等差数列的概念及通项公式练习及答案

4.2.1(1) 等差数列的概念及通项公式答案1．数列{a n }中，a 1＝5，a n ＋1＝a n ＋3，那么这个数列的通项公式是( )A ．3n －1B ．3n ＋2C ．3n －2D ．3n ＋1答案 B解析 因为a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是以5为首项，3为公差的等差数列，则a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2，n ∈N *.2．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x (b ≠0，x ≠0)，则a b等于( ) A.14 B.12 C.13 D.23答案 C解析 ∵b 是x ,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2， 又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ，∴a ＝x 2，∴a b ＝13. 3．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，则当a n ＝298时，n 等于( )A ．90B ．96C ．98D ．100答案 D解析 由题意知1＋3(n －1)＝298，解得n ＝100.4．(多选)已知在等差数列{a n }中，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则公差d 等于( )A ．0 B.12C ．1D ．2 答案 AB解析 根据题意知，a 4＋a 8＝a 23⇒a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝2，则4＋10d ＝(2＋2d )2，解得d ＝12或d ＝0. 5．在数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝8，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2(n ＋1)2B ．a n ＝4(n ＋1)C ．a n ＝8n 2D ．a n ＝4n (n ＋1)答案 A 解析 由题意得a n ＋1－a n ＝2，故数列{a n }是首项为a 1＝22，公差为2的等差数列，所以a n ＝22＋2(n －1)＝2n ＋2，故a n ＝2(n ＋1)2.6．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n ，a 1＝2，则a 20等于( ) A.1152 B.8115 C.16115 D.2115答案 D解析 对a n ＋1＝a n 1＋3a n 取倒数得1a n ＋1＝1a n＋3， ∴1a n ＋1－1a n ＝3， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列． ∴1a n ＝12＋(n －1)·3 ＝3n －52＝6n －52， ∴a n ＝26n －5， ∴a 20＝2115. 7．在－3和6之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则公差为________．答案 3解析 设该等差数列为{a n }，其首项为a 1，公差为d ，由题意知，a 1＝－3，a 4＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，a 1＋3d ＝6，解得d ＝3. 8．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是________．答案 a ＝－b 或a ＝3b解析 由等差中项的定义知，x ＝a ＋b 2，x 2＝a 2－b 22， ∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0，∴(a －3b )(a ＋b )＝0，∴a ＝3b 或a ＝－b .9．在等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝2，d ＝3，n ＝10，求a n ；(2)已知a 1＝3，a n ＝21，d ＝2，求n .解 (1)a 10＝a 1＋(10－1)d ＝2＋9×3＝29.(2)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得3＋2(n －1)＝21，解得n ＝10.10．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7.(1)求数列的第10项；(2)问112是数列{a n }的第几项？(3)在80到110之间有多少项？解 设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝3，(1)a 10＝a 1＋9d ＝－2＋27＝25.(2)a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，由112＝3n －5，解得n ＝39.所以112是数列{a n }的第39项．(3)由80<3n －5<110，解得2813<n <3813，所以n 的取值为29,30，…，38，共10项．11．“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 lg x ，lg y ，lg z 成等差数列⇒2lg y ＝lg x ＋lg z ⇒lg(x ·z )＝lg y 2⇒y 2＝xz ，但y 2＝xz 不能保证x ，y ，z 均为正数，故选A.12．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫83，3B.⎣⎡⎦⎤83，3C.⎝⎛⎦⎤83，3D.⎣⎡⎭⎫83，3答案 C解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，n ∈N *，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 13．正数a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b，则α＋β的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 由题意可知，a ＋b ＝1，α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋a ＋b a ＋a ＋b b ＝3＋b a ＋a b≥3＋2b a ·a b＝5， 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 14．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 答案 4n －3，n ∈N *解析 ∵a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，∴a 2n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.又a n >0，∴a n ＝4n －3，n ∈N *.15．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 021共2 021个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则该数列共有( )A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项答案 D解析 被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{a n }，则a n ＝8＋15(n －1)＝15n －7，令a n ＝15n －7≤2 021，解得n ≤135315， 所以该数列的项数共有135项．16．若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (d 为常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列．例如c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n ＋9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足：a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n .(1)求证：数列{a n }为准等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 因为a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N *)，① 所以a n ＋1＋a n ＋2＝2(n ＋1)，② ②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)， 所以数列{a n }是公差为2的准等差数列．(2)解 因为a 1＝a ，a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N *)， 所以a 1＋a 2＝2×1，即a 2＝2－a . 因为a 1，a 3，a 5，…是以a 为首项，2为公差的等差数列， a 2，a 4，a 6，…是以2－a 为首项，2为公差的等差数列，所以当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋⎝⎛⎭⎫n 2－1×2＝n －a ，当n 为奇数时，a n ＝a ＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1×2＝n ＋a －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数.。

