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贵阳市2020年高三适应性考试（二）理科数学第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1.复数因的共轭复数为冈，且沁4 i）-勺（［］是虚数单位），则在复平面内，复数©对应的点位于（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的运算法则可得从而可得复数再根据复数的几何意义即可得•••复数料的对应点| ，位于第一象限故选A.点睛：本题考查复数的运算法则及几何意义•求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数与复平面内|.乂甸一一对应•2.设集合3 = |< X-y）V ，己知P门Q匚讷,那么订的取值范围是（）A. |B. °・+ 沈 |C. _ 心0］D. I ・+【答案】C【解析】分析：根据集合的定义与性质，即可求出［］的取值范围.详解：•••集合卜=匚刃|二集合卜-{诜$阳=于>0}•••集合且『门Q Q故选C.点睛：本题考查了交集的定义与应用问题，意在考查学生的计算求解能力.故选B.点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用 •在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键.4.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再贏两 局才能得到冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）【解析】解法一：以甲再打的局数分类讨论，若甲再打一局得冠军的概率为[]是回边的中点，若 西產司,则画=（Pl + 卩2 = 故选 D.3.如图，在两可中，丽是边尿j 的中线,【解析】分析：禾U 用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出.c〔3rz101BP1,贝 U甲打两局得冠军的概率为故甲获得冠军的概率为选D.【解析】分析：由题设条件可得，「寸，再根据同角三角函数关系式可得 ___________ ，「:詁，然后根据故选A.点睛：本题主要考查了同角三角函数关系式，诱导公式的应用，熟练掌握基本关系及诱导公 式是解题的关键，诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.6.已知口和_是两条不同的直线，和［J 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能 推出I |的是（ ）A .匚口且丄dB .n 丄n 且两C. k 丄H 且『n D . 丽且丄pi【答案】D【解析】分析：在 A 中，LI 与】|平行或LI? LI ；在B 中，LI 与須平行、相交或?网；在C 中，”卜| 与忖平行、相交或 园？劭 在D 中，由线面垂直的判定定理得 EZS-详解：由Ei 和日是两条不同的直线，旧和®是两个不重合的平面，知：在 A 中，囚| 汕 丄讪,则制与_平行或LI? LI ，故A 错误；在B 中，卜.亠且付晟，则土|与匀平行、相交或|_1 ? 故B 错误； 在C 中， ______ 且 ，则 与平行、相交或皿？ |_1，故C 错误；解法二：设乙获得冠军的概率p = 1 — Pipi故甲获得冠军的概率为考点：相互独立事件的概率【答案】A在D 中，h 护h 丄卩，由线面垂直的判定定理得 M 丄71，故D 正确• 故选D.点睛：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 解答时需注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用•空间几何体的线面位置关 系的判定与证明：①对于异面直线的判定，要熟记异面直线的概念(把不平行也不想交的两 条直线称为异面直线)：②对于异面位置关系的判定中，熟记线面平行于垂直、面面平行与垂 直的定理是关键•【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，禾U 用线性规划的知识进行判断即可.分别作出直线人4药-8幼，+1 a ,由图象可知脉勺I 不成立，恒成立的是 斤+ 名垦0 • 故选C.点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键8. 定义在風上的函数屈是奇函数，且在+⑷)|内是增函数，又怡3》,则应回的解集是( )A. - 3, Q) 5玄亠血B. •叭”引 u 剧C. :' ” g - 3) u G 诃D.卜3・0) u 环 【答案】B【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性的性质，作出函数的草图，利用数形结合进行求解 即可. 详解：:是奇函数，且在°,+.打内是增函数7. 设实数_满足约束条件応；1 ,则下列不等式恒成立的是(k * 3 M 环 D. p 匸y 三二 1]B. —C.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示:•••对应的函数图象如图(草图)所示:•••当丨齐％刁或k-d时，;当Im*斗或k-习时，辰；~6.•应二］的解集是t丸驀吨对故选B.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键•解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解•9.若函数(x) ■Asinj wx—|(A> O.w > 0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为(【答案】C【解析】分析：由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积.I、咒Ji JI ■■详解：由图可知，卜匚1|, —() ■二，即.2 3 o 2•2，^U .(X)■割n(k ).•••图中的阴影部分面积为点睛：本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解的函数解析式，在运用积 分求解•定积分的计算一般有三个方法：①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的 几何意义，利用面积求定积分；③利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值 为0.io.元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗 ：“我有一壶酒，携着游春走，与 店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中 ，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的|汨寸，问一开始输入的|_|=（）（~开命）:*/ 输心/【解析】分析： 根据流程图，求出对应的函数关系式，根据题设条件输出的 ：乙，由此关系 建立方程求出自变量的值即可.详解：第一次输入庄d ， 第二次输入匡口，頁； 第三次输入R 匚取-1）-1-乐-3|,円；C〔7 , QC一B_ 3 4一DB第四次输入 &二2（叙3）-1二魁刁，「4，输出R 罠-7帀，解得寸. 故选B.点睛：本题考查算法框图，解答本题的关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解 方程求得输入的值，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答.ii. 已知二次函数 伙）馭土】的导函数为与日轴恰有一个交点，则使 I” .■ in - |恒成立的实数刊的取值范围为（ ）D.【答案】A【解析】分析：先对函数画求导，得^务）・2叔讥，再根据而~阳,得出匚回，然后利用 画利用基本不等式求得亘‘的最小值，即可求得实数目的取值范围t\0} -0EH3故选A.A. k<jB.C. 与_轴恰有-个交点得出详解：•二次函数••• _与LI 轴恰有一个交点恒成立当且仅当b- 2时取等号常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数 最值大于或者小于 0;或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数12. 如图，已知梯形甌cp|中L 迪 2|CD|,点日在线段冈上,且心 S 双曲线过仁瓦]1点，以区卫为焦点；则双曲线离心率日的值为（）【解析】分析：以 _所在的直线为轴，以_的垂直平分线为_轴，建立坐标系，求出—的坐 标，根据向量的运算求出点 _的坐标，代入双曲线方程即可求出详解：由|山 〔1；|,以|「|所在的直线为轴，以淞;I 的垂直平分线为U 轴，建立如图所示的坐■, V设双曲线的方程为"丄=1內P ），则双曲线是以同，囘为焦点.r b点睛：本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式对于函数恒成立或者有解求参的问题,•••也 [wj将代入到双曲线的方程可得:D标系:故选B.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲 线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率 两种方法：①求出代入公式；;②只需要根据一个条件得到关于为回的齐次式，然后转化为关于日的方程（不等式），解方程（不等式），即可得口（甸的取值范围）•第n 卷（共90 分）二、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上）* ］的展开式中，诃的系数是 _•（用数字作答）•【答案】84【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令LI 的幕指数等于4，求出的值，即可求得展开式中J 的系数• 详解：由于的通项公式为［•令亘三百解得曰• ••• ;* - 「的展开式中，的系数是：-护務■:迸• 故答案为 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1）求展开式中的特定项•可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出 （2）已知展开式的某项， 求特定项的系数•可由某项得出参数项，再由通项写出第 定项得出［］值，最后求出其参数•1 7孑k（二-［）一］,即仝也斗4（或离心率的取值范围），常见有认的齐次式，转化2丄 AE= -AC将点代入到双曲线的方程可得 13.14. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为"堑堵"，将底面为矩形，棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的 三视图中如图所示，已知该几何体的体积为:则图中冋=. ________________ •【答案】_【解析】分析： 由已知中的三视图，可知该几何体右边是四棱锥，即“阳马”，左边是直三 棱柱，即“堑堵”，该几何体的体积只需把“阳马”，和“堑堵”体积分别计算相加即可. 详解：由三视图知：几何体右边是四棱锥，即“阳马”，其底面边长为 匂和也，高为U ，其体积 为； •兀汽1 -］；左边是直三棱柱，即“堑堵”，其底面边长为日和皿，高为1 ,其体积为该几何体的体积为:、-■326故答案为二.