次序统计量及其分布共26页

, X n )T 的次序统计量，样本的极差定义为 R X ( n ) X (1) max X i min X i
1 i n 1 i n
xi min xi 其观测值为 r x( n ) x(1) max 1 i n 1 i n
4、样本极差的意义 样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散 程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受 样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以 作为总体均方差的估计. 在实际中应用比较广泛. 例3(p32例1.20) 从总体中抽取容量为6的样本， 测得样本值为 32, 65, 28, 35, 30, 29 试求,样本中位数、样本均值、样本极差、样本方差、 以及样本标准差。
1、样本中位数 定义 设(X (1) , X ( 2 ) ,
, X ( n ) )T 为样本( X1 , X 2 ,
n为奇数， n为偶数，
, X n )T 的次序统计量，样本的中位数定义为
X n 1 ， ( ) 2 X 1 [ X n X n1 ], ( ) 2 (2) 2
说明 (1) 最大次序统计量X ( n )的分布密度为
f X( n ) ( x ) n[ F ( x )]n1 f ( x )
( 2) 最小次序统计量X (1)的分布密度为 f X(1) ( x ) n[1 F ( x )]
n 1
f ( x)
例1(p30例1.18) 设总体X 服从区间 [0,1] 上的均
证
根据分布函数的定义可得
F( X(1) , X( n ) ) ( x, y ) P{ X (1) x, X ( n) y}
以下分两种情形讨论：
(1)当x y时，

N
x1
2
, n[
f
1 (x1
2
)]2
18
例5-3-2: 设总体 X 为柯西分布，其密度函数为
f(x;)(1(1 x ))2, x
其分布函数为
F(x;)1 21arctan(x)
易知，θ是该总体的中位数，即 x ½ = θ.
设
X1,X2,
,X 是来自该总体的样本，则 n
当样本容量 n 较大时，样本中位数 m 0.5 的渐近分布为
P { T t ( n ) } P { T t ( n ) } 1 P { T t ( n ) } 1
即
t(n) h t1 (n) （5-3-9）
15
3）对于 F—分布
F(n1,n2)
由于
1 F ~ F(n2,n1)
所以
PF
F
1 (n2,n1)
PF1
F
(n2,n1)
1PF1 F(n2,n1)
p 2 (x ) (2 1 ) 5 ! ( ! 5 2 )! [F (x ) ] 2 1 p (x ) [ 1 F (x ) ] 5 2
2 0 x 3 3 x 2 ( 1 x 3 ) 3 6 0 x 5 ( 1 x 3 ) 3 , 0 x 1
于是
P (x(2)1 2)0 1 260x5(1x3)3dx
h
20
下面就通过一个具体的实例说明之。
例 5-3-4 ：表 5—5 是某厂 160 名销售人员某月的销售量数据的有序样本，由该 批数据可计算得到：
xm in45, xm ax319,m 0.5181 , Q 1144,Q 3212
五数概括的图形表示称为箱线图，由箱子和线段组成。图5-11 是该例中样本数据的箱 线图，其作法如下

535次序统计量及其分布个观测值大排列后得到的第由小到它的取值是样本观测值个次序统计量样本的第称为该的样本是取自总体统计量称为该样本的最大次序统计量称为该样本的最小次序个次序统计量称为该样本的第那么相互独立同分布已知样本分布相同吗独立吗次序统计量定义例536设总体x的分布为仅取012的离散均匀分布分布列为131313现从中抽取容量为3的样本其一切可能取值有2719分布不相同显然二次序统计量的抽样分布则有为样本分布函数为设总体的密度函数为的密度函数为个次序统计量样本第度函数为个次序统计量的联合密练习
102 108 110 113 118 125 则该月这20名青年的平均娱乐支出为
x17 98 4 12 5 9.4 9
20
• 将这20个数据分组可以得到如下频数频率分布: 组序分组区间组中值频数频率
x18 2 39 2 5 12 22 100
20
定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则 样本所有偏差之和为0,即
n
E(x)n 1Ei n1xinn
Va (x)rn 12Va i n1 rxinn 22n2
E
xi
x2
E
xi
2
nx 2
E(xi2 ) nE(x2 )
[E(xi )2 Var(xi )]n[E(x)2 Var(x)]
n2 n 2 n2 n 2
n
(n 1) 2
Es2n1 1E xix2 n1 1(n 1 )22
5.3.4 样本矩及其函数
定义5.3.4 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
ak
1 n
n i1
xi k
称为样本 k阶原点矩
bk
1 n
n i1
(xiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

