第三章 速算与巧算

一、速算基础在进行数学计算时，一般按“先乘除，后加减，括号优先”的顺序进行计算，但遇到一些计算题用常规运算比较麻烦时，就要考虑怎样更简便来计算。

这就要求学生打破传统思维，运用发散思维，找出更好的解决办法，更快完成计算任务。

在计算时，利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算。

这种运算方法称为速算法，也叫心算法。

1、速算要点（1）找出最熟悉的速算数或接近数；如0、1、10、100、1000、10000.。

（2）套用最基本的运算法则；如：交换律、结合律、分配律、提取公因素、平方差、完全平方差等。

（3）牢记特殊数的计算方法。

如：111.。

111 X 111.。

111=123.。

321（位数小于等于9）2、数学运算定律（1）加法运算定律与性质加法交换律：两个加数交换位置，和不变。

公式：a+b+c=(b+a)+c加法结合律：先把前两个数相加或先把后两个数相加，再和另一个数相加，和不变。

公式：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)（2）乘法运算定律与性质乘法交换律：两个因数交换位置，积不变。

公式：a x b=b x a（3）乘法结合律：先把任意两个数相乘，再和另一个数相乘，积不变。

公式：a x b x c=(a x b) x c=a x (bxc)=(a x c)x b（4）乘法分配律两个数与一个数相乘，可以分别先把两个数分别与这一个数相乘，然后再要相加减。

公式：\(a+b) x c=a x c+b x c(a-b) x c=a x c-b x c2、减法运算定律与性质（1）减法性质：一个数连续减去两个数，可以先把两个数相加，再相减。

公式：A-B-C= A-（B+C）差不变的规律：字母公式：A-B=（AN-BN）=（A-B）/N N和B不等于0（2）除法的性质一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，然后再相除。

公式：A/B/C= A/（B X C）商不变的规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外），它们的商不变。

小学数学《速算与巧算（三）》练习题（含答案）例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋79例3计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.3.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋1993例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—2＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.5.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.例8 1999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×（1＋999）＝1000＋999×1000＝1000×（999＋1）＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×（1000-1）＝1999＋999000-999＝（1999-999）＋999000＝1000＋999000＝1000000.6.计算（125×99＋125）×16有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.17.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？练习1.计算999999×780532.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？3.求出从1～25的全体自然数之和.4.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1015.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋999999×77778+33333×666661966+1976+1986+1996+2006273×4500-45×173001234562-12345523600000÷125÷32÷25习题一解答1.利用凑整法解.899998＋89998＋8998＋898＋88＝（899998＋2）＋（89998＋2）＋（8998＋2）＋（898＋2）（88＋2）－10＝900000＋90000＋9000＋900＋90-10＝999980.2.利用凑整法解.799999＋79999＋7999＋799＋79＝800000＋80000＋8000＋800＋80-5＝888875.3.（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）＝1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2-1-3-5…－1983－1985－1987＝（1988-1987）＋（1986-1985）＋…＋（6-5）＋（4-3）＋（2－1）＝994.4.1－2＋3—4＋5－6＋…＋1991-1992＋1993＝1＋（3-2）＋（5-4）＋…＋（1991-1990）＋（1993－1992）＝ 1＋1×996＝997.5.1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝13×6＝78（下）.6.1＋2＋3＋…＋24＋25＝（1＋25）＋（2＋24）＋（3＋23）＋…＋（11＋15）＋（12＋14）＋13＝26×12＋13＝325.7.解法1：1000＋999—998—997＋996＋995—994－993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101＝（1000＋999—998—997）＋（996＋995—994－993）＋…＋（108＋107—106—105）＋（104＋103—102—101）解法 2：原式＝（1000—998）＋（999—997）＋（104—102）＋（103—101）＝2 × 450＝900.解法 3：原式＝1000＋（999—998—997＋996）＋（995—994 －993＋992）＋…＋（107—106—105＋104）＋（103—102—101＋100）－100＝1000—100＝900.9.（125×99＋125）×16＝125×（99＋1）×16＝ 125×100×8×2＝125×8×100×2＝200000.10.3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9＝ 3×（999＋1）＋8×（99＋1）＋2×（9＋1）＋9＝3×1000＋8×100＋2×10＋9＝3829.11.999999×78053＝（1000000—1）×78053＝78053000000—78053＝78052921947.12.1111111111×9999999999＝1111111111×（10000000000—1）＝11111111110000000000—1111111111 ＝11111111108888888889.这个积有10个数字是奇数.。

