实用文档之牛顿运动定律中的临界和极值问题

第 1 页 共 2 页牛顿第二定律专题—临界问题与极值 1．临界问题和极值问题涉及临界状态的问题叫临界问题。

临界状态常指某种物理现象由量变到质变过渡到另一种物理现象的连接状态，常伴有极值问题出现。

临界问题常伴有特征字眼出现，如“恰好”、“刚刚”等1.如图所示，质量M=4kg 的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平推力F=6N ，当小车向右运动的速度达到2m/s 时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m=1kg 的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长．（g 取10m/s2），求（1）放小物块后，小物块及小车的加速度各为多（2）经多长时间两者达到相同的速度？（3）从小物块放上小车开始，经过t=3s 小物块通过的位移大小为多少？ 有一质量M=4kg 的小车置于光滑水平桌面上，在小车上放一质量m=6kg µ=0.2,现对物块施加F=25N 的水平拉力,如图所示，（设车与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且g 10m/s2)第 2 页 共 2 页3托盘A 托着质量为m 的重物B ，B 挂在劲度系数为k 的弹簧下端，弹簧的上端悬挂于O 点，开始时弹簧竖直且为原长，今让托盘A 竖直向下做初速为零的匀加速运动，其加速度为a ，求经过多长时间，A 与B 开始分离（a g ）． 4.如图所示， m =4kg 的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。

求：（1）小车以a=g 向右加速；（2）小车以a=g 向右减速时，细线对小球的拉力F1和后壁对小球的压力F2各多大？5．如图所示，一质量为0.2kg 的小球系着静止在光滑的倾角为53°的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以10m/s2加速度水平向右作匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力。

（g=10m/s2）6.传送带与水平面夹角37°，皮带以10m/s 的速率运动，皮带轮沿顺时针方向运动，如图所示.今在传送带上端A 处无初速度地放上一个质量为m=0.5kg 的小物体，它与传送带间的动摩擦因数为0.5，若传送带A 到B 的长度为16m ，g 取10m/s 2，则物体从A 运动到B 的时间为多少？（g 取为10m/s 2）。

牛顿定律应用临界、极值问题1.接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN=0.2.相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.3.绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT=0.4.加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度.当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值.例1．个质量为0.2 kg的小球用细绳吊在底角θ＝53°的斜面顶端，如图所示．斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s2的加速度向左做加速运动时，求绳子的拉力及斜面对小球的弹力．(g取10 m/s2)变式练习1：如图所示，质量为m=1 kg的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面质量为M=2 kg，斜面光滑，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值.(g=10 m/s2 )拓展：若斜面与物块间的动摩擦因数为μ=0.4，其他不变，试确定推力F的取值范围.(g=10 m/s2 )例2．如图所示，一轻绳上端系在车的左上角的A 点，另一轻绳一端系在车左端B 点，B 点在A 点正下方，A 、B 距离为b ，两绳另一端在C 点相结并系一质量为m 的小球，绳AC 长度为2b ，绳BC 长度为b.两绳能够承受的最大拉力均为2mg.求：(1)绳BC 刚好被拉直时，车的加速度是多大？(2)为不拉断轻绳，车向左运动的最大加速度是多大？2-1.小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m 的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成30度角）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力：(1)加速度a1=g/3 (2)加速度a2=2g/3例3．如图6所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m ，用竖直向下的力压物体稳定后撤掉，物体与秤盘分开时弹簧的形变量 。

微专题15 牛顿运动定律应用之临界与极值问题【核心要点提示】 五种典型临界条件(1)物体离开接触面的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0. (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T ＝0. (4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时． (5)物块与弹簧脱离的临界条件：弹力F N ＝0，速度相等，加速度相等 【微专题训练】类型一：物体与弹簧分离临界问题【例题1】如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为M 的物体A 、B (B 物体与弹簧连接)，弹簧的劲度系数为k ，初始时物体处于静止状态。

现用竖直向上的拉力F 作用在物体A 上，使物体A 开始向上做加速度为a 的匀加速运动，测得两个物体的v -t 图象如图乙所示(重力加速度为g )，则( )A ．施加外力前，弹簧的形变量为2gkB ．外力施加的瞬间，A 、B 间的弹力大小为M (g －a )C ．A 、B 在t 1时刻分离，此时弹簧弹力恰好为零D ．弹簧恢复到原长时，物体B 的速度达到最大值 答案 B解析 施加外力F 前，物体A 、B 整体平衡，根据平衡条件有2Mg ＝kx ，解得x ＝2Mgk ，故A 错误；施加外力F 的瞬间，对物体B ，根据牛顿第二定律有F 弹－Mg －F AB ＝Ma ，其中F弹＝2Mg ，解得F AB ＝M (g －a )，故B 正确；由题图乙知，物体A 、B 在t 1时刻分离，此时A 、B 具有共同的v 和a ，且F AB ＝0，对B 有F 弹′－Mg ＝Ma ，解得F 弹′＝M (g ＋a )，故C 错误；当F 弹′＝Mg 时，B 达到最大速度，故D 错误。