苏教版必修5高中数学2.2.1《等差数列的概念及通项公式》练习题2．2.1 等差数列的概念及通项公式1．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差．2．如果数列{an}是公差为d的等差数列，则a2＝a1＋d；a3＝a2＋d＝a1＋2d． 3．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．4．等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d＝a2＋(n－2)d＝a3＋(n－3)d，因此等差数列的通项公式又可以推广到an＝am＋(n－m)d(n＞m)．5．由an＝am＋(n－m)d，得d＝连线的斜率．6．如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A可以用a，b表示为A＝an－am，则d就是坐标平面内两点A(n，an)，B(m，am)n－ma＋b2，A称为a，b 的等差中项．7．如果数列{an}的通项公式an＝a・n＋b，则该数列是公差为a的等差数列． 8．等差数列的性质．若{an}是等差数列，公差为d，则：(1)an，an－1，…，a2，a1亦构成等差数列，公差为－d； (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…(m∈N)也构成等差数列，公差为md；(3)λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…(λ，μ是常数)也构成等差数列，公差为λd； (4)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N)是等差数列通项公式的推广，它揭示了等差数列中任意两项之间的关系，还可变形为d＝***an－am； n－m(5)若m，n，k，l∈N，且m＋n＝k＋l，则am＋an＝ak＋al，即序号之和相等，则它们项的和相等，例如：a1＋an＝a2＋an－1＝… ?基础巩固一、选择题1．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(B)A．1 B．2 C．3 D．4a1＋a5解析：由等差中项的性质知a3＝＝5，又a4＝7，∴公差d＝a4－a3＝7－5＝2.22．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则(A)A．a＝2，b＝5 B．a＝－2，b＝5 C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝－5解析：考查项数与d之间关系．3．首项为－20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(C)A．d＞ B．d≤ C.＜d≤ D.≤d＜?a10＞0，??－20＋9d＞0，20?5即?即＜d≤.2??a9≤0，??－20＋8d≤0，92209522095220952解析：由题意知?4．已知a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax＋2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(D)A．1个 B．0个 C．2个 D．1个或2个解析：∵Δ＝(2b)－4ac＝(a＋c)－4ac，∴Δ＝(a－c)≥0.∴A与x轴的交点至少有1个．故选D.5．(2021・重庆卷)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(B)222A．5 B．8 C．10 D．14解析：设出等差数列的公差求解或利用等差数列的性质求解．方法一设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.方法二由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8. 二、填空题6．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________．解析：根据等差数列的性质，a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝37. ∴原式＝37＋37＝74. 答案：747．(2021・广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．解析：由a3＋a8＝10得a1＋2d＋a1＋7d＝10，即2a1＋9d＝10， 3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2（2a1＋9d）＝20.答案：208．在等差数列{an}中，a3＝50，a5＝30，则a7＝________．解析：2a5＝a3＋a7，∴a7＝2a5－a3＝2×30－50＝10. 答案：10 三、解答题9．在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7. (1)求a9；(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．解析：(1)设首项为a1，公差为d，则2a1＋5d＝12， a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2，∴a9＝a4＋5d＝7＋5×2＝17.(2)由(1)知，an＝2n－1，由101＜an＜1 000知 101＜2n－1＜1 000， 1 001∴51＜n＜. 2∴共有项数为500－51＝449.111110．已知数列{an}中，a1＝，＝＋，求an.2an＋1an3111?1?111n＋5解析：由＝＋知??是首项为2，公差为的等差数列，∴＝2＋(n－1)×＝. an＋1an3?an?3an33∴an＝3*(n∈N)． n＋5?能力升级一、选择题11．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(B)A．0 B．3 C．8 D．11解析：由b3＝－2和b10＝12得b1＝－6，d＝2，∴bn＝2n－8，即an＋1－an＝2n－8，由叠加法得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(a8－a7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.∴a8＝a1＝3.12．等差数列{an}中，前三项依次为：151，，，则a101等于(D) x＋16xx*12A．50 B．13 332C．24 D．83解析：由11511＋＝2×解得x＝2，故知等差数列{an}的首项为，公差d＝，故a101x＋1x6x31211262＝a1＋100d＝＋100×＝＝8. 3123313．已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则等于(B)11A. B. 4211C．－ D．－24解析：设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝＝－2，故知－4－（－1）－5＋1＝－1，b2＝4－12a2－a1b2a2－a11＝. b22二、填空题14．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 21－714解析：∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列，其公差为＝＝7.22∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35. 答案：3515．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a2－4，则an＝________．解析：利用等差数列的通项公式求解．设等差数列公差为d，则由a3＝a2－4，得1＋2d＝(1＋d)－4，∴d＝4.∴d＝±2.由于该数列为递增数列，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N)．答案：2n－1(n∈N) 三、解答题16．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列{an}的通项公式．解析：由题设条件可得*2222??a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，? ?（a1＋d）（a1＋3d）（a1＋5d）＝45，???a1＝－1，??d＝2??a1＝11，??d＝－2.解得?或?*∴数列{an}的通项公式为an＝2n－3或an＝13－2n，n∈N. 17．已知111222，，是等差数列，求证：a，b，c是等差数列． b＋cc＋aa＋b112＋＝， b＋ca＋bc ＋a证明：由已知条件，得∴2b＋a＋c2＝. （b＋c）（a＋b）c＋a∴(2b＋a＋c)(a＋c)＝2(b＋c)(a＋b)．∴a＋c＝2b，即a，b，c是等差数列．222222感谢您的阅读，祝您生活愉快。

数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的n S n a 形式表示为。

11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。

{}na 分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。

n a n S 解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。

1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{}的通项公式为n 的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；n a n a n a （2）前n 项和法：若数列{}的前n 项和是的形式（A ，B 是常数），则{}是等差数列。

n a n S 2n S An Bn =+n a 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例〗已知数列{}的前n 项和为，且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A （1）求证：{}是等差数列；1nS （2）求的表达式。

n a 分析：（1）与的关系结论；1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→（2）由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项，以2为公差的等差数列。