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力 •三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点•观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实 线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看 俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状I >215. 设圆目的圆心为双曲线 \ - l(a^O 的右焦点，且圆 材与此双曲线的渐近线相切，若圆 口被直线亘口］截得的弦长等于2,贝呱的值为 _____________________ . 【答案】區I【解析】分析：先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆口被直线|岛"也百|截□IT1X得的弦长等于2，求出甘与圆心到直线卄的距离之间的等量关系，即可求出 环•••圆鬥的圆心为双曲线 p_L=i (a (J 的右焦点•••圆心坐标为 斗2Q ,且双曲线的渐近线的方程为 •••圆LI 与此双曲线的渐近线相切又•••圆目被直线［11 鸟’〔I 截得的弦长等于 2 •圆心到直线［］的距离为故答案为_• 点睛：本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，直线的方程，直线与圆的位置关系以及点到 直线的距离公式等基础知识•当直线与圆相切时，其圆心到直线的距离等于半径是解题的关键，当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的方法是弦心距，弦长一半，圆的 半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.16.在中，C 所对的边为计,M 砒土in”'《 则|\ABC|面积的最大值为【答案】3【解析】分析：由已知利用正弦定理可得［［旦，由余弦定理可解得國，禾U 用同角三角函数基本关系式可求得画，进而利用三角形面积公式即可计算得解 •详解：T 川血二俱用入 •••由正弦定理可得•••由余弦定理可得 R 岀-2肚 2a•••圆LI 到渐近线的距离为圆 详解：由题意可设圆心坐标为日的半径，即法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧:14 1：＜n + k) 山 n i kJ•••心“面积的最大值为卅 故答案为11.点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在 解三角形中的综合应用•解答本题的关键是熟练掌握公式和定理，将三角形面积问题转化为二 次函数•转化思想是高中数学最普遍的数学思想，在遇到复杂的问题都要想到转化，将复杂变 简单，把陌生的变熟悉，从而完成解题目标 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 隔为数列Ra 』的前甘项和，耐3，且和・珀+WN （I ）求数列—的通项公式;，求数列阻：i 的前U 项和□而|的前H 项和氏.详解：（I ）由鹉■片4 rT -］①，得鹉十1 ■弘+ 1（肚4 if -I ②.•••②-①得味+1 =九.厂恥=%t %f I 广整理得h 如|】（n ）由\广引《 1可知；_ 1 J /1 )，u (2n^ l)(2n + 3)2 bn*「加卜 3则L"b l ■:•詁r 鼎）n3(2n -i点睛：本题主要考查递推公式求通项的应用以及裂项相消法求数列的和，属于中档题 .裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方sinB-J] -COS 2B ■J1百-（,-5化1，当且仅当匚巫|时取等号纭=和十】，得 ^-i = a ii*i(n 十 0-1 ，再根据h+广沫+厂％得数列卜畀的通项公式；（n15—(才【答案】（I ）召■加+ 1；21]【解析】分析：根据）由（I ）可得数列|： ; |的通项公式，根据裂项相消法即可求得数列（1合，构成如图2所示的三棱柱 ◎c -fB G ,在该三棱柱底边R 叮上有一点捌,满足 卜人1二kMC(Q • k • 1)；请在图2中解决下列问题【解析】分析：(I )过冋作卜交局于冋，连接函］,则h 仮畑B|,推出四边形hZB|为平行四边形，则函回，由此能证明画/平面匝|；(n)根据屈及正方形边长为|贬I ，可推出丄Bi ：|,从而以卩九DC B 珂为馬羽轴，建立空间直角坐标系，设立各点坐标，然后 详解：(I)解：过回乍亟叵q 交底于E ，连接囤，所以亟亘a///(n)若直线国与平面匝］所成角的正弦值为15求出平面屈的法向量，再根据直线 两与平面屉®所成角的正弦值为 17，即可求得LI 的值.pc -分别交画更|于点凹,将该正方形沿叵西|，折叠，使得囤与区重3 CtE C 圈】|M |//平面晅Q ；求目的值.【答案】(I)见解析;••• 函亟共面且平面區函交平面匝Q 于函|,3 MN AM 3又：尤丁 * 询冬笛归方A3 /••四边形區莎|为平行四边形，•卧"嗣,I汎匸|平面莎］,| ；M国平面d,•••函|//平面叵互(II)解:••• Iw 3.13C-4••用二,从而k，・AB^ + BC：|，即血丄H d.• PB .出王QC上7 -分別以卩九BB］为苗轴，则"鷺0.0)工(0丸力7 7|,元=(040)/?-( •可阳丄負0 = ( - )47)令叵］，则卜I|，疋二0，所以h 1 •□•• •直线「I与平面I圧所成角的正弦值为\5\点睛：本题主要考查线面平行的判定定理利用空间向量求线面角•利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求向量关”，求出平面的法向量；第五，破“应用公式关”.19.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45 件的部分每件提成8元•（I）请将两家公司各一名推销员的日工资|_|（单位：元）分别表示为日销售件数—的函数关系式；（II）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。
2020届贵州省贵阳市第一中学高三高考适应性月考卷（六）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){}22,2,,A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，(){},10B x y x =+>，则A B的元素个数为（ ） A ．9 B ．8C ．6D ．5【答案】C【解析】利用列举法表示集合A ，利用交集的定义可得出集合A B ，即可得出该集合中元素的个数. 【详解】 由题意得()()()()()()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1A =------，(){}(){},10,1B x y x x y x =+>=>-，因此，()()()()()(){}0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1A B =--，共6个.故选：C. 【点睛】本题考查交集元素个数的计算，解答的关键就是利用列举法表示集合，属于基础题. 2．i 是虚数单位，x 、y 是实数，()()2x i i y yi +=++，则x =（ ） A ．3 B ．1C ．12-D ．13【答案】D【解析】将等式左边的复数利用复数的乘法法则表示为一般形式，结合复数相等得出方程组，即可解得实数x 的值. 【详解】()()23x i i y yi y yi +=++=+，31y x y =⎧∴⎨=⎩，解得13x y ==.故选：D. 【点睛】本题考查利用复数相等求参数，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．平面向量a 、b 满足4a =，2b =，()224a b a +⋅=，则2a b -=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】利用平面向量数量积的运算求得a b ⋅的值，计算出()2222a b a b -=-的值，进而可求得2a b -的值. 【详解】()22224224a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⋅=，可得4a b ⋅=，()22222222444444216a b a ba ab b ∴-=-=-⋅+=-⨯+⨯=，因此，24a b -=.故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.4．命题:p x R ∀∈，x e x >，命题0:q x R ∃∈，200x <，下列给出四个命题①p q ∨；②p q ∧；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨，所有真命题的编号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】A【解析】利用导数判断命题p 的正误，并判断出命题q 的正误，再结合复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题p ，构造函数()xf x e x =-，则()1xf x e '=-，由()00f x x '=⇒=.当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+.所以，()()min 01f x f ==，则x R ∀∈，()()010f x f ≥=>，x e x ∴>，命题p 正确；对于命题q ，因为x R ∀∈，20x ≥为真命题，所以命题q 为假命题. 因此，p q ∨为真，p q ∧为假，p q ∧⌝为真，p q ⌝∨为假. 故选：A. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题.5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【答案】B【解析】根据服药组和未服药组的数据分布可判断A、B选项的正误；观察服药组的指标x大于100的数据个数，可判断C选项的正误；观察未服药组生理指标y值的分布，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，服药组的指标x的取值相对集中，方差较小，且服药组的指标y的均值小于100，未服药组的指标y的均值大于100，A选项正确；对于B选项，未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，B选项错误；对于C选项，服药组的指标x值有3个大于100，所以患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，C选项正确；对于D选项，未服药组的指标y值只有1个数据比1.5小，则这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查统计图表的应用，考查推理能力，属于基础题.6．已知2sin()cos()33ππαα+=+，则sin2α=（）A ．1-B ．1C ．12D ．0【答案】A【解析】利用两角和的正弦和余弦公式求出tan α的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求出sin 2α的值. 