《诱导公式五、六》三角函数PPT

1
2
人生的基本保障，教育在社会发展过程中是提升民族素质的根本力量，教师则是传承民族文化提高民族素养的人力资源的重要组成部
π
分，今天做教师就意味着责任担当和无私奉献。读这本书，我有以下几点感受，也是多年在工作中一直禀承的信念。
2
他年轻英俊的面孔，在监狱中一呆就是十九年。片中还放到老的图书保管员，在监狱中整整呆了五十年，当他被刑满出狱时，他却拿
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
利用诱导公式化简或求值
例1计算:
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
(2)
1+cos100°sin170°
;
cos370°+ 1-sin2170°
sin(+π)+sin(-π)
右边=
tan-1
=
sin
cos+1
sin
cos-1
=
sin+cos
,
sin-cos
∴左边=右边.故原等式成立.
的学生给枪杀了！看到这里，我的眼泪制不住的流，为这样一个有才华的人，一而再，再而三的受到的挫折和打击感到命运的不公，
上天到底还有没有长眼睛，如此一个有前途，有才华的有用之才就这样的被冤枉，被永远的埋在了黑暗之中！
人生的基本保障，教育在社会发展过程中是提升民族素质的根本力量，教师则是传承民族文化提高民族素养的人力资源的重要组成部
分，今天做教师就意味着责任担当和无私奉献。读这本书，我有以下几点感受，也是多年在工作中一直禀承的信念。
π
π

)
A．－23 2
B．－13
C．2 3 2
D．13
C 解析：∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋3si8n2α 2 ＝1，
整理可得 9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得 sin2α＝89 或 sin2α＝－8(舍去). 又∵α 是第四象限角，∴sinα＝－2 3 2 ， ∴cos α＋2 0221π ＝cos α＋1 010π＋2π ＝cos α＋π2 ＝－sin α＝2 3 2 .
＝tan tan
θ＋1 θ－1
，
右边＝tanta（n 8（ππ＋＋πθ＋）θ－）1＋1
＝tan tan
（π＋θ）＋1 （π＋θ）－1
＝tan tan
θ＋1 θ－1
，
左边＝右边，所以等式成立．
经典例题
题型三 给值求值
例 3 已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值．
解：cos56π＋α·sin23π－α ＝cosπ－π6－α·sinπ－π3＋α ＝－cos6π－α·sin3π＋α ＝－cos6π－α·sin2π－π6－α ＝－cos6π－α·cosπ6－α ＝－13×13＝－19.
经典例题
题型三 给值求值
跟踪训练3
(2)已知 cosα＝－45，且
α
为第三象限角．求
f(α)＝tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sinπ2－α的值．
解：(2)因为 cosα＝－45，且 α 为第三象限角，
所以 sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－－452＝－35.
所以 f(α)＝－tan－α·csionsαα·cosα＝tanαsinα＝csoinsαα·sinα
小试牛刀
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

量不含分母,必须有分母时分母中尽量不含根式等.
【变式训练 2】 已知 sin(3π+α)=2sin
(-)-

+

则(+)+(-)=
解析:∵sin(3π+α)=2sin
.


+ ,
∴-sin α=-2cos α,即 sin α=2cos α.
-

)

C.
D.- 二、诱导公式六1.以-α代替公式五中的α,你会得到什么公式?
提示:sin

+


=cos(-α)=cos α,cos( +α)=sin(-α)=-sin α.

2.诱导公式六
sin
cos

+



+


=cos α
=-sin α
3.sin 165°等于(
)
A.-sin 15° B.cos 15°
【变式训练 3】 求证:
-
证明:∵右边=


-
(+)
= - =
=
=
--
+ -
+
∴原等式成立.
-(+)


·(-)- + - -






-
=cos

+
=sin





+
=
,




+ =± ,





- =sin + =± .