1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2或S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )1．(2015·重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.2．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B 解析 S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( ) A ．2 B ．10(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案 (1)C (2)B解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝52.(2)因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3， 故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210.思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )B ．1C ．2D ．3 答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5.故选A.(2)∵S n ＝n a 1＋a n2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2，∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，探求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A解析 (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 引申探究例4中，若条件“a 1＝20”改为a 1＝－20，其他条件不变，求当n 取何值时，S n 取得最小值，并求出最小值．解 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴a 13＝0.又a 1＝－20，∴a 12<0，a 14>0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最小值， 最小值S 12＝S 13＝13a 1＋a 132＝－130.思维升华 (1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ②邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________． 答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，选C. (3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n n －12d ＝20n －n n －12×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.(3)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6 D ．S 7思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项． 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9， 所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝a 11＋a 100×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝a 1＋a 110×1102＝a 11＋a 100×1102＝－110.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，所以S n 的最大值为S 5. 答案 (1)A (2)－110 (3)B温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *； (2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定． [失误与防范]1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.2．(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，所以a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，所以a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验为原方程的解，故选C.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11答案 B解析 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6. ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C. 6．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14.7．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ， ∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4， 解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n 2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.10．等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大解 方法一 由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得≤n ≤，故当n ＝7时，S n 最大． 方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0， 所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7 D ．S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n ＜n ＋1a 1＋a n ＋12n ＋1，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋1a 1＋a k ＋12＝k ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 14．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－8，－7)解析 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117， 所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，所以a 3＜a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， 所以S n ＝na 1＋n n －12×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18.所以当n ＝1时，S n 最小， 最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ， 所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列，故c ＝－12.。

数列求通项公式练习题及答案练题
1. 求等差数列的通项公式，已知公差为3，首项为5。

2. 求等差数列的通项公式，已知首项为2，末项为20，公差为2。

3. 求等差数列的通项公式，已知首项为10，公差为-2，求第6项。

4. 求等差数列的通项公式，已知首项为1，公差为0.5，求第10项。

5. 求等差数列的通项公式，已知首项为3，公差为-1/2，求第8项。

答案
1. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
公差为3，首项为5，代入公式得：$a_n = 5 + (n-1) \cdot 3$
2. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为2，末项为20，公差为2，代入公式得：$20 = 2 + (n-1) \cdot 2$
化简为：$18 = (n-1) \cdot 2$
3. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为10，公差为-2，求第6项，代入公式得：$a_6 = 10 + (6-1) \cdot -2$
4. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为1，公差为0.5，求第10项，代入公式得：$a_{10} = 1 + (10-1) \cdot 0.5$
5. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为3，公差为$-\frac{1}{2}$，求第8项，代入公式得：$a_8 = 3 + (8-1) \cdot -\frac{1}{2}$
以上是数列求通项公式练习题及答案。

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。

{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。

{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

等差数列的概念及通项公式知识要点：1．等差数列的通项公式：若等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则n a =1(1)a n d +-=d m n a m )(-+。

2．等差数列的判定常用方法：（1）定义法：1n n a a d --=)2(≥n （2）中项法：112n n n a a a -+=+)2(≥n ； （3）通项法：n a dn c =+；3．简单性质: 若m n p q,+=+则m n p q a a a a +=+ 一、填空题：1、等差数列n {a }的公差0d <，且2412a a ,=，248a a +=，则数列n {a }的通项公式为102n a n =-2、等差数列n {a }中，1200932011a ,a ==，则公差d = 13、数列n {a }中，3721a ,a ,==又数列11n {}a +是等差数列，则8a =11134、数列}{n a 中，103,a a 是方程x 2-3x-5=0的两个根，若}{n a 是等差数列，则85a a +＝5、有一组数据：123n x ,x ,x ,,x （123n x x x x ≤≤≤≤ ），它们的算数平均值为10，若去掉其中最大的n x ，余下数据的算数平均值为9，则n x 关于n 的表达式为9n x n =+6、数列n {a }中，1214a ,a ==且21n n n a a a (n N )*++=-∈，则2009a =4-7、已知数列n {a }的通项公式为242n n a n+=，则它的最小项为 2二、选择题：8、已知}{n a 是等差数列，则下列数列}{n b 不一定是等差数列的是 （ ）(A)k a b n n += (B)n n a c b ⋅= (C)k a c b n n +⋅= (D)2n n a b =9、22)()(b a b a --+与的等差中项为 （ ） (A)22b a + (B)ab 2- (C)ab 4 (D)ab 210、若y x ≠，两个数列y b b b x y a a x ,,,,,,,32121和各组成等差数列，那么1212b b a a --等于 （ ）(A)43 (B)34 (C)32(D)不能确定11、一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是 （ ） (A)－2 (B)－3 (C)－4 (D)－512、依次写出数1231a ,a ,a ,= 法则如下：如果2n a -为正整数且未写出过，则写12n n a a +=-，否则就写13n n a a +=+，那么6a = （ C ）2465A B C D 、、、、提示：此数列的项依次为1，4，2，5，3，6， 三、解答题：1、根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：14916(1),,,,24578101113--⨯⨯⨯⨯ ； 2(1)(31)(31)nn n a n n =--+（2）080880888;.,.,., （2）811910n ⎛⎫-⎪⎝⎭（3）115132961248163264-- ，，，，，，；（3）()2312nn n-- （4）37921017 ，，，，；1（4）2211n n ++ （5）149162345,,,,....--=n a 211n n ()n -+2、已知数列n {a }的通项公式()(),11101*∈⎪⎭⎫⎝⎛+=N n n a nn 试问数列n{a}有没有最大项?若有, 求最大项和最大项的项数；若无,说明理由.解: ()()1110102111111091111n nn nna a n n n ++-⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫= ⎪⎝⎭当n<9, n n n n a a a a >>-++11,0 当n>9, n n n n a a a a <<-++11,0 当n=9, n n n n a a a a ==-++11,0故........11109321>>=<<<<a a a a a a所以, 数列{a n }有最大项, 为第9,10项3、已知数列n {a }的通项公式为2299291n n n a n -+=- （1）求这个数列的第10项； （2）98101是不是该数列中的项，为什么？ （3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；（4）在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由。

