高一讲义立体几何

高二数学专题 空间几何体-棱柱、棱锥、棱台[专题内容概述]1、 立体几何的基础知识讲解；2、三个基本问题（平面的性质；线线、线面、面面平行与垂直判定、性质；几何形体的性质和画法、面积与体积的计算）的解决方法与途径。

[专题涉及知识点]平面的性质；空间直线与直线的位置关系；空间直线与平面的位置关系、平行垂直的判定与性质；空间平面与平面的位置关系、平行与垂直的判定与性质；棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征、画法；空间几何体的体积和表面积的计算；立体几何的综合问题。

一、知识要点讲解：要点1、空间几何体--棱柱◆棱柱的概念：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱；了解棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、对角线、高、对角面等有关概念。

◆棱柱的分类：（1）按棱与底面的位置关系分类：（2）按底面多边形的边数分类：可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等； （3）几种特殊四棱柱之间的关系：◆棱柱的性质：（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形； （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形；（4）长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。

◆熟练运用棱柱的侧面积、体积公式，清楚直棱柱、正棱柱中的基本量及基本量之间的关系，从而解决棱柱中的线线、线面、面面关系的判断及面积、体积的计算。

（1）直棱柱的侧面积、体积公式：（注意侧面展开图）（2）长方体中的基本量及基本量之间的关系：长方体的一条对角线和与这一对角线交于一点的三条棱所 成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα②长方体的一条对角线和经过这条对角线一端点的三个面所成 的角分别为δφθ,,，则2cos cos cos 222=++δφθ（3）正棱柱中的基本量及基本量之间的关系：①正棱柱中注意侧棱垂直于底面，底面为正多边形，此为正棱柱的性质； ②正方体是特殊的、简单的正四棱柱，注意以下结论：正方体的四个顶点为一个正四面体的四个顶点，面对角线长为其棱长，如图中正四面体A BCD -（如图（1））；正方体的面对角线形成的平面ABC 和平面DEF 平行且垂直、三等分正方体的对角线GH (如图（2）)； A 、B 、C 为正方体的共顶点的棱上的点，则ABC ∆为锐角三角形（如图（3））。

立体几何初步【知识网络及在高考中的重要性】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考的热点内容。

该部分新增加了三视图，对三视图的考查应引起格外的注意。

立体几何在高考解答题中，常以空间几何体（柱，锥，台）为背景，考查几何元素之间的位置关系。

另外还应注意非标准图形的识别、三视图的运用、图形的翻折、求体积时的割补思想等，以及把运动的思想引进立体几何。

最近几年综合分析全国及各省高考真题，立体几何开放题是高考命题的一个重要方向，开放题更能全面的考查学生综合分析问题的能力。

考查内容一般有以下几块内容：1、平行：包括线线平行，线面平行，面面平行；2、垂直：包括线线垂直，线面垂直，面面垂直；3、角度：包括线线（主要是异面直线）所成的角，线面所成的角，面面所成的角；4、求距离或体积；1.1.1构成空间几何体的基本元素【感悟新课标新理念】背景知识激趣生活中的几何———欧式几何“几何”这个词在汉语里是“多少”的意思，但在数学里“几何”的含义就完全不同了。

“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。

在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、宽、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间，以及它们之间位置关系跟数量之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。

柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导，逐步趋向于系统和严密的方向发展.柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证. 亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的.到今天，在初等几何学中，仍是运用“三段论”的形式来进行推理。

但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。

真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里德。

第一章知识点总结一、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行二、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点三、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

③垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑤中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）⑥平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④利用勾股定理，等腰三角形三线合一。

(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a ∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a －β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l ⊥β,l ⊂α，则α⊥β. （面面垂直判定定理）四、空间中的各种角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.②找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)三垂线法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.五 表面积公式和体积公式=2 S =S rl rlππ圆柱侧圆锥侧12)=S r r l π+圆台侧（''()1=2S c c h +正棱台侧'1=ch S =2S ch 直棱柱侧正棱锥侧1= V =3V Sh Sh 柱体锥体1=+3V S S h 下台体上（234=4 V =3S R R ππ球面球。

I. 基础知识要点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将空间分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线——共面有且仅有一个公共点；平行直线——共面没有公共点；异面直线——不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角() 90,0∈θ）（直线与平面所成角[] 90,0∈θ） 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） 12方向相同12方向不相同③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.P OA a P αβ推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥： [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 侧面积公式S 直棱柱侧＝ch ( c －底面周长，h －高 )S 正棱锥侧＝1/2 ch ( c －底面周长，h －斜高 )S 正棱台侧＝1/2 (c ＋c')h (c ，c'－上、下底面周长，h －斜高)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆锥侧＝1/2cl ＝πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆台侧＝1/2(c ＋c')l ＝π(r ＋r')l(c ，c' －上、下底面周长，r ，r －上、下底面半径)体积公式V 柱体＝Sh ( S －底面积，h －高 )V 椎体=1/3Sh ( S －底面积，h －高 )()h ss s s V '31'++=台体 (S ，S －上下底面积，h －高 ) 3R 34π=球V (R 为球的半径) 24R S π=球。

