培优专题 特殊平行四边形的最值问题

九年级上重难点专题突破——常考题型精选专题01 特殊平行四边形中的最值问题题型一 菱形中的最值问题1．如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是【解答】解：如图，过点P 作PE BC ^于E ，Q 四边形ABCD 是菱形，10AB AC ==，10AB BC AC \===，ABD CBD Ð=Ð，ABC \D 是等边三角形，60ABC ACB \Ð=Ð=°，30CBD \Ð=°，PE BC ^Q ，12PE PB \=，12MP PB PM PE \+=+，\当点M ，点P ，点E 共线且ME BC ^时，PM PE +有最小值为ME ，3AM =Q ，7MC \=，sin ME ACB MC Ð==QME \=，12MP PB \+2．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，12AC =，16BD =，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE AC ^于E ，PF BD ^于F ，连接EF ，则EF 的最小值等于　4.8　．【解答】解：连接OP ，如图所示：Q 四边形ABCD 是菱形，12AC =，16BD =，AC BD \^，182BO BD ==，162OC AC ==，10BC \===，PE AC ^Q ，PF BD ^，AC BD ^，\四边形OEPF 是矩形，FE OP \=，Q 当OP BC ^时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP D =´=´，68 4.810OP ´\==，EF \的最小值为4.8，故答案为：4.8．3．如图，在菱形ABCD 中，45B Ð=°，BC =，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH【解答】解：连接AF ，如图所示：Q 四边形ABCD 是菱形，AB BC \==，G Q ，H 分别为AE ，EF 的中点，GH \是AEF D 的中位线，12GH AF \=，当AF BC ^时，AF 最小，GH 得到最小值，则90AFB Ð=°，45B Ð=°Q ，ABF \D 是等腰直角三角形，AF AB \===GH \=，即GH4．如图所示，四边形ABCD 中，AC BD ^于点O ，4AO CO ==，3BO DO ==，点P 为线段AC 上的一个动点．过点P 分别作PM AD ^于点M ，作PN DC ^于点N ．连接PB ，在点P 运动过程中，PM PN PB ++的最小值等于　7.8　．【解答】解：4AO CO ==Q ，3BO DO ==，8AC \=，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ^Q 于点O ，\平行四边形ABCD 是菱形，5AD ===，5CD AD \==，连接PD ，如图所示：ADP CDP ADC S S S D D D +=Q ，\111222AD PM DC PN AC OD ×+×=×，即1115583222PM PN ´´+´´=´´，5()83PM PN \´+=´，4.8PM PN \+=，\当PB 最短时，PM PN PB ++有最小值，由垂线段最短可知：当BP AC ^时，PB 最短，\当点P 与点O 重合时，PM PN PB ++有最小值，最小值 4.837.8=+=，故答案为：7.8．5．已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点(5,0)A ，OB =点P 是对角线OB 上的一个动点，(0,1)D ，当CP DP +最短时，点P 的坐标为( )A．(0,0)B．1(1,)2C．6(5，3)5D．10(7，5)7【解答】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK OA^于K．Q四边形OABC是菱形，AC OB\^，GC AG=，OG BG==A、C关于直线OB对称，PC PD PA PD DA \+=+=，\此时PC PD+最短，在Rt AOGD中，AG===，AC\=，12OA BK AC OB×=××Q，4BK\=，3AK==，\点B坐标(8,4)，\直线OB解析式为12y x=，直线AD解析式为115y x=-+，由12115y xy xì=ïïíï=-+ïî解得10757xyì=ïïíï=ïî，\点P坐标10(7，57．故选：D．6．如图所示，在菱形ABCD中，4AB=，120BADÐ=°，AEFD为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E 、F 在BC 、CD 上如何滑动，总有BE CF =；（2）当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 的面积和CEF D 的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．【解答】解：（1）如图，连接AC ，Q 四边形ABCD 为菱形，120BAD Ð=°，60BAC \Ð=°，AEF D Q 是等边三角形，60EAF \Ð=°，160EAC \Ð+Ð=°，360EAC Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，120BAD Ð=°Q ，60ABC \Ð=°，ABC \D 和ACD D 为等边三角形，460\Ð=°，AC AB =，\在ABE D 和ACF D 中，134AB ACABC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABE ACF ASA \D @D ．BE CF \=；（2）四边形AECF 的面积不变，CEF D的周长发生变化．理由如下：由（1）得ABE ACF D @D ，则ABE ACF S S D D =，故AEC ACF AEC ABE ABC AECF S S S S S S D D D D D =+=+=四边形，是定值，作AH BC ^于H 点，则2BH =，1122ABC AECF S S BC AH BC D ==×==四边形．CEF D 的周长CE CF EF CE BE EF BC EF BC AE=++=++=+=+由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故AEF D 的周长会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，CEF D 的周长会最小44=+=+．7．如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 面积的最大值是( )A ．15B ．16C ．19D ．20【解答】解：如图1，作AE BC ^于E ，AF CD ^于F ，，//AD BC Q ，//AB CD ，\四边形ABCD 是平行四边形，Q 两个矩形的宽都是4，4AE AF \==，ABCD S AE BC AF CD =×=×Q 四边形，BC CD \=，\平行四边形ABCD 是菱形．如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，，设AB BC xBE x=-，==，则8222Q，=+BC BE CE222\=-+，(8)4x x解得5x=，\四边形ABCD面积的最大值是：´=，5420故选：D．8．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，60DABÐ=°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是+=．CD上一动点，且1AM CN（1）证明：无论M，N怎样移动，BMND总是等边三角形；（2）求BMND面积的最小值．【解答】（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，60DABÐ=°，\Ð=Ð=°，60ADB NDBD是等边三角形，故ADB\=，AB BD又1+=，DN CNAM CN+=，1AM DN \=，在AMB D 和DNB D 中，60AM DN MAB NDB AB DB =ìïÐ=Ð=°íï=î，()AMB DNB SAS \D @D ，BM BN \=，MBA NBD Ð=Ð，又60MBA DBM Ð+Ð=°，60NBD DBM \Ð+Ð=°，即60MBN Ð=°，BMN \D 是等边三角形；（2）解：过点B 作BE MN ^于点E ．设BM BN MN x ===，则BE x =，故212BMN S MN BE D =×=，\当BM AD ^时，x 最小，此时，min x =，1324min S ==．BMN \D．9．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，12AC =，16BD =，点P 为边BC 上一点，且P 不与B 、C 重合．过P 作PE AC ^于E ，PF BD ^于F ，连接EF ，则EF 的最小值为( )A ．4B ．4.8C ．5D ．6【解答】解：连接OP，Q 四边形ABCD 是菱形，12AC =，16BD =，AC BD \^，182BO BD ==，162OC AC ==，10BC \===，PE AC ^Q ，PF BD ^，AC BD ^，\四边形OEPF 是矩形，FE OP \=，Q 当OP BC ^时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP D =´=´，68 4.810OP ´\==，EF \的最小值为4.8，故选：B ．