种，于是，若以 Fk (x) 记 x (k) 的分布函数，则由多 项分布可得
F k(x x ) F k(x )
n ! [F (x )]k 1 [F x x F (x )][1 F (x x )]n k
(k 1 )!(n k)!
.
两边同除以 x , 并令 x→0 , 即有
pk(x) lixm 0F k(x xx )F k(x) n ! [ F ( x ) ] k 1 p ( x ) [ 1 F ( x ) ] n k ( k 1 ) ! ( n k ) !
p ij(y,z)(i 1 )!(jin ! (y)]j i 1
[1F (z)]njf(y)f(z), ayzb
（5-3-6） 证明：对增量 y, z 以及 y < z , 事件
x ( i ) ( y ,y y ] ,x ( j .) ( z ,z z ]
§5.3 次序统计量及其分布
定义
定义 5-3-1: 设 X1,X2,L,Xn 为取自总体X的样本， 将其按大小顺序排序 X (1 ) X (2 ) L X (n )
则称 X(k) 为第 k 个次序统计量( No.k Order Statistic)
特别地，称
X(1) m 1iinnXi
（5-3-1）
为最小顺序统计量(Minimum order Statistic)
称
X(n) m 1iaxn Xi
（5-3-2）
为最大顺序统计量(Maximum order Statistic) 。
.
例5-3-1：设总体X的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均
匀分布，其分布列为
x0 1 2
p
1 3
1 3
1 3

中心极限定理
在大量独立同分布随机变量的样本中，任意一个样本的平均值（或 中位数）都将趋近于正态分布。
次序统计量
在给定样本中，按照大小排序后得到的顺序统计量。
关系
中心极限定理为次序统计量提供了理论基础，因为次序统计量是样本 中排序后的变量，其分布情况与中心极限定理密切相关。
次序统计量与大数定律的关系
次序统计量在统计学中的重要性
01
02
03
描述数据分布特征
次序统计量可以帮助我们 快速了解数据分布情况， 如数据的最大值、最小值 、中位数等。
进行统计分析
在统计分析中，次序统计 量常被用作描述变量或样 本的特性，如计算相关性 、进行回归分析等。
数据排序与筛选
通过次序统计量可以对数 据进行排序和筛选，以便 更好地理解和处理数据。
计算方法
通过概率密度函数或概率质量函 数积分得到。
03
次序统计量的应用场景
金融数据分析
风险评估
次序统计量可以用于评估投资组合的风险，通过分析历史收益率 数据，确定投资组合在不同市场环境下的风险水平。
市场趋势判断
利用次序统计量对市场数据进行排序，可以判断市场趋势，例如通 过分析股票价格指数的排序来判断市场的整体走势。
次序统计量及其分 布通用课件
目录
• 次序统计量的定义与性质 • 次序统计量的分布 • 次序统计量的应用场景 • 次序统计量的计算方法 • 次序统计量与其他统计量的关系 • 次序统计量在数据分析中的应用
01
次序统计量的定义与性质
次序统计量的定义
定义
次序统计量是指一组数 据中按照大小顺序排列
的统计量。
在数据异常值检测中的应用
总结词
次序统计量在异常值检测中具有重要应用，能够识别出离群 点，帮助分析者了解数据分布和潜在问题。

