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第二讲、 第二讲、水动力模型基本方程及边界条件 四、平面二维方程（垂向积分模式）
考虑到
∂ (h +ζ ) U ∂ ∂ ∂( + h ζ ) ∂ ( +h Uζ ) ∂ ( +h Vζ ) [ 2 (h +ζ )] + [ V(h +ζ )] −[ ]⋅U + U U + + ∂ t ∂ x ∂ y ∂ t ∂ x ∂ y ∂ U ∂ V ∂ U = (h +ζ ) +(h +ζ ) U +(h +ζ ) V ∂ t ∂ x ∂ y
定义：
U=
1 ζ ∫−hudz h +ζ
V=
1 ζ ∫−hvdz h +ζ
B = − u ( x, y , ζ )
∂ζ ∂ζ − v ( x, y , ζ ) + w( x , y , ζ ) ∂x ∂y
第二讲、 第二讲、水动力模型基本方程及边界条件 四、平面二维方程（垂向积分模式）
∂ ζ ∂ζ ∂h ∂ ζ ∂ζ ∂h udz −u(x, y,ζ ) −u(x, y,−h) + ∫−hvdz −v(x, y,ζ ) −v(x, y,−h) ∂x ∫−h ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y + w(x, y,ζ ) − w(x, y,−h) = 0 ∂ ∂
无滑动条件（粘附条件）
2. 底部边界条件
u = v = w= 0 床面上
底部应力定律，将近底速度（离底小距离）与近底速度梯 度联系起来。
ρA ( v
∂u ∂v 2 2 , ) = (τbx,τby) = ρCd (u1 +v1 )1/ 2 (u1 ,v1 ) ∂z ∂z
第二讲、 第二讲、水动力模型基本方程及边界条件 二、边界条件
A= ∂x [U (h + ζ )] + ∂y [V (h + ζ )]
B=
∂ζ , ∂t
C=0
B = − u ( x, y , ζ )
C = −u ( x, y, − h)
∂ζ ∂ζ − v ( x, y , ζ ) + w( x, y, ζ ) ∂x ∂y
∂h ∂h − v( x, y, − h) − w( x, y, − h) ∂x ∂y
β(x) ∂ ∂ β(x) ∂ (x) β ∂ (x) α Q x, z)dz = ∫ (x) ( Q x, z)dz +Q x, β(x)) ( ( −Q x,α(x)) ( α ∂ ∫ (x) xα ∂ x ∂ x ∂ x
∂ ζ ∂ζ ∂h ∂ ζ ∂ζ ∂h ∫−hudz −u(x, y,ζ ) ∂x −u(x, y,−h) ∂x + ∂y ∫−hvdz −v(x, y,ζ ) ∂y −v(x, y,−h) ∂y ∂x + w(x, y,ζ ) − w(x, y,−h) = 0
∂V(h +ζ ) ∂ ∂ ∂ζ + [βyxU (h +ζ )] + [βyyV2 (h +ζ )] = −g(h +ζ ) V − fU(h +ζ ) ∂t ∂ x ∂ y ∂y
，
τsy −τby ∂2V ∂2V + +Ah ( 2 + 2 ) ⋅ (h +ζ ) ρ ∂ x ∂ y
动量修正系数： βxx = 风应力
Q = B U = AU D
B ∂ζ ∂B U D + =0 ∂t ∂s
∂AU ∂ 2 ∂ζ + (U A = −gA − gASf ) ∂t ∂s ∂s
Sf = UU C2R
D =h +ζ
∂A ∂AU + =0 ∂t ∂s
∂U ∂U ∂ζ +U = −g − gS f ∂t ∂s ∂s
∂U ∂U ∂A ∂AU ∂ζ A + AU +U +U = −gA − gASf ∂t ∂s ∂t ∂s ∂s
ζ 2 1 u dz 2 ∫h − (h +ζ )U
βyx =
ζ 1 u vdz (h +ζ )U ∫ h V −
τs一般不考虑，取为0
τbx = ρ U U2 +V2 g
C2
底摩阻采用恒定均匀流结果
τby
=
ρ V g
U2 +V2
2 C
B = − u ( x, y , ζ )
∂ζ ∂ζ − v ( x, y , ζ ) + w( x , y , ζ ) ∂x ∂y
∂u ∂u ∂u ∂u ∂v ∂w ∂u2 ∂uv ∂uw u +v + w +( + + )u = + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂v ∂v ∂v ∂u ∂v ∂w ∂uv ∂v2 ∂vw u +v + w +( + + )v = + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
