Lecture3 对偶理论-凸函数

设计（20 届）函数的凸性及应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：凸函数是一类非常重要的函数，运用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也可以用来证明一些不等式，同时，凸函数的研究结果也在许多领域得到了广泛的应用。

本文首先介绍了凸函数的定义；接着介绍了凸函数的几个定理；然后介绍了凸函数的性质；最后进一步介绍了凸函数的应用。

本文主要集中考虑了凸函数在下面几方面中的应用：凸函数在证明Hadamard不等式中的应用，凸函数在证明Jensen不等式中的应用，凸函数在一些分析不等式中的应用等。

关键词：凸函数；连续；等价描述；不等式Convex Function and Its ApplicationAbstract：Convex function is a kind of very important functions，when considering the convexity of function, it can not only describe the image of function much more scientifically and accurately, but also can be made use of to prove inequalities. At present convex function has a widely application in many areas. In this paper, we firstly introduce the definition of convex function, and take an overview of the property of Convex function, based on properties of convex function, we then further propose the application of convex function which mainly focus on inequality proof. Finally, the proof of Hadamard inequality, Jensen inequality and some other analysis inequalities are discussed.Key words:Convex function; Continuous; Equivalent description; Inequality目录1 绪论 (1)1.1 问题的背景及研究意义 (1)2 凸函数的定义及性质 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 相关的几个定理 (3)2.3 凸函数的性质 (7)3 凸函数的应用 (13)3.1凸函数在证明初等不等式中的应用 (13)3.2凸函数在证明函数不等式中的应用 (14)3.3凸函数在证明积分不等式中的应用 (14)3.4凸函数在证明Jensen不等式中的应用 (15)3.5凸函数在证明Hadamard不等式中的应用 (16)4 结论 (18)致谢 (19)参考文献 (20)1 绪论1.1 问题的背景及研究意义在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。