10．如图，菱形ABCD 的两条对角线长分别为6AC =，8BD =，点P 是BC 边上的一动点，则AP 的最小值为( )A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5【解答】解：设AC 与BD 的交点为O ，Q 点P 是BC 边上的一动点，AP BC \^时，AP 有最小值，Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD \^，132AO CO AC ===，142BO DO BD ===，5BC \===，12ABCD S AC BD BC AP =´´=´Q 菱形，24 4.85AP \==，故选：B ．题型二 矩形中的最值问题1．如图，点P 是Rt ABC D 中斜边AC （不与A ，C 重合）上一动点，分别作PM AB ^于点M ，作PN BC ^于点N ，连接BP 、MN ，若6AB =，8BC =，当点P 在斜边AC 上运动时，则MN 的最小值是( )A ．1.5B ．2C ．4.8D ．2.4【解答】解：90ABC Ð=°Q ，6AB =，8BC =，10AC \===，PM AB ^Q ，PN BC ^，90C Ð=°，\四边形BNPM 是矩形，MN BP \=，由垂线段最短可得BP AC ^时，线段MN 的值最小，此时，1122ABC S BC AB AC BP D =×=×，即11861022BP ´´=´×，解得： 4.8BP =，即MN 的最小值是4.8，故选：C ．2．如图，在Rt ABC D 中，90BAC Ð=°且3AB =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ^于点M ，DN AC ^于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为( )A ．125B ．52C ．3D ．4【解答】解：90BAC Ð=°Q ，且3BA =，4AC =，5BC \==，DM AB ^Q ，DN AC ^，90DMA DNA BAC \Ð=Ð=Ð=°，\四边形DMAN 是矩形，MN AD \=，\当AD BC ^时，AD 的值最小，此时，ABC D 的面积1122AB AC BC AD =´=´，125AB AC AD BC ´\==，MN \的最小值为125；故选：A ．3．如图，90MON Ð=°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中6AB =，2BC =．运动过程中点D 到点O 的最大距离是　3+【解答】解：如图：取线段AB 的中点E ，连接OE ，DE ，OD ，6AB =Q ，点E 是AB 的中点，90AOB Ð=°，3AE BE OE \===，Q 四边形ABCD 是矩形，2AD BC \==，90DAB Ð=°，DE \==，OD OE DE +Q …，\当点D ，点E ，点O 共线时，OD 的长度最大．\点D 到点O 的最大距离3OE DE =+=+故答案为：34．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是( )A ．2B ．4CD ．【解答】解：如图：当点F 与点C 重合时，点P 在1P 处，11CP DP =，当点F 与点E 重合时，点P 在2P 处，22EP DP =，12//PP CE \且1212PP CE =．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP FP =．由中位线定理可知：1//PP CE 且112PP CF =．\点P 的运动轨迹是线段12P P ，\当12BP PP ^时，PB 取得最小值．Q 矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，CBE \D 、ADE D 、1BCP D 为等腰直角三角形，11CP =．145ADE CDE CPB \Ð=Ð=Ð=°，90DEC Ð=°．2190DP P \Ð=°．1245DPP \Ð=°．2190P PB \Ð=°，即112BP PP ^，BP \的最小值为1BP 的长．在等腰直角1BCP 中，11CP BC ==．1BP \=．PB \．故选：C ．5．如图，90MON Ð=°，矩形ABCD 在MON Ð的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是( )A ．2-B ．2+C ．2-D 2+【解答】解：取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，90MON Ð=°Q ，122OE AB \==．在Rt DAE D 中，利用勾股定理可得DE =．在ODE D 中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，\当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为2OE DE +=+．故选：B ．6．如图，点E 、F 、G 、H 分别是矩形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且HG 与EF 交于点I ，连接HE 、FG ，若6AB =，5BC =，//EF AD ，//HG AB ，则HE FG +【解答】解：如图所示，连接AI ，CI ，AC ，在矩形ABCD 中，90BAD BCD B Ð=Ð=Ð=°，//AB CD ，//AD BC ，又//EF AD Q ，//HG AB ，\四边形AHIE 和四边形IFCG 为矩形，HE AI \=，FG CI =，HE FG \+的长度即为AI CI +的长度，又AI CI AC +Q …，\当A ，I ，C 三点共线时，AI CI +最小值等于AC 的长度，在Rt ABC D 中，AC ===HE FG \+．7．如图，在ABC D 中，9AC =，12AB =，15BC =，P 为BC 边上一动点，PG AC ^于点G ，PH AB ^于点H ．（1）求证：四边形AGPH 是矩形；（2）在点P 的运动过程中，GH 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明91215AC AB BC ===Q ，281AC \=，2144AB =，2225BC =，222AC AB BC \+=，90A \Ð=°．PG AC ^Q ，PH AB ^，90AGP AHP \Ð=Ð=°，\四边形AGPH 是矩形；（2）存在．理由如下：连接AP ．Q 四边形AGPH 是矩形，GH AP \=．Q 当AP BC ^时AP 最短．91215AP \´=×．365AP \=．8．如图，菱形EFGH 的顶点E 、G 分别在矩形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在矩形ABCD 的对角线BD 上．（1）求证：BG DE =；（2）若3AB =，4BC =，则菱形EFGH 的面积最大值是　758　．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，//AD BC \，FBG HDE \Ð=Ð，Q 四边形EFGH 是菱形，FG EH \=，EFG EHG Ð=Ð，12GFH EFG Ð=Ð，12EHF EHG Ð=Ð，GFH EHG \Ð=Ð，BFG DHE \Ð=Ð，在BFG D 和DHE D 中，FBG HDE BFG DHE FG EH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BFG DHE AAS \D @D ，BG DE \=；（2）解：当点F 与B 重合，点H 与D 重合时，菱形EFGH 的面积最大，如图所示：Q 四边形EFGH 是菱形，EG BD \^，BE DE BG ==，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD \Ð=°，设BE DE x ==，则4AE x =-，在Rt ABE D 中，由勾股定理得：2223(4)x x +-=，解得：258x =，257488CG AE \==-=，\菱形EFGH 的面积最大值=矩形ABCD 的面积ABE -D 的面积CDG -D 的面积177********=´-´´´=；故答案为：758．9．如图，在矩形ABCD中，3AB=，6AD=，E是AD上一点，1AE=，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是　5　．【解答】解：过点P作//PM FE交AD于M，如图，FQ为AP的中点，//PM FE，FE\为APMD的中位线，22AM AE\==，2PM EF=，当EF取最小值时，即PM最短，当PM AD^时，PM最短，此时3PM AB==，4MD AD AM=-=Q，在Rt PMDD中，5PD==，\当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，故答案为：5．10．如图，在ABCD中，90BACÐ=°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，90EDFÐ=°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连接AM 、MN ，若6AC =，5AB =，则AM MN -的最大值为　2512　．