【详解】2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin cos 22αααα-=，可得)(1cos 1sin αα=，tan 1α∴=-.因此，()222212sin cos 2tan sin 22sin cos 1sin cos tan 12ααααααααα⨯-=====-++.故选：A. 【点睛】本题考查二倍角正弦值的计算，同时也考查了两角和正弦和余弦公式的应用以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．直线x m =与椭圆()2221012x yb b+=>交于A 、B 两点，OAB ∆（O 为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设点A 为第一象限的点，求出点A 的坐标，再将点A 的坐标代入椭圆的方程可求得b 的值. 【详解】不妨设点A 为第一象限的点，则0m >，由于OAB ∆为等腰直角三角形，则点(),A m m .AOB ∆的面积为21232AOB S m m m ∆=⨯⨯==，所以，m ，所以，点A 在椭圆上，则233+112b=，解得2b =.故选：B. 【点睛】本题椭圆方程中参数的求解，涉及三角形面积的计算，解答的关键就是求出椭圆上一点的坐标，考查计算能力，属于中等题.8．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，<2πϕ）的部分图象如图所示，为得到()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】根据图象求出函数()y f x =的解析式，并将函数()y g x =的解析式变形为()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用平移变换可得出结论.【详解】由图象可知，1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22Tπω∴==， 777sin 2sin 112126f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22ππϕ-<<，275363πππϕ∴<+<，7362ππϕ∴+=，得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 2sin 23326123g x x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因此，只需将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位可得到函数()y g x =的图象.故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，解答的关键就是根据图象求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1C C 上（异于端点），则过三点A 、F 、E 的平面被正方体截得的图形不可能是（ ） A ．正方形B ．不是正方形的菱形C ．不是正方形的矩形D ．梯形【答案】A【解析】作出图形，设正方体的棱长为1，设102BE a a ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，利用勾股定理可判断A 选项中的截面图形不可能，结合A 选项的推导可判断B 选项中的截面图形可能，取//EF BC 可判断C 选项中图形可能，取BE CF >可判断D 选项中截面图形可能.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如下图所示：设102BF a a ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF 平面11AA B B AE =，平面AEF 平面11CC D D FG =，//AE FG ∴，同理//AG EF ，若截面AEFG 为正方形，则AE EF =，过点E 作//EM BC 交1CC 于点M ，易知BE CM =，AE EF =，则MF BE =，22CF BE a ∴==，2221AE EF AB BE a ==+=+22224AF AC CF a +=+由勾股定理得222AF AE EF =+，即222422a a +=+，解得100,2a ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭， 所以，截面不可能是正方形；对于B 选项，由A 选项可知，当2CF BE =时，截面是不为正方形的菱形； 对于C 选项，如下图所示，当//EF BC 时，由于BC ⊥平面11ABB A ，//EF BC ，EF ∴⊥平面11ABB A ，AE ⊂平面11ABB A ，EF AE ∴⊥，平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF平面11AA B B AE =，平面AEF平面11CC D D DF =，由面面平行的性质定理可得//AE DF ，//AD BC ，//EF AD ∴，22AE AB BE EF =+>，此时，四边形ADFE 为矩形但不是正方形；对于D 选项，如下图所示，平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF平面11AA B B AE =，平面AEF平面11CC D D FG =，由面面平行的性质定理可得//AE FG ，当BE CF >时，过点D 作//DH FG 交1CC 于点H ，易知DH AE =且FG DH AE <=，此时，截面图形为梯形. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体截面图形的判断，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，如图是计算该数列的前n 项和的程序框图，图中①②③应依次填入（ ）A ．i n <，21a a =+，S S a =+B ．i n <，S S a =+，21a a =+C ．i n ≤，21a a =+，S S a =+D ．i n ≤，S S a =+，21a a =+【答案】A【解析】取1n =代入程序框图进行检验可得出正确选项. 【详解】取1n =，已经有1S a ==，即11a =，不能进入循环，判断框应是i n <进入循环；进入循环后第一次加上的应该是2121a a =+，所以先算21a a =+， 故选：A ． 【点睛】本题考查利用算法选择算法程序，考查推理能力，属于中等题.11．过点()2,0A a 作双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的垂线，垂足为B ，与另一条渐近线交于点C ，B 是AC 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．【答案】C【解析】推导出双曲线渐近线的倾斜角为60和120，可得3ba=，进而可求得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示，设点A 关于y 轴的对称点为点E ，由于AC OB ⊥，且B 为AC 的中点，且渐近线关于纵轴对称，COB AOB COE ∴∠=∠=∠，60AOB ∴∠=，则tan 603b a ==222212c a b b e a a a +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，求出双曲线渐近线的倾斜角是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．11x =是函数()()321323f x x ax b x b a =++-+-的一个极值点，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】求得()223f x x ax b '=++-，由()10f '=得出22b a =-，由>0∆可得出a 的取值范围，进而利用二次函数的基本性质可求得ab 的取值范围.【详解】()()321323f x x ax b x b a =++-+-，()223f x x ax b '∴=++-.由题意可得()()212204430f a b a b ⎧=+-=⎪⎨∆=-->'⎪⎩，可得221b a a =-⎧⎨≠-⎩， ()2111222,222ab a a a ⎛⎫⎛⎤∴=-=--+∈-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：A. 【点睛】本题考查利用极值点求参数的取值范围，涉及二次函数基本性质的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．函数()222x f x x =-的零点个数为_______. 【答案】3【解析】作出函数xy =与2yx 的部分图象，观察交点个数并结合两个函数的增长趋势即可得出结论. 【详解】由()2202x f x x=⇒=，作出函数xy =与2yx 的部分图象，可知两函数在区间(),2-∞上的图象有两个交点，并注意到指数函数xy =的增长速度最终会远远超过幂函数2yx 的增长速度，所以两函数在区间()2,+∞上必有一个交点，因此，函数xy =与2yx 的图象有3个交点，所以，函数()y f x =有3个零点. 故答案为：3.【点睛】本题考查函数的零点个数，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，1PA AB AD ===，3BC CD BD ===，则四棱锥的外接球的表面积为_________.【答案】5π【解析】推导出AB AC ⊥，AD CD ⊥，从而可求得四边形ABCD 的外接圆半径r ，再由PA ⊥平面ABCD 可得出222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得外接球的半径，结合球体表面积公式可得出结果. 【详解】1AB AD ==，3BD =2223cos 2AB BD BD ABD AB BD +-∠==⋅，30ABD ∴∠=，3BC CD BD ===60CBD ∴∠=，则90ABC ∠=，同理可知90ADC ∠=， AB BC ∴⊥，AD CD ⊥，∴四边形ABCD 的外接圆半径为12ACr ==， PA ⊥平面ABCD ，所以，该四棱锥的外接球半径为2252PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 因此，四棱锥的外接球的表面积为245R ππ=. 故答案为：5π.【点睛】本题考查外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15．在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =，DC AC ⊥，3DC =，7BC =，则AB =_______. 【答案】3【解析】设BD x =，在Rt ACD ∆中求出cos A ，然后在ABC ∆中利用余弦定理可得出关于x 的方程，解出x 的值，进而可求得AB 的长. 【详解】如图，设BD x =，则2AD x =，在Rt ACD ∆中，AC CD ⊥，3CD =，则243AC x =-，243cos AC x A AD -∴==，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即()22224394323437x x x x x -+--⨯-=，解得1x =，因此，33AB x ==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.16．奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】推导出函数()y f x =是以4为周期的奇函数，由1522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得a 的值，由此可计算出()a f a +的值. 【详解】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f fa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2a =. ()()()222f f f =-=-，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率.【答案】（1）0.18；（2）0.28.【解析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加后可得出学生每天完成数学作业的平均时间，再除以300可得出结果；（2）根据频率直方图计算出位于45左侧的矩形的面积之和，由此可得出结果. 【详解】（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为 300.1400.18500.3600.25700.12800.0552.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为52.60.18300≈； （2）由直方图知，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0()0.010.018100.28+⨯=，估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查利用频率分布直方图计算平均数以及频率，考查计算能力，属于基础题.18．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，对任意正整数n ，2n S 是1n n a a +与1的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项与最小项.【答案】（1）21n a n =-；（2）最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得出1122234141S a a S a a =+⎧⎨=+⎩，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出1101829n n a a n +=----，分4n ≤和5n ≥两种情况讨论，结合数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的单调性可得出其最大项和最小项的值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，对任意的n *∈N ，141n n n S a a +=+，可得1122234141S a a S a a =+⎧⎨=+⎩，即()()()()111111414221a a a d a d a d a d ⎧=++⎪⎨+=+++⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或11414a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 当11a =，2d =时，21n a n =-，2n S n =满足条件；当114a =，14d =-时，31330S a d =+=不满足条件，舍去. 综上，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；（2）121211018922929n n a n n a n n n +++==-=------. 当4n ≤时，290n -<，则11011829n n a a n +=-->---，此时数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递增； 当5n ≥时，290n ->，则11011829n n a a n +=--<---，此时数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递增. 数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用数列的单调性求数列的最大项和最小项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．点P 是直线2y =-上的动点，过点P 的直线1l 、2l 与抛物线2y x 相切，切点分别是A 、B .（1）证明：直线AB 过定点；（2）以AB 为直径的圆过点()2,1M ，求点P 的坐标及圆的方程. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),2P b -，利用导数求出切线1l 、2l 的方程，将点P 的坐标代入直线1l 、2l 的方程，可得出直线AB 的方程，进而可得出直线AB 所过的定点坐标；（2）设直线AB 的方程为()22y kx k b =+=，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意得出0MA MB ⋅=，利用向量数量积的坐标运算，代入韦达定理可求得k ，进而可得出点P 的坐标以及圆的标准方程. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),2P b -， 对函数2yx 求导得2y x '=，所以，直线1l 的方程为()1112y y x x x -=-，即1120x x y y --=，同理可得直线2l 的方程为2220x x y y --=，将点P 的坐标代入直线1l 、2l 的方程得1122220220bx y bx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220bx y -+=，由于两点确定一条直线，所以，直线AB 的方程为220bx y -+=，该直线过定点()0,2； （2）设直线AB 的方程为()22y kx k b =+=，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立得220x kx --=，则240k ∆=+>， 由韦达定理得122x x =-，12x x k +=，因为()2,1M 在AB 为直径的圆上，所以0MA MB ⋅=，()()11112,12,1MA x y x kx =--=-+，同理()222,1MB x kx =-+，()()()()()()()21212121222111250MA MB x x kx kx k x x k x x ∴⋅=--+++=++-++=，即2230k k +-=，解得1k =或3k =-. 当1k =时，1,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2y x =+，圆心为15,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径r ==22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为32y x =-+，圆心为313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径223138521222r ⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上所述，当1k =时，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查抛物线中直线过定点的问题，以及圆的方程的求解，涉及抛物线的切线方程的求解以及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，24BC AC ==，DA DC =，3CD =，F 是BC 的中点，EF ⊥平面ABC ，22EF =.（1）证明：A 、B 、E 、D 四点共面； （2）求三棱锥B CDE -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）423. 【解析】（1）取BC 的中点M ，连接DM 、MF ，利用面面垂直的性质定理得出DM ⊥平面ABC ，结合线面垂直的性质得出//EF DM ，证明出四边形DEFM 为平行四边形，可得出//DE MF ，由中位线的性质得出//MF AB ，进而得出//DE AB ，由此可证得结论；（2）由（1）知//DM EF ，可推导出//DM 平面BCE ，可得出点D 到平面BCE 的距离等于点M 到平面BCE 的距离，进而得到D BCE M BCE E BCM V V V ---==，进而得解. 【详解】（1）如图，取BC 的中点M ，连接DM 、MF因为3DA DC ==，2AC =，M 为BC 的中点，所以DM AC ⊥，且22DM =，因为平面ACD ⊥平面ABC ，交线为AC ，DM ⊂平面ACD ，所以DM ⊥平面ABC ，又EF ⊥平面ABC ，所以//DM EF ，且22DM EF == 四边形DEFM 是平行四边形，从而//DE MF ，在ABC ∆中，M 、F 是AC 、BC 的中点，所以//MF AB ， 所以//DE AB ，从而A 、B 、E 、D 四点共面；（2）由（1）//DM EF ，DM ⊄平面BCE ，EF ⊂平面BCE ，//DM ∴平面BCE ， 所以，点D 到平面BCE 的距离等于点M 到平面BCE 的距离， 则三棱锥D BCE -与三棱锥M BCE -的体积相等，AC BC ⊥，24BC AC ==，M 为AC 的中点，BCM ∴∆的面积为122BCM S CM BC ∆=⋅=，又EF ⊥平面ABC ，且22EF =14233B CDE D BCE M BCE E BCM BCM V V V V S EF ----∆====⋅=. 【点睛】本题考查四点共面的证明，同时也考查了利用等体积法求三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．已知函数()321132a f x x x axb +=-++. （1）试讨论()f x 的单调性；（2）当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是()()1,00,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，求b 的值.【答案】（1）见解析；（2）0b =.【解析】（1）求得()()()1f x x x a '=--，然后对a 与1的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由题意可知1a ≠，可得出函数()y f x =的两个极值分别为()f a 、()1f ，由题意得出()()10f a f ⋅<，由此得出()()23363160a a b a b -+-+<，令()()()2336316g a a a b a b =-+-+，由题意得()()13003g g g ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，进而可得出实数b 的值. 【详解】 （1）()321132a f x x x axb +=-++，()()()()211f x x a x a x x a '∴=-++=--.