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第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时基础知识知识点1集合与元素的含义一般地，我们把研究对象统称为__元素__(element)，把一些元素组成的__总体__叫做集合(set)(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示__集合__，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的__元素__.对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象的形式多样化．元素：具有共同的特征或共同的属性的对象．总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．知识点2集合中元素的三个特性提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性时才能构成集合．界定模糊的元素不能构成集合，如“小河流”“难题”等．(2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等．如{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合．(3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(即字母)时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性．知识点3元素与集合的关系(2)符合“∈”“∉”的左边可以是集合吗？提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．知识点4常用数集及其记法思考＋提示：(1)N为非负整数集(或自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N*(N＋)不包括0.(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N＋，可形象地记为“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”．基础自测1．下列各组对象中不能组成集合的是(C)A．清华大学2019年入校的全体学生B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员C ．中国著名的数学家D ．不等式x －1>0的实数解[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C ． 2．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( A ) A ．2 B ．12C ．－2D ．－13[解析]2∈R ，且2∉Q ，故选A ．3．下列元素与集合的关系判断正确的是__①④__(填序号)． ①0∈N ；②π∈Q ；③2∈Q ；④－1∈Z ；⑤2∉R . [解析] π，2为无理数，2为实数，故填①④.4．方程x 2－1＝0与方程x ＋1＝0所有解组成的集合中共有__2__个元素．[解析] 方程x 2－1＝0的解为1，－1，x ＋1＝0的解为－1，所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2.关键能力·攻重难题型探究题型一 集合的基本概念 例1 下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④2的所有近似值． 其中能够组成集合的是__②③__.[分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.[归纳提升] 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．【对点练习】❶ 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我国的小城市；(2)某校2019年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解．[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x 2－9＝0，得x 1＝－3，x 2＝3.∴方程x 2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合． 题型二 元素与集合的关系例2 若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，请判断6－22是不是集合A 中的元素．[分析] 根据元素与集合的关系判断，可令a ＝2，b ＝－2. [解析] 因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中， 令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22， 所以6－22是集合A 中的元素．[归纳提升] 1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R 、Q 、Z 、N 、N *表示的数集．2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．【对点练习】❷ (1)下列关系中，正确的有( C ) ①12∈R ；②5∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)若集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为__2,1,0__. [解析] (1)12是实数，5是无理数，|－3|＝3是自然数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0.例3 已知－3是由x －2,2x 2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x 的值． [分析] －3是集合的元素说明x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3，可分类讨论求解． [解析] 由题意可知，x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3. 当x －2＝－3时，x ＝－1，把x ＝－1代入2x 2＋5x ，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－32或x ＝－1(舍去)，当x ＝－32时，集合的三个元素分别为－72，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x ＝－32.[归纳提升] 解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．【对点练习】❸ 已知集合A 中仅含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，则实数a 的值为__0或－1 __.[解析] ∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 中含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a 的值为0或－1.课堂检测·固双基1．下列语句能确定一个集合的是( D ) A ．充分小的负数全体 B ．爱好飞机的一些人 C ．某班本学期视力较差的同学 D ．某校某班某一天的所有课程[解析]由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D．2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(D) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形[解析]由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D．3．用符号“∈”或“∉”填空：0__∈__N；－3__∉__N；0.5__∉__Z；2__∉__Z；13__∈__Q；π__∈__R.4．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为__0,1__.[解析]因为y∈N且y＝－x2＋1，所以y＝0或y＝1.即A中有两个元素0,1，又t∈A，所以t＝0或1.5．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)与定点A，B等距离的点；(2)高中学生中的游泳能手．[解析](1)与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的．(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．下列各组对象能组成一个集合的是(C)①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3的正整数；④3的所有近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③[解析]①④不符合集合中元素的确定性．故选C．2．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是(C)A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A[解析]由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(C)A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．4．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－x 2所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] ∵x 2＝|x |，－x 2＝－|x |，故当x ＝0时，这几个实数均为0；当x >0时，它们分别是x ，－x ，x ，x ，－x ；当x <0，它们分别是x ，－x ，－x ，－x ，x .最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．5．设x ∈N ，且1x ∈N ，则x 的值可能是( B )A ．0B ．1C ．－1D ．0或1[解析] ∵－1∉N ，∴排除C ；0∈N ，而10无意义，排除A 、D ，故选B ．6．如果集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为( B ) A ．2 B ．2或4 C ．4D ．