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三角形中线性质及其应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，则S △ABD =21 BD·AE，S △ADC = 21 DC·AE，因为BD=DC ，所以S △ABD =S △ADC .因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题.一、巧分三角形例1 如图2，已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1∶2∶3的三个三角形.解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD=31 BE ，则AD ，AE 把△ABC 分成面积之比为1∶2∶3的三个三角形（如图3）.方法2：在BC 边上截取CD=31 BC ，连接AD ，然后取AD 的中点P ，连接BP ，CP ，则△PAC，△PAB，△PBC 的面积之比为1∶2∶3（如图4）.二、巧算式子的值例2 在数学活动中，小明为了求21+221+321+421+…+n 21的值（结果用n 表示），设计了如图5所示的几何图形.请你利用这个几何图形求21+221+321+421+…+n 21的值.分析：由数据的特征：后面的数为前面与它相邻的数的21，联想到将三角形的面积不断地平分，所以可构造如图5的图形进行求解.解：如图5，设大三角形的面积为1，然后不断地按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，21+221+321+421+…+n 21表示组成面积为1的大三角形的n 个小三角形的面积之和，因此21+221+321+421+…+n 21=1-n 21. 点评：此题运用数形结合思想，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
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初中数学知识归纳三角形中线定理的证明与应用三角形是初中数学中的重要内容，其中的中线定理是一个基础且重要的定理。
本文将对三角形中线定理进行证明，并介绍其在实际问题中的应用。
【引言】三角形中线定理是初中数学中的基本定理之一，它描述了三角形中线之间的关系。
证明该定理有助于我们理解三角形的特性，为进一步研究三角形提供基础。
【证明】假设△ABC是一个三角形，D、E和F分别为△ABC的边BC、CA和AB上的中点。
我们将证明以下三个直线相等：AD = BE = CF。
（1）首先，连接AD、BE和CF这三条直线。
（2）观察△ABC中的三角形ABD和ACF。
根据中点定理，BD = CD，AF = CF。
根据共线中线定理，我们可以得出这三线共线，即DF是三角形ABD和ACF的公共边。
（3）进一步观察△ABC中的三角形ABE和ACD。
根据中点定理，AE = CE，BD = CD。
同样根据共线中线定理，我们可以得出这两线共线，即DE是三角形ABE和ACD的公共边。
（4）由于DF和DE都是△ABC中两个不同三角形的公共边，因此这两个三角形是全等的。
根据全等三角形的性质，我们可以得出相应边相等的结论，即AD = CF 和 AE = CD。
（5）根据两个等式中的AD = CF，我们可以得出BE = AD = CF。
综上所述，我们得出结论：在△ABC中，三角形中线AD、BE和CF的长度相等。
【应用】三角形中线定理虽然看似简单，但在实际问题中却有广泛的应用。
下面将介绍三角形中线定理在几个实际问题中的应用。
（1）在计算三角形面积时，我们可以利用中线定理来简化计算过程。
根据中线定理，三角形中线的长度相等，而中线的长度又等于对应边长的一半。
因此，我们可以根据已知的边长快速计算出三角形的面积。
（2）在建筑和工程中，我们经常需要确定一个地面上位置较高的点对相邻两个位置较低的点的距离。
利用三角形中线定理，我们可以通过测量两个位置较低的点的距离和位置较高的点与这两个位置较低的点的连线长度来计算该位置较高的点与地面上位置较低的点的距离。
三角形的中线高线与垂线应用题在几何学中，三角形是一个基本的形状，具有许多有趣的特性和应用。
其中，中线、高线和垂线是三角形中常见的概念和线段。
在本文中，我们将探讨三角形的中线、高线和垂线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、中线中线是三角形中连接一个顶点与对边中点的线段。
具体来说，三角形的三条中线分别连接三个顶点与对边的中点。
设三角形的三个顶点为A、B、C，对边的中点分别为D、E、F，则三角形的中线分别为AD、BE和CF。
中线主要有以下性质：1. 三条中线的交点称为三角形的重心，记为G。
重心G将三角形分成六个小三角形，其中每个小三角形的重心也恰好是大三角形的一个顶点。
2. 三角形的重心G到顶点的距离为顶点连线长度的两倍。
3. 三角形的重心G到三条中线的距离相等，且是该距离的三倍。
应用题：已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，求三角形的重心到顶点的距离和重心到三条中线的距离。