等差数列的通项及性质7大题型【考点预测】一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为d （常数）．1－-=n n a a d *()2，∈≥n N n （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有a A b A a b =2+a bA ．（3）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．{}n a 1a d 1(1)=+-n a a n d 二．等差数列通项的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．{}n a d n S n （1）通项公式的推广：．*())(，=+-∈n m a a n m d n m N （2）在等差数列中，当时，．{}n a +=+m n p q *()，，，+=+∈m n p q a a a a m n p q N 特别地，若，则．2+=m n t *()2，，+=∈m n t a a a m n t N （3），…仍是等差数列，公差为．2＋＋，，k k mk ma a a *()，∈md k m N （4）若，是等差数列，则也是等差数列．{}n a {}nb {}+n n pa qb 【题型目录】题型一：等差数列通项公式运用题型二：等差中项问题题型三：等差数列通项的性质题型四：整体看成等差数列问题题型五：等差数列通项公共项问题题型六：几个连续实数成等差数列问题题型七：等差数列通项新文化试题【典型例题】题型一：等差数列通项公式运用【例1】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）{}n a823a =1132a =66a =A ．195B ．196C ．197D ．198【例2】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若n 11a =13n n a a +-=2020n a =，则（ ）n =A ．671B ．672C ．673D ．674【答案】D【分析】分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.{}n a【详解】∵，，11a =13n n a a +-=∴13n n a a +-=∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，{}n a∴，解得.()()111312020n a a n d n =+-=+-=674n =故选：D.【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，若，，则（ ）{}n a2911a a +=41014a a +=n a =A ．B ．C ．D ．2n 21n +n 21n -【答案】C【分析】设公差为d ，利用基本量代换列方程组解出首项和公差，即可写出通项公式.【详解】在等差数列中，设公差为d ，依题意，即{}n a 294101114a a a a +=⎧⎨+=⎩11291121214a d a d +=⎧⎨+=⎩解得公差，，所以.1d =11a =n a n =故选：.C 【例4】（2022·全国·高二课时练习）数列的首项为，为等差数列，且{}n a 3{}nb ()1n n n b a a n N *+=-∈，若，，，则等于（ ）32b =-1012b =8a A ．B ．C ．D ．03811【例5】（2022全国高二课时练习）在等差数列中，若a 1＝84，a 2＝80，则使an 0，且an ＋1n ≥<0的n 为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】B【分析】用基本量表示，列出不等式组，求解即可1,a d 1,n n a a +8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩【详解】公差d ＝a 2－a 1＝－4，∴an ＝a 1＋(n －1)d ＝84＋(n －1)(－4)＝88－4n ，令10,0,n n a a +≥⎧⎨<⎩即8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩⇒，又∵n ∈N *，2122n <≤∴n ＝22.故选：B【例6】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为1111,,,DD CC BB AA 1111,,,OD DC CB BA ．已知成公差为0.1的等差数列，且直线11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====123,,k k k OA的斜率为0.725，则（ ）3k =A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【解析】设，则，11111OD DC CB BA ====111213,,CC k BB k AA k ===依题意，有，且，31320.2,0.1k k k k -=-=111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++所以，故，30.530.30.7254k +-=30.9k =故选：D【例7】（2022·全国·高二课时练习）若数列为等差数列，，，则（ ）{}n ap a q=()q a p p q =≠p q a +=A ．B ．0C ．D ．p q +()p q -+2p q+【答案】B【分析】根据等差数列通项公式的变形形式求解：．()n m a a n m d =+-【详解】设数列的公差为．∵，∴，即．∵，∴{}n ad ()p q a a p q d=+-()q p p q d=+-()q p p q d-=-p q ≠，∴．1d =-()0p q p a a p q p d q p +=++-=-=⎡⎤⎣⎦故选：B ．【例8】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===，则（ ）44a b =A ．B ．C ．D ．19212327【答案】B【分析】设，得出，令，可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值.4c 【详解】由题意，设，,n n a an b b cn d =+=+则，()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令，可得构成一个等差数列，n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ，，113a b =227a b =3313a b =，，所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得：，即.421c =4421a b =故选：B【例9】（2022全国高二课时练习）（1）在等差数列{an }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.（2）已知等差数列{an }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________.【答案】 20 27【分析】（1）利用等差数列的性质求解即可，（2）利用等差数列的性质求解，或设等差数列{an }的公差为d ，利用已知条件求出公差，再利用等差数的性质求解【详解】（1）3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.（2）法一　由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.法二　设等差数列{an }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6，解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27.故答案为：（1）20　（2）27【例10】（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且{}n a 138a a +=2429a a a =⋅（1）求数列的首项､公差；{}n a（2）设，若，求正整数m 的值.()()1218n n n a a b -+=13m m m b b b +++=【题型专练】1．（2021·全国·高二单元测试）已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）{}n a3243a =a {}n aA ．B ．C ．D ．6a 7a 8a 9a 【答案】A【分析】先设等差数列的公差，根据题中条件，得出首项与公差之间关系，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，由得，∴，{}n ad 3243a =a 15a d =-6150a a d =+=故选：A ．