利用诱导公式进行化简、求值
例 1 计算： (1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；
1＋cos100°sin170° (2)cos370°＋ 1－sin2170°. • [分析] 利用诱导公式，先化简再求值．
[解析] (1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝34－1＋
sin
π 3
3； 2
（3）
sin
16π 3
sin 16π 3
sin
5π
π 3
sin
π 3
3； 2
（4） tan(2040) tan 2040 tan((180 60) tan 60 3 .
利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
cos
.
• 诱导公式五
思考 1：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？ 提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称．
(2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
• 诱导公式六
• 口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
【对点练习】❶
sin－α－32π·sin32π－α·tan22π－α cosπ2－α·cosπ2＋α·cos2π－α .
[解析] 原式
＝sinc－osα＋ 2π－π2α·[·－cossinπ2＋π2＋αα·c]o·sta2nπ2－2πα－ α
＝csoinsαα··－－scionsαα··ctoasn22αα＝tsainn22αα＝co1s2α.

[变式训练 1] 若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝m，则 cos(270°
－α)＋2sin(360°－α)的值为( D )
A．－12m
Байду номын сангаас
B．－32m
1 C.2m
3 D.2m
解析：由题意得－sinα－sinα＝m，所以 sinα＝－m2 . cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝32m. 故选 D.
2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相 互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”， 是记住这些公式的有效方法．
3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角 α 可以是一个 单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
温馨 提 示
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第五章
三角函数
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式五、六
[目标] 1.能够借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 五、六；2.能灵活地利用诱导公式进行化简、求值．
[重点] 诱导公式五、六的应用． [难点] 诱导公式的推导与证明．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一
D．－ 1－a2
解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.
2．已知 sin(α－π4)＝13，则 cos(π4＋α)的值等于( D )
22 A. 3
B．－2 3 2
1 C.3
D．－13
解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2， ∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－13.

＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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11
合作探究 提素养
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12
利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
30
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
31
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32
1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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3
自主预习 探新知
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4
1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于 直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝ －sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角， 所以cosπ3－α＝－ 23， 所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.

诱导公式五、六的作用
诱导公式五、六是三角函数计算中的重要工具，它们可以帮 助我们将任意角度的正弦和余弦值转化为已知的角度。
在三角函数的应用中，例如在物理学、工程学、几何学等领 域，诱导公式五、六被广泛使用来解决各种问题。
02
诱导公式五、六在三角函 数中的应用
利用诱导公式五、六化简三角函数式
总结词
记忆口诀：对于初学者来说，可以借助口诀来记忆诱导 公式五、六。例如，“奇变偶不变，符号看象限；一全 正，二正弦，三正切，四余弦；五正割，六余切”这个 口诀就能够很好地帮助记忆诱导公式五、六。
诱导公式五、六的变种及应对方法
变种一
已知三角函数值求角。对于已知三角函数值求角的问 题，可以利用三角函数的反函数或者三角函数的和差 倍角公式来解决。
《诱导公式五、六》三角函 数
2023-11-06
目录
• 诱导公式五、六的介绍 • 诱导公式五、六在三角函数中的应用 • 诱导公式五、六在实际问题中的应用 • 诱导公式五、六的扩展知识
01
诱导公式五、六的介绍
诱导公式五、六的来源
诱导公式五、六是三角函数中重要的恒等式，它们来源于三角函数的周期性和对 称性。
如何记忆诱导公式五、六
总结规律：诱导公式五、六属于三角函数的诱导公式之 一，其记忆规律可总结为“奇变偶不变，符号看象限” 。其中“奇变偶不变”指对于形如$90^\circ + a$或 $270^\circ - a$的角，在诱导公式中可直接把角看作 锐角或钝角，也可以把角看作是$90^\circ$的整数倍 加上一个任意角，此时奇变偶不变；“符号看象限”指 在把角看作锐角或钝角时，需要记忆一些特殊角的三角 函数值，以便在计算时能够快速判断正负号。

