九年级数：学用待定系数法确定二次函数表达式

九年级数：学用待定系数法确定二次函数表达式知|识|目|标
1．通过类比用待定系数法求一次函数表达式的过程，会利用待定系数法求二次函数的表达式．
2．能根据已知点的特点，熟练选用适当的方法求二次函数的表达式．
目标一会利用待定系数法求二次函数一般式
例1 教材补充例题已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标．
【归纳总结】确定二次函数一般式的“四步法”
(1)设：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c；
(2)列：根据题意列方程组；
(3)解：解方程组；
(4)定：确定二次函数表达式．
目标二会用适当的方法求二次函数的表达式
例2 教材补充例题已知二次函数图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点M(2，0)，求这个函数的表达式．
【归纳总结】确定二次函数表达式的三种方法
表达式
类型
书写形式适用情况
一般式y＝ax2＋bx＋c 已知图像上三个任意点的
坐标
顶点式
y＝ax2
已知顶点的坐标为(0，0)，又
知图像上的另一个任意点的
坐标
y＝ax2＋k
已知顶点的坐标为(0，k)，又
知图像上的另一个任意点的
坐标
y＝a(x＋h)2
已知顶点的坐标为(－h，
0)，又知图像上的另一个任意
点的坐标
y＝a(x＋h)2＋k
已知顶点的坐标为(－h，k)，
又知图像上的另一个任意点
的坐标交点式
y＝a(x－x
1
)·(x－x2)
已知图像与x轴的两个交点
(x1，0)，(x2，0)，又知图像
上的另一个任意点的坐标
知识点一用待定系数法求二次函数表达式的一般
步骤
(1)设二次函数的表达式；(2)列方程组求待定系数；(3)解方程组，求出待定系数；(4)还原．
知识点二二次函数表达式有三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a≠0，a，b，c为常数)；
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，a，h，k为常数，(－h，k)为顶点坐标)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，a，x1，x2为常数，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)．
已知抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，且经过点(1，0)，求抛物线的表达式．解：∵抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，①
∴抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－3，②
即y＝x2＋4x＋1.③
以上解答从第________步开始出现错误，错误的原因是不能设二次项系数是
________，正确答案是________________．
详解详析
【目标突破】
例1 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A(3，0)，B(－1，0)， ∴⎩⎨⎧－9＋3b ＋c ＝0，－1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝3， ∴y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．
[备选例题] 已知二次函数y ＝ax 2＋bx －2的图像经过点(－2，4)，(－1，0)．
(1)求这个二次函数的表达式； (2)求该函数图像的对称轴；
(3)当－1≤x ≤2时，求y 的取值范围．
[解析] (1)将点(－2，4)，(－1，0)分别代入二次函数的表达式，利用待定系数法求该二次函数的表达式即可．
(2)化成顶点式即可求得；
(3)求得抛物线与x 轴的另一个交点，根据二次函数的性质即可求得． 解：(1)根据题意，得⎩⎨⎧4a －2b －2＝4，a －b －2＝0，
解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，
∴该二次函数的表达式为y ＝x 2－x －2. (2)∵y ＝x 2－x －2＝(x －12)2－9
4，
∴函数图像的对称轴为直线x ＝1
2.
(3)∵y ＝x 2－x －2＝(x －12)2－9
4
，
∴二次函数y ＝x 2－x －2的图像的顶点坐标为(12，－9
4)，
∴二次函数的最小值为－9
4
.
设抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(m ，0)， ∴x ＝
－1＋m 2＝1
2
， 解得m ＝2，
∴另一个交点坐标为(2，0)， ∴当－1≤x ≤2时，－9
4
≤y ≤0.
例2 [解析] 此题已知图像上两点，如果用一般式，似乎差一个条件，但考虑到对称轴及顶点坐标公式，就可以列出三元一次方程组．
解：解法一：设这个函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，
－b
2a
＝1，
解得⎩⎨⎧a ＝3，
b ＝－6，
c ＝0.
∴这个函数的表达式为y ＝3x 2－6x.
解法二：设这个函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c.
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，①
－b 2a ＝1，②
4ac －b 2
4a ＝－3，③
由②，得b ＝－2a.④
把④代入③，得4ac －4a 2
4a
＝－3，
即c－a＝－3.
把④代入①，得c＝0，
∴a＝3，b＝－6.
∴这个函数的表达式为y＝3x2－6x.
解法三：∵二次函数图像的顶点坐标是(1，－3)，∴设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3.
又∵图像经过点M(2，0)，
∴0＝(2－1)2a－3，解得a＝3，
∴这个函数的表达式为y＝3(x－1)2－3，
即y＝3x2－6x.
解法四：设这个二次函数的表达式为y＝a(x－x
1)(x－x
2
)，其中x
1
，x
2
分别
是抛物线与x轴两交点的横坐标．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是(2，0)，对称轴是直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(0，0)，
∴x
1＝0，x
2
＝2，
∴y＝a(x－0)(x－2)＝ax(x－2)．
又∵抛物线的顶点坐标为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，
解得a＝3，
∴这个函数的表达式为y＝3x(x－2)，即y＝3x2－6x.
【总结反思】
1 3x2＋
4
3
x－
5
3
[反思] ② 1 y＝。