i-1 y 1 y+y j-i-1 z 1 z+z n-j
于是由多项分布得
P ( x( i ) ( y, y y ), x( j ) ( z , z z )) pij ( y , z )yz
n! [ F ( y )]i 1 f ( y )y (i 1)!1!( j i 1)!(n j )! [ F ( z ) F ( y y )] j i 1 f ( z )z[1 F ( z z )]n j
其观测值为 r x( n ) x(1) max xi min xi 1 i n 1 i n
4、样本极差的意义 样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散 程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受 样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以 作为总体均方差的估计. 在实际中应用比较广泛.
注意
(1). 中位数比样本均值更为稳健，当二者 相差不大时常采用样本均值表示数据平均， 否则应该用中位数。 • (2). 样本的众数适用于离散的总体 • (3).极差计算简单，但是不如样本标准差稳 健。
•
• (4).大多数情况下，数据基本上落在“均值 ±2个 标准差”的区间内，否则这个数据就 被认为是异常的大或异常的小。 在绝大多数情况下，一组正常的数据基本 上落在“均值±3个标准差”的区间内。
pn ( x) n [1 F ( x)]
n 1
p( x)
(4)
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
p1 ( x) n [ F ( x)]n1 p ( x)
(5)
（二）多个次序统计量的联合分布
仅讨论任意二个次序统计量的情形。 定理 2 ：设总体 ξ 有密度函数 f (x) , a ≤x ≤b , （同样 可设 a = - ∞, b = +∞ ) 。并且 ξ1 , ξ2 , … , ξn 是取自这 一总体的一个样本，则其任意两个次序统计量 ξ (1) < ξ (2) 的联合分布密度函数为

,,
x n
时,定义
X (k )
取
值 为 x(k) (k 1, 2, , n), 由 此 得 到 的 ( X (1), X (2) , , X (n) ) 称 为
样本X1 , X 2 ,, X n 的次序统计量。
1
显然有
X(1) X(2) X(n)
其中
X (1)
min
1in
Xi
称为最小次序统计量，它的值
9
样本分布函数Fn(x)不仅与样本容量n有关,还与所
得到的样本观察值有关，故它是随机变量．Fn(x)的
图形呈跳跃上升的台阶状, 在x(1), x(2), …, x(n)中的不
重复的值处，跳跃高度为
1 n
；在重复l次的值处，跳
跃高度为 l ．图中的曲线是总体X的理论分布函数
n
F(x)的图形．
图
10
对任意实数 x, Fn x就是事件X x
0,
则经验分布函数 F3( x)的观察值为
1 ,
F3
(
x
)
3 2
,
3
1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
7
实例3 设总体 F 具有一个样本值 1, 1, 2, 则经验分布函数F3( x)的观察值为
0,
F3
(
x
)
2 3
,
1,
x 1, 1 x 2, x 2.
8
一般地， 设 x1, x2,, xn 是总体F的一个容量为n 样本值, 先将 x1, x2,, xn 按自小到大的次序排列, 并重新编号, x(1) x(2) x(n) , 则经验分布函数Fn( x)的观察值为
x(1)

图
9
例 设总体F具有一个样本值1， 1， 2，则经验分布函数 F3 ( x )的观察值为 0, 若 x 1 2 F3 ( x ) , 若1 x 2 3 若x 2 1,
10
经验分布函数Fn(x)从样本直观得到描述性分布.
样本直方图可以描述. (2). 经验分布函数的性质 10. 具有通常分布函数的三个性质,图形呈跳跃上升； 20. Fn(x)是一个随机变量；
4
定理
设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)),
, X ( n ) ) 的联合分布密度为
X 1 , X 2 ,, X n 为其样本，则次序统计量的分布密度为
( X (1) , X (2) ,
n n! f ( yi ), y1 y2 f ( y1 , y2 , , yn ) i 1 0, 其他
这件事情是否是一个玩笑？
14
中位数定义
设 （ X 1 , X 2 , , X n ） 是总体 X 中的样本 ， ( X (1) , X (2) , , X ( n ) ) 为其次序统计量，则样本中位数定义为
X n 1 ，n奇 ( ) 2 X 1 [ X n X n 1 ]，n偶 ( ) ( ) 2 2 2
vn ( x) Fn ( x) n
为子样的为经验分布函数.
7
设总体 X 的分布函数 F(x)未知， x1 , x2 , , xn 为总体 X 的一个样本观察值，将它们按大小 排列为： x1 x 2
x n ，令
0, 如果x x(1) , k Fn x , 如果x( k ) x x( k 1) , k 1, 2,..., n 1, n 1, 如果x( n ) x .