利用诱导公式五、六证明三角恒等式
总结词
在一些情况下，可以利用诱导公式五、六来证明一些三角恒等式。
详细描述
在一些情况下，要证明的三角恒等式形式可能较为复杂，此时可以利用诱导公式五、六来进行化简和 变形，从而证明该恒等式。例如，可以利用诱导公式五、六来证明一些涉及到正弦、余弦、正切函数 的恒等式，如两角和与差的三角函数公式等。
乘积化和差或和差化积的三角函数式。
利用诱导公式五、六求三角函数的值
总结词
在求解一些三角函数值的问题中，可以利用诱导公式五、六来得到所需的值。
详细描述
在一些情况下，直接使用三角函数的定义来求解其值可能较为繁琐。此时，可以利用诱导公式五、六来简化求 解过程。例如，可以利用诱导公式五来求得一个在第二象限的角的正弦值或余弦值，也可以利用诱导公式六来 求得一个在第四象限的角的正切值。
记忆口诀：对于初学者来说，可以借助口诀来记忆诱导 公式五、六。例如，“奇变偶不变，符号看象限；一全 正，二正弦，三正切，四余弦；五正割，六余切”这个 口诀就能够很好地帮助记忆诱导公式五、六。
诱导公式五、六的变种及应对方法
变种一
已知三角函数值求角。对于已知三角函数值求角的问 题，可以利用三角函数的反函数或者三角函数的和差 倍角公式来解决。
三角函数是一种在直角坐标系中表示角度的数学函数，它们具有周期性和对称性 等性质，这些性质可以用来推导诱导公式五、六。
诱导公式五、六的内容
诱导公式五
$\sin(k\pi+\alpha)=\sin\alpha$，其中$k$是整数。
诱导公式六
$\cos(k\pi+\alpha)=(-1)^{k}\cos\alpha$，其中$k$是整数。
变种二

A．12
B．－12
C．
3 2
D．－
2 2
解析：选 A.由 sin(π＋α)＝12得 sin α＝－12，
所以 cosα－23π＝cos32π－α＝－sin α＝12，故选 A.
()
3．若 sin(3π＋α)＝－12，则 cos72π－α等于
A．－12
B．12
C．
3 2
D．－
3 2
解析：选 A.因为 sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，
所以 sin α＝12.所以 cos72π－α＝cos32π－α ＝－cosπ2－α＝－sin α＝－12.
()
4．化简 cos2π4－α＋cos2π4＋α＝________． 解析：原式＝sin2π2－π4－α＋cos2π4＋α ＝sin2π4＋α＋cos2π4＋α＝1. 答案：1
5解．：已因知为sinsi(nα(－α－3π3)π＝)＝2c2ocso(sα(－α－4π4)π，)，求s2insi（n（π－32πα－）α＋）5－cossi（n（2π－－αα））的值．
诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角 的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同 乘一个式子变形．
已知 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 32(π2<α<π)，求下列各式的值． (1)sin α－cos α； (2)cos2π2＋α－cos2(－α)．
第五章 三角函数
5．3 诱导公式 第2课时 诱导公式五、六
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈

1.我们已经学过六组诱导公式,其中哪些公式中函数名称没有改
变?哪些函数名称改变了?
提示:公式一、二、三、四中函数名称没有改变,公式五、六中
函数名称改变了.
2.填空
π
诱导公式一~六可以概括为:α+k· (k∈Z)的三角函数值,等于α的
2
同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α
探究学习
探究一
探究二
探究三
解:由已知得
思想方法
随堂演练
sin = 2sin ①,
3cos = 2cos ②,
由①2+②2,得 2cos2A=1,
2
∴cos A=±2 .
2
3
当 cos A= 2 时,cos B= 2 .
π
π
又 A,B 是三角形的内角,∴A=4,B=6.
7
∴C=π-(A+B)=12 π.
当
2
3
cos A=- 2 时,cos B=- 2 .
又 A,B 是三角形的内角,
3
5
∴A=4 π,B=6 π,A+B>π,不符合题意.
π
π
7
综上可知,A=4,B=6,C=12 π.
课堂篇
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探究三
思想方法
随堂演练
反思感悟 在△ABC中,常用到以下结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
(1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系,一般常见的互余关
π
3
2π π
-α; +α
3
4
π
π
6
3
3π