凸优化问题中的对偶理论凸优化是指在最优化问题中，目标函数为凸函数，约束条件为凸集合的优化问题。

凸优化问题在实际问题求解中广泛应用，如机器学习、图像处理、控制理论等领域。

对偶理论是凸优化理论中的一个重要部分，它提供了一种有效的方法来解决原始优化问题和对偶优化问题之间的关系。

本文将探讨凸优化问题中的对偶理论。

1. 对偶问题的定义和性质在凸优化中，对偶问题是原始优化问题的补充和拓展。

对于一个凸优化问题，其对偶问题可以通过拉格朗日函数的定义和对偶性质得到。

拉格朗日函数是原始问题的目标函数与约束条件的线性组合。

对偶性质指出，原始问题的最优解和对偶问题的最优解之间存在一种对偶关系。

2. 对偶问题的构造对于一个凸优化问题，通过拉格朗日函数的定义，可以得到原始问题的拉格朗日函数。

然后，通过最大化或最小化拉格朗日函数，可以得到对偶问题。

对偶问题的构造需要满足一定的条件，如强对偶性和对偶性定理等。

3. 对偶间隙对偶间隙是凸优化中的一个重要概念。

它指的是原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间的差距。

当对偶间隙为零时，说明原始问题的最优解和对偶问题的最优解相等，即达到了最优解。

4. 对偶解的几何解释几何解释是理解对偶问题的重要方法之一。

通过对偶解的几何解释，可以帮助我们更好地理解和求解凸优化问题。

对偶解的几何解释可以使用图形的方式表示，如凸包、拐角点等。

5. 对偶问题在凸优化中的应用对偶问题在凸优化中具有广泛的应用。

例如，在支持向量机(SVM)中，通过对偶问题可以更快地求解分类器的最优解；在线性规划中，对偶问题可以用来求解线性规划问题的最优解等。

对偶问题在凸优化中的应用不仅提高了效率，还为解决实际问题提供了更多的选择。

综上所述，凸优化问题中的对偶理论在研究和应用中起着重要的作用。

通过对偶问题的定义和性质、对偶问题的构造、对偶间隙、对偶解的几何解释以及对偶问题在凸优化中的应用等方面的讨论，我们可以更好地理解和应用对偶理论。

凸函数的证明凸函数是一类在数学和经济领域中广泛应用的函数。

在凸函数的定义中，重要的是凸集和凸组合。

凸集是指集合内的任意两点连成的线段在集合内。

凸组合是指所有权重之和为1的点乘以对应权重后的加和。

简单地说，凸函数是指函数的曲率向上弯曲，满足凸组合的特点。

在本文中，我们将尝试使用一种方法证明函数的凸性。

定理：如果函数$f(x)$满足$f''(x)>0$，则$f(x)$是凸函数。

证明：通过偏导数矩阵，可以得到一个二次方程，该方程的系数为$f''(x)$。

这意味着$f(x)$的凸性取决于$f''(x)$的正负性。

当$f''(x)>0$时，二次方程的解为正值，意味着$f(x)$呈现出凸性。

为了更清楚地解释这个想法，请考虑函数$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间的曲线。

基于偏导数矩阵和一般规律，我们可以构建两个一阶泰勒级数:$$f(x_1)=f(x_2)+f'(x_2)(x_1-x_2)+\frac{1}{2}f''(x_2)(x_1-x_2)^2 $$$$f(x_2)=f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)+\frac{1}{2}f''(x_1)(x_2-x_1)^2$$凸函数的定义是当折线连接的点在函数图像上方时，函数是凸的。

我们发现，通过泰勒级数的链接，两点之间的折线可以表示为：$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\quad (0\leq \lambda\leq 1)$$要证明此假设，我们需要对泰勒级数中的方程求值。

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$$$f(x_1)+f'(x_1)(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2-x_1)+\frac{1}{2}f''(x_1)(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2-x_1)^2 \\\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)\left[f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)+\frac{1}{2}f''(x_1)(x_2-x_1)^2\right]$$$$f''(x_1)(1-\lambda)\lambda(x_2-x_1)^2\leq 0$$因为$f''(x_1)>0$，我们可以得出$1-\lambda>0$和$\lambda>0$。

第3章对偶理论第3章对偶理论§3.1 线性规划的对偶理论3.1.1 对偶问题的表述对称形式的对偶：（L ） cx min (D) wb maxs.t. b Ax ≥ s.t. c wA ≤0≥x 0≥w其中c 为n 维行向量，A 为n m ?矩阵，b 为m 维列向量，x 表示n 维列向量，w 表示m 维行向量。

称(D)为线性规划(L)的对偶规划问题。

定理1 (L)与(D)互为对偶规划问题。

――（对合性）例设原问题对偶问题, 12 5s.t.min 21212121≥≥-≥+-x x x x x x x x 0, 12 1 s.t.5 max 21212121≥-≤-≤++w w w w w w w w非对称形式的对偶：（LP ） cx min (DP) wb maxs.t. b Ax = s.t. c wA ≤0≥x例设原问题对偶问题,, 523 4s.t.345min 321321321321≥=++=++++x x x x x x x x x x x x 3 42 53 s.t.54 max 21212121≤+≤+≤++w w w w w w w w一般线性规划问题：可化为上述二者之一讨论其对偶问题，也可直接写出对偶问题，详细的对应法则见教材（陈宝林）124页。

直接写出对偶的弊端之一是对偶最优解不易确定，而对称形式和非对称形式对偶的最优解都可由原问题的单纯形乘子确定出来。

3.1.2 对偶定理(强对偶定理和弱对偶定理)定理2 (弱对偶定理)：设x 和w 分别是（L ） cx min 和 (D) wb maxs.t. b Ax ≥ s.t. c wA ≤0≥x 0≥w的可行解，则有下列不等式成立：b w xc ≥证明：由于b x A ≥和0≥w ，则有b w x A w ≥。

由于A w c ≥和0≥x ，则有x A w x c ≥。

因此有b w x c ≥推论 1 设x 和w 分别是(L)和(D)的可行解，且有b w x c =，则x 和w 分别是(L)和(D)的最优解。