当前位置：文档之家 › 圆的方程

圆的方程

  • 格式：docx
  • 大小：779.14 KB
  • 文档页数：10

第八讲 圆的方程A 组一、选择题1．若点(2,1)a a -在圆22(1)5x y ++=的内部，则a 的取值范围是 ( ) A ．(,1]-∞ B ．(1,1)- C ．(2,5) D ．(1,)+∞[答案] B[解析] 点(2,1)a a -在圆22(1)5x y ++=的内部，则22(2)5a a +<，解得11a -<<.2．点22221,11t t P t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭与圆221x y +=的位置关系是 ( ) A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上 D ．与t 有关[答案] C[解析] 1PO ===，故点P 在圆上． 3．若点(1,1)P 为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=[答案] D[解析] 圆心(3,0)C ，12PC k =-，又点P 是弦MN 的中点，PC MN ∴⊥，1MN PC k k ∴=-，2MNk ∴=， ∴弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=. 4．点M 在圆22(5)(3)9x y -+-=上，则点M 到直线3420x y +-=的最短距离为( )A ．9B ．8C ．5D ．2 [答案] D[解析] 圆心(5,3)到直线3420x y +-=的距离为5d ==.又3r =，则M 到直线的最短距离532-=.5．若圆22230x y ax by +-+=的圆心位于第三象限，那么直线0x ay b ++=一定不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] D[解析] 圆22230x y ax by +-+=的圆心为3,2a b ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则0a <，0b >.直线1b y x a a =--，其斜率10k a =->，在y 轴上的截距为0ba->，所以直线不经过第四象限．6．在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ( )A ．B ．C ．D ．[答案] B[解析] 圆22260x y x y +--=化成标准方程为22(1)(3)10x y -+-=，则圆心坐标为(1,3)M ，由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则AC =.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC BD ⊥，E 为AC 和BD 的交点，则由垂径定理可是BD ===.从而四边形A B C D的面积为12A CB D 1052=⨯12=7．若点(2,1)a a -在圆222250x y y a +--=的内部，则a 的取值范围是 ( )A ． 4(,]5-∞B ．44(,)33-C ．3(,)4-+∞D ．3(,)4+∞[答案] D[解析] 化圆的标准方程为222(1)51x y a +-=+，点(2,1)a a -的圆的内部，则222(2)(11)51a a a +--<+，解得34a >. 8．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则22(2)(2)a b -+-的最小值为 ( )AB ．5C ．D ．10 [答案] B[解析] 由题意，得直线l 过圆心(2,1)M --， 则210a b -+=，则21b a =-+，所以22222(2)(2)(2)(212)555a b a a a -+-=-+-+-=+≥，所以22(2)(2)a b -+-的最小值为5. 二、填空题9．已知圆C 经过(5,1)A 、(1,3)B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________. [答案] 22(2)10x y -+=[解析] 设所求圆C 的方程为222()x a y r -+=， 把所给两点坐标代入方程得222222(5)1(1)3a ra r⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2210a r =⎧⎨=⎩， 所以所求圆C 的方程为22(2)10x y -+=.10．以直线240x y +-=与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________.[答案] 22(4)20x y +-=或22(2)20x y -+= [解析] 令0x =得4y =，令0y =得2x =，∴直线与两轴交点坐标为(0,4)A 和(2,0)B ，以A 为圆心过B 的圆方程为22(4)20x y +-=，以B 为圆心过A 的圆方程为22(2)20x y -+=.11．若实数x 、y 满足224240x y x y ++--=________.[答案]3[解析] 的意义．实数x 、y 满足方程224240x y x y ++--=，所以(,)x y 为方程所表示的曲线上的动点=，表示动点(,)x y 到原点(0,0)的距离．将圆的方程写成标准形式得22(2)(1)9x y ++-=，它表示以(2,1)C -为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．三、解答题12.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上.(1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程．[解析] (1)因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-.又因为点(1,1)T -在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得点A 的坐标为(0,2)-．