解析：根据中线的性质，我们可以得到以下结论：1. 重心到顶点的距离为重心到对边中点的距离的两倍，即AG =2AD、BG = 2BE、CG = 2CF。
2. 重心到三条中线的距离相等，即AG = BG = CG。
因此，我们只需要求出任意一条中线的长度，就可以得到重心到顶点的距离和重心到三条中线的距离。
假设三角形的边长为a = BC、b = AC、c = AB。
根据中线的性质，我们可以得到AD = 0.5b、BE = 0.5c、CF = 0.5a。
重心到顶点的距离为AG = 2AD = b、BG = 2BE = c、CG = 2CF = a。
重心到三条中线的距离相等，为AG = BG = CG = b = c = a。
因此，三角形的重心到顶点的距离和重心到三条中线的距离都为三角形的边长。
二、高线高线是三角形中从一个顶点到对边或延长线上的垂线。
具体来说，三角形的三条高线分别从三个顶点向对边或其延长线上作出的垂直线段。
设三角形的三个顶点为A、B、C，对边或其延长线上的垂足分别为D、E、F，则三角形的高线分别为AD、BE和CF。
三角形的中线三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，连接三个顶点。
而三角形的中线则是连接三角形的顶点与对应边中点的线段。
本文将详细论述三角形的中线，介绍其特性和应用。
一、中线的定义和特性中线是指从三角形的一个顶点到对边中点的线段。
一个三角形具有三个顶点，因此共有三条中线，它们分别连接一个顶点与对边的中点。
1. 中线长度关系对于任意一个三角形ABC，其三条中线分别为AD、BE和CF。
根据中点定理可知，中点是一条线段的两个等分点。
因此，中线将对边等分，即AD=BD、BE=CE和CF=AF。
2. 中线交点三条中线的交点被称为三角形的重心，记为G。
重心是三角形的一个重要特点，它将三角形分为六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
3. 重心与中线长度的关系重心G将每条中线分成两段，记为m和n。
根据重心定理可知，重心将每条中线分为1：2的比例，即m: n = 1: 2。
因此，重心离顶点的距离是离对边中点的距离的两倍。
二、中线的应用1. 构造中线在很多几何问题的解决过程中，中线是一个常用的构造工具。
通过使用尺规作图或者使用直尺和量角器进行测量，可以准确地构造出三角形的中线。
2. 求取中线长度已知三角形的三个顶点坐标，可以通过计算得出三条中线的长度。
根据中线的定义，我们可以使用中点公式来求取对边的中点坐标，进而计算出中线的长度。
3. 判断重心位置在一些问题中，需要判断给定的三角形的重心相对位置。
通过计算重心离三个顶点的距离，可以得出重心相对位置的信息。
如果重心距离某个顶点较近，则说明该顶点所在的边较长，反之则较短。
4. 证明三角形性质在几何证明中，中线也是一个常用的手段。
通过利用中线的性质，可以证明一些三角形的性质，如等腰三角形、全等三角形等。
5. 三角形的划分重心将三角形划分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
这一特性在一些几何问题中有着重要的应用，如在计算三角形的面积或者寻找三角形的重心时。
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
三角形的中线在几何学中，三角形是最基本、最常见的图形之一。
它由三条直线段组成，每两条直线段的交点被称为三角形的顶点。
三角形的中线是连接三角形的每条边的中点的线段。
三角形有三条边，我们可以将中线分别连接三角形的三个顶点。
这样，我们可以得到三个中线，分别称为三角形的重心线、垂心线和媒介线。
接下来，我们将探讨这些中线的性质和应用。
一、重心线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到对边中点的线段，得到的三条线段交于一点，称为重心，连接重心与三个顶点的线段分别称为重心线。
在标准笛卡尔坐标系中，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
重心线有以下性质：1. 重心线三条线段交于一点，该点与三角形的重心重合。
2. 重心线平分对应边，即重心到对边中点的线段长度相等。
重心线在三角形中起到平衡作用。
在平面上，三个人均匀站在三角形的顶点上，通过绳子将每个人与重心相连，可以保持平衡。
因此，重心被称为三角形的“几何中心”。
二、垂心线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到对边的垂线的交点，得到的三条线段交于一点，称为垂心，连接垂心与三个顶点的线段分别称为垂心线。
垂心线有以下性质：1. 垂心线三条线段交于一点，该点与三角形的垂心重合。
2. 垂心线互相垂直，即三条垂心线两两垂直。
垂心线在三角形中起到垂直作用。
垂心可以看作是三角形的“垂直投影中心”，通过垂心线可以得到三角形的三个顶点到对边的垂直距离。
三、媒介线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到非相邻顶点的中点的线段，得到的三条线段互相平行，称为媒介线。
三角形的媒介线有三条，连接三个媒介线交点的线段被称为媒介线三角形。
媒介线有以下性质：1. 媒介线三条线段互相平行，且等于对边的一半。
媒介线在三角形中起到平行作用。