【解答】解：如图，连接DM ，DN ，由图可以得到M 的轨迹是一条线段(AD 的垂直平分线的一部分），M 在AN 上的时候最大（此时AM 最大，MN 最小），当M 在AN 上时，如图，设AM x =，则3MN x =-，DM AM x ==，1522DN AB ==，在直角三角形DMN 中，根据勾股定理，得222DM DN MN =+，222(3) 2.5x x \=-+，解得6124x =，11324x \-=，此时611125242412AM MN -=-=．AM MN \-的最大值为2512．故答案为：2512．题型三 正方形中的最值问题1．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ．点H 是CD上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH【解答】解：连接CG ．Q 四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，DA DC \=，DE DG =，90ADC EDG Ð=Ð=°，45DAC Ð=°，ADE CDG \Ð=Ð，()ADE CDG SAS \D @D ，45DCG DAE \Ð=Ð=°，\点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ^时，GH 的值最小，223DH CD ==Q ，321CH CD DH \=-=-=，\最小值sin 451CH =°==g ．．2．如图，在正方形ABCD 中，AB =，E 是对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，H 是CD的中点，连接GH ，则GH【解答】解：连接CG ．Q 四边形ABCD 是正方形，四边形DECG 是正方形，DA DC \=，DE DG =，90ADC EDG Ð=Ð=°，45DAC Ð=°，ADE CDG \Ð=Ð，()ADE CDG SAS \D @D ，45DCG DAE \Ð=Ð=°，\点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ^时，GH 的值最小，最小值sin 45CH =°=g ．3．如图，平面内三点A 、B 、C ，5AB =，4AC =，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是( )A ．5B ．9C ．D 【解答】解：如图，将BDA D 绕点D 顺时针旋转90°得到CDM D ，由旋转不变性可知：5AB CM ==，DA DM =，90ADM Ð=°，ADM \D 是等腰直角三角形，AD \=，\当AM 的值最大时，AD 的值最大，AM AC CM +Q …，9AM \…，AM \的最大值为9，AD \．故选：D ．4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 向终点C 、D 运动，连接AM 、BN ，交于点P ，连接PC ，则PC 长的最小值为( )A ．2B ．2C ．1-D ．【解答】解：由题意得：BM CN =，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABM BCN \Ð=Ð=°，4AB BC ==，在ABM D 和BCN D 中，AB BC =，ABM BCN Ð=Ð，MB CN =，()ABM BCN SAS \D @D ，BAM CBN \Ð=Ð，90ABP CBN Ð+Ð=°Q ，90ABP BAM \Ð+Ð=°，90APB \Ð=°，\点p 是以AP 为半径的圆上远动，设圆心为O ，运动路径一条弧 BG ，是这个圆的14，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，Q，AB=4\==，2OP OB由勾股定理得：OC==，\=-=；PC OC OP2故选：A．5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE CF=，连接BF、+的最小值为( )DE，则BF DEA B C D【解答】解：连接AE，如图1，Q四边形ABCD是正方形，ABE BCFÐ=Ð=°．\=，90AB BC又BE CF=，\D@D．ABE BCF SAS()\=．AE BF所以BF DE +最小值等于AE DE +最小值．作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2，连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点．根据对称性可知AE HE =，所以AE DE DH +=．在Rt ADH D 中，DH ===，BF DE \+．故选：D ．6．如图，在ABC D 中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE D 面积的最大值为　8　．【解答】解：过点C 作CG BA ^于点G ，作EH AB ^于点H ，作AM BC ^于点M ．5AB AC ==Q ，BC =，BM CM \==，易证AMB CGB D D ∽，\BM AB GB CB=，8GB \=，设BD x =，则8DG x =-，易证()EDH DCG AAS D @D ，8EH DG x \==-，2111(8)(4)8222BDE S BD EH x x x D \==-=--+g ，当4x =时，BDE D 面积的最大值为8．故答案为8．7．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，4OA =，3OC =，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF ，连接OE ．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是　【解答】解：如图所示：过点D 作DG OA ^，过点E 作HE DG ^．DG OA ^Q ，HE DG ^，90EHD DGA \Ð=Ð=°．90GDA DAG \Ð+Ð=°．Q 四边形ADEF 为正方形，DE AD \=，90HDE GDA Ð+Ð=°．HDE GAD \Ð=Ð．在HED D 和GDA D 中HDE GAD EHD DGA DE AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，HED GDA \D @D ．3HE DG \==，HD AG =．设(,3)D a ，则DC a =，4DH AG a ==-．(3,7)E a a \+-．OE \==．当2a =时，OE有最小值，最小值为．故答案为：8．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG-．【解答】解：设正方形的中心为O ，可证EF 经过O 点．连接OB ，取OB 中点M ，连接MA ，MG ，则MA ，MG 为定长，可计算得MA =，12MG OB ==AG AM MG -=…，当A ，M ，G 三点共线时，AG 最小=-，9．如图，M 、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM BN =，连接AC 交BN 于点E ，连接DE交AM 于点F ，连接CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是　3-　．【解答】解：如图，在正方形ABCD 中，AD BC CD ==，ADC BCD Ð=Ð，DCE BCE Ð=Ð，在Rt ADM D 和Rt BCN D 中，AD BC AM BN =ìí=î，Rt ADM Rt BCN(HL)\D @D ，DAM CBN \Ð=Ð，在DCE D 和BCE D 中，BC CD DCE BCE CE CE =ìïÐ=Ðíï=î，()DCE BCE SAS \D @D ，CDE CBE\Ð=ÐDAM CDE \Ð=Ð，90ADF CDE ADC Ð+Ð=Ð=°Q ，90DAM ADF \Ð+Ð=°，1809090AFD \Ð=°-°=°，取AD 的中点O ，连接OF 、OC ，则132OF DO AD ===，在Rt ODC D中，OC ==根据三角形的三边关系，OF CF OC +>，\当O 、F 、C 三点共线时，CF 的长度最小，最小值3OC OF =-=．故答案为：3-．10．如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动（不与点B ，D 重合），连接OA ，作OP OA ^，交直线BC 于点P ．（1）判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由．（2）当OD =时，求CP 的长．（3）设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为1S ，AOD D 的面积为2S ，求12S S -的最值．【解答】解：（1）OA OP=，理由是：如图1，过O作OG AB^于G，过O作OH BC^于H，Q四边形ABCD是正方形，=，ABO CBO\Ð=Ð，AB BC\=，OG OHQ，Ð=Ð=Ð=°90OGB GBH BHO\四边形OGBH是正方形，BG BHÐ=°，GOH\=，90Q，Ð=Ð=°90AOP GOH\Ð=Ð，AOG POH()\D@D，AGO PHO ASA\=；OA OP^于Q，过O作OH BC（2）如图2，过O作OQ CD^于H，连接OC，90\Ð=°，OQDQ，Ð=°45ODQ\D是等腰直角三角形，ODQQ，OD=\==，1OQ DQÐ=Ð，OD OD=，=Q，ADO CDOAD CD\D@D，ADO CDO SAS()\==，AO OC OPQ，OH PC^PH CH OQ\===，1\=；2PC。