2．（2021·全国·高二专题练习）已知等差数列中，，，则等于（ ）{}n a3822a a +=67a =4a A ．B ．1523C ．D ．729【答案】B【分析】求出等差数列的公差的值，由此可求得的值.{}n ad 4a【详解】设等差数列的公差为，则，解得，{}n ad ()()3866632222a a a d a d a d +=-++=-=8d =-因此，.()46272823a a d =-=-⨯-=故选：B.3．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列中，已知，，，则（ ）{}n a113a =45163a a +=33k a =k =A ．B ．5049C ．D ．48474．（2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习）在数列中，，n 12a =1221n n a a +-=，则的值为（ ）101a A ．52B ．51C ．50D ．495．（2022·全国·高二课时练习）已知数列是首项为3，公差为n a d d ∈N 的等差数列，若2023是该数列的一项，则公差d 可能是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6P 条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则1a n a 2,13d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦n的取值可能是（ ）A ．B ．C ．D ．56781123A ．公差d ＝－4B ．a 2＝7C ．数列{an }为递增数列D ．a 3＋a 4＋a 5＝84【答案】BC【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可．【详解】解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴3a 2＝21，∴a 2＝7．∵a 1＝3，∴d ＝4．∴数列{an }为递增数列，a 4＝a 2＋2d ＝15．∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝45．故选：BC8．（2022·全国·高二单元测试）已知数列为等差数列，，，则公差d 为______．{}n a36a =918a =【答案】2【分析】由等差数列性质得，即可求得公差d936a a d =+【详解】数列为等差数列，则，可解得.{}n a9361866d a a d =+⇒=+2d =故答案为：29．（2022·全国·高二课时练习）等差数列2，4，6，…的第18项为______．【答案】36【分析】由条件确定数列的公差，再确定其通项公式，由此求其第18项.【详解】设数列的第项为，n n a 由已知数列为等差数列，且，，{}n a12a =24a =所以数列的公差，{}n a2d =所以，2(1)22n a n n =+-⨯=所以，1836a =故答案为：36.10．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果{}n a1479750a a a a ++++= ，那么______．36999a a a a ++++= 【答案】－82【分析】根据等差数列通项公式化简求解.【详解】∵是公差为－2的等差数列，{}n a ∴()()()()36999147972222a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++ ．147973325013282a a a a d =+++++⨯=-=- 故答案为：-8211．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列为递增数列，若，{}n a 22110101a a +=5611a a +=，则数列的公差d 的值为______．{}n a【答案】112．（2022·全国·高二课时练习）若，且两数列a ， ， ，b 和a ，，，a b ¹12123，b 都是等差数列，则________．3121y y x x -=-【答案】##32 1.513．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前三项分别为，，n 1a -21a +7a +，则此数列的通项公式为______．n a =【答案】43n -【分析】根据等差数列前三项可求出，即可得出首项和公差，求出通项公式.a 【详解】由题意，得，所以，()17221a a a -++=+2a =所以的前三项分别为1，5，9，公差为4，故.{}n a()11443n a n n =+-⨯=-故答案为：.43n -14．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则____________．{}n a2438a a =-5a =【答案】4【分析】利用表示，整理可得.1,a d 2438a a =-5a 【详解】设等差数列的公差为，则由得：，{}n ad 2438a a =-()11338a d a d +=+-整理可得：，即.()1128248a d a d +=+=5144a a d =+=故答案为：.415．（2020·全国·高二课时练习）已知等差数列{an }，且a 3＋a 5＝10，a 2a 6＝21，则an ＝____________．【答案】或．1n a n =+9n a n =-+【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.{}n a d d 【详解】设等差数列的公差为，{}n ad 因为，可得，354210a a a +==45a =又由，2644(2)(2)(52)(52)21a a a d a d d d =-+=-+=解得，所以或，21d =1d =1d =-所以数列的通项公式为或．{}n a1n a n =+9n a n =-+故答案为：或．1n a n =+9n a n =-+16．（2021·全国·高二专题练习）若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则3131x x y y --＝________．17．（2022·全国·高二课时练习）存在条件：①，；②，；③，23d =-37a =713．在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足______．求数列2414a a +={}n a 的通项公式．{}n a【答案】163n a n=-【分析】不管选择哪个条件，都是求首项和公差，再求通项公式.【详解】若选择①，，1213a a d =-=数列的通项公式，{}n a()()()111313163n a a n d n n=+-=+-⨯-=-即；163n a n =-若选择②，，解得：，，112765ad a d +=⎧⎨+=-⎩113a =3d =-数列的通项公式；{}n a163n a n =-若选择条件③，解得：，，1122202414a d a d +=⎧⎨+=⎩113a =3d =-数列 的通项公式.{}n a 163n a n=-题型二：等差中项问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知则a ，b 的等差中项为（）a =b =A B C D 间的角是多少度（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【答案】B【分析】设三内角由小到大依次为,,A B C，利用等差数列定义结合三角形三内角和定理列式计算作答.【详解】设三角形三内角由小到大依次为，依题意，，而，,,A B C 2A+C =B 180A B C ++=则有，解得，3180B =60B =所以中间的角是.60故选：B【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和m 2n 2m n m n 的等差中项是（ ）A ．8B ．6C ．D ．34.5【例4】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an }满足，且，是函数122n n n a a a ++=+4a 4040a 的两个零点，则的值为（ ）2()83f x x x =-+2022a A ．4B ．－4C ．4040D ．－4040【答案】A【分析】由题设可得+＝8，根据已知条件易知{an }是等差数列，应用等差中项的性质求4a 4040a .2022a 【详解】由，是的两个零点，即，是x 2－8x ＋3＝0的两个根，4a 4040a 2()83f x x x =-+4a 4040a ∴+＝8，又，即数列{an }是等差数列，4a 4040a 122n n n a a a ++=+∴+＝8，故＝4.4a 4040a 20222a =2022a 故选：A.