当1a =时，()()210f x x '=-≥，此时，函数()y f x =在(),-∞+∞上单调递增；当1a <时，令()0f x '<，得1<<a x ，令()0f x '>，得x a <或1x >.此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞； 当1a >时，令()0f x '<，得1x a <<，令()0f x '>，得1x <或x a >.此时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞. 综上所述，当1a =时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞；当1a <时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞；当1a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞；（2）当1a =时，函数()y f x =在R 上单调递增，至多一个零点，不合乎题意，所以，1a ≠，则函数()y f x =有两个极值()23366a a bf a -+=，()63116b a f +-=. 若函数()y f x =有三个不同的零点，则()()10f a f ⋅<，即()()23363160aa b a b -+-+<，由于a 的取值范围恰好是()()1,00,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，令()()()2336316g a a a b a b =-+-+，则该函数的三个零点分别为0、13、3.由()()36680g b b =+=，得0b =或43b =-； 由()()06610g b b =-=，得0b =或16b =； 由18660327g b b ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得0b =或481b =-. 因此，0b =. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用函数的零点个数求解参数，将问题转化为函数的零点是解答的关键，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，P 点的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中直线l 经过点P ，且倾斜角为60.（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线与曲线C 相交于A 、B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）244x y =+，()0,1P ；（2【解析】（1）由21sin ρθ=-得出sin 2ρρθ=+2y =+，化简变形可得出曲线C 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转换关系可将点P 的极坐标化为直角坐标；（2）写出直线l 的参数方程，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，进而可得出1212121111t t PA PB t t t t ++=+=，求解即可. 【详解】 （1）因为21sin ρθ=-，sin 2ρρθ=+2y =+，两边平方整理得244x y =+，所以，曲线C 的普通方程为244x y =+. 点P 的直角坐标cos02P x π==，sin12P y π==，即点()0,1P ；（2）直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程与曲线C 的方程244x y =+联立，得2320t --=，由韦达定理得12t t +=1232t t =-，121212121211114t t t t PA PB t t t t t t +-+=+=====.【点睛】 本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求值，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知()()()2f x x m x x x m =-++-.（1）当2m =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若1x >时，()0f x >，求m 的取值范围【答案】（1）(),1-∞-；（2）(],1-∞.【解析】（1）分0x ≤、02x <<、2x ≥三种情况解不等式()0f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由()0f m =且当1x >时，()()0f x f m >=，可得出1m ，再分析当1m 且1x >时()f x 的符号，即可得出实数m 的取值范围.【详解】 （1）当2m =时，()()()22224,222224,02224,0x x x f x x x x x x x x x x ⎧--≥⎪=-++-=-+<<⎨⎪-++≤⎩. 当0x ≤时，由()0f x <，得22240x x -++<，即220x x -->，解得1x <-或2x >，此时1x <-；当02x <<时，由()0f x <，得240x -+<，解得2x >，此时x ∈∅； 当2x ≥时，由()0f x <，得22240x x --<，解得12x -<<，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()0f x <的解集为(),1-∞-；（2）对任意的1x >时，因为()0f m =，()()0f x f m >=恒成立，1m ∴≤.当1m 且1x >时，()()()()()()2210f x x m x x x m x x m =-++-=+->恒成立，因此，实数m 的取值范围是(],1-∞.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
贵州省2020届高考数学适应性试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}2．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（2x+i）（1﹣i）=y，则y的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．已知数列{a n}满足a n=a n，若a3+a4=2，则a4+a5=（）+1A．B．1 C．4 D．84．已知向量与不共线，且向量=+m，=n+，若A，B，C三点共线，则实数m，n（）A．mn=1 B．mn=﹣1 C．m+n=1 D．m+n=﹣15．执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．286．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t 取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A．4 B．C．5 D．7．如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）A．1 B．C．D．28．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．0＜a＜2 C．2＜a＜2D．2＜a＜29．已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A． B．C．D．10．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C （t）与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B．C．D．212．已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f （x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8）B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=．14．（x+a）4的展开式中含x4项的系数为9，则实数a的值为．15．设A，B是球O的球面上两点，∠AOB=，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V的最大值为，则此时球的表面积为．16．已知数列{a n}满足a1=﹣40，且na n+1﹣（n+1）a n=2n2+2n，则a n取最小值时n的值为．三、解答题（本题共70分）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=4，bsinA=3．（1）求tanB及边长a的值；（2）若△ABC的面积S=9，求△ABC的周长．18．（12分）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．19．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A﹣DE﹣C的大小为θ（0＜θ＜）．（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）若θ=，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（1，）在椭圆E 上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点．（1）求E的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的单调区间；（2）求证：e x＞f′（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）曲线C1的参数方程为（α为参数）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为α（＜α≤）的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|•|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b满足a2+b2=6，求证：g（a）+g（b）≤m．2019年贵州省高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x|x≥1}，则M∩N={x|1≤x＜2}故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（2x+i）（1﹣i）=y，则y的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵y=（2x+i）（1﹣i）=2x+1+（1﹣2x）i，∴，解得y=2故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．3．已知数列{a n}满足a n=a n，若a3+a4=2，则a4+a5=（）+1A．B．1 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据已知条件可以求得公比q=2．，【解答】解：∵数列{a n}满足a n=a n+1∴=2．则该数列是以2为公比的等比数列．