0[解析] ∵a ∈A ，∴当a ＝2时，6－a ＝4，∴6－a ∈A ；当a ＝4时，6－a ＝2，∴6－a ∈A ；当a ＝6时，6－a ＝0，∴6－a ∉A ，故a ＝2或4. 二、填空题7．设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__∉__A ，广州__∈__A (填“∈”或“∉”)．[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．8．设直线y ＝2x ＋3上的点集为P ，点(2,7)与点集P 的关系为(2,7)__∈__P (填“∈”或“∉”)． [解析] 直线y ＝2x ＋3上的点的横坐标x 和纵坐标y 满足关系：y ＝2x ＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x ＝2时，y ＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P . 9．已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，则实数x 的值为__－1__. [解析] 因为x 2∈A ，所以x 2＝1或x 2＝0或x 2＝x ，解得x ＝－1,0,1.经检验，只有x ＝－1时，满足集合元素的互异性．三、解答题10．记方程x 2－x －m ＝0的解构成的集合为M ，若2∈M ，试写出集合M 中的所有元素． [解析] 因为2∈M ，所以22－2－m ＝0，解得m ＝2.解方程x 2－x －2＝0，即(x ＋1)(x －2)＝0，得x ＝－1或x ＝2.故M 含有两个元素－1,2.11．由a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b,0组成的集合是同一个集合，求a 2 020＋b 2 020的值．[解析] 由a ，b a ，1组成一个集合，可知a ≠0，a ≠1，由题意可得ba ＝0，即b ＝0，此时两集合中的元素分别为a,0,1和a 2，a,0，因此a 2＝1，解得a ＝－1或a ＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a ＝－1，且b ＝0，所以a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋0＝1.B 组·素养提升一、选择题1．如果a 、b 、c 、d 为集合A 的四个元素，那么以a 、b 、c 、d 为边长构成的四边形可能是( D ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a 、b 、c 、d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．2．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( B ) A ．2 B ．3C ．0或3D ．0或2或3[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2，或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B ．3．(多选题)已知集合A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( BC ) A ．－2∈A B ．－11∉A C ．3k 2－1∈AD ．－34∉A[解析] 令3k －1＝－2，解得k ＝－13，－13∉Z ，∴－2∉A ； 令3k －1＝－11，解得k ＝－103，－103∉Z ，∴－11∉A ；∵k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A ；令3k －1＝－34，解得k ＝－11，－11∈Z ， ∴－34∈A ．故选BC ．4．(多选题)已知x ，y 都是非零实数，z ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |可能的取值组成的集合为A ，则下列判断错误的是( ACD ) A ．3∈A ，－1∉A B ．3∈A ，－1∈A C ．3∉A ，－1∈AD ．3∉A ，－1∉A[解析] 当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3； 当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1； 当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1； 当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1. 所以3∈A ，－1∈A ．故选ACD ． 二、填空题5．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则17__∈__A ；－5__∉__A ；17__∈__B ．[解析] 令3k ＋2＝17，得k ＝5,5∈Z ，所以17∈A ；令3k ＋2＝－5，得k ＝－73，－73∉Z ，所以－5∉A ；令6m －1＝17，得m ＝3,3∈Z ，所以17∈B ．6．若1－a1＋a ∈A ，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为[解析] 由题意，得1－a1＋a＝a ，∴a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，∴a ＝－1± 2.7．(2019·江苏泰州期末)集合A 中含有两个元素x 和y ，集合B 中含有两个元素0和x 2，若A ，B 相等，则实数x 的值为__1__，y 的值为__0__. [解析] 因为集合A ，B 相等，所以x ＝0或y ＝0.①当x ＝0时，x 2＝0，此时集合B 中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，综上可知，x＝1，y＝0.三、解答题8．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．[解析](1)因为－2是集合A中的元素，所以－2＝a－3或－2＝2a－1.若－2＝a－3，则a＝1，此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；若－2＝2a－1，则a＝－12，此时集合A中含有两个元素－72，－2，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为1或－12.(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5.当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．综上，－5不能为集合A中的元素．9．已知集合A＝{x|x＝m＋2n，m，n∈Z}．(1)试分别判断x1＝－2，x2＝12－2，x3＝(1－22)2与集合A的关系；(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．[解析](1)x1＝－2＝0＋(－1)×2，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；x2＝12－2＝2＋22＝1＋12×2，因为1∈Z，但12∉Z，所以x2∉A；x3＝(1－22)2＝9－42＝9＋(－4)×2，因为9，－4∈Z，所以x3∈A．(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋2n1，x2＝m2＋2n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，所以x1·x2＝(m1＋2n1)(m2＋2n2)＝m1m2＋2(m2n1＋m1n2)＋2n1n2＝(m1m2＋2n1n2)＋2(m2n1＋m1n2)．因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1·x2∈A．。
第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.1.2 集合的表示[目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．[重点]集合的两种表示方法及其运用．[难点] 对描述法表示集合的理解．知识点一列举法[填一填]把集合的所有元素出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法．{}表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．[答一答]1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二描述法[填一填]1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.[答一答]3．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？提示：是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一 用列举法表示集合[例1] (1)若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[解析] (1)集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点：(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. [变式训练1]用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)所有正整数组成的集合；(3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合． 解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二 用描述法表示集合[例2] 用描述法表示下列集合： (1)不等式2x -7<3的解集A ；(2)二次函数y ＝x 2＋1的函数值组成的集合B ； (3)被3除余2的正整数的集合C ；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D .[分析] 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面． [解] (1)解2x －7<3得x <5，所以A ＝{x |x <5}．(2)函数值组成的集合就是y 的取值集合，所以B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n ＋2(n ∈N )，所以集合C ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以D ＝{(x ，y )|x ·y ＝0，x ∈R ，y ∈R }．