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。

专题03特殊平行四边形中的最值、定值问题【典型例题】9．（2020·万杰朝阳学校）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4B．4.8C．5.2D．6【解析】如图，连接P A．∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴BC2=AB2+AC2，∴∠A=90°．又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形PEAF是矩形．∴AP=EF．∴当P A最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，P A最小，∵12AB۰AC=12BC۰AP，即AP=6810AB ACBC⋅⨯==4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选B．2.（2019·余干县第二中学期末）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD 相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．【答案】解：(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝12BD＝12×16＝8，由勾股定理得AG6==，所以AC＝2AG＝2×6＝12.所以菱形ABCD的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96.(2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF.解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．(3)发生变化．如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF.即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF.解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．所以OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.【专题训练】一、选择题1．（2020·安徽和县）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选C．考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题2．（2020·江苏淮阴）如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD 面积的最大值是（）A．15B．16C．19D．20【解析】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵AD∥BC,AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，设AB =BC =x ，则BE =9−x ， ∵BC 2=BE 2+CE 2，∴x 2=(9−x )2+32，解得x =5，∴四边形ABCD 面积的最大值是：5×3=15.故选A . 3．（2020·江西九江初三零模）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB +PM 的值最小时，PM 的长是（ ）A ．2B ．3C ．5D 【解析】连接DP ，BD ，作DH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，B 、D 关于AC 对称， ∴PB +PM =PD +PM ，∴当D 、P 、M 共线时，P ′B +P ′M =DM 的值最小，∵CM =13BC =2，∵∠ABC =120°，∴∠DBC =∠ABD =60°，∴△DBC 是等边三角形，∵BC =6，∴CM =2，HM =1，DH =在Rt △DMH 中，DM =，∵CM ∥AD ，∴''P M CM DP AD ==26=13，∴P ′M =14 DM =2．故选A ． 4．（2019·全国单元测试）如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为（ ）A ．2B ．2√3C ．4D ．2+√32【解析】作点P关于BD的对称点P′,作P′Q⊥CD交BD于K,交CD于Q,∵AB=4,∠A=120°，∴点P′到CD的距离为4×√32=2√3，∴PK+QK的最小值为2√3，故选：B. 5．（2020·浙江锦绣育才教育科技集团有限公司初三二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）A B C．D解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴12AB•h=13AB•AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE，即P A+PB D6．（2020·朝阳市英德中学初三零模）如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6B．12C．24D．不能确定【解析】连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∠ABC＝90°，S△AOD＝14S矩形ABCD，∴OA＝OD＝12AC，∵AB＝15，BC＝20，∴AC 25，S △AOD ＝14S 矩形ABCD ＝14×15×20＝75，∴OA ＝OD ＝252， ∴S △AOD ＝S △APO +S △DPO ＝12OA •PE +12OD •PF ＝12OA •（PE +PF ）＝12×252（PE +PF ）＝75， ∴PE +PF ＝12．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选B ．7．（2018·常州市武进区星辰实验学校初二一模）如图，矩形ABCD 中，AB =4,BC =6,P 是CD 边上的中点，E 是BC 边上的一动点，M ,N 分别是AE 、PE 的中点，则随着点E 的运动，线段MN 长为（ ）A B ．C ．D ．不确定【解析】连接AP ，∵矩形ABCD 中，AB =DC =4，P 是CD 边上的中点，∴DP =2，∴AP∵M ，N 分别是AE 、PE 的中点，∴MN 是△AEP 的中位线，∴MN =12AP ．故选A ． 8．（2019·沈阳市第八十五中学）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，点P 在AB 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 等于（ ）A ．75B ．125C ．135D ．145【解析】解析：因为AB =3，AD =4，所以AC =5，1522AO AC == ，由图可知1122AOB S AO PE BO PF =⋅+⋅ ，AO =BO ，则()12AOB S AO PE PF =+ ，因此223122.55AOB S PE PF AO ⨯+=== ，故本题应选B . 9．（2020·张家界市民族中学期末）如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 在CD 边上，且DE =2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PD 的最小值是（ ）A ．B ．C ．9D ．解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P ′，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P ′D =P ′B ，∴P ′D +P ′E =P ′B +P ′E =BE 最小．即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，为BE 的长度．∵直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =9，CE =13CD =3，∴BE A ．10．（2020·河北孟村期末）如图 ，正方形ABCD 的边长为4，M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．【解析】如图，连接BM ∵点B 和点D 关于直线AC 对称，NB =ND则BM 就是DN +MN 的最小值∵正方形ABCD 的边长是4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM 5，故DN +MN 的最小值是5．故选C ．11．（2019·山东罗庄期中）如图，正方形ABCD 的边长为8 ，E 为AB 上一点，若EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BD 于G ，则EF +EG =( )A ．4B ．8C ．82D ．42【解析】解：如图，连接0E ，∵四边形ABCD 是正方形，边长为8，∴AC =BD =,∴OA =OB =,又∵S △ABO =S △AEO +S △EBO ，∴111222OA OB OA EF OB EG ⋅=⋅+⋅即11()22EF EG ⨯=⨯+∴EF +EG =故答案为：D 12．（2020·商丘综合实验中学初中部月考）如图，正方形ABCD 的面积为4，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．√3B ．2C ．3D ．2√3【解析】解：连接BD ，与AC 交于点F ．∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD =PB ，∴PD +PE =PB +PE =BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为4，∴AB =2．