【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列{}n a是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）A ．B ．()1122n n n a a a n +-=+≥()2112n n n a a a n +-=⋅≥C ．数列的通项公式为D ．{}n a23n a n =-()2112n n n n a a a a n ++--=-≥A ．2BCD ．13．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）若b 是2，8的等差中项，则______；b =【答案】0【分析】根据等差中项的性质即可求解.【详解】解：因为8，a ，2，b ，c 是等差数列，所以8222222a a b c b +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩解得514a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以.0a b c ++=故答案为：.0题型三：等差数列通项的性质【例1】（2022·广东肇庆·高二阶段练习）已知数列是等差数列，且满足，则{}n a2104a a +=26log a =（ ）A ．B ．C ．D ．0123【答案】B【分析】利用等差中项的性质求出的值，进而可求得结果.6a 【详解】由等差中项的性质可得，可得，因此，.621024a a a =+=62a =26log 1a =故选：B.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列满足，则（ ）{}n a5796a a a ++=7a =A ．B ．C D ．322-【答案】B【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，故.579736a a a a ++==72a =故选：B.【例3】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列满足，且{}n a ()*122n n n a a a n ++=+∈N ，则（ ）38132πa a a ++=()79cos a a +=A ．B ．C ．D 12-12【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，，则n a1234a a a ++=131415等于（ ）789a a a ++A ．6B ．7C ．8D ．9(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(2)数列为等差数列的充要条件是对任意，都有.{}n a*N n ∈122n n n a a a ++=+(3)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.{}n a(4)已知数列的通项公式是(其中p ，q 为常数)，则数列一定是等差数列.{}n a n a pn q =+{}n aA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用等差数列定义判断（1）；利用等差中项的定义结合充要条件的意义判断（2）；利用等差数列定义结合充要条件的意义判断（3）；利用等差数列定义判断（4）作答.【详解】对于（1），若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列，（1）不正确；对于（2），因对任意，都有数列*N n ∈121212n n n n n n n a a a a a a a +++++⇔=+-=-⇔{}n a为等差数列，（2）正确；对于（3），因常数列是等差数列，而常数列的通项不是n 的一次函数，则通项公式为n 的一次函数是数列为等差数列的充分不必要条件，（3）不正确；{}n a对于（4），数列的通项公式是(其中p ，q 为常数)，则，，即数列{}n an a pn q =+N n *∀∈1n n a a p +-=一定是等差数列，（4）正确，{}n a 所以所给4个命题正确的个数为2.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高三阶段练习（文））设是等差数列，且，，则（ ）{}n a122a a +=344a a +=56a a +=A ．B ．C ．D ．12-0624【答案】C【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果.12a a +34a a +56a a +【详解】解：是等差数列，，，成等差数列，{}n a12a a ∴+34a a +56a a +，.()()()3412562a a a a a a ∴+=+++56826a a ∴+=-=故选：C.2．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列为等差数列，，则（ ）{}n a286a a +=357a a a ++=A ．9B ．12C ．15D ．16【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】解：在等差数列中，所以，{}n a28526a a a +==53a =所以；357539a a a a ++==故选：A3．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则{}n a891075a a a ++=（ ）612a a +=A ．B ．C ．D ．42485058【答案】C【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.89109375a a a a ++==925a =6129250a a a +==故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）{}n a15915a a a ++=28a a +A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D【分析】由等差中项的性质进行计算【详解】由题意得：，所以，1595315a a a a ++==55a =故285210a a a +==故选：D5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列中，、是{}n a2a 8a 的两根，则（ ）221610x x --=()2375a a a +-=A ．B ．C ．D ．248601246．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．{}n a34567450a a a a a ++++=19a a +=【答案】180【分析】利用等差中项的性质即可求值.【详解】由，故，37169452a a a a a a a =+=+=+3456755450a a a a a a ++++==所以，则.590a =19a a +=180故答案为：1807．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）在等差数列中，若{}n a357911100a a a a a ++++=，则________．212a a +=8．（2021·河北衡水·高三阶段练习）已知等差数列中，分别是方程n 12021,a a 2410x x --=的两个根，则__________．1011a =1项，则这个等差数列的公差为___________.【答案】1【分析】根据题意，利用等差数列等差中项的性质即可求得和，进而求得公差.3a 29a10．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an }中，a 1＋a 3＋a 8＝54π，那么cos(a 3＋a 5)＝________.11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，满足，，求数列n 23418a a a ++=23466=a a a n 的通项公式．【答案】或521=-+n a n 59=--n a n 【分析】根据是等差数列且满足求出，代入，中得到{}n a23418a a a ++=3a 23418a a a ++=23466=a a a 的方程组，并解出，从而解出，结合通项公式解出.24，a a 24，a a 1a d ，n a 【详解】是等差数列，且， ，{}n a23418a a a ++=33=18∴a 3=6a ∴解得或2342341866a a a a a a ++=⎧⎨=⎩ 242412,.11,a a a a +=⎧⎨=⎩2411,1a a =⎧⎨=⎩241,11.a a =⎧⎨=⎩当时，，.2411,1a a =⎧⎨=⎩1=16a =5-d ()()()111615521∴=+-=+--=-+n a a n d n n当时，，.241,11a a =⎧⎨=⎩1=4-a =5d ()()1141559∴=+-=-+-=-n a a n d n n 综上：或521=-+n a n 59=--n a n 题型四：整体看成等差数列问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列，为等差数列，且公差分别为，{}n a{}n b12d =21d =，则数列的公差为（ ）{}23n n a b -A ．