当我们绘制媒介线后，可以将三角形分割为三个面积相等的小三角形。
总结：三角形的中线包括重心线、垂心线和媒介线，它们分别连接三角形的顶点和对边的中点。
这些中线具有独特的性质，如重心线的平分性、垂心线的垂直性和媒介线的平行性，可以帮助我们研究三角形的性质和解决与三角形相关的问题。
三角形的中线中线的性质和应用三角形是初中数学中的基础概念之一。
在三角形中，中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，互相交于一个点，我们称之为重心。
本文将探讨三角形的中线中线的性质和应用。
一、三角形中线的定义与性质1. 定义：三角形的中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
2. 性质1：三角形的三条中线互相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心划分每条中线的长度比为2:1，即重心到顶点的距离是重心到中点距离的两倍。
3. 性质2：三角形的重心离每条边的距离相等。
4. 性质3：三角形的中线长度满足关系式：m₁+m₂+m₃=3m（其中，m₁、m₂、m₃分别表示三角形的三条中线的长度，m表示三角形的周长）。
二、三角形中线中线的应用1. 面积计算：利用三角形中线中线的性质，我们可以简化计算三角形面积的步骤。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，三条中线的长度分别为m₁、m₂、m₃，则三角形的面积S可以通过以下公式计算得到：S = 1/4 * √(2a²+2b²-c²) * √(2a²+2c²-b²) * √(2b²+2c²-a²)这个公式称为三角形中线长公式，可以大大简化我们计算三角形面积的过程。
2. 相似三角形比较：利用三角形中线对应线段相等的性质，我们可以判断两个三角形是否相似。
如果两个三角形的中线等分对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，如果一个三角形的一个中线等分了对应边，而另一个三角形的对应中线等分了对应边的同一比例，那么这两个三角形就是相似的。
3. 证明三角形性质：三角形中线中线的性质也可以用来证明其他三角形的性质。
例如，我们可以利用中线的长度比是2:1，来证明三角形重心到两边距离的关系。
假设三角形ABC的重心为G，连接AG、BG、CG分别和边BC、AC、AB交于点D、E、F。
“三角形中线的应用”教材学情分析：学生在学习了三角形、平行四边形之后，掌握了全等三角形、平行四边形及特殊的平行四边形的相关性质和判定，可以证明简单的线段相等和角相等以及相关的方法.但对较复杂的几何证明题，大多数的学生还是显得力不从心.有些学生因此还产生困惑：定义、性质、定理都会背，就是不会做题，一遇到稍复杂的几何题就无从下手.通过深入了解发现，有很多同学对于几何证明题中许多辅助线的作法及相关规律没有掌握，不能灵活应用.其实在几何中，一些特殊的线或线段，就能给我们提示思考方法和解题思路，掌握这些特殊线或线段的应用，对于我们提高解题能力、总结解题方法、解决实际问题都有很大帮助.“三角形中线的应用”就是巧妙利用三角形中线（有时候是中点）的性质和特点，归纳总结与三角形中线有关题型的解题方法.教学目标：知识与技能：理解三角形中线的定义、性质.过程与方法：让学生在解题过程中掌握三角形中线的应用规律，归纳几何解题的技巧. 情感态度与价值观：学生在合作交流中，培养有条理的思维方法，积累数学活动经验，体验用中线的相关性质解决问题后的成功感.教学重难点：重点：应用三角形中线相关性质解题.难点：结合不同条件，在具体题目中应用中线、中点的特点作辅助线.教学设计思想：三角形的中线，很可能大多数学生只知道中线把对边分成两条相等的线段，可能还有部分学生会想到中线分三角形为两个面积相等的三角形.本节课是想让学生通过具体的问题，归纳在特殊的三角形中的中线的特点及其应用.有些题目有些难度，在课前把学案发给学生，让他们通过预习探究先解决简单的问题，不能解决的问题在课堂上通过老师的点拨和几何画板的演示，让学生找出解决问题的思路和方法，最后进行总结归纳.教学过程： 复习引入：已知△ABC 中，AD 是中线，你能得到哪些结论？老师：根据图形说你能得到哪些结论，说得越多越好.学生：1、线段BD =线段CD2、△ABD 与△ACD 的面积相等. 以上两条是学生最容易想到的，其实在特殊三角形中， 三角形的中线还有很多特殊的性质，看来还是要通过具体的问题，让学生在解决实际问题的过程中去归纳总结.应用精选：１、一根长为a 的木棍AB 斜靠在墙上，设木棍的中点为P ，当木棍A 端下滑时： （１）点P 到点O 的距离是否变化，为什么？DB 图１（２）当木棍滑到什么位置时，△ABC 的面积最大？ 先让学生独立思考，第一问难度不大，主要是想让学生归纳：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.在特殊的三角形中，中线还有更特殊的性质. 学生一：点P 到点O 的距离不变，根据是在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半. 第二问有一定的难度，通过几何画板演示，当线段AB 在滑动的过程中，△AOB 的面积变化情况.同进提醒同学们注意，在 线段AB 滑动过程中，线段AB 是不会变化的，把它当三角形的 底边，观察AB 边上高OC 的变化情况.