(1)用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. [变式训练2] 用描述法表示下列集合： (1)函数y ＝－x 的图象上所有点组成的集合； (2)方程x 2＋22x ＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，35，23，57，…. 解：(1){(x ，y )|y ＝－x ，x ∈R ，y ∈R }． (2){x |x ＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x ∈R ||x |>3}．(4)先统一形式13，24，35，46，57，…，找出规律，集合表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n n ＋2，n ∈N *. 类型三 两种方法的灵活应用[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解组成的集合；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合； (3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[分析] (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．(2)设集合的代表元素是x ，则该集合用描述法可表示为{x |x ＝3k ＋2，k ∈N ，且k ≤332}． (3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}或{正方形}． (4)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }． (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．1．集合{x ∈N |x <5}的另一种表示方法是( A ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：∵x ∈N ，且x <5，∴x 的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 中的条件是点(1,1)，不含x ，y ，排除D.3.集合{x |x ＝a ，a <36，x ∈N }，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}.解析：由a <36，可得a <6，即x <6，又x ∈N ，故x 只能取0,1,2,3,4,5.4.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}．解析：正整数中所有的偶数均能被2整除． 5.用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }； (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)x 2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P ＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x |x ＝3n,4<x <15，且n ∈N }． (3)用列举法表示为{x ＋2，x －2}．(4)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式． (2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第一章 1.1 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．用列举法表示集合{x |x 2－3x ＋2＝0}为( C ) A ．{(1,2)} B ．{(2,1)} C ．{1,2}D ．{x 2－3x ＋2＝0}[解析] 解方程x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2.用列举法表示为{1,2}． 2．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( B ) A ．{0,1}B ．{(0,1)}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－12，0 [解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故该集合为{(0,1)}．3．已知x ∈N ，则方程x 2＋x －2＝0的解集为( C ) A ．{x |x ＝2}B ．{x |x ＝1或x ＝－2}C ．{x |x ＝1}D ．{1，－2}[解析] 方程x 2＋x －2＝0的解为x ＝1或x ＝－2.由于x ∈N ，所以x ＝－2舍去．故选C ． 4．若A ＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }表示为( D ) A ．{(－1,3)} B ．{－1,3}C ．{(－1,3)，(3，－1)}D ．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}[解析] 因为集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }是点集或数对构成的集合，其中x ，y 均属于集合A ，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( B ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}[解析] 因为{x |x ＝1}＝{1}，{x |x 2＝1}＝{－1,1}，{y |(y －1)2＝0}＝{1}，所以B 选项的集合不同于另外三个集合．6．下列说法：①集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R }；③方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中说法正确的个数为( D )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由x 3＝x ，得x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.因为－1∉N ，故集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R ”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R ，故②不正确．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，其解集应为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2，故③不正确． 二、填空题7．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示A 为__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.[解析] ∵x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝6－y ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0. ∴A ＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．8．集合{1，2，3，2，5，…}用描述法表示为[解析] 注意到集合中的元素的特征为n ，且n ∈N *，所以用描述法可表示为{x |x ＝n ，n ∈N *}． 9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是__a ≤－2__. [解析] 因为1∉A ，则应有2×1＋a ≤0，所以a ≤－2. 三、解答题10．用列举法表示下列集合： (1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫62－x ∈Z ，x ∈Z ；(2){(x ，y )|y ＝3x ，x ∈N 且1≤x <5}．[解析] (1)因为62－x ∈Z ，所以|2－x |是6的因数，则|2－x |＝1,2,3,6，即x ＝1,3,4,0，－1,5，－4,8. 所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}． (2)因为x ∈N 且1≤x <5，所以x ＝1,2,3,4， 其对应的y 的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}． 11．用描述法表示下列集合．(1){2,4,6,8,10,12}； (2){13，24，35，46，57}；(3)被5除余1的正整数集合；(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(5)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝2的解组成的集合．[解析] (1){x |x ＝2n ，n ∈N *，n ≤6}． (2){x |x ＝nn ＋2，n ∈N *，n ≤5}． (3){x |x ＝5n ＋1，n ∈N }． (4){(x ，y )|xy <0}．(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝2或⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0. B 组·素养提升一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝－1}B ．{1}C ．{(1，－1)}D ．{(x ，y )|(1，－1)}[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 的集合表示方法有误，排除D ． 2．用列举法可将集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为( D ) A ．{1,2} B ．{(1,2)} C ．{(1,1)，(2,2)}D ．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}[解析] x ＝1，y ＝1；x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝1；x ＝2，y ＝2.∴集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D ． 3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD ) A ．