高一第五章立体几何知识点立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是在三维空间中的各种几何形体和它们的性质。

在高一的学习中，我们将接触到一些基本的立体几何知识点，本文将为大家介绍这些知识点。

1. 空间中的基本概念在学习立体几何之前，我们首先需要了解一些基本的概念。

例如，点、线、面和体是空间几何中的基本要素。

点是没有长度、宽度和高度的，它在空间中不占据任何位置；线是由无数个点连成的，它没有宽度，但有长度；面是由无数个线组成的，它有长度和宽度，但没有高度；体是由无数个面组成的，它有长度、宽度和高度。

2. 空间中的投影在立体几何中，我们经常需要进行投影操作。

投影是指将一个立体图形沿着某个直线或平面方向影射到另一个平面上的过程。

常见的投影有正投影和斜投影两种。

正投影是指被投影体与投影面垂直的情况，斜投影是指被投影体与投影面不垂直的情况。

在实际问题中，我们可以利用投影来解决空间中的几何问题。

3. 空间中的直线、平面和直线、平面的位置关系在空间中，直线和平面的位置关系是我们要重点考虑的内容。

我们知道，直线与直线可能相交、重合或平行；平面与平面可能相交、重合、平行或共面。

当然，在大多数情况下，我们要考虑的是直线与平面的位置关系，比如直线与平面可能相交于一点，也可能平行于平面，甚至直线可能在平面内。

4. 空间中的多面体多面体是指由多个面组成的立体图形。

我们熟悉的正方体、长方体、棱柱、棱锥、四面体等都是多面体的例子。

对于多面体，我们可以通过计算它们的体积、表面积等性质来研究它们。

在学习中，我们需要熟悉多面体的各个部分的名称和性质，以便能够准确地描述和计算它们。

5. 空间中的球体和圆锥体球体和圆锥体是立体几何中的两个重要概念。

球体是由距离一个定点距离相等的所有点组成的，而圆锥体是由一个封闭曲面和一个封闭曲线上的所有点组成的。

对于球体和圆锥体，我们可以计算它们的体积、表面积等性质，并且利用它们来解决一些实际问题。

6. 空间中的交角和距离在解决空间几何问题时，我们经常需要计算交角和距离。

立体几何K认识由柱、锥.台.球组成的几何组合体的结构特征；2、理解掌握立体图形的平行平面投影三视图；3、能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，了解球的表面积和体积公式；4、会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积.教学内容1、如下图中所示儿何体中是棱柱有（）2、如下图所示,正方体ABCD-ABCD中,E 、F分别是AA】、CJX的中点,G是正方形BCCB的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的—3、已知底面边长为1,侧棱长为血的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为A.32兀~3-B. 4兀 D.4、如右图是某儿何体的三视图，则该儿何体的体积为（B. -^ + 18 2C. 9龙+42D. 36龙+18学习目标A. 1B. 2 个C. 3 个D. 4个A B(2)⑷3＞圆柱的结构特征定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的儿何体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面.平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面.无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线.圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱4、圆锥的结构特征定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所圉成的儿何体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴・垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面•无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线.圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥so.5、棱台和圆台的结构特征定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）：原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做山直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台ABCD — AgD"3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台6、球的结构特征定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的儿何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O・7、简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：①山简单儿何体拼接而成的简单组合体；②山简单儿何体截去或挖去一部分而成的儿何体：2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.【例题精讲】例1.下列说法中正确的是（A.B.C.D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形例2.如右图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且乂分别与正方体内切，求两球半径之和.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面棱柱的面中，至少有两个面互相平行棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高如下图所示，则截面可能的图形是（）例2・A.①③B.②④C.①②③D.②③④【知识梳理】1. 下列说法正确的是（）A. 直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B. 夹在圆柱的两个截面间的儿何体还是一个旋转体C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线1＞棱柱-棱锥、 棱台的表面积2＞圆柱、圆锥. 圆台的表面积3、柱体、锥体. 台体的体积棱锥的体积: 圆锥的体积: 如果任意棱锥的底面积是S,高是h,那么它的体积V^=-Sh.如果圆锥的底面积是S,高是h,那么它的体积V m[ =-Sh ；如果底面积半径是则％禅=^r 2h. 综上，锥体的体积公式为V = -Sh.r,用irr 2表示S, 4、球的表面积和体积设球的半径为R,则球的表面积公式S 纵=4TT R2. 球的体积公式为比=扌兀【例题精讲】2例1•如右图，有两个相同的直三棱柱，高为三，底面三角形的三边长分别为3d 、4a 、5a （d ＞0）.用 a它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则d 的取值 范围是 ____________ .例2. —个圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（）B. 2TT S 例2.在底而半径为R,高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧而积最大时圆柱的高，并求此时侧而积的最大值.2. 一个长方体底面为正方形且边长为4,高为儿若这个长方体能装下8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则//的最小值为（ ）A. 8B. 2 + 20C. 2 + 2点D. 63. 圆锥底面半径为lcm,高为宓,其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.4. 已知地球半径为北纬60°纬线的长度为 _______________________ 。