由a3+a4=2，得到：4a1+8a1=2，解得a1=，则a4+a5=8a1+16a1=24a1=24×=4，故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．4．已知向量与不共线，且向量=+m，=n+，若A，B，C三点共线，则实数m，n（）A．mn=1 B．mn=﹣1 C．m+n=1 D．m+n=﹣1【考点】平行向量与共线向量．【分析】由题意可得∥，再根据两个向量共线的性质可得=，由此可得结论．【解答】解：由题意可得∥，∴=λ•，故有=，∴mn=1，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．28【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=28，b=28时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=56，b=140，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=140﹣56=84，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=84﹣56=28，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=56﹣28=28，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值为28．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t 取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A．4 B．C．5 D．【考点】进行简单的演绎推理．【分析】根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，计算梯形的面积即可得出结论．【解答】解：根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，又由图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，其面积S==；故选：B．【点评】本题考查演绎推理的运用，关键是理解题目中祖暅原理的叙述．7．如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，可得答案．【解答】解：设棱长为1，则三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为：；三棱锥P﹣BCD的俯视图取最大面积时，P在A1处，俯视图面积为：；故三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为1，故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，根据已知分析出三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，是解答的关键．8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．0＜a＜2 C．2＜a＜2D．2＜a＜2【考点】正弦定理．【分析】由题意判断出三角形有两解时A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可．【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a==2sinA，∵2sinA∈（2，2）．∴a的取值范围是（2，2）．故选：C．【点评】此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．9．已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A． B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先明确几何概型测度为区域面积，利用定积分求出A的面积，然后由概型公式求概率．【解答】解：由已知得到事件对应区域面积为=4，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，面积为2=2sinx|=，由急火攻心的公式得到所求概率为：；故选C【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确几何测度是关键．10．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C （t）与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象的对称关系和条件可知C（6）=0，C（12）=10，再根据气温变化趋势可知在前一段时间内平均气温大于10，使用排除法得出答案．【解答】解：∵气温图象在前6个月的图象关于点（3，0）对称，∴C（6）=0，排除D；注意到后几个月的气温单调下降，则从0到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除C；∵该年的平均气温为10℃，∴t=12时，C（12）=10，排除B；故选A．【点评】本题考查了函数图象的几何意义，函数图象的变化规律，属于中档题．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．12．已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f （x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8）B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）+g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，由f（x）+g（x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥．由图象知要使函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，∴，解得：b∈（7，8）故选：A．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键，属于难题．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=﹣5．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之求出a，即可求出f（2）．【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），所以∀x∈R，都有（﹣x﹣a）•（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3），即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a，所以a=3，所以f（2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14．（x+1）（x+a）4的展开式中含x4项的系数为9，则实数a的值为2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用（x +1）（x +a ）4=（x +1）（x 4+4x 3a +…），进而得出． 【解答】解：（x +1）（x +a ）4=（x +1）（x 4+4x 3a +…）， ∵展开式中含x 4项的系数为9，∴1+4a=9， 解得a=2． 故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的展开式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．设A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=，C 是球面上的动点，若四面体OABC 的体积V 的最大值为，则此时球的表面积为 36π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O 的体积【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB =×R 2×sin60°×R=，故R=3，则球O 的表面积为4πR 2=36π， 故答案为：36π．【点评】本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大是关键．属于中档题16．已知数列{a n }满足a 1=﹣40，且na n +1﹣（n +1）a n =2n 2+2n ，则a n 取最小值时n 的值为 10或11 ．【考点】数列递推式．﹣（n+1）a n=2n2+2n，化为﹣=2，利用等差数列的通项公式可得a n，再【分析】na n+1利用二次函数的单调性即可得出．﹣（n+1）a n=2n2+2n，∴﹣=2，【解答】解：∵na n+1∴数列{}是等差数列，首项为﹣40，公差为2．∴=﹣40+2（n﹣1），化为：a n=2n2﹣42n=2﹣．则a n取最小值时n的值为10或11．故答案为：10或11．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分）17．（12分）（2019•贵州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=4，bsinA=3．（1）求tanB及边长a的值；（2）若△ABC的面积S=9，求△ABC的周长．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）由acosB=4，bsinA=3，两式相除，结合正弦定理可求tanB=，又acosB=4，可得cosB＞0，从而可求cosB，即可解得a的值．（2）由（1）知sinB=，利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，从而解得三角形周长的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由acosB=4，bsinA=3，两式相除，有==•=•=，所以tanB=，又acosB=4，故cosB＞0，则cosB=，所以a=5．…（6分）（2）由（1）知sinB=， 由S=acsinB ，得到c=6． 由b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，得b=，故l=5+6+=11+即△ABC 的周长为11+．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2019•贵州模拟）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表能作出相应的频率分组直方图，由频率分布直方图能求出结果．（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，由此能求出事件C的概率．【解答】解：（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，如下图：由频率分布直方图得：甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值，而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散．