平均增长率问题

一、复习
解一元二次方程应用题的一般步骤？ 第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知 数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相 等关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数 式（简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：在检查求得的答数是否符合应用题 的实际意义后，写出答案（及单位名称）。
生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是b,则它们的数量关系可表示为
a (1 x) b
n
其中增长取+,降低取－
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500 )
解这个方程，得：x1=12,x2=-8. 经检验：x1=12，x2=-8都是原方程的根， 但负数不合题意，所以只取x=12. 当x=12时，x+12=24. 故，单独完成全部工作甲、乙分别需12天，24天.
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在 实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
3：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的 社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百 分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）
昆二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%， 第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？

2.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万 元，每月另需支付设备维护费5万元，从今年1 月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维 护费，使用当月生产收入达100万元，1到3月份 生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364 万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的 水平. （1）求使用新设备后，2月，3月生产收入的月 增长率； 解析：设2月，3月生产收入的月增长率为x； 则由题意，得 100+100(1+x)+1000(1+x)2=364 解得 x1=20%, x2=-320%(不和题意，舍去）
4.某种商品，原价为50元，为了促销，10 月份降价10%，从11月份开始涨价，12月 份的售价为64.8元，求11、12月份价格的 平均增长率.
解析：设11、12月份价格的平均增长率为x. 根据题意，得 50(1-10%)(1+x)2=64.8 即 (1+x)2=1.44 解这个方程，得 x1=0.2=20%， x2=-1.2=-120%(不合题意,舍去)
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一 年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种 药品成本为5000(1-x)2元，于是有 5000(1-x)2=3000. 解方程，得 x1≈0.225, x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平 均下降率约为22.5%.
思考: 经过计算,你能得出什么结论?成本下降 额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗? 应该怎样全面地比较几个对象的变化状况?
（2）购进新设备需一次性支付640万元， 使用设备几个月后,该厂所得累计利润不低 于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指 累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购 进费） 设使用设备y个月后，该厂所得累计利 润不低于使用旧设备的累计利润 根据题意，得 364+100(1+20%)2(y-3)-640≥(90-利润不低于使用旧设备的累计利润

一元二次方程增长率问题公式
一元二次方程平均增长率问题公式：a(1+x)n=b。

(a为起始量，b 为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）
平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1+x)；第二次增长是以a(1+x)为基数的，增长率也为x，故第二次增长后的数量为a(1+x)2。

同样的道理，平均降低率中的数量关系：若降低的基数为a，平均降低率为x，则第一次降低后的数量为a(1-x)；第二次降低是以a(1-x)为基数的，降低率也为x，故第二次降低后的数量为a(1-x) 2。

在解决增长（降低）率的问题时，常用的方法技巧是：
通常是利用公式建立方程。

平均增长率公式：a(1+x)n=b。

(a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）；平均降低率公式：a(1-x) n =b。

(a为起始量，b为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率）。

解析：本题中考察的是增长率的问题，（1）中设这两年该校植树
棵数的年平均增长率为x，根据第一年及第三年的植树棵数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论。

列出的方程为500（1+x）=720，得：x=0.2=20%，x=﹣2.2（不合题意，舍去）；（2）中根据第四年植树的棵数=第三年植树的棵数×（1+增长率），即可求出结论。

720×（1+20%）=864（棵）。

严格套用增长率的公式求解即可，但是一定要明确n是多少，也就是一定要确定好年份之间的关系。

解题的关键和所有的方程解应用题是相同的：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算。

20.
年 月 日北京国际自行车大会召开，来自世界各地的 多名骑游爱好者齐聚夏都延庆．各
种自行车赛事也带动了延庆的骑游产业．据调查，延庆区某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相
同，今年四月份的骑游人数约为 人，六月份的骑游人数约为
人，求该骑游公司租赁自行车数
的月平均增长率（精确到 ）．
21. 列方程或方程组解应用题：
1
5. 近年来，我国使用移动支付的人数成逐年上升趋势．据统计 年 月底我国使用移动支付的有 亿 人左右，预计到 年 月底将增加到 亿人左右，求这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率 约为多少．
6. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入， 年投入 万元， 若教育经费每年增长的百分率相同， （ 1 ） 求每年平均增长的百分率． （ 2 ） 按此年平均增长率，预计 年该区教育经费应投入多少万元？
年投入了
万元，
7. 为美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房， 植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．
（ 1 ） 根据图中所提供的信息回答下列问题： 年底的绿地面积为
了
公顷．
（ 2 ） 为满足城市发展的需要，计划到 年底使城区绿地面积达到
6
（ 1 ） 从 年到 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （ 2 ） 在 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 万元用于优先搬迁租房奖励， 规定前 户（含第 户）每户每天奖励 元， 户以后每户每天补助 元，按租房 天计算， 试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
5
24. 随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车水费