又∵△ABE 是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．故选B．13．（2020·江苏海安期中）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE 上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．2C．D．8 3【解析】如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则S△BCE=S△BCP+S△BEP,即12BE⋅h=12BC⋅PQ+12BE⋅PR，∵BE=BC，∴h=PQ+PR，∵正方形ABCD的边长为4，∴h=4×2=.故答案为.二、填空题14．（2020·陕西陇县期末）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．【解析】解：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，∵A、C关于BD对称，∴当P与P′重合时，P A′+P′E的值最小，∵菱形ABCD的周长为16，面积为AB=BC=4，AB·CE′=∴CE ′=，由此求出CE 的长=15．（2019·孟津县黄鹿山乡二中期中）如图，菱形ABCD 中，AB =4，∠B =60°，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，∠EAF =60°，则△AEF 的面积最小值是___．【解析】试题解析：当AE ⊥BC 时，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠ACB =60°，∴∠B =∠ACF =60°，∵AD ∥BC ，∴∠AEB =∠EAD =∠EAF +∠F AD =60°+∠F AD ，∠AFC =∠D +∠F AD =60°+∠F AD ，∴∠AEB =∠AFC ，在△ABE 和△ACF 中，{B ACFAEB AFC AB AC∠∠∠∠＝＝＝，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），∴AE =AF ，∵∠EAF =60°，∴△AEF 是等边三角形，∵当AE ⊥BC 时，AB =4，∴AE =∴△AEF 的面积最小值=1216．（2018·常州市武进区星辰实验学校）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则线段A ′C 长度的最小值是______．【解析】解：如图所示：∵MA ′是定值，A ′C 长度取最小值时，即A ′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 为AD 中点，∴2MD =AD =CD =2，∠FDM =60°，∴∠FMD =30°，∴FD =12MD =1， ∴FM =DM ×cos 30°MC =A ′C =MC ﹣MA ′=2．故答案为2．17．（2020·全国课时练习）如图，菱形ABCD 中，AB =4，∠ABC =60°，点E 、F 、G 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则EG +FG 的最小值为________．解：作点E 关于BD 的对称点E ′，连接E ′F 与BD 的交点即为所求的点G ，如图，∵AB =4，∠ABC =60°， ∴点E ′到CD 的距离为4×2EG +FG的最小值为．故答案为： 18．（2019·辽宁昌图初三月考）如图,在边长为2的菱形ABCD 中, ∠ABC ＝120°, E ,F 分别为AD ,CD 上的动点,且AE +CF =2,则线段EF 长的最小值是__________．【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是边长为2的菱形,120ABC ∠=， ∴,ABD CBD 都是边长为2的正三角形，2AE CF +=，2CF AE AD AE DE ∴=-=-=， 又2,60BD BC BDE C ==∠=∠=， 在BDE 和BCF 中，{DE DFBDE C BD BC =∠=∠=，()SAS BDE BCF ≌，∴ EBD FBC ∴∠=∠， EBD DBF FBC DBF ∴∠+∠=∠+∠，60EBF DBC ∴∠=∠=，又BE BF =， BEF ∴是正三角形，EF BE BF ∴==，当,BE AD ⊥即E 为AD 的中点时,BEEF BE =，∴EF . 19．（2020·木兰县吉兴乡吉兴中学期末）如图，在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_____．【解析】∵在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，∴AB 2+AC 2=BC 2，即∠BAC =90°.又PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF =AP .∵M 是EF 的中点，∴AM =12EF =12AP . 因为AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即2.4，∴AM 的最小值是1.2.20．（2020·河南洛宁期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是边BC 上的一点且BE ＝1，P 为对角线AC 上的一动点，连接PB ，PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是____．【解析】连接DE 于AC 交于点P ′，连接BP ′，则此时△BP ′E 的周长就是△PBE 周长的最小值， ∵BE =1，BC =CD =4，∴CE =3，DE =5，∴BP ′+P ′E =DE =5，∴△PBE 周长的最小值是5+1=6， 故答案为6．21．（2020·山东历下期中）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．【解析】试题解析：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB6，∴EF的最大值为322．（2020·山东邹城初三其他）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是_____．解：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S BEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×3 2﹣12×1×32=92，故答案为92．三、解答题23．（2018·山东青岛经开区实验初级中学初三单元测试）如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．(1)对角线AC的长是________，菱形ABCD的面积是________；(2)如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；(3)如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=12BD=12×8=4，由勾股定理得，AG=3，∴AC=2AG=2×3=6，菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×6×8=24；故答案为6；24；（2）如图1，连接AO，则S△ABD=S△ABO+S△ADO，∴12BD•AG=12AB•OE+12AD•OF，即12×8×3=12×5•OE+12×5•OF，解得OE+OF=4.8是定值，不变；（3）如图2，连接AO，则S△ABD=S△ABO-S△ADO，∴12BD•AG=12AB•OE-12AD•OF，即12×8×3=12×5•OE-12×5•OF，解得OE-OF=4.8，是定值，不变，∴OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE-OF=4.8．24．（2019·广东期中）如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．(1)求证：四边形AGPH是矩形；(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明∵AC=9AB=12BC=15，∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，∴AC2+AB2=BC2，∴∠A=90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP=∠AHP=90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∵四边形AGPH是矩形，∴GH=AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12=15•AP．∴AP=365．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．25．（2019·五华县河口中学初三月考）在矩形ABCD中，已知AD=4，AB=3，点P是直线AD上的一点，PE⊥AC，PF⊥BD，E，F分别是垂足，AG⊥BD与点G，(1) 如图①点P在线段AD上，求PE+PF的值； (2) 如图②点P在直线AD上，求PE-PF的值.【答案】解：(1)如图③，过点A作AG⊥BD于点G，连接PO，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∠BAD＝90°.在Rt△ABD中，AD=4，AB=3，由勾股定理得BD5==.∵AG⊥BD，∴S△ABD=12AB·AD=12BD·AG∴AB·AD=BD·AG∴3×4=5AG，解得AG=125.∵S△AOD=S△AOP+S△POD，∴12OD·AG=12OA·PE +12OD·PF.∵OA=OD，∴AG=PE+PF.∴PE+PF= AG=125；(2)如图④，过点A作AG⊥BD于点G，连接PO，∵S△AOD=S△AOP-S△POD，∴12OD·AG=12OA·PE-12OD·PF，∵OA=OD，∴AG=PE-PF，∴PE-PF= AG=125.。