（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，P（C）=P（B1A1∪B2A2）=P（B1）P（A1）+P（B2）P（A2），由题意P（A1）=，P（A2）=，P（B1）=，P（B2）=，∴P（C）=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件加法公式和相互独立事件事件概率乘法公式的合理运用．19．（12分）（2019•贵州模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A﹣DE﹣C的大小为θ（0＜θ＜）．（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）若θ=，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明：DE⊥平面ADB，DE∥BC，可证BC⊥平面ABD，即可证明平面ABD ⊥平面ABC．（2）取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0），利用平面ABC的法向量求解．【解答】（1）证明：由题意，DE∥BC，∵DE⊥AD，DE⊥BD，AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∴BC⊥平面ABD；∵面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC；（2）由已知可得二面角A﹣DE﹣C的平面角就是∠ADB设等腰直角三角形ABC的直角边AB=4，则在△ADB中，AD=DB=AB=2，取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，∴AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0）设平面ABC的法向量为，，．由，取，}，∴直线AE与平面ABC所成角的θ，sinθ=|cos＜＞|=||=．即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为：【点评】本题考查线面垂直，考查向量法求二面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2019•贵州模拟）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（1，）在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点．（1）求E的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意的离心率公式求得a=c，b2=a2﹣c2=c2，将直线方程代入椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得•为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由y=k（x﹣1）代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到定点和定值；检验直线AB的斜率不存在时，也成立．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e==，则a=c，由b2=a2﹣c2=c2，将P（1，）代入椭圆方程，解得：c=1，a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得•为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2+1﹣（x1+x2）]=k2（+1﹣）=﹣，则•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+m2﹣m（x1+x2）+y1y2，=+m2﹣m•﹣=，欲使得•为定值，则2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得：m=，此时•=﹣2=﹣；当AB斜率不存在时，令x=1，代入椭圆方程，可得y=±，由M（，0），可得•=﹣，符合题意．故在x轴上存在定点M（，0），使得•=﹣．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2019•贵州模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的单调区间；（2）求证：e x＞f′（x）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由f′（1）=1+a=2，解得：a=1，利用导数求解单调区间．（2）要证e x＞f′（x），即证e x＞lnx+2，x＞0时，易得e x＞x+1，即只需证明x＞lnx+1即可【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1+a，f′（1）=1+a=2，解得：a=1，故f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2，故f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增；（2）要证e x＞f′（x），即证e x﹣lnx﹣2＞0，即证e x＞lnx+2，x＞0时，易得e x＞x+1，即只需证明x+1≥lnx+2即可，即只需证明x＞lnx+1即可令h（x）=x﹣lnx+1，则h′（x）=1﹣，令h′（x）=0，得x=1h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=0．即x+1≥lnx+2成立，即e x＞lnx+2，∴e x＞f′（x）．【点评】本题考查了导数的综合应用，构造合适的新函数，放缩法证明函数不等式，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2019•贵州模拟）曲线C1的参数方程为（α为参数）在以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρco s2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为α（＜α≤）的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|•|OB|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即x 2+y 2=4x ，极坐标方程为ρ=4cosθ；曲线C 1的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ，普通方程为：y=x 2；（2）射线l 的参数方程为（t 为参数，＜α≤）．把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得：t 2﹣4tcosα=0，解得t 1=0，t 2=4cosα．∴|OA |=|t 2|=4cosα．把射线l 的参数方程代入曲线C 2的普通方程得：cos 2αt 2=tsinα，解得t 1=0，t 2=．∴|OB |=|t 2|=．∴|OA |•|OB |=4cosα•=4tanα=4k ．∵k ∈（，1]，∴4k ∈（，4]．∴|OA |•|OB |的取值范围是（，4]． 【点评】本题考查参数方程与极坐标与普通方程的互化，考查参数的几何意义的应用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2019•贵州模拟）已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣5|，g （x ）=．（1）求f （x ）的最小值；（2）记f （x ）的最小值为m ，已知实数a ，b 满足a 2+b 2=6，求证：g （a ）+g （b ）≤m ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）化简f （x ）的解析式，得出f （x ）的单调性，利用单调性求出f （x ）的最小值； （2）计算[g （a ）+g （b ）]2，利用基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣5|=，∴f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，在[5，+∞）上单调递增，∵f （1）=4，f （5）=4，∴f （x ）的最小值为4．（2）证明：由（1）可知m=4，g（a）+g（b）=+，∴[g（a）+g（b）]2=1+a2+1+b2+2=8+2，∵≤=4，∴[g（a）+g（b）]2≤16，∴g（a）+g（b）≤4．【点评】本题考查了函数的单调性，分段函数的最值计算，基本不等式的应用，属于中档题．。
2020年贵州省贵阳市高考数学适应性试卷1（二）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>-1},B={-1<x<1）.则AdB=（）A.（0,1}B.（x|x>-l）C. （x|-l<x<1}D.（x| -1<X<1）2.若复数z满足晋=2i，则z=（）A.2B.-2C.2/D.-2i3.若/.m为两条不同的直线.a为平面，且］1a.则是_L I ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.=log2e.b=ln2,c=log结，则（）A.a<b<cB.b<a<cC. b<c<aD. c<b<a5.抛物线X z=8y的焦点到准线的距离是（）A.IB.2C.4D.86.等比数列{%}中，若$6=9，前3项和S3=8,则数列{%}的公比为（）A.2B.\C.1 或!D.1或27.己知某市的2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）A三 B.： C.：昌8.图像函数/•（*）=2="（工司一①汗］）的大致图象为（）9.己知非零向量元兄的夹角为；，且元L（-2诟+"则黑=（）A.2B.1C.；D. r10.己知函数f（Q=Msin（2x+：）+ ；,则下列说法正确的为（）A.函数尸（对的最小正周期为2ttB.函数/V）的最大值为俯C. 函数/XQ的图象关于直线'=一河称D.将f（x）图像向右平移§个单位长度，再向下平移!个单位长度后会得到一个奇函数图像1L己知正数少b满足a+b=3,则巴+；的最小值为（）o o+lA? B.竺 C.Z D.Z4IS3212.双曲线C.・三一号=10>O,b>O）的一个焦点为F,过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足fl*b*为A，且交y轴于8,若A为8F的中点，则双曲线的离心率为（）A.V2B. V3C.2D.乎二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线/（x）=x2-3x+2lnx/£x=1处的切线方程为14.若直线3x-VJy-a=O与圆x2+y2-2x=2相切，且a<5,则"的值为.15.若｛%｝，｛如｝满足％如=1,a n=n2+3n+2.则｛如｝的前2018项和为・16.己知三棱锥P-ABC的体积为站，j=^,PA1AC,PB1BC,且平面PAC1平而PBC,则三棱锥P-R8C外接球的表而积为.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）BC的内角A,8,C的对边分别为小£>,c,己知竺竺亚=四1些.b+c a（I）求8：（H）若b=3,求2q—c的取值范困.18.某校为调查高中学生在校参加体育活动的时间，随机抽取了100名高中学生进行调查，其中女学生有55名.下而是根据调查结果绘制的学生日均体育锻炼时间的频率分布宜方图：将日均体育锻炼时间不低于50分钟的学生评价为“良好”，已知“良好”评价中有10名女学生.(1)完成列联表，是否有95%的把握认为艮好与性别有关?非良好良好合计男生女生合计(2)将日均体育锻炼时间不低于60分钟的学生评价为“优秀”，巳知“优秀”评价中有2名女生，若从“优秀”评价中任意选取2人，求至少有1名女生的概率.P(K2 >k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参考公式：京=声最赢而商19.在底而为正方形的四棱锥5-砧CD中,5D«L平而ABCD,E、F是AS,8C的中点，(I)求证：BE//平面SDF；(H)若AB=5,求点E到平面SDF的距离.S 520.己知定点A(-3,0)、B(3,0),直线AM、相交于点"且它们的制率之枳为一：，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线＜7的方程；(U)过点7(1,0)的直线/与曲线C交于P、。