1 , n!
二、单个次序统计量的分布
定理2 设总体X的密度函数为f(x), 分布函数为F(x), X1, X2,…, Xn为样本, 则第k个次序统计量X(k)的密度函 数为
n! k 1 n k fk ( x) ( F ( x )) (1 F ( x )) f ( x ) ( k 1)!( n k )!
F1n ( x , y ) P { X (1) x , X ( n ) y } P{ X ( n ) y } P{ x X (1) X ( n ) y } ( F ( y )) P{ x X i y } ( F ( y ))n ( F ( y ) F ( x ))n
1.4 次序统计量及其分布
一、次序统计量。
定义 设 ) 称为
该样本的第i 个次序统计量，它的取值是将样本观测
值由小到大排列后得到的第 i 个观测值。其中 X(1)=minX1, X2, …, Xn 称为该样本的最小次序统计量， X(n)=maxX1, X2, …, Xn
可给出的 X(1) , X(2), X(3) 分布列如下：
X (1)
0
19 27
1
7 27
2
1 27
X (2)
0
7 27
1
13 27
2
7 27
p
X (3)
p
0
1 27
1
7 27
2
19 27
p
这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步, 给出两个次序统计量的联合分布, 如:
X(1) 和X(2) 的联合分布列为
证明:k 1,n时,直接可得 F1 ( x ) P ( X (1) x ) 1 P (min( X i ) x ) 1 (1 F ( x ))n Fn ( x ) P ( X ( n ) x ) P (max( X i ) x ) ( F ( x ))

由于次序统计量的每一个分量X(k) 都是样本
X,X,, 12
X n
的函数，所以X(1),X(2),L
,X(n)
也都是随机
变量。样本X1,X2,,Xn是相互独立的，但其次序统
计量(X(1),X(2),L,X(n))一般不是独立的。
2
定义 样本X1,X2,,Xn按由小到大的顺序重排为 X(1) X(2) L X(n)
{ 1，1，3，3，4，2，3，8 } 3
11
Remark (1). 中位数比样本均值更为稳健，当二者相差不大时
常采用样本均值表示数据平均，否则应该用中位数。 (2). 样本的众数适用于离散的总体
12
2. 表示“变差”的统计量： 样本方差(或标准差)、极差
样本极差定义为
R X (n ) X ( 1 ) m 1 i a x nX i m 1 ii n nX i,
f(X (1 ),X (2 ))(x ,y )
0 ,x y ,
7
1. 表示“平均”的统计量： 样本均值、中位数、众数
例 关于平均值的理解 样本均值是人们采用最多的一种描述数据的方法，
它反映了一组数据整体上的一些信息，然而容易掩盖 一些极端的情况，所以有时候样本均值不一定合理 。
思考1. 甲同学听说，有个身高 1.75 米的成年人在 平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。
4
定理 1.19 设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)), X1 , X 2 , , X n为样本，则第 k 个次序统计量 X(k) 的分布密度为
fX (k )( x ) ( k 1 ) n ! ( ! n k ) ! [ F ( x ) ] k 1 [ 1 F ( x ) ] n kf( x ) ,k 1 ,2 ,L ,n . 特 别 ， 最 小 次 序 统 计 量 X (1 )和 最 大 次 序 统 计 量 X (n) 的 分 布 密 度 为