高一数学基础知识讲义（2021）——立体几何二第七讲立体几何二——立体几何之空间几何体与空间坐标系知识要点一：棱柱、棱锥、棱台的结构特征⑴多面体的结构特征：多面体是由若干个平面多变形所围成的几何体，各个多边形叫做多面体的面，相邻面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。

⑵棱柱：（棱柱有两个互相平行的面，夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都相互平行）①棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；棱柱的两底面之间的距离叫做棱柱的高。

②棱柱的分类：棱柱的分类有两种一是：底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……二是：分为斜棱柱和直棱柱。

进一步说：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

特别地，有一些特别的四棱柱我们这里也和大家强调一下：底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长相等的长方体是正方体。

③面积与体积：()S ch c h =直棱柱侧面积底面多边形周长，直棱柱的高全面积或表面积的等于侧面积与底面积的和。

()V Sh S h =柱底面积，高⑶棱锥：①定义：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共点的三角形。

②棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

③棱锥的分类：底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥。

正棱锥各个侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高。

高一数学知识点立体几何立体几何作为高中数学的重要内容之一，是研究空间中各种几何体的性质和关系的学科。

在高一学年中，学生将学习到一些基本的立体几何知识点，本文将对其中几个常见的知识进行介绍。

1. 空间几何体的分类空间几何体是指三维空间中具有形状和体积的物体，常见的空间几何体有球体、圆柱体、锥体、棱柱体和棱锥体等。

它们可以根据底面形状和侧面性质进行分类，比如底面为圆形的称为圆柱体，底面为三角形的称为棱锥体等。

2. 球体的性质球体是指空间中所有离某一点相等距离的点的集合，具有以下性质：（1）球心：球体中心点称为球心；（2）半径：球心到球体表面上任意一点的距离称为球的半径；（3）直径：通过球心，并且在球体内部，的一条线段称为球的直径；（4）表面积：球的表面积公式为4πr²，其中r为球的半径；（5）体积：球的体积公式为4/3πr³。

3. 圆柱体的性质圆柱体是一种底面为圆形的几何体，具有以下性质：（1）底面积：圆柱体的底面积公式为πr²，其中r为底面圆的半径；（2）侧面积：圆柱体的侧面积是一个矩形，其面积公式为2πrh，其中r为底面圆的半径，h为圆柱体的高；（3）表面积：圆柱体的表面积公式为2πrh+2πr²，即底面积加上侧面积；（4）体积：圆柱体的体积公式为πr²h。

4. 锥体的性质锥体是一种底面为多边形，顶点和底面外一点通过直线相连而成的几何体，具有以下性质：（1）底面积：锥体的底面积是底面多边形的面积；（2）侧面积：锥体的侧面积是由底面的每条边和顶点相连形成的多个三角形的面积之和；（3）表面积：锥体的表面积是底面积加上侧面积；（4）体积：锥体的体积公式为1/3 ×底面积 ×高，其中底面积为底面多边形的面积，高为顶点到底面的距离。

5. 棱柱体的性质棱柱体是一种底面为多边形，侧面为平行于底面的矩形的几何体，具有以下性质：（1）底面积：棱柱体的底面积是底面多边形的面积；（2）侧面积：棱柱体的侧面积是每个矩形的面积之和；（3）表面积：棱柱体的表面积是底面积加上侧面积；（4）体积：棱柱体的体积公式为底面积 ×高，其中底面积为底面多边形的面积，高为棱柱体的高。