2020届云师大附中高三高考适应性月考（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-->，集合(){}lg 3B x y x ==+，则A B =I （）A ．{}31x x -<<- B ．{}3x x >C ．{}313x x x -<-或 D ．{}13x x -<<【答案】C【解析】根据一元二次不等式以及对数函数的定义域化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A B I 即可. 【详解】2{|230}{|3A x x x x x =-->=>或1}x <-，{|lg(3)}{|3}B x y x x x ==+=>-，A B =I {|31x x -<<-或3}x >，故选C .【点睛】本题主要考查了集合的化简与运算问题，属于基础题． 2．设122iz i-+=+，则z 的虚部是（） A ．1 B ．iC ．-1D ．-i【答案】A【解析】根据复数的性质化简z ，结合虚部即可得到结果. 【详解】12i i(2i)i 2i 2iz -++===++，z 的虚部为1，故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算性质以及复数的分类，属于基础题.3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是（）A B C 2D 或2【答案】D【解析】分为焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情形，由渐近线的方程得ba的值，结合2221b e a=+可得离心率的值.【详解】依题意，双曲线的焦点在x 轴上时，设它的方程为22221(00)x y a b ab-=>>，； 由渐近线方程为2y x =，得2b a=，故22213b e a =+=，即3e =，焦点在y 轴上时，设它的方程为22221(00)y xa b ab-=>>，， 由渐近线方程为2y x =，得2a b =，故222312b e a =+=，即62e =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念，掌握2221b e a=+是解题的关键，属于中档题.4．下图的程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后得余数r ，则记为()mod N r m =，如：()82mod3=，则执行该程序框图输出的n 等于（）A ．7B ．6C ．5D ．8【答案】A【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】根据给定的程序框图，可知：第一次执行循环体得3n =，15M =，此时150(mod 5)=，不满足第一个条件； 第二次执行循环体得5n =，20M =，此时200(mod 5)=，不满足第一个条件； 第三次执行循环体得7n =，27M =，此时272(mod 5)=且2726M =>，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，输出7，故选A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．根据如下样本数据得到的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，则下列判断正确的是（ ）A ．ˆˆˆ0,0.94b b a <+=B ．ˆˆˆ0,40.9b b a >+=C ．ˆˆˆ0,0.94a b a <+=D ．ˆˆˆ0,40.9a b a >+=【答案】D【解析】先根据增减性得ˆ0,b<再求,x y 代入验证选项． 【详解】因为随着x 增加，y 大体减少，所以ˆ0,b< 因为234564 2.50.50.524,0.955x y +++++-+-====，所以$0.94ba =+$，$0,a ∴> 故选D 【点睛】本题考查回归直线方程，考查基本分析判断能力，属基础题. 6．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足12AD DC =u u u vu u u v ，E 为BD 的中点，则CE =uu u v（） A ．5163BA BC -u uu v u u u vB ．1536BA BC -u u u v u u u v C ．1536BA BC +u u u v u u u vD ．5163BA BC +u uu v u u u v【答案】B【解析】根据E 为中点，首先易得1122CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r，再通过向量加法以及向量的减法和12AD DC =u u u r u u u r 即可得到结果.【详解】 如图所示：因为E 为BD 的中点，所以1122CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r ，又12AD DC =u u u r u u u r ，23CD CA =u u u r u u u r ∴，12CE CB =u u u r u u u r ∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC +⨯=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选B ．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题．7．已知实数x ，y 满足约束条件0301x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y z -+=的最大值是（）A ．2B ．1C ．12D ．-1【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】由实数x ，y 满足约束条件0301x y x y y -⎧⎪+-≤⎨⎪⎩……，作出可行域如图，则212x z -+=的最大值就是2t x y =-+的最大值时取得，联立01x y y -=⎧⎨=⎩,解得(1,1)A .化目标函数2t x y =-+为2y x t =+，由图可知，当直线2y x t =+过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z有最大值为12，故选C .【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．8．()26112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（） A ．-40 B ．-25C ．25D ．55【答案】B【解析】写出二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项，然后观察含2x 的项有两种构成，一种是()212x+中的1与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果。
贵阳市2020年高三适应性考试（二）理科数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y ==，集合{}10B x x =->，则A B ⋂=（ )．A ．{}2x x ≥B ．{}1x x >C ．{}12x x <≤D ．{}12x x -≤≤ 2．已知复数z 满足()1i 1z +=-，则其共轭复数z =( )．A ．1i -+B ．1i --C ．1i -D ．1i +3．已知直线a ，b 和平面α满足a α⊂，则“b a ⊥”是“b α⊥"的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知2log 0.7a =，0.12b =,ln 2c =,则( )．A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．若抛物线()220x py p =>的焦点是双曲线2213y x p p -=的一个焦点，则p =（ ）． A ．120 B ．14 C ．8 D ．166．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然前于他1米……，所以,阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为110-米时,乌龟爬行的总距离为（ ）．A ．510990-B ．5101900-C ．410190-D ．4109900- 7．若贵阳某路公交车起点站的发车时间为6:35,6：50，7：05,小明同学在6:40至7:05之间到达起点站乘坐公交车,且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是（ ）．A ．15B ．23C ．25D ．35 8．函数()23cos 1x f x x -=在[]π,π-上的图象大致为（ ）． A ．B ．C ．D ．9．在ABC △中,在点D 为边BC 上靠近点B 的三等分点，E 为AD 的中点，则BE =（ ）．A ．2136AB AC --B ．2136AB AC -+ C ．5263AB AC -+D ．5263AB AC -- 10．已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移π4个单位长度得到,则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ )． A ．()g x 的图象关于直线π6x =对称 B ．()g x 的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减 11．已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 是坐标原点．过F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P ，并交y 轴于点Q ．若3OQ OP =，则C 的离心率为( ）．。