速算与巧算方法HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】速算与巧算一、加法中的巧算1.什么叫“补数”?两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。

又如：11+89=100，33+67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“补数”;89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢?一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

如：87655→12345，46802→53198，87362→12638，…下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。

2.互补数先加。

例1 巧算下面各题：①36+87+64 ②99+136+101 ③ 1361+972+639+28解：①式=(36+64)+87②式=(99+101)+136 ③式=(1361+639)+(972+28) =200+136=336 =100+87=187 =2000+1000=30003.拆出补数来先加。

例2 ①198+873 ②548+996 ③9898+203解：①式=(198+2)+(873-2)(熟练之后，此步可略) ③式=(9898+102)+(203-102) =200+871=1071 ②式=(548-4)+(996+4) =10000+101=10101=544+1000=1544二、减法中的巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

例 3① 300-73-27 ② -10解：①式= 300-(73+ 27) ②式=1000-(90+80+20+10) =1000-200=800 =300-100=2002.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。

第三章速算与巧算（讲义）小学数学第三章速算与巧算（讲义）的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握速算技巧，学习简便计算方法；（2）学习加减乘除的运算规律和性质。

2. 思维和能力：（1）发展快速计算能力，提高口算速度和准确性；（2）培养学生观察分析、归纳整理等思维能力。

3. 情感态度：（1）培养学生善于发现问题、善于总结、善于思考、勇于创新的良好学习态度；（2）培养学生乐观、自信、勇于挑战数学难题的良好心态。

二、教学内容及重点1. 教学内容本章节通过速算技巧的学习，帮助学生更好、更快地掌握加减乘除的计算方法，加深对数学运算规律和性质的理解。

2. 教学重点（1）掌握加减乘除的计算方法；（2）学习速算技巧，积累巧算方法。

三、教学方法1. 返回教学法：通过教师讲解、展示样例、学生讨论、实践演习等方式进行教学。

2. 活动教学法：通过游戏等形式进行教学，提高学生的兴趣和教学效果。

四、教学准备1. 教师教材及讲义；2. 学生教材；3. 教学研究资料。

五、教学过程1. 导入引导学生复习前面所学知识，了解本章的重点内容。

2. 教学主体（1）掌握加减乘除的计算方法注重学生计算基本的加减乘除运算，培养学生日常生活中快速计算的能力。

同时，通过多次练习来加深对数字的认识和加减乘除的基本规律。

（2）学习速算技巧，积累巧算方法通过速算技巧的学习，引导学生学会用不同的方式来算一道数学题。

在教师的引导下，学生按照例题模仿实践，掌握速算方法，并尝试在日常生活中应用。

注重在学习巧算方法中要培养学生良好的思维能力和发现问题的能力。

学生要注重在问题发现、运算规律归纳和运算方法总结等方面进行深入学习。

3. 实践演习在教师的指导下，学生进行速算、巧算的实践演习，加深对所学知识的理解和掌握。

4. 总结在教学的最后，教师带领学生总结本章学习的重点和难点，让学生对所学知识进行归纳整理，提高知识运用能力。

六、教学总结通过本章的学习，学生掌握了速算技巧和巧算方法，加深对加减乘除的理解和掌握。

速算与巧算之初步知识本源我们一起的目标：1.提高孩子的数字敏感度2.提高孩子5倍的计算速度和计算能力●解题方法：1.凑整法：把两个数加起来可以凑成整十、整百、整千、整万…，使得计算简便。