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(2,0)M ． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又|AM ==从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.13．求圆心在直线40x y +=上，且与直线:10l x y +-=切于点(3,2)P -的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.[解析] 设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意有22240213(3)(2)a b b a a b r+=⎧⎪+⎪=⎨-⎪⎪-+--=⎩ ，化简得222405(3)(2)a b b a a b r ⎧+=⎪=-⎨⎪-+--=⎩，解得2148a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩. 所求圆的方程为22(1)(4)8x y -++=，它是以(1,4)-为圆心，以为半径的圆． 14．判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程. (1)22210x y x +++=； (2)22210x y ay ++-=； (3)22201210x y x +++=； (4)2220x y ax ++=.[解析] (1)原方程可化为22(1)0x y ++=，它表示点(1,0)-，不表示圆． (2)原方程可化为222()1x y a a ++=+，它表示圆心为(0,)a -，标准方程为222()x y a ++=.(3)原方程可化为22(10)210x y ++=-<，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为222()x a y a ++=.①当0a =时，方程表示点(,0)a -即(0,0)，不表示圆； ②当0a ≠时，方程表示以(,0)a -为圆心，半径为||a 的圆， 标准方程为222()x a y a ++=.15．已知方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆. (1)求实数m 的取值范围；(2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程．[解析] (1)要使方程表示圆，则22244(3)4(14)4(169)0m m m ++--+>，即2244424364326464360m m m m m +++-+-->， 整理得27610m m --<，解得117m -<<.(2)r ==07r ∴<≤. (3)设圆心坐标为(,)x y ，则2341x m y m =+⎧⎨=-⎩.消去m 可得21(3)(1)4x y -=+．117m -<<，∴2047x <<.故圆心C 的轨迹方程为2120(3)(1)(4)47x y x -=+<<． B 组一、选择题1．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=[答案] A[解析] 设圆上任一点为00(,)Q x y ，PQ 的中点为(,)M x y ，则004222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩,解得002422x x y y =-⎧⎨=+⎩，因为点Q 在圆224x y +=上，所以22(24)(22)4x y -++=，即22(2)(1)1x y -++=.2． 由直线2y x =+上的点P 向圆22:(4)(2)1C x y -++=引切线PT (T 为切点)，当PT 最小时，点P 的坐标是( )A ．(1,1)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(1,3)[答案] B[解析] 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT =故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线2y x =+，则直线PC 的方程为2(4)y x +=--，即2y x =-+，联立方程22y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得点P 的坐标为(0,2)． 3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（ ）A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=[答案] A[解析] 方法一：设圆心坐标为(0,)b ，，解得2b =故圆的方程为22(2)1x y +-=．方法二(数形结合法)：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为22(2)1x y +-=．方法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B ， D ，又由于圆心在y 轴上，排除C ．4．如果方程222240(40)x y Dx Ey F D E F +++-=+->所表示的曲线关于y x=对称，则必有（ ）A ．D E =B ．D F =C ．E F =D ．DEF == [答案] A[解析] 由已知2240D E F +->，可知方程2240x y Dx Ey F +++-=表示的曲线为圆．若圆关于y x =对称，则知该圆的圆心在直线y x =上，则必有D E =.5．方程(0x y +-=所表示的图形是（ ）A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆[答案] D[解析] 方程(0x y +-=即224x y +=或22104x y x y +-=⎧⎨+≥⎩.因为直线圆相交，所以要去掉直线在圆内部的部分，所以方程(0x y +-=所表示的图形是两条射线及一个圆。