学生二：当OC 与中线OP 重合时，即AB 与墙面成450时，三角形的面积最大.点评： 本题主要是想让学生注意在直角三角形中，斜边上的中线的特殊性.２、在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，O 为BC 的中点，M 、N 是AB 、AC 上的动点，且AN =BM .判断△OMN 的形状，并证明你的结论.通过前一题应该有启发：有斜边上的中点，联想到斜 边上的中线.所以辅助线问题应该是能够解决.学生一：△OMN 是等腰三角形.因为有斜边上的中点，连接AO ，就可以证明△AON 与△BOM 全等，从而得到OM =ON.学生二：还可以证明∠MON =900，从而证明△OMN 是等腰直角三角形. 点评：学生通过上题可能掌握了直角三角形中斜边上的中线性质， 但在等腰直角三角形中，斜边上的中线还有“三线合一”的性质.３、在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，且BD =2AB ，E 、F 分别是OA 、BC 的中点.（１）求证：EF =BF（２）如果AC =BD ，G 是BD 上的一点，且BD ：GD =4：1，试判断四边形EBFG 的形状，并说明理由. 老师：本题要充分利用平行四边形的性质，再结合E 、F 是中点这一条件，在相关三角形中就会有中线，再利用三角形中线的性质来解决问题. 学生分析思路： 学生一：平行四边形的对角线互相平分，所以OB =OD ，且BD =2AB ，得到AB =OB ，那么BE 为等腰△ABO 的底边上的中线，所以BE ⊥AO ，进一步得到△BEC 为直角三角形，EF 为斜边BC 上的中线， 从而得到：EF =BF 学生二：在平行四边形基础上，AC =BD ，所以四边形ABCD 是距形.又因为BD ：GD =4：1，可以得到G点为OD 的中点，那么EG 为△AOD 的中位线，结合第一问的结论，可以得到四边形EBFG 是菱形. 点评： 本题是想充分利用等腰三角形底边上的中线的性质， B A B 图2M 图3 F C 图4FB 图5得到垂直.同时也提醒学生注意，当在一个三角形中有两边的中点时，就要想到三角形的中位线性质.４、已知AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD.老师：通过此题的辅助线的作法，归纳思路.就是利用中线的特点构造全等三角形.学生：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，得到△ABD全等于△ECD，把AB转化到△ACE中来，再利用三角形三边之间的关系可以得到：AB+AC＞2AD老师：题中的辅助线也可以通过过C点作AB的平行线与AD的延长线相交得到.探究：菱形ABCD中，∠A=110°，E、F分别是AB、BC的中点，EH⊥CD，求∠FHC的度数.本题有一定的难度，根据学生探究情况，适当提示，连接EF并延长，与DC的延长线相交于G点.再观察有没有全等三角形.学生：连接EF并延长，与DC的延长线相交于点G，即可证明EF=GF，而EH⊥CD，所以在Rt△EHG中，HF为斜边上的中线，FH=FG，从而把∠FHC转化到∠G上来.再利用菱形的相关性质，得到∠B=700，∠BEF=∠BFE=550 ，所以∠G=550 ，∠FHC=550老师：本题作辅助线的基本思想是把中线延长一倍，寻找全等三角形.但在实际操作过程中，可能是通过延长来达到这个目的.所以要灵活掌握，活学活用.以上几个例题都是充分利用三角形的中线的性质，特别是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形中线的特点，掌握相关作辅助线的作法，达到化难为易的目的.５、已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线.△ABC的面积等于20，BD=５，求Ｅ点到BC的距离.（本题难度不大，学生应该能够解决.）学生：因为AD是△ABC的中线，所以△ABD的面积等于10，又BE是△ABD的中线，△BDE的面积等于5，且BD=5，所以图中BD边上的高h=2.而E点到BC的距离即为h的长度.点评：本题即是利用三角形的中线把三角形的分成两个面积相等的三角形，原理是等底等高.６、已知O点是△ABC的重心.AO⊥CO，且AO=3，CO=4，求BO的长.老师：根据重心的定义及性质来思考.学生：因三角形的重心是三角形三条中线的交点，所以延长BO与AC边的交点D就是AC边的中点.且AO⊥CO，OD就是直角三角形斜边上的中线，所以OD=12AC=52.根据重心的性质，OB=2OD，所以EB C图6图7D图8图9BO =5.点评： 本题利用重心的定义及性质，结合直角三角形斜边上的中线的特点来解题.难度并不大.主要是培养学生逆向思维的方法，学生都知道三角形三条中线相交一点，这点叫重心，如果先知道重心，那么延长BO 与AC 边的交点就应当是AC 边的中点，培养学生逆向思维的方法.（延长BO 与AC 的交点就是AC 边的中点）归纳小结：复习引入时的提问，学生当时归纳三角形中线的特点肯定有不完整的地方，现在通过 解决以上的题目，基本上能完整归纳出三角形中线的特点.特别是等腰三角形底边上的中线、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形斜边上中线的性质，在以上题目中有较多的应用.