第二讲 水动力模型基本方程及边界条件
第二讲、 第二讲、水动力模型基本方程及边界条件 一、三维不可压缩流体运动的基本方程
∂ u ∂ v ∂ w + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z
∂u ∂u ∂u ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u 1 ∂p +u + v + w = − + fv + (A ) + (A ) + (A ) h ∂x ∂y ∂y ∂z
对于守恒型动量方程，取垂线平均
∂U(h +ζ ) ∂ ∂ ∂ζ V + fV(h +ζ ) + [βxxU2 (h +ζ )] + [βyxU (h +ζ )] = −g(h +ζ ) ∂x ∂t ∂x ∂y
τsx −τbx ∂2U ∂2U + +Ah ( 2 + 2 ) ⋅ (h +ζ ) ρ ∂x ∂y
一般情况下河流海岸水流运动特征可用“近水平流” 一般情况下河流海岸水流运动特征可用“近水平流”来表 示。水平尺度>>垂向尺度 ，水平动量>>垂向动量。 示。水平尺度>>垂向尺度 ，水平动量>>垂向动量。 从“近水平流” 特征可得出静压假定。 近水平流” 垂向动量方程中已采用近乎水平流假定， 垂向加速度<<垂 垂向加速度<<垂 向压力梯度。
B = − u ( x, y , ζ )
∂ζ ∂ζ − v ( x, y , ζ ) + w( x , y , ζ ) ∂x ∂y
第二讲、 第二讲、水动力模型基本方程及边界条件 五、一维流动方程
沿断面积分的一维方程
B ∂ζ ∂Q + =0 ∂t ∂s
∂A ∂AU + =0 ∂t ∂s
∂Q ∂ 2 ∂ζ + (Q / A = −gA − gASf ) ∂t ∂s ∂s
第二讲、 第二讲、水动力模型基本方程及边界条件 四、平面二维方程（垂向积分模式）
将方程沿深度积分,利用自由面运动学边界条件和床面运 动学边界条件，可得到垂向积分的平面二维控制方程。
ζ ∂ ζ ∂ u v ∂u ∂v ∂w ( + + )dz = ∫ h dz + ∫ h dz + w x, y,ζ ) − w x, y,−h) = 0 ( ( ∫−h ∂x ∂y ∂z − ∂ − ∂ x y ζ
1
ρ
(τsx ,τsy ) = K(W ,W ) W +W x y x y
2
2
（b）自由表面运动学边界条件 。根据界面保持定理（不 可入可滑移条件）
W= ∂ζ ∂ζ ∂ζ +u +v ∂t ∂x ∂y
z=ζ
（c）自由表面动力学边界条件
p = pa
第二讲、 第二讲、水动力模型基本方程及边界条件 二、边界条件
∂p = −ρg ∂z
−
p = ρg(ζ − z)
− 1 ∂p ∂ζ = −g ρ ∂y ∂y
1 ∂p ∂ζ = −g ρ ∂x ∂x
第二讲、 第二讲、水动力模型基本方程及边界条件 二、边界条件
（a）自由表面给定风应力
A v ∂u ∂z
z=ζ
1.自由面
=
τsx ρ
A v
∂v ∂z
z= ζ
=
τsy ρ
平面二维动量方程简化为
gU U2 +V2 ∂U ∂U ∂U ∂ζ ∂2U ∂2U +U +V = −g + fV − 2 +A ( 2 + 2 ) h ∂t ∂x ∂y ∂x C (h +ζ ) ∂x ∂y
gV U2 +V2 ∂V ∂V ∂V ∂ζ ∂2V ∂2V +U +V = −g − fU − +A ( 2 + 2 ) h ∂t ∂x ∂y ∂y C2 (h +ζ ) ∂x ∂y
3.岸边界条件 3.岸边界条件 可滑动不可入条件：正交于岸线的速度为零 无滑动条件（粘附条件）, 无滑动条件（粘附条件）, u = v = w= 0 4.开边界条件（水边界）： 4.开边界条件（水边界）： 有实测资料时，给定水面或速度过程。
第二讲、 第二讲、水动力模型基本方程及边界条件 三、守恒型方程
∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ ∂v ∂ ∂v ∂ ∂v +u + v + w = − − fu + (A ) + (A ) + (A ) h h v ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
∂p = −ρg ∂z