{x |x ＝2k －1，k ∈N } B ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥2} C ．{x |x ＝2k ＋3，k ∈N } D ．{x |x ＝2k ＋5，k ∈N }[解析] 选项A ，C 中，集合内的最小奇数不大于4. 4．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是( ABD )A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}B ．M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R }D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }[解析] 选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M ≠P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．二、填空题5．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，则实数a 的值是__0或1__.[解析] 集合A 中只有一个元素，有两种情况：当a ≠0时，由Δ＝0，解得a ＝1，此时A ＝{－1}，满足题意；当a ＝0时，x ＝－12，此时A ＝{－12}，满足题意．故集合A 中只有一个元素时，a 的值是0或1.6．用列举法写出集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪33－x ∈Z x ∈Z ＝__{－3，－1,1,3}__.[解析] ∵33－x ∈Z ，x ∈Z ，∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意．7．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为__4__.[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．三、解答题8．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ． [解析] (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0， 所以x ＝2，此时A ＝{2}．(2)当k ≠0时，因为集合A 中只有一个元素， 所以方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等的实根． 则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，所以集合A ＝{4}，综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}． 9．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 中只有一个元素，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.。
【新教材】1.1 集合的概念学案（人教A版）1. 了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。
感受集合语言的意义和作用。
1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；4. 数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．一、预习导入阅读课本2-5页，填写。
1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把__________统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为_______)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的_______是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：_________、__________ 、___________．2．元素与集合的关系3．常用的数集及其记法把集合的元素_____________，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．5．描述法(1)定义：用集合所含元素的___________表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__________及____________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合． ( ) (2)新课标数学人教A 版必修1课本上的所有难题．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )(4)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )(5)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(6)集合A ＝{x |x －1＝0}与集合B ＝{1}表示同一个集合．( )2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )A ．0∈NB ．π∈Q C.2∈Q D ．－1∉Z3．已知集合A 中含有两个元素1，x 2，且x ∈A ，则x 的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．0或14．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( ) A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)}5．不等式x －3<2且x ∈N *的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}6．不等式4x －5<7的解集为________．例1 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④例2(1)下列关系中，正确的有()①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．例3已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．例4用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．例5用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．例6(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝()A．1B．2 C．0D．0或1(2)设12∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x2－ax－52＝0，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x2－192x－a＝0中所有元素之积为________．例7用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C ．不超过20的非负数组成一个集合D ．方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．已知集合A 由x <1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A3．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．04．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ) A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M5．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B6．定义P *Q ＝{ab |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P *Q 中元素的个数是( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个7．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________(填序号)．8．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，用列举法表示A 为________．9．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R}，若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 答案小试牛刀1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√2-5．AACB 6．{x |4x －5<7}自主探究例1 B例2 (1) C (2) 0,1,2例3 a ＝－1.变式1． a ＝2，或a ＝2，或a ＝－ 2.变式2． a ≠0且a ≠1.变式3． a ＝0.例4 (1) {0,2,4,6,8,10}．(2) {0,1，－1}． (3) {(0,1)}．例5 (1) {x |x ＝3n ＋1，n ∈N}．(2) {(x ，y )|x ＞0，y ＞0}．(3) {x |x ＝2n ，n ∈Z 且n ≥3}．例6 (1) D (2) 92例7 {(x ，y )|y ＝x 2＋1}．变式1解：集合{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}中的元素是全体实数． 变式2解：集合{ y | y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{ y | y ＝x 2＋1}＝{ y | y ≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．当堂检测1-6． CCBBCA 7．②④8．{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}9．解：当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43； 当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a ≤0，即a ≤－916. 故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0.。