高中数学：立体几何优质讲义姓名:指导：日期：立体几何证平行（一）甄蟻平有＜■图丄E）--------------- K如果两条蛾切平行于第三条最，那么这两条蛾相互平行.2.如果一条蛛平行于另一个平面，那么这条蟻就平行于这这条地的平面与已知平而的交蟻. 图丄】3 .血果商个平面平行，那玄另一个平血虹诳两个平血的交妹互制平行.4如果两喪直蟻都制另一•个平而垂直.那么这两条直蟻平有.5一在同T面内，如果两条直或垂直于同一条直墟，那么这两条直慟'成.，程茜师中学亞建化L.如果平而外一条直絞平行于平面内的一条直銭，那衣宜城与平而干径 :!.如果两个平部平行，一个平薊内的任何一条直域平行于另一个平面. 3 .州果平血*了平而如一条如果干时垂直于另--条直邑, 4 一如果平面与平面外一条直理同时垂直于另一个平面,I. 如果一个平而内有两果闵全平f li 平有于另一个平而,丄如果两个平面揺平行于第三个平潮，那互这两个平面平有. 3.如果两个平面问畦垂直于同一条面雄，那么这两个平ffii 平行.证塔直大部分毎是通过隼直证垂直:下能ii 史旳时榛.平移到另i 一个位置证垂直. （一） 或蟻垂西如果一案直蛾垂直于一个平St 那佥谊条宜戒垂直于这个平ifi 内的任何一条直銭一 （二） 蜷海垂苴【一如果一条直蜷垂直于平而内两条招交的部，那么这条直坡就垂直于两条相交直域所在的平面. 丄如果睥个平而常有，在其中一个 平血內，垂森于公芯検的il 注垂立于yi-t-Tni!. t 三）而而垂直（■囲At ）【.辻一个平而垂洼旳平而垂辻于巳辻平而. 土二部南为直请的两个平面垂直.〈理科）（四〉不能祝匿征垂直的情况L 把已知蟻成ffii 平秽到容駐证照垂直的位置 2.询和已知蟻或面平行的蟻凍海证垂直一那么场面平有. 图卩二.求相疔，求距离，成求体根〈一）求術》〈理我丄技线爾.絞血曲•和二而跆歩L建系，崖可能il.薮将计算的点落在抽我和軸而L坐株系可以任意拆向*凡是角度渉成的面都要至少已如（SU出）3个点，肅度演及的絞都要至少巳知《成求出）£个点.歩，标期段坐标，不能表廚的可以持定字毋系数，当盧坐岳中只舍有一个未知字毋时可以直接代入下一歩求解：当点坐标中含有£个以上未知字毋盹需要握据以下三点列式求字母取住.①前量垂成a ijj =>^15 +y L k'i + -^i = u囲向量其蟻，"Jj2n W =虹2.乂 =加.=切崖向0模，何|=巧了「了歩丄表航向量，终点跋起点歩4:朮法曲丽1也（歩I上（如丄"I'""（歩3丄不姉妨X."中一一个字辱为。

高一立体知识点立体几何是高中数学中的一部分重要内容，也是高一学生需要掌握的知识点之一。

本文将针对高一立体几何的相关概念、公式及应用进行讲解，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识。

一、基本概念：1. 点、线、面与立体：在立体几何中，点是最基本的要素，它没有大小和方向；线由无数点组成，具有长度和方向；面由无数线组成，具有长度和宽度；而立体则是由无数面组成，具有长度、宽度和高度。

2. 三视图：一个立体图形可以从不同的方向进行观察，得到的图形分别称为正视图、俯视图和侧视图。

通过三视图可以更全面地了解和描述一个立体图形的形状和特征。

二、常见立体图形及其性质：1. 正方体：具有六个面，六个面都是正方形，相对的面互相平行且相等。

2. 长方体：具有六个面，其中两两面都是矩形，相对的面互相平行且相等。

3. 球体：所有点到球心的距离都相等，没有棱和面，表面积为4πr²，体积为(4/3)πr³。

4. 圆柱体：有两个底面（圆）和一个侧面，侧面是矩形，体积等于底面积乘以高度。

5. 圆锥体：有一个底面（圆）和一个侧面（锥面），侧面是一个扇形，体积等于底面积乘以高度的1/3。

三、计算立体图形的表面积和体积的公式：1. 正方体的表面积等于6a²，体积等于a³，其中a为正方体的边长。

2. 长方体的表面积等于2ab + 2bc + 2ac，体积等于abc，其中a、b、c分别为长方体的三条边长。

3. 球体的表面积等于4πr²，体积等于(4/3)πr³，其中r为球体的半径。

4. 圆柱体的表面积等于2πrh + 2πr²，体积等于πr²h，其中r为圆柱体的底面半径，h为高度。

5. 圆锥体的表面积等于πr(r + l)，体积等于(1/3)πr²h，其中r为底面半径，l为斜高，h为高度。

四、立体几何的应用：1. 解决实际问题：立体几何在日常生活中有广泛的应用，如计算建筑物的体积、包装盒的表面积等。