合集下载

圆的标准方程求圆心公式

圆的标准方程求圆心公式

圆的标准方程求圆心公式
圆的标准方程是一种数学表达方式，用于描述圆的形状和位置。

它通常表示为：
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
其中，(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

通过这个方程，我们可以求出圆的各种性质，如直径、周长、面积等。

而求圆心的公式则可以通过观察圆的标准方程得出。

根据圆的标准方程，我们知道圆心的坐标为(h, k)。

因此，我们只需要将方程中的x和y分别代入圆心的坐标，得到两个方程，然后解方程即可求出圆心的坐标。

例如，对于标准方程(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，我们可以得出以下两个方程：
x - 2 = 0
y + 3 = 0
将它们解方程得到x=2，y=-3，因此圆心坐标为(2, -3)。

需要注意的是，圆的标准方程只适用于描述平面直角坐标系中的圆，而对于极坐标系或其他坐标系中的圆，可能需要使用不同的方程或求解方法。

- 1 -。

高中数学圆及其方程

高中数学圆及其方程

圆及其方程一、公式及相关内容（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （圆心及半径）（2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++= （无xy 项，22,x y 系数相等且不为零）（3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上述方程中均有三个字母系数，因此确定一个圆需要三个独立的条件。

（4）过圆 222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=圆 222xy r +=的斜率为k 的切线方程为y kx =± （掌握推导方法）（5）经过两圆：221110x y D x E y F ++++=，222220x y D x E y F ++++=交点的圆的方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++= 当1λ=-时，得到两圆公共弦所在直线方程121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=（6）判断点与圆的位置关系：取决于点与圆心的距离与圆半径的比较结果 （7）直线与圆的位置关系：一：圆心到直线的距离与圆半径比较二：直线与圆方程组成的方程组的解的个数：∆法（8）圆与圆位置关系：圆心距d 与两圆半径,R r 的比较：d R r d R r R r d R r d R r d R r>+⎧⎪=+⎪⎪-<<+⎨⎪=-⎪<-⎪⎩（9）公切线求法：通过比例求得公切线与连心线的交 点A 的坐标，用点斜式设公切线的 方程，然后求得斜率k ，得到公切 线方程。

外离 外切 相交 内切 内含二 求圆的方程1. 求经过两点(1,4),(3,2)A B -，且圆心在y 轴上的圆的方程。

（标准方程法，垂径弦性质）2.（1）已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆的方程； （2）求过点(1,0),(3,0),(0,1)A B C -的圆的方程。

圆方程公式

圆方程公式

圆方程公式
圆方程：(x - a)² + (y - b)² = r²
圆方程是一种非常常见的数学方程，它可以用来描述圆形物体的形状和特性。

圆方程是平面几何中最基本的几何形状之一，它表示一个圆形的形状。

圆方程的参数是x和y的坐标，以及半径r。

首先，我们来看看圆方程的标准形式，即(x - a)² + (y - b)² = r²。

其中，a和b分别代表圆心的横纵坐标，而r则表示圆的半径。

我们可以利用圆方程来计算圆上任意一点的坐标，只需要将该点的极坐标转换为直角坐标即可。

此外，我们也可以利用圆方程来求解圆的面积和周长。

要求圆的面积，我们只需要把圆方程代入πr²中，即可求出圆的面积。

要求圆的周长，则需要把圆方程代入2πr中，即可求出圆的周长。

圆方程还可以用来研究图像的变形，即在图像的变形过程中，圆的形状是如何发生变化的。

只要将变形前和变形后的圆方程对比，就可以知道变形前后圆的变化情况。

总之，圆方程是一种非常常见的数学方程，它可以用来描述圆形物体的形状和特性，也可以用来计算圆的面积和周长，以及研究图像变形的规律。

圆的标准方程

圆的标准方程

圆的标准方程圆是平面上一点到一个固定点的距离等于一个固定长度的点的集合。

在解决圆相关的问题时，我们通常会用到圆的标准方程。

圆的标准方程可以帮助我们更方便地描述圆的性质和特征，从而更好地解决与圆相关的数学问题。

圆的标准方程可以表示为，(x h)² + (y k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。

在这个方程中，我们可以看到，圆的标准方程由两部分组成，第一部分是(x h)²，表示圆上任意一点的横坐标与圆心横坐标的差的平方；第二部分是(y k)²，表示圆上任意一点的纵坐标与圆心纵坐标的差的平方；等号右边的r²则表示圆的半径的平方。

通过这个方程，我们可以清晰地了解到圆的特性，圆上任意一点到圆心的距离等于半径r。

这也是圆的定义之一，因此圆的标准方程可以帮助我们更好地理解圆的性质。

接下来，我们来看一个例子，已知圆心坐标为(3, 4)，半径为5，求圆的标准方程。

根据圆的标准方程，我们可以直接将已知的圆心坐标和半径代入方程中，(x 3)² + (y 4)² = 5²。

通过这个例子，我们可以更清晰地理解圆的标准方程的应用方法。

当我们已知圆的圆心坐标和半径时，可以直接代入方程中，从而得到圆的标准方程。

除了求解圆的标准方程外，我们还可以利用圆的标准方程来解决一些与圆相关的几何问题。

例如，求圆与直线的交点、判断点是否在圆内外、求圆的切线等问题都可以通过圆的标准方程来进行分析和求解。

在实际应用中，圆的标准方程也经常用于计算机图形学、工程设计等领域。

通过圆的标准方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质，从而更好地应用于实际工作中。

总之，圆的标准方程是描述圆的重要工具，它可以帮助我们更清晰地了解圆的性质和特征，解决与圆相关的数学问题。

通过学习和掌握圆的标准方程，我们可以更好地理解和运用圆的知识，为我们的学习和工作带来便利和帮助。