B ．C ．D ．7531【答案】D【分析】利用即可整理求得公差.112323n n n n a b a b ++--+【详解】，为等差数列，为等差，设其公差为，{}n a {}n b {}23n n a b ∴-d 则.()()111112232323231n n n n n n n n d a b a b a a b b d d ++++=--+=---=-=故选：D.【例2】（2022·全国·高二课时练习）定义：在数列中，若对任意的都满足{}n a n +∈N 211n n n n a a da a +++-=（d 为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则{}n a {}n a 121a a ==33a =20222020a a =（ ）A ．B ．C ．D ．2420221⨯-2420211⨯-2420201⨯-242020⨯【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知数列，均为等差数列，若，，则{}n a{}n b110a b +=221a b +=（ ）n n a b +=A ．B ．C ．D ．2n -1n +n1n -【答案】D【分析】利用等差数列的通项公式可求出结果.【详解】设等差数列，的公差分别为，{}n a{}n b12,d d 则，1221212211()()101d d a a b b a b a b +=-+-=+-+=-=所以1112(1)(1)n n a b a n d b n d +=+-++-.1112(1)()1a b n d d n =++-+=-故选：D【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===，则（ ）44a b =A ．B ．C ．D ．19212327【答案】B【分析】设，得出，令，可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值.4c 【详解】由题意，设，,n n a an b b cn d =+=+则，()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令，可得构成一个等差数列，n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ，，113a b =227a b =3313a b =，，所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得：，即.421c =4421a b =故选：B【例5】（2022·全国·高二课时练习多选题）已知等差数列，若，，则（ ）11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭114a =41a =A ．数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =B ．数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =-C ．1011a =-D ．1011a =1．（2021·江苏·高二单元测试多选题）在数列中，若（，，{}n a 221n n a a p --=2n ≥*n N ∈p 为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（ ）{}n aA ．若是等差数列，则是等方差数列{}n a {}2n a B ．数列是等方差数列(){}1n-C ．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列{}n a{}n aD ．若数列是等方差数列，则数列（，为常数）也是等方差数列{}n a{}kn a*k N ∈k 【答案】BCD【分析】利用等方差数列的定义判断.【详解】A.设等差数列的通项公式，则{}n an a kn b =+，不一定是常数，()()()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a d kn k b d-----=+-=+=-+所以不是等方差数列，故错误；{}2naB. 因为，所以数列是等方差数列，故正确；()()()112222110n nn n a a---=---=(){}1n-C.因为数列是等方差数列，则，又数列是等差数列，则{}n a 221n n a a p --={}n a ，()()()221111n n n n n n n n a a a a a d a a pa -----=+-=+=2．（2022·全国·高二课时练习）已知是等差数列，且，，则______．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21a =41a =10a =为等差数列，则______．13a =4．（2022·全国·高二课时练习）数列中，，，若数列是等差数列，则{}n a 32a =71a =11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭8a =__________．【例1】（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则等于（ ）{}n a50a A ．289B ．295C ．301D ．307【答案】B【分析】根据题意，得到能被2除余1满足，被3除余1的数满足，进而求得数列21n -32n -{}n a的通项公式，即可求解.65n a n =-【详解】由题意，在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1满足，21n -被3除余1的数满足，32n -所以在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1，且被3除余1的数，按从小到大的次序排成一列，可得构成的数列是首项为，公差为的等差数列，{}n a16则数列的通项公式，{}n a65n a n =-所以.506505295a =⨯-=故选：B.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知两个等差数列5，8，11，…，302与3，7，11，…，399，则它们所有公共项的个数为（ ）A ．23B ．24C ．25D ．261．（2022·全国·高二课时练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a，则此数列的项数为（ ）A ．134B ．135C ．136D ．137【答案】B【分析】根据已知条件进行转化得到数列通项公式，由题意解出不等式即可判断项数.{}n a【详解】由题意知，被3除余1且被5除余1的数即为被15除余1的数，故．1514,n a n n N *=-∈由，得，15142019n a n =-≤135.5n ≤又因为，所以此数列的项数为135．n *∈N 故选：B2．（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被(]1,2021415除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（ ）1{}n a{}n aA ．B ．C ．D ．1011009998【答案】A【分析】将数列中的项由小到大列举出来，可知数列{}n a{}n a为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，然后解不等式，即可得解.n a 12021n a <≤【详解】由题意可知，数列中的项由小到大排列依次为、、、、，{}n a21416181L 可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，{}n a2120()21201201n a n n =+-=+由可得，解得，12021n a <≤12012021n <+≤0101n <≤，则，n N *∈ {}1,2,3,,101n ∈ 因此，数列的项数为.{}n a101故选：A.题型六：几个连续实数成等差数列问题【例1】（2022·江苏·高二课时练习）若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为（ ）A ．5，8，11B ．9，12，15C ．10，13，16D ．15，18，21【答案】B【分析】设出三边长，根据直角三角形的勾股定理，解得答案.【详解】由题意直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，设可三边长为 ，则，,3,6x x x ++222(3)(6)x x x ++=+解得 ，（舍去），9x =3x =-故三边长为9，12，15 ,故选：B.