具体为：1、线段BD =线段CD2、△ABD 与△ACD 的面积相等.3、等腰三角形中底边的中线垂直于底边（三线合一）.4、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.5、等腰直角三角形斜边上的中线分原直角三角形为两个 等腰直角三角形.6、重心的应用.课后反思：本节课是想通精选例题，集中了三角形中线的应用，让学生掌握中线在解题中的一些技巧.在复习引入时让学生回答由三角形中线得到哪些结论时，一般学生都只能得到中线平分某一边，或是中线分三角形得到两个面积相等的三角形.这时老师不必先补充还有哪些性质，可通过解决精选例题逐步来回答这些问题.本节课精选的例题要想在一节课内完成有一定的困难， 必须让学生在课前通过小组合作学习分析前三题的解题思路，在课堂上再通过学生发言、老师点拨，进一步完善前 三题的解题过程.第4题后的探究题有一定的难度，通过对比第4题的辅助线的作法，实际上课时也还学生提出另 外的辅助线的作法，即延长HF 与EB 的延长线相交于点 G ，如右图. 并让一名学生上台展示完整的解题过程. 通过本节课学生对三角形中线应用的探究，能够形成 一定的技能，提高了解题的能力，加深了对三角形中线的认识，达到了教学目标.宜都市西湖中学 黄 勇D B 图１图10。
专题04 解三角形（中线问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、向量化(三角形中线问题）如图在ABC∆中，D为CB的中点，2AD AC AB=+(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补∠+∠=ADC ADBADC ADBπ∠+∠=⇒cos cos0二、典型例题例题1．如图，在ABC ∆中，已知2AB =，62AC =，45BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ．求BAM ∠的正弦值；思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.解答过程：由，，，利用余弦定理在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得解法1：角互补解法2：中线向量化由题意可得，，由为边上的中线，则，两边同时平方得，，故在中，由余弦定理，得，因为，所以．【答案】35解：解法1、由余弦定理得222cos AC AB AC C B BA BC A +-⋅⋅∠=，即(22222252BC =+-⨯⨯=，所以BC =所以12BM CM BC === 在ABM 中，由余弦定理，得2222cos2BM AM AB BMA BM AM +-∠==⋅，在ACM △中，由余弦定理，得2222cos2CM AM AC CMA CM AM +-∠==⋅BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =，在ABM 中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为0,2BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5BAM ∠==．解法2、由题意可得，cos 4512AB AC AB AC ⋅=⨯⨯︒=， 由AM 为边BC 上的中线，则()12AM AB AC =+， 两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =， 因为M 为BC 边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的12， 所以111sin sin 222AB AM BAM AB AC BAC ⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠，即11125sin 2sin 45222BAM ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒， 化简得，3sin 5BAM ∠=．例题2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2,5,1a b c ===． (1)求sin ,sin ,sin A B C 中的最大值； (2)求AC 边上的中线长．【答案】(1)最大值为2sin 2B =(2)12 (1)521>>，故有sin sin sin b a c B A C >>⇒>>，由余弦定理可得222(2)1(5)2cos 2221B +-==-⨯⨯，又(0,)B π∈，34B π∴=，故2sin 2B =．(2)设AC 边上的中线为BD ，则1()2BD BA BC =+， 2222223(2)()2cos 1(2)212cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯⨯⨯=， 1||2BD ∴=，即AC 边上的中线长为12．第（2）问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.本题提供中线向量化方法由（1）知，设边上的中线为，则（注：中线向量化的技巧：两边同时平方，化向量为标量）.