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实验作业1用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。
解：编写程序如下：x=1:0.5:10;y=x.^3-6*(x.^2)+5.*x-3;y0=y+rand;f1=polyfit(x,y0,1) ％一次多项式拟合y1=polyval(f1,x);plot(x,y,'+',x,y1); ％作出数据点和拟合曲线的图形gridtitle('一次拟合曲线')figure(2);f2=polyfit(x,y0,2) ％二次多项式拟合y2=polyval(f2,x);plot(x,y,'+',x,y2);gridtitle('二次拟合曲线')figure(3);f4=polyfit(x,y0,4) ％四次多项式拟合y3=polyval(f4,x);plot(x,y,'+',x,y3);gridtitle('四次拟合曲线')figure(4);f6=polyfit(x,y0,6) ％六次多项式拟合y4=polyval(f6,x);plot(x,y,'+',x,y4);gridtitle('六次拟合曲线')figure(5);程序运行结果如下：f1 = 43.2000 -149.0264f2＝10.5000 -72.3000 89.8486f4＝0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.5514f6= -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.5514 通过比较拟合后多项式和原式的系数，发现四次多项式和六次多项式系数与原系数最接近。
多项式拟合多项式拟合是数学中一类重要的函数逼近方法，它通过利用多项式函数在已知数据点附近的近似性质，来构造一个逼近原函数的多项式函数。
这种方法在实际问题中有着广泛的应用，比如数据分析、曲线拟合、信号处理等领域。
本文将详细介绍多项式拟合的原理、方法和应用，帮助读者深入了解和应用这一重要的数学工具。
多项式拟合的基本原理是利用已知数据点的坐标值，找到一条多项式曲线，使得该曲线与给定的数据点尽可能接近。
在实际应用中，我们常常会遇到一组散点数据，通过多项式拟合可以用一条平滑的曲线来逼近这些数据点，从而方便我们进行数据的分析和预测。
在进行多项式拟合时，一个关键的问题是如何确定多项式的阶数。
低阶多项式通常不能很好地拟合复杂的数据，而高阶多项式则可能会导致过拟合，使得曲线过度适应训练数据，而在新数据上表现较差。
因此，选择合适的多项式阶数是一个复杂的问题，需要根据具体情况进行调整。
多项式拟合的方法有很多种，其中最常用的是最小二乘法。
最小二乘法通过最小化拟合曲线与数据点的残差平方和来确定最优拟合多项式。
也就是说，我们要找到一条多项式曲线，使得各个数据点到拟合曲线的距离之和最小。
这种方法在处理噪声较小的数据时效果很好，但对于噪声较大的数据则可能受到干扰。
除了最小二乘法，还有其他的多项式拟合方法，如最小化最大偏差法和逆矩阵法。
不同的方法适用于不同的问题和数据类型，读者可以根据自己的需求选择合适的方法。
多项式拟合在各个领域都有广泛的应用。
在数据分析和曲线拟合中，多项式拟合可以用来预测未来的数据趋势、分析数据的周期性和趋势性等。
在信号处理中，多项式拟合可以用来提取信号中的特征、去除噪声和恢复缺失的数据等。
此外，多项式拟合还可以应用于图像处理、机器学习和人工智能等领域。
总之，多项式拟合是一种重要的函数逼近方法，具有广泛的应用。
通过多项式拟合，我们可以利用已知数据点来构造一个逼近原函数的多项式函数，从而方便我们进行数据分析和预测。
三次最佳一致多项式例题当我们谈论最佳一致多项式时，通常是指使用最小二乘法来拟合一组数据点的多项式函数。
在这个过程中，我们希望找到一个多项式函数，使得它与给定的数据点的拟合误差最小化。
以下是一个关于最佳一致多项式的例题：假设我们有以下一组数据点，{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}。
我们希望找到一个最佳一致多项式来拟合这些数据。
首先，我们需要确定多项式的阶数。
通常情况下，我们会从一次多项式开始，并逐渐增加阶数，直到我们得到一个满意的拟合结果。
在这个例子中，我们从一次多项式开始。
一次多项式的形式为，y = a0 + a1x.我们可以使用最小二乘法来确定多项式的系数a0和a1。
最小二乘法的原理是最小化拟合误差的平方和。
对于每个数据点，我们可以计算拟合函数与实际数据点之间的垂直距离，即误差。
我们的目标是找到使得所有误差的平方和最小的系数a0和a1。
具体的计算步骤如下：1. 计算x和y的平均值，x_mean = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3，y_mean = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6。
2. 计算x和y与其平均值的差，dx = [1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3] = [-2, -1, 0, 1, 2]，dy = [2 6, 4 6, 6 6, 8 6, 10 6] = [-4, -2, 0, 2, 4]。
3. 计算dx和dy的乘积的和，dx_dy_sum = (-2 -4) + (-1 -2) + (0 0) + (1 2) + (2 4) = 20。
4. 计算dx的平方和，dx_square_sum = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 10。
5. 计算系数a1，a1 = dx_dy_sum / dx_square_sum = 20 / 10 = 2。
多项式拟合多项式拟合多项式的⼀般形式：y=p_{0}x^n + p_{1}x^{n-1} + p_{2}x^{n-2} + p_{3}x^{n-3} +...+p_{n}多项式拟合的⽬的是为了找到⼀组p0-pn，使得拟合⽅程尽可能的与实际样本数据相符合。