位数记为 Fa (n1, n2 ) ，它满足
P{F > Fa (n1, n2 )} = a
对 a = 0.05, 0.01 ，0.10 ，0.025 的 Fa (n1, n2 ) 的值，可由附表 5 查出。
P{X > ua} = 1 − P{X ≤ ua}= 1 − Φ(ua ) = a
即 Φ(ua ) = 1 − a
给定 a ，由附表 2 可查得 ua 的值，如 u0.05 = 1.64 ，u0.025 = 1.96 。由于 标准正态分布的对称性，显然有
ua = −u1−a
2、如果
χ
2 n
~
χ
2 (n)
)
=
E(
X
2 i
)
=
E
(
X
2 i
)
=
[D( X i ) + (E( X i ))2 ] =n
i =1
i =1
i =1
∫ 由于
D(
X
2 i
)
=
E
(
X
4 i
)
−
(
E
(
X
2 i
))2
=
+∞ −∞
x4
− x2
e 2 dx − 1 = 3 − 1 = 2
2π
n
n
∑ ∑ 所以
D(
χ
2 n
)
=
D(
X
2 i
)
=
D(
n→∞
ϕT
(t
)
=
1
−t2
e2
2π
此性质说明，当 n → ∞ 时， t 分布的极限分布是标准正态分布。

的性质
次序统计量是充分统计量 证明： 由充分统计量的定义可知，只需要证明其条件分布与总体分布无关即可.由于样本具有独立性与同分布性，因 而 其中，是的一个置换，这样的置换共有，由此可见，此条件分布与总体无关，故次序统计量是充分统计量。
单个的分布
设总体X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x), X1, X2,…, Xn为样本，则第k个次序统计量X(k)的密度函数 为
次序统计量
统计学术语
目录
01 简介
03 单个的分布
02 的性质 04自总体X的样本，X(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由 小到大排列后得到的第i个观测值。从小到大排序为x(1),x(2), …,x(n)，则称X(1),X(2), …,X(n)为顺序统 计量。
简介
设 X1,X2,…, Xn是取自总体X的样本，X(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第i个观测值。从小到大排序为x(1),x(2), …,x(n)，则称X(1),X(2), …,X(n)为顺序统计 量。
显然： (1)最小顺序统计量 (2)最大顺序统计量 (3)极差(Range) (4)四分位极差(iql) 样本X1,X2,…,Xn是独立同分布的，而次序统计量X(1),X(2),…,X(n)则既不独立，分布也不相同。
证明：k=1,n时，直接可得
多个的联合分布
对任意多个次序统计量可给出其联合分布，以两个为例说明： （1）次序统计量的联合分布密度函数为： （2）的联合分布密度（连续型）为：
感谢观看

x f1 ( x) n 1
n 1
1 I[(0, )] ( x)
最大次序统计量X(n)的密度函数为
nx n1 f n ( x) n I[(0, )] ( x)
11
( X (1) , X (n ) )的联合密度函数为
n(n 1)( y x) n 2 , 0 x y , n f1,n ( x, y ) 0, 其它.
pq (2 q q )
n
n1
n1
n=1,2,…
22
n Fm ( x) P( X ( m) x) ( F ( x))i (1 F ( x)) ni i m i
n
5
因此
利用恒等式
n i n p m1 n i nm p (1 p ) i t (1 t ) dt 0 i m i i
极差R X ( n ) X (1)的密度函数为
n(n 1)( r )r n 2 , n f R (r ) 0, 0 r , 其它.
12
统 L1 , L2 例2 设系统 L 由两个相互独立的子系 联接而成, 连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, 如图所示.
f n ( x) nF ( x)n1 f ( x)
7
二 次序(顺序)统计量的联合分布
(1)次序统计量( X (1) , X ( n) )的联合分布为
n n [ F ( y )] [ F ( y ) F ( x )] , 当x y, F1,n ( x, y ) n [ F ( y )] , 当x y.
βe ,x0 , fY ( y ) x0 0,