，即边上的中线长为．配图两边同时平方例题3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a cC a b--=+.（1）求角B 的大小；（2）若6b =，且AC 边上的中线长为4，求ABC 的面积.【答案】（1）3B π=（2）732（1）由正弦定理得a b a c c a b--=+，化简得222a c b ac +-=. 由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==， 由()0,B π∈可得3B π=；（2）设AC 的中点为D ，由余弦定理得222cos 2BD AD AB ADB BD AD +-∠=⋅，222cos 2BD CD BC BDC BD CD +-∠=⋅，由ADB BDC π∠+∠=可得cos cos ADB BDC ∠=-∠，第（2）问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.本题提供角互补方法由（1）知，设的中点为，由余弦定理得，，由可得即即，所以. 又，，所以，所以.配图即22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD +-+-=-⋅⋅即2222224343243243c a +-+-=-⨯⨯⨯⨯， 所以2250a c +=.又222a c b ac +-=，6b =，所以14ac =，所以11sin 1422S ac B ==⨯=三、题型归类练1．已知ABC 的内角,,A B C 对的边分别为,,a b c ， 2c =，cos sin 2a C C b =+. (1)求A ；(2)若BC 边上的中线AM b . 【答案】(1)π3A =(2)2b =(1)由cos sin 2a C C b =+，2c =，得cos sin 0a C C b c --=由正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C +-+-=sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C ---=sin cos sin sin 0A C A C C --=()0,,sin 0,C C π∈∴≠∴cos 1,A A -= ∴2sin()16A π-=()50,,,666A A ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 66A ππ∴-=3A π∴=(2)因为AM 为BC 边上的中线， 所以()12AM AB AC =+, 所以()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+，所以2221222cos 43b b π⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭， 即2113142b b =++解得2b =或-4（舍去） 2b ∴=2．已知函数()()1sin cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅--∈ ⎪⎝⎭R ．(1)求()f x 的最小正周期和最大值：(2)设ABC 的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且122C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b =，AB 边上的中线长为72，求ABC的面积．【答案】(1)πT =，最大值为12.(2)S =(1)()111sin cos sin sin 6424πf x x x x x x ⎫⎛⎫=⋅--=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12cos24x x =- 1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故2ππ2T ==，当ππ22π62x k -=+，即ππ3x k =+，k Z ∈时有最大值为12.(2)1π1sin 2262C f C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πC ∈，故2π3C =.AB 边上的中线长72CD =，()12CD CA CB =+， 故()()222211492444CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅=， 故21923492a a ⎛⎫++⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得8a =或5a =-（舍去），11sin 3822S ab C ==⨯⨯= 3．在三角形ABC 中，有23sinsin sin 24B C B C -+=． （1）求角A ；（2）设CD 是AB 边上的中线，若45,2ABC AC ︒∠==，求中线CD 的长．【答案】（1）60；（2 （1）由已知，化简得1cos()3sin sin 24B C B C --+=，1cos cos sin sin 3sin sin 24B C B C B C --+=，整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即()12cos B C +=-，由于0B C π<+<，则23B C π+=，所以60A =．