第一章 三角函数
[错因分析] 对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在 sin[32π－(π4－α)] 中，要把“π4－α”看成锐角来确定三角函数值符号．
[思路分析] 诱导公式共有六组公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)， 特别是诱导公式右边的符号要记准．
第一章 三角函数
[正解] ∵0<α<π2，∴－π4<π4－α<π4，∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2 π4－α ＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[π＋(π4＋α)] ＝－sin(π4＋α)＝－cos[π2－(π4－α)] ＝－cos(π4－α)＝－ 1－a2. [误区警示] 在公式“奇变偶不变，符号看象限”中角可以单角，也可以是一个复角．
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前面加上一
个把 α 看成___锐_角____时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
第一章 三角函数
[知识点拨]1.对诱导公式五、六的两点说明 (1)诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函 数名改变，符号看象限”来记忆． (2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角， 应用时要注意整体把握，灵活变通． 2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
sinα－cosα
＝
＝
－sinα－2cosα －
3－ 10 3－
1 10 2
＝－25.
10 10
∴选 A．
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θθ＝1－c2os2θ
＝sin22θ＝右边．所以原等式成立．
题型三 诱导公式的综合应用 【学透用活】
[典例 3] 在平面直角坐标系 xOy 中，角 α，β（0＜α＜π2＜β＜π）的顶点 与坐标原点 O 重合，始边为 x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于 A，B 两 点，A，B 两点的纵坐标分别为45，153.
【对点练清】
求证： cos
θcsoins3π2π－－θθ －1＋cosπ＋θscinosπ22＋π－θ－θsin32π＋θ＝sin22θ.
证明：左边＝ cos
θ－－ccoossθθ－1＋－cos
cos θcos
θ θ＋cos
θ
＝1＋c1os
θ＋1－c1os
θ＝11－＋ccooss
θ＋1＋cos θ1－cos
•
②对于怎样的整数k，能由f(cos x)
＝cos kx推出f(sin x)＝sin kx成立？说明理由．
•
③对于怎样的整数k，能由f(sin x)
＝sin kx推出f(cos x)＝cos kx成立？说明理由．
解：(1)∵f(sin x)＝cos x，∴f(cos x)＝fsinπ2－x＝cosπ2－x＝sin x. (2)∵f(sin x)＝cos 17x， ∴f(cos x)＝fsinπ2－x＝cos17π2－x＝cos172π－17x＝sin 17x. (3)①由 f(cos x)＝fsinπ2－x＝coskπ2－x＝cosk2π－kx ＝sinπ2－k2π＋kx＝sin kx，k∈Z ，
B．sinπ2－θ D．cos32π＋θ
解析：sin(π＋θ)＝－sin θ；sinπ2－θ＝cos θ； cosπ2－θ＝sin θ；cos32π＋θ＝sin θ.

感悟提升
易错辨析 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限． [错因分析] 由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 已知 sin π6＋α＝ 33，求 cos π3－α的值．
解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－π6＋α.
∴cos π3－α＝cos π2－π6＋α
＝sin
π6＋α＝
3 3.
新知探究
题型探究
感悟提升
类型二 利用诱导公式证明恒等式
【例 2】
tan 求证：
解析 原式＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244° ＋…＋cos21° ＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋sin245°
＝1＋1＋…＋ 222＝44＋12＝829.
答案
89 2
新知探究
题型探究
感悟提升
4．已知 tan(3π＋α)＝2，则 sinα－3π＋－cossinπ－－αα＋＋scionsπ2π－＋αα－ 2cosπ2＋α＝______.
新知探究
题型探究
感悟提升
2．已知 sinα－π4＝13，则 cos π4＋α的值等于(
22 A. 3
B．－23 3
1 C.3
解析 cosπ4＋α＝cosπ2＋α－π4
＝－sinα－π4＝－13. 答案 D
)． D．－13