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中考复习:特殊平行四边形中最小值问题1．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC 上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B ＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A．B．C．D．2．（2022秋•惠济区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC ＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．3B．6C．8D．10 3．（2022秋•河西区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A．B．C．D．4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22B．24C．25D．26 5．（2021秋•保定期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD 上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为4；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（）A．①②③④B．①②④⑤C．②④⑤D．①②④6．（2022秋•横县期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD 上的动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°等到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．B．1.5C．2D．6 7．（2022秋•西山区校级期中）如图边长为5的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝2，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为（）A．B．5C．D．8．（2022秋•启东市期中）如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（）A．4﹣1B．4C．4D．3 9．（2022秋•常州期中）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（）A．1B．2C．D．10．（2022春•江夏区校级月考）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C 重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN 的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．3B．3.6C．3.75D．411．（2022春•韶关期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．8B．4C．4D．4 12．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（）A．4B．C．5D．13．（2022春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（）A．2B．1C．D．14．（2022秋•惠阳区校级期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（）A．2B．C．D．4 15．（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2B．2C．3D．16．（2023•五华县校级开学）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为．17．（2022秋•潜江期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长度的最小值为．18．（2022秋•南沙区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为．19．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA ＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．20．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G 分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为．22．（2022秋•任城区期末）如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是．23．（2022秋•西安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．24．（2022秋•镇平县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N 是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．（培优特训）专项9.6 特殊平行四边形中最小值问题1．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC 上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴，∴，即GH的最小值为，故选：D．2．（2022秋•惠济区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC ＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．3B．6C．8D．10【答案】A【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC 时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，∴AB＝＝3，又∵OC＝OA，∴CD＝DB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝1.5，∴DE＝2OD＝3．故选：A．3．（2022秋•河西区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故选：B．4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22B．24C．25D．26【答案】D【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE，则BE＝2AB＝24，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE＝＝＝26，∴PC+PB的最小值为26，即PC+QD的最小值为26，故选：D．5．（2021秋•保定期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD 上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为4；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（）A．①②③④B．①②④⑤C．②④⑤D．①②④【答案】B【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∠BCD＝90°，∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°，∴∠BCD＝∠PFD，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴DP＝EC．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝4，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，∴当∠P AD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误；④连接PC，∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，由正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故④正确；⑤由EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝×2＝时，EF的最小值等于，故⑤正确；故选：B．6．（2022秋•横县期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD 上的动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°等到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．B．1.5C．2D．6【答案】B【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG⊥AD时，EG最短，即DF最短．∵点G为AC的中点，∴此时EG＝DF＝CD＝1.5．故选：B．7．（2022秋•西山区校级期中）如图边长为5的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝2，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为（）A．B．5C．D．【答案】A【解答】解：过点G作GM⊥AB于M，作GN⊥AD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∵GM⊥AB，GN⊥AD，∴∠FMG＝∠DNG＝90°，∴四边形AMGN是矩形，∴MG＝AN，AM＝NG，∠A＝∠FMG，∵线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，∴EF＝FG，∠EFG＝90°，∴∠EF A+∠GFM＝90°，∵∠GFM+∠FGM＝90°，∴∠EF A＝∠FGM，在△AEF和△MFC中，，∴△AEF≌△MFG（AAS），∴AE＝MF，AF＝MG，∵AE＝2，∴MF＝2，设AF＝x（0≤x≤5），则MG＝x，AM＝x+2，AN＝MG＝x，∴NG＝x+2，∵AB＝5，∴DN＝5﹣x，∴DG＝＝＝，∴当x＝时，DG的最小值为，故选：A．8．（2022秋•启东市期中）如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（）A．4﹣1B．4C．4D．3【答案】A【解答】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，连接BP，由旋转得：AP＝AP′，∠P AP′＝90°，∴∠P AB+∠BAP′＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，∴∠P AB＝∠DAP′，∴△P AB≌△P′AD（SAS），∴P′D＝PB＝1，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，由勾股定理得：BD＝＝4，∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，即BP′长度的最小值为（4﹣1）．故选：A．9．（2022秋•常州期中）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（）A．1B．2C．D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠BCN+∠BNC＝90°，又BN＝AM，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠ABM＝∠BCN，∴∠ABM+∠BNC＝90°，∴∠BPC＝∠BPN＝90°，∴点P的运动轨迹为以BC为直径的一段弧，如图所示，连接AO1交弧于点P，此时，AP的值最小，在Rt△ABO1中，，由勾股定理得，，∴，故选：C．10．（2022春•江夏区校级月考）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C 重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN 的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．3B．3.6C．3.75D．4【答案】B【解答】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝15，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝7.2，∴MN＝7.2，∴BO＝MN＝3.6，故选：B．11．（2022春•韶关期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．8B．4C．4D．4【答案】D【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝＝＝4，∴BF+DE最小值为4．故选：D．12．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（）A．4B．C．5D．【答案】B【解答】解：∵点E是BC边上的一动点，∴AE⊥BC时，AE有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝＝＝5，＝×AC×BD＝BC×AE，∵S菱形ABCD∴AE＝，故AE长的最小值为，故选：B．13．（2022春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（）A．2B．1C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF＝OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，∴OP＝BC，∵AC＝2，则BC＝2，∴OP＝1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．14．（2022秋•惠阳区校级期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（）A．2B．C．D．4【答案】D【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE＝AE，∴∠BED＝∠CEF，在△BDE和△NFE中，，∴△BDE≌△NFE（SAS），∴∠N＝∠CBE＝30°，∴点N在与AN成30°的直线上运动，∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，∴AF'＝AN，∴+1＝（AE+AE），∴AE＝2，∴AC＝4，故选：D．15．（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2B．2C．3D．【答案】C【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，∴∠GHF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，∴∠B＝∠GHF＝90°，由旋转得：EF＝FG，∠EFG＝90°，∴∠EFB+∠GFH＝90°，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF＝∠GFH，∴△EBF≌△FHG（AAS），∴BF＝GH＝1，∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，∴DG的最小值为3，故选：C．16．（2023•五华县校级开学）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为．【答案】9.6【解答】解：当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，连接AM，在平行四边形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC，∴MB＝BC＝6，∴AM＝＝＝8，∵△ABC的面积＝AC•BH＝BC•AM，∴10BH＝12×8，∴BH＝9.6，∵四边形BEDH是矩形，∴DE＝BH＝9.6．∴DE长的最小值是9.6．故答案为：9.6．17．（2022秋•潜江期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长度的最小值为．【答案】【解答】解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，如图，∵∠EDF＝∠EDG+∠GDF＝90°，∠GDM＝∠GDF+∠FDM＝90°，∴∠EDG＝∠FDM，在△EDG和△FDM中，，∴△EDG≌△FDM（SAS），∴MF＝EG＝2，∵MH⊥CD，∴∠HDM+∠DMH＝90°，∵∠GDC+∠HDM＝90°，∴∠GDC＝∠DMH，在△DGC和△MDH中，，∴△DGC≌DMH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为：，故答案为：．18．（2022秋•南沙区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为．【答案】【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠P AQ＝60°，BA＝F A，P A＝QA，∴∠BAP＝∠F AQ，在△BAP和△F AQ中，，∴△BAP≌△F AQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠F AE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，又∵AB＝AF＝3，∴AF＝EF，AE＝2EF，∴EF＝，AE＝2，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝3，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴EH＝DE＝，DH＝EH＝，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，故答案为：．19．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA ＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解答】解：连接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝，∴，∴MN的最小值为；故答案为：．20．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．【答案】①60°；②5．【解答】解：如图所示，以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE，∵△BDE，△ABC均为等边三角形，∴BE＝BD，AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD，∵BE＝BD＝DE＝8，CD＝3，∴当C，D，E三点共线时，CE有最小值，∴CE＝DE﹣CD＝8﹣3＝5，∴AD的最小值为5，此时∠BDC＝60°．故答案为：①60°；②5．21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为．【答案】﹣2【解答】解：取FD的中点H，作FK垂直BC于点K，∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°，∴△AED≌△KFG（HL），∴∠ADE＝∠KFG，又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°，∴∠DFM+∠ADE＝90°，∴∠FMD＝90°，∴MH＝＝2，所以M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，∵MC≥CH﹣MH当M落在CH上时，取到等号即MC达到最小，最小值为CH﹣M′H＝﹣2．22．（2022秋•任城区期末）如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是．【答案】4+2【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠DAE＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD，又∵AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD＝BE，∴△BED的周长＝BE+BD+ED＝CD+BD+ED＝BC+DE，∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，当AD⊥BC时，DE最小，即△BED的周长有最小值，∵AD⊥BC，BC＝4，∴BD＝CD＝2，∴AD＝＝2，∴△BED的周长最小值是BC+DE＝4+2，故答案为：4+2．23．（2022秋•西安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．【答案】4【解答】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∵点E是AB中点，点H是CD中点，∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，∴四边形AECH是平行四边形，∴AH∥CE，∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，∴PH∥EC，∴点P在AH上，∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝4，∴∠AHB＝90°，∴BP的最小值为4，故答案为4．24．（2022秋•镇平县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N 是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．【答案】【解答】解：连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，由勾股定理得：AB＝＝＝10，＝＝，∵S△ABC∴CM＝，∴DE＝＝，故答案为：．。