（2）由题意得，sin sin AC ABC B==又6cos cos 75ACB ∠==所以()22114622444CD CA CB ⎛=+=++⨯= ⎝⎭， 所以4CD =-4．在ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-．（1）求ABC 的面积； （2）若5AB =，求AD 的长． 【答案】（1；（2）2【详解】 （1）115cos12022AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=-⋅=-，则15AB AC ⋅=， 11sin 1522ABC S AB AC BAC∴=⋅∠=⨯=△； （2）由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ．由平面向量加法的平行四边形法则可得2AD AE AB AC ==+，所以，()2222422515919AD AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+=-+=，192AD ∴=AD5．在∴ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，cos cos sin a C c A B +，AB （1）求角C ；（2）若2a =，求∴ABC 的面积.【答案】（1）3C π=或23C π=；（2解（1）因为cos cos sin a C c A B +，由正弦定理知，sin cos sin cos sin A C C A C B +=.即()sin sin A C C B +，sin sin B C B ，又sin 0B ≠1C =，即sin C =在∴ABC 中，所以3C π=或23C π=. （2）记CD 是AB 边上中线，则有()12CD CA CB =+. ()2222127444CA CB CA CB CDCA CB ++⋅=+==，当3C π=时，有2427b b ++=，解得，1b =（负值舍去），此时∴ABC 的面积1sin 2ABCS CB CA C =⋅⋅ 当23C π=时，有2427b b +-=，解得，3b =（负值舍去），此时∴ABC 的面积1sin 2ABCSCB CA C =⋅⋅=；综上，∴ABC 6．已知,,a b c 是ABC 三内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C c a +=. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，且ABC ①ABC 周长；②AC 边的中线BD 的长度.【答案】（1）3π；（2）①2解：（1）由正弦定理：2sin cos sin 2sin B C C A +=， sin sin()sin()sin cos cosCsinB A A B C B C π=-=+=+，sin 2cos sin C B C ∴=，又1(0,),sin 0,cos 2C C B π∈≠∴=， 又(0,)B π∴∈，所以3B π=；（2）①由余弦定理：222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=(1)，由三角形面积公式：1sin 2S ac B ===，即2ac =(2)， 由（1）（2）2222()3()64a c ac a c ac a c +-=+-=+-=，所以a c +=2 ②在,ABD BCD 中分别使用余弦定理： 2222cos 42b bc BD BD ADB =+-⋅⋅∠（3）2222cos DB 42b ba BD BD C =+-⋅⋅∠（4）又因为,cos cos 0ADB CDB ADB CDB π∠+∠=∠+∠= （3）+（4）得222226242b BD ac =+-=-=所以BD =.7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 5tan a B c C =. （1）求222a b c+的值； （2）记边AB 的中点为D ，若2AB =，求中线CD 的长度. 【答案】（1）6；（2（1）由题设条件可得：sin 2sin 5cos Ca B c C=⋅，即222252cab c a b c ab=+-即：2226a b c +=（2）222624,a b c +== 设CD x =，则在ACD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD AD CD AD CDA AC +-⋅∠=， 即2212coscos x x CDA b +-∠=；①在BCD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD BD CD BD CDB BC +-⋅∠=， 即2212coscos x x CDB a +-∠=；② 又cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，① +②得，22222x a b +=+，故211x =，所以CD =因此，中线CD .。