【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ）A ．-2，4，10，16B ．16，10，4，-2C ．2，5，8，11D ．11，8，5，2【答案】AB【分析】根据等差数列的性质，列出方程求解即可【详解】设这四个数分别为，，，，3a d -a d -a d +3a d +则解得或()()3328,40,a d a d a d a d a d a d -+-++++=⎧⎨-+=⎩7,3a d =⎧⎨=⎩7,3,a d =⎧⎨=-⎩所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2.故选：AB【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知5个数组成一个单调递减的等差数列，且它们的和为5，平方和为165，则这个等差数列的第1项为___________.【答案】9【分析】根据等差数列的性质，直接求解即可【详解】设这个等差数列中的五个数分别为，，x ，2x d -x d -，.由题意，得x d +2x d +()()()()22222225,22165,x d x d x x d x d x d x d x x d x d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-+++++=⎪⎩解得或因为这个数列单调递减，所以，1,4x d =⎧⎨=⎩1,4.x d =⎧⎨=-⎩0d <即所以第1项为.1,4.x d =⎧⎨=-⎩()21249x d -=-⨯-=故答案为：9【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a前三项的和为－3，前三项的积为8．求等差数列的通项公式．{}n a【答案】或35n a n =-+37n a n =-【分析】结合等差数列的通项公式得到，求出首项与公差即可求出结果.()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩【详解】设等差数列的公差为d ，则，．{}n a21a a d =+312a a d =+由题意得，解得或()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩123a d =⎧⎨=-⎩143a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得或．()23135n a n n =--=-+()43137n a n n =-+-=-故或．35n a n =-+37n a n =-2．（2022·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的96倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.28-【答案】（1），，；（2），，，.4322-024【分析】（1）设这三个数依次为，，，根据已知条件列方程组，求得和a d -a a d +a d 的值即可得这三个数；（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，根据已知条件列方程组，求得3a d -a d -a d +3a d +20d >和的值即可得这四个数.a d 【详解】（1）设这三个数依次为，，，a d -a a d +由题意可得：，解得：，()()96a d a a d a a d a d -+++=⎧⎨-=+⎩31a d =⎧⎨=-⎩所以这三个数依次为，，.432（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，3a d -a d -a d +3a d +20d >由题意可得，解得或(舍)，()()2338a d a d a d a d -++=⎧⎨-+=-⎩11a d =⎧⎨=⎩11a d =⎧⎨=-⎩故所求的四个数依次为，，，.2-024题型七：等差数列通项新文化试题【例1】（2022·全国·高二课时练习）中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）A ．戊分得34文，己分得31文B ．戊分得31文，己分得34文C ．戊分得28文，己分得25文D ．戊分得25文，己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，3a d -2a d -a d -a a d +2a d +，再根据题意列方程组可解得结果.3a d +【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，3a d -2a d -a d -a a d +，，2a d +3a d +则，解得，32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩313a d =⎧⎨=-⎩所以戊分得（文），己分得（文），28a d +=225a d +=故选：C.【例2】（2022全国高二课时练习）中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).4646节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长/寸135.0125.56115.146105.23695.32685.41675.5节气清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长/寸65.55655.64645.73635.82625.91616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为（ ）A ．105.6寸B ．48寸C ．57.6寸D ．67.2寸【答案】C【分析】利用等差数列的基本量计算，直接求解即可.全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（ ）A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱1613-2313，就是相邻两衡间距离（半径差）为1198333里，给出了计算各衡直径的一般法则，即“预知次衡径，倍而增内衡之径，二而增内衡径，得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径，须把半径差二倍加上内一衡（最小圆圈）的直径，次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步（当时300步为1里），则次三衡径为（ ）A．396666里200步B．357000里000步C．317333里100步D．277666里200步【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则（）A．冬至的日影子长最长，为15.5尺B．立夏比谷雨的日影子长多1尺C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列D．清明的日影子长为8.5尺【答案】ACD【分析】根据给定条件结合等差数列知识，求出首项、公差，再逐一分析计算作答.【详解】依题意，从冬至起，日影长依次记为，则数列是等差数列，1212,,,a a a {}(N ,12)n a n n *∈≤因此，，而，解得，又，14737.5a a a ++=1742a a a +=412.5a =12 4.5a =设数列的公差为，于是得：，解得，A 正确；{}n a d 11312.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.5,1a d ==-，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B 不正确；1091a a -=-而成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C 正确；357,,a a a ，即清明的日影子长为8.5尺.81(81)8.5a a d =+-=故选：ACD2．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺.【答案】6.5【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项.【详解】解：由题意得从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为{}n ad ，解得14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧∴⎨=+=⎩11,15.5d a =-=101915.59 6.5a a d ∴=+=-=故立夏的日影子长为尺.6.5故答案为：6.53．（2021·全国·高二课时练习）现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.。