12特殊平行四边形的最值问题(1) 特殊平行四边形的最值问题知识回顾：1.两点之间的线段最短。

2.点到直线的距离最短是垂线段。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

题讲练：类型一：根据两点之间线段最短求最值1.在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点。

求PB+PE的最小值。

2.在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小。

求这个最小值。

3.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=6.求点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值。

类型二：根据垂线段最短求最值4.在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，点E是BC边上一点，ED⊥XXX于D，DF⊥AC于点F。

求线段EF的最小值。

5.在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB。

1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；2）求EF的最小值。

类型三：根据三角形三边关系求最值6.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q，M是AD上动点，MN平行于XXX于N。

求PM+NQ的最小值。

7.在矩形ABCD中，AB=9，BC=6，∠MON=90°，矩形的顶点C、D分别在边ON、OM上滑动。

在滑动过程中，点A到点O的最大距离为9.求矩形的面积。

8.在正方形ABCD中，边长为4，E、F分别是边AD、DC上两个动点，满足AE=DF，连接AF，BE，它们相交于点H，连接DH。

求线段DH长度的最小值。

巩固练：1.在菱形ABCD中，AC=2，P是对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC边上的中点。

求MP+PN的最小值。

2.在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点。

平行四边形最值问题及解决方法一、边长相关的最值问题。

题目1：在平行四边形ABCD中，AB = 5，AD = 3，对角线AC和BD相交于点O，点E 是边AD上的动点，求OE的最大值。

解析：因为平行四边形的对角线互相平分，所以AO=(1)/(2)AC。

在AOD中，OE是AOD的中线，根据三角形中线的性质，OE<(1)/(2)AD。

当E点与D点重合时，OE取得最大值，此时OE=(1)/(2)AD=(3)/(2)。

题目2：已知平行四边形ABCD中，AD = 6，∠ DAB=60^∘，E是AB上的动点，连接DE，求DE的最小值。

解析：过D作DF⊥ AB于F。

在Rt ADF中，∠ DAB = 60^∘，AD=6，则DF =AD×sin60^∘=6×(√(3))/(2)=3√(3)。

因为垂线段最短，所以当E点与F点重合时，DE取得最小值3√(3)。

题目3：平行四边形ABCD中，AB = 8，BC=10，P是平行四边形ABCD内一点，求PA + PC的最小值。

解析：利用平行四边形的对称性，连接AC、BD相交于点O，PA + PC≥slant AC。

根据平行四边形的性质，AC=√(AB^2)+BC^{2- 2AB× BC×cos∠ ABC}。

因为平行四边形ABCD，AB = 8，BC = 10，设∠ ABC=θAC=√(64 + 100-2×8×10×cosθ)根据平行四边形对角线互相平分，PA+PC的最小值就是AC的长。

