连续性，否则单元之间出现间隙或重叠。
（验证留做作业）[]00()[][][][][][][]xx yy xy e e u x x u v y v y u v y x y x L L N a B a εεεγδ⎡⎤∂⎡⎤∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦=== 0001[]0002i j k i j k i i j j k k b b b B c c c Ac b c b c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[][][][][][][][]e e D D B a S a σε===将位移、应变、应力表示为节点位移的函数。
注意由于δ是x 和y 的线性函数，因此ε是常数 因此我们得到的常应变单元和常应力单元。
作业2．1 验证上述三角形单元边界上位移的连续性。
应变是否连续？2.2.3三角形单元有限元平衡方程-最小势能原理11'1'1111[][][][][][][]21[][][][][][][][]2[][][]1[][][][][][][]2e eeTT T p A A S NN T T T e e e e e A A N T e e A NN N T f T T Te e e e e e e e e e D tdxdy F tdxdy T tdsa B D B a tdxdy F N a tdxdy T N a tdsa k a p a p a σεεδδ======∏=--=--=--⎰⎰⎰∑∑⎰⎰∑⎰∑∑∑其中：单元的刚度矩阵：[][][][]eTe A k B D B tdxdy=⎰可以看出，此时[]e k 为66⨯矩阵体积力等效节点载荷列阵：[][][]ef TeA p N F tdxdy=⎰表面分布力等效节点载荷列阵：[][][]eT Tep N T tdsΓ=⎰根据最小势能原理：[]pe a ∂∏=∂于是得到总体平衡方程为：'111[][][][]NNNf Te e e e e e e k u p p ====+∑∑∑或：[][][]K U P =讨论：(1) 关于等效节点力概念的解释：外力做功=1[][][][]NT f e e e AF tdxdy p a δ==∑⎰因此[]fe p 可以理解为假想的作用在节点上的力， 其效果是做功的大小不变， 所以称为等效节点载荷。
(2) 关于单元刚度矩阵的力学含义 只考虑一个单元111213141516112122232425261131323334353622224142434445463351525354555633616263646566x y x y x yk k k k k k u p k k k k k k v p k k k k k k u p v p k k k k k k u p k k k k k k v p k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 如果该单元产生的位移为：1121;....0u v u ==== （ B1）上述平衡方程有： 111213141516111212223242526211313233343536312414142434445465151525354555661616263646566100000x y k k k k k k k p k k k k k k k p k k k k k k k p k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦233x y x yp p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这给出了刚矩阵各元素的力学意义。
由于产生（B2）位移的载荷应该平衡， 于是进一步有：11315121416100k k k k k k ++=++=（3）关于对称性[][][][]eTe A k B D B tdxdy=⎰由于[]D 的对称性， 因此[]e k 也对称。
（4）刚度矩阵的奇异性 行列式值为零，0e k =力学解释：外力下平衡的单元可以有任意的刚体位移， 从而解不唯一。
因此要想真正给出解答，必须将位移边界约束条件反映到平衡方程里。