假设拟合得到的多项式如下：f(x)=p_{0}x^n + p_{1}x^{n-1} + p_{2}x^{n-2} + p_{3}x^{n-3} +...+p_{n}则拟合函数与真实结果的差⽅如下:loss = (y_1-f(x_1))^2 + (y_2-f(x_2))^2 + ... + (y_n-f(x_n))^2那么多项式拟合的过程即为求取⼀组p0-pn,使得loss的值最⼩。
X = [x1, x2, ..., xn] - ⾃变量Y = [y1, y2, ..., yn] - 实际函数值Y'= [y1',y2',...,yn'] - 拟合函数值P = [p0, p1, ..., pn] - 多项式函数中的系数根据⼀组样本，并给出最⾼次幂，求出拟合系数np.polyfit(X, Y, 最⾼次幂)->P根据拟合系数与⾃变量求出拟合值, 由此可得拟合曲线坐标样本数据 [X, Y']np.polyval(P, X)->Y'多项式函数求导，根据拟合系数求出多项式函数导函数的系数np.polyder(P)->Q已知多项式系数Q 求多项式函数的根（与x轴交点的横坐标）xs = np.roots(Q)两个多项式函数的差函数的系数（可以通过差函数的根求取两个曲线的交点）Q = np.polysub(P1, P2)案例：求多项式 y = 4x3 + 3x2 - 1000x + 1曲线拐点的坐标。
'''1. 求出多项式的导函数2. 求出导函数的根，若导函数的根为实数，则该点则为曲线拐点。
通过点拟合三次多项式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：通过点拟合三次多项式是一种常见的数学方法，用于求解一组给定点的最佳拟合曲线。
在现实生活中，这种方法被广泛应用于数据分析、图像处理、模式识别等领域。
在本文中，我们将详细介绍通过点拟合三次多项式的原理、方法和应用，并通过实例演示如何进行拟合。
一、原理通过点拟合三次多项式的核心思想是找到一个三次多项式函数，使得该函数与给定的一组点尽可能接近。
在数学上，一个三次多项式函数可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中a、b、c、d是待定系数，x是自变量。
通过给定的一组点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们可以建立一个方程组：f(x1) = a*x1^3 + b*x1^2 + c*x1 + d = y1f(x2) = a*x2^3 + b*x2^2 + c*x2 + d = y2...f(xn) = a*xn^3 + b*xn^2 + c*xn + d = yn通过求解这个方程组，我们可以得到最佳拟合的三次多项式函数。
二、方法在实际应用中，通过点拟合三次多项式通常使用最小二乘法来求解系数。
最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化残差的平方和来求解未知项。
对于通过点拟合三次多项式来说，最小二乘法的目标是最小化以下损失函数：L = Σ(yi - f(xi))^2其中Σ表示总和，yi是实际观测值，f(xi)是通过拟合曲线计算得到的值。
通过对损失函数求导并令导数为0，我们可以得到系数a、b、c、d的最优解。
三、应用通过点拟合三次多项式在实际应用中有着广泛的应用。
在图像处理中，我们可以利用该方法对曲线进行拟合，从而实现曲线的平滑处理和特征提取。
在数据分析领域，通过点拟合三次多项式可以帮助分析师找到数据之间的关联性，进而作出合理的预测和决策。
下面我们通过一个实例来演示如何通过点拟合三次多项式：假设我们有以下一组点：(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)，我们需要通过这些点拟合出一条最佳曲线。
实验题目： 使用多项式模型进行数据拟合 1 实验目的数据拟合在实际的生产和生活中有着广泛应用。
本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于掌握数据拟合基本的基本原理，并且掌握最小二乘法的计算方法，同时学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况。
2 实验步骤2.1 算法原理（1）最佳均方逼近多项式设n H 是次数不超过n 次的全体多项式集合。
若存在*()nn P x H ∈，使得**22()||()()||||()()||min n nn n P x H f x P x f x P x ∈-=-则称*()n P x 是()f x 在[a ，b]上的最佳均方逼近多项式。
设()nkn k k P x a x ==∑，则求最佳均方逼近多项式*()n P x ，就是求一组系数(0,1,...,)k a k n =使得22*00()[()][()]min n nnnbbkk k k aak k P x H f x a x dx f x a x dx==∈-=-∑∑⎰⎰由于积分2[()]nbkk ak f x a x dx=-∑⎰是待定系数k a 的多元函数，记做01(,,...,)n I a a a 。
由函数极值条件得到方程组，解方程组，可得到唯一确定的*k a ，从而得到*()n P x 为最小均方逼近多项式。
（2）最小二乘法在最小均方逼近多项式的讨论中，f(x)已知。
但在多数情况下，我们不能确切的指导f(x)，只能知道一组数据{,}i i x y ，将最小均方误差的思想用于点集上，便得到曲线拟合的最小二乘法。
设给定一组m 个数量的数据{,}i i x y ，01{,,...}n ϕϕϕϕ=是i x 所在区间的连续函数集合，对于多项式：011,,...nn x x ϕϕϕ===。
取权值函数()1W x =，在公式中未写出。
若存在*()()nk k k S x a x ϕ==∑，使得误差平方和最小，即*22()1[()]min [()]mmiii i s x i i S x y S x y ϕ∈==-=-∑∑，则*()S x 是最小二乘逼近多项式。