由平行四边形性质可知cos∠ ABC=cos∠ BAD在ABC中，AC=√(8^2)+10^{2-2×8×10×cos∠ ABC}=√(64 + 100-160×cos∠ ABC)当cos∠ ABC = 1时（∠ ABC = 0^∘，这种极限情况方便计算最小值）AC=√(64+100 - 160)=2实际上，根据平行四边形性质计算AC=√(8^2)+10^{2-2×8×10×cos∠ ABC}=√(164-160cos∠ ABC)，AC的最小值为2二、面积相关的最值问题。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1．【解析】【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝12∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵BA DABAP DAP AP AP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'＝2AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝12AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC2，∴AC22(2)(2)2+=，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD ＝C 'D ＝2，OD ＝12AC ＝1， ∴C 'G ＝2﹣1，∴S △AC 'C ＝112(21)2122AC C G '•=⨯-=-． 【点睛】 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF ．（1）求证：△DOE ≌△BOF ．（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE =90°时，四边形BFED 为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED ，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．3．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF ，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题4．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH＝3FH．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中，DHG GHFDH GHJDH FGH∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60°，∴△MEJ是等边三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°在△BIF和△MJI中，BI MJB MBF IM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF≌△MJI，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.5．如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF ＝EC ． （1）求证：△AEF ≌△DCE ．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．6．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的关系是___；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．7．点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF ＝30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ∆中，12OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．【详解】（1）OE =OF ．理由如下：如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒．∵在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOE COF AAS ∆≅∆，∴ OE =OF ；（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下：延长EO 交CF 于点G ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠．又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．在AOE ∆和COG ∆中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()AOE COG ASA ∆≅∆，∴ OG =OE ，∴Rt EFG ∆中，12OF EG =，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ． 证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，同理可得：OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．8．在ABC 中，ABC 90∠=，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．()1求证：BD DF =；()2求证：四边形BDFG 为菱形；()3若AG 5=，CF 7=，求四边形BDFG 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】()1利用平行线的性质得到90CFA ∠=，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，()2利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG 为平行四边形，再利用()1得结论即可得证，()3设GF x =，则5AF x =-，利用菱形的性质和勾股定理得到CF 、AF 和AC 之间的关系，解出x 即可．【详解】()1证明：AG //BD ，CF BD ⊥，CF AG ∴⊥，又D 为AC 的中点， 1DF AC 2∴=， 又1BD AC 2=， BD DF ∴=，()2证明：BD//GF ，BD FG =， ∴四边形BDFG 为平行四边形， 又BD DF =，∴四边形BDFG 为菱形，()3解：设GF x =，则AF 5x =-，AC 2x =，在Rt AFC 中，222(2x)(7)(5x)=+-，解得：1x 2=，216x (3=-舍去)， GF 2∴=，∴菱形BDFG 的周长为8．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．9．如图1，若分别以△ABC 的AC 、BC 两边为边向外侧作的四边形ACDE 和BCFG 为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C =90°时，求证：△ABC 与△DCF 的面积相等．（2）引申：如果∠C ≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC 的三边为边向外侧作的四边形ACDE 、BCFG 和ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC 中，AC =3，BC =4．当∠C =_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因为S△ABC=12 BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵{AC DCACB DCFBC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC与△DFC的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴{APC DQCACP DCQAC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC 是直角三角形，即∠C 是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S 阴影部分面积和=3S △ABC =3×12×3×4=18． 考点：四边形综合题10．已知ABC ，以AC 为边在ABC 外作等腰ACD ，其中AC AD =.（1）如图①，若AB AE =，60DAC EAB ∠=∠=︒，求BFC ∠的度数.（2）如图②，ABC α∠=，ACD β∠=，4BC =，6BD =.①若30α=︒，60β=︒，AB 的长为______.②若改变,αβ的大小，但90αβ+=︒，ABC 的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律.【答案】（1）120°；（2）①25；②25【解析】试题分析：（1）根据SAS ，可首先证明△AEC ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC 的度数；（2）①如图2，在△ABC 外作等边△BAE ，连接CE ，利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ，可证∠EBC=90°，EC=BD=6，因为BC=4，在Rt △BCE 中，由勾股定理求BE 即可； ②过点B 作BE ∥AH ，并在BE 上取BE=2AH ，连接EA ，EC ．并取BE 的中点K ，连接AK ，仿照（2）利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ，求得EC=DB ，利用勾股定理即可得出结论． 试题解析：解：（1）∵AE=AB ，AD=AC ，∵∠EAB=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC ，∠DAB=∠DAC+∠BAC ，∴∠EAC=∠DAB ，在△AEC和△ABD中{AE ABEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，故答案为120°；（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．由（1）可知△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∴EC=BD=6，∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．在RT△EBC中，EC=6，BC=4，∴22EC BC-2264-∴5②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积不变化，以下证明：如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．∵K为BE的中点，BE=2AH，∴BK=AH．∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形．又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形．∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=90°．∴AK是BE的垂直平分线．∴AB=AE．∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC与△BAD中{AB AEEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=6．在RT△BCE中，∴AH=1 2∴S△ABC=1 2考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；③同②的方法可证．试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，∵OE⊥AB，∴OE=12 AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H∴∠BHE=∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90°∴四边形EFBH为矩形∴BF=EH，EF=BH∵四边形ABCD为正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°∴∠AOE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H∴∠EHB=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°∴四边形HBFE为矩形∴BF=HE，EF=BH∵四边形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，∴∠AOE+∠AOG=90°．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOG+∠BOG=90°，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90°．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．3．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形ADBC=32．【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=12AB，BE=12AB，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33∴S平行四边形BCFD=3×3393，S△ACF=12×3×3332，S平行四边形ADBC=32．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.5．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）43；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度7．（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（应用）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，菱形CEFG的面积是_______．（只填结果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，利用SAS 易证得△BCE ≌△DCG ，则可得BE=DG ；应用：由AD ∥BC ，BE=DG ，可得S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，又由AE=3ED ，可求得△CDE 的面积，继而求得答案．试题解析：探究：∵四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，∴BC=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠A ，∠ECG=∠F ．∵∠A=∠F ，∴∠BCD=∠ECG ．∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD ，即∠BCE=∠DCG ．在△BCE 和△DCG 中，BC CD BCE DCG CE CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴BE=DG ．应用：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∵BE=DG ，∴S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，∵AE=3ED ，∴S △CDE =1824⨯= , ∴S △ECG =S △CDE +S △CDG =10∴S 菱形CEFG =2S △ECG =20.8．（1）问题发现：如图①，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB的位置关系为 ； （2）深入探究：如图②，在等腰三角形ABC 中，BA=BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC=∠AMN ，AM=MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在正方形ADBC 中，AD=AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC=10，CN=2，试求EF 的长．【答案】（1）NC ∥AB ；理由见解析；（2）∠ABC=∠ACN ；理由见解析；（3）241；【解析】分析：（1）根据△ABC ，△AMN 为等边三角形，得到AB=AC ，AM=AN 且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM ，即∠BAM=∠CAN ，证明△BAM ≌△CAN ，即可得到BM=CN ．（2）根据△ABC ，△AMN 为等腰三角形，得到AB ：BC=1：1且∠ABC=∠AMN ，根据相似三角形的性质得到AB AC AM AN＝，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN ，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）如图3，连接AB ，AN ，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出BM AB CN AC＝，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案． 详解：（1）NC ∥AB ，理由如下：∵△ABC 与△MN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN =60°，∴∠BAM=∠CAN ，在△ABM 与△ACN 中， AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴∠B=∠ACN=60°，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，∴CN ∥AB ；（2）∠ABC=∠ACN ，理由如下： ∵AB AM BC MN==1且∠ABC=∠AMN ， ∴△ABC ～△AMN ∴AB AC AM AN＝， ∵AB=BC ， ∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC ）， ∵AM=MN∴∠MAN=12（180°﹣∠AMN ）， ∵∠ABC=∠AMN ，∴∠BAC=∠MAN ，∴∠BAM=∠CAN ，∴△ABM ～△ACN ，∴∠ABC=∠ACN ；（3）如图3，连接AB ，AN ， ∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC ﹣∠MAC=∠MAN ﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN ，∵AB AM BC AN == ∴AB AC AM AN＝， ∴△ABM ～△ACN ∴BM AB CN AC ＝，∴CN AC BM AB ==cos45°=2，∴=， ∴BM=2，∴CM=BC ﹣BM=8，在Rt △AMC ，==，∴EF=AM=241．点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．9．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.10．如图1，若分别以△ABC 的AC 、BC 两边为边向外侧作的四边形ACDE 和BCFG 为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C =90°时，求证：△ABC 与△DCF 的面积相等．（2）引申：如果∠C ≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC 的三边为边向外侧作的四边形ACDE 、BCFG 和ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC 中，AC =3，BC =4．当∠C =_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC ，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC ，所以△ABC ≌△DFC ，从而△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ．得到四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，AC=CD ，BC=CF ，∠ACP=∠DCQ ．所以△APC ≌△DQC ．于是AP=DQ．又因为S△ABC=12 BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵{AC DCACB DCFBC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC与△DFC的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴{APC DQCACP DCQAC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．考点：四边形综合题。