2.分组法：把有规律的一些数字进行分组，便于计算。

3.用已知求未知：通过记住一些常用的计算结果，来解决一些未知的计算题。

4.最少分析法：先从最少的情况出发去考虑，可以得到一个解，再做适当地调整。

补充知识：● 1.去括号添括号在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”.● 2.带符号搬家在同级运算中，任何数字都可以带着符号移动.典型例题例1、计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=________.【练习1.1】5+7+9+11+13+15+17+19+21+23=_______.【练习1.2】2+3+4+5+15+16+17+18+20=________.例2、计算：147-81+25-19+46+75+54-17=________.【练习2.1】145+142+37+118-17+55=________. 【练习2.2】99+132-27+18-113-9=_______. 例3、计算：6996+999+97+97=________.【练习3.1】9+19+199+1999=_____. 【练习3.2】6998+999+995+99+97+9=________. 例4、计算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0=________.【练习4.1】10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=_______. 【练习4.2】19-17+15-13+11-9+7-5+3=______. 例5、算：28-27-26+25+24-23-22+21+20-19-18+17+16=________.【练习5.1】1.13-12-11+10+9-8-7+6+5-4-3+2=________.【练习5.2】29-28+27+26-25+24+23-22+21+20-19+18=__________.例6、计算：10-20+30-40+50-60+70-80+90=________.【练习6.1】1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=_______.【练习6.2】11-12+13-14+15-16+17-18+19=_______.例7、计算：（2+4+6+....+100）-（1+3+5+....+99）=_______. 【练习7.1】（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）=________.【练习7.2】（2+4+6+....+20）-（1+3+5+...+19）=________.例8、计算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=______【练习8.1】1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=________.【练习8.2】5+6+7+8+9+10=_________.例9、（1）把16只小鸡分别装进5个笼子里，每个笼子里都要有鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装？（2）按同样要求，把15只小鸡装进5个笼子能办得到吗？（3）按同样要求，把14只小鸡装进5个笼子能办得到吗？【练习9.1】（单选题）星期天，小明家来了9名客人，小明拿出一包糖，里面有54块。

第3讲速算与巧算【知识概述】小数、分数、整数的四则混合运算一样，都是按先乘除，后加减的顺序进行。

整数运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。

乘法分配律是最常见的一种运算定律。

另外，分数的运算技巧和方法主要有凑整法、裂项法、代数法等。

运算定律和性质1．加法运算定律：a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2．乘法运算规律：a×b＝b×a(a×b)×c＝a×(b×c)a×(b＋c) ＝a×b＋a×c3．带符号搬家1）在加减混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a－b＋c＝a＋c－b a＋b－c＝a－c＋b2）在乘除混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a÷b÷c＝a÷c÷b a÷b×c＝a×c÷b4．添括号、去括号添加括号原则： a＋b＋c＝a＋(b＋c) a×b×c＝ a×(b×c)a＋b－c＝a＋(b－c) a×b÷c＝ a×(b÷c)a－b－c＝a－(b＋c) a÷b÷c＝ a÷(b×c)a－b＋c＝a－(b－c) a÷b×c＝ a÷(b÷c)5.计算专项公式：①等差数列求和=（首项+末项）×项数÷2②前n个自然数的平方和的公式：12+22+32+42+……+n2=n×(n+1)×(2n+1)÷6③前n个自然数的立方的和公式:13+23++33+43+……+n3=(1+2+3+4+……+n)2④ 1×2+2×3+3×4+……n×(n+1)=n×(n+1)×(n+2)÷3【典型例题】例1 )851741()731375.3(--- 【思路点拨】按照四则混合运算法则计算，需要通分，再做分数的加减法，计算比较复杂。