牛顿运动定律应用（三）临界与极值问题临界问题：当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。

解答临界问题的关键是找临界条件。

许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。

极值问题：是指研究动力学问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值一、平衡中的临界与极值问题在平衡问题中当物体平衡状态即将被打破时常常会出现临界现象，分析这类问题要善于通过研究变化的过程与物理量来寻找临界条件。

解题的关键是依据平衡条件及相关知识进行分析，常见的解题方法有假设法、解析法、极限分析法等。

1.跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图甲所示．已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ<tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦力处理)．2：如图所示，水平面上两物体m1、m2经一细绳相连，在水平力F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为( )A、零B、F/2C、FD、大于F3.三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定。

若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳A 、必定是OAB 、必定是OBC 、必定是OCD 、可能是OB ，也可能是OC二．非平衡态中的临界与极值问题（一．在动力学的问题中，物体运动的加速度不同，物体的运动状态不同，此时可能会出现临界现象。

分析这类问题时挖掘隐含条件，确定临界条件，对处于临界准确状态的研究对象进行受力分析，并灵活应用牛顿第二定律是解题的关键，常见的解题方法有极限法、假设法等。

微专题15 牛顿运动定律应用之临界与极值问题【核心要点提示】 五种典型临界条件(1)物体离开接触面的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0. (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T ＝0. (4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时． (5)物块与弹簧脱离的临界条件：弹力F N ＝0，速度相等，加速度相等 【微专题训练】类型一：物体与弹簧分离临界问题【例题1】如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为M 的物体A 、B (B 物体与弹簧连接)，弹簧的劲度系数为k ，初始时物体处于静止状态。

现用竖直向上的拉力F 作用在物体A 上，使物体A 开始向上做加速度为a 的匀加速运动，测得两个物体的v -t 图象如图乙所示(重力加速度为g )，则( )A ．施加外力前，弹簧的形变量为2gkB ．外力施加的瞬间，A 、B 间的弹力大小为M (g －a )C ．A 、B 在t 1时刻分离，此时弹簧弹力恰好为零D ．弹簧恢复到原长时，物体B 的速度达到最大值 答案 B解析 施加外力F 前，物体A 、B 整体平衡，根据平衡条件有2Mg ＝kx ，解得x ＝2Mgk ，故A 错误；施加外力F 的瞬间，对物体B ，根据牛顿第二定律有F 弹－Mg －F AB ＝Ma ，其中F弹＝2Mg ，解得F AB ＝M (g －a )，故B 正确；由题图乙知，物体A 、B 在t 1时刻分离，此时A 、B 具有共同的v 和a ，且F AB ＝0，对B 有F 弹′－Mg ＝Ma ，解得F 弹′＝M (g ＋a )，故C 错误；当F 弹′＝Mg 时，B 达到最大速度，故D 错误。

牛顿运动定律的应用——临界极值问题典型问题一：张紧的绳子变成松驰绳子的临界条件是F T =0 1.如图所示，小球的质量为m ，斜面光滑，小球与斜面向右匀加速运动，求：（1）为保持小球与斜面体相对静止，问斜面体的最大加速度不能超过多少？（2）当a=g/2时，求绳子的张力多大？2.小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m 的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成300）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力： （1）加速度a 1=g/3 （2）加速度a 2=2g/33、如图所示，1、2两细绳与水平车顶的夹角分别为30°和60°，物体质量为m ，现让小车以2g(g 为重力加速度)的加速度向右做匀加速直线运动，当物体与车保持相对静止时，求：绳1中弹力的大小？aa典型问题二：相互挤压的物体发生分离的临界条件是F N =04、一个质量为0.2 kg 的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以5 m/s 2、10 m/s 2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力.变式训练：在光滑的水平地面上有一质量为M 、倾角为θ的表面光滑斜劈A ，在劈顶端的钉子上系着一条长为l 的轻线，线下端栓一个质量为m 的小球B 。

用如图所示的方向的水平恒力F 拉劈，求B 相对A 静止时线的拉力T 。

5、如图所示，把长方体切成质量分别为m 和M 的两部分，切面与底面的夹角为θ，长方体置于光滑的水平面上。

设切面是光滑的，要使m 和M 一起在水平面上滑动，作用在m 上的水平力F 满足什么条件？6、选做题）、如图所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A ，槽的半径为R ，且OA 与水平线成α角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为m ，木块的质量为M ，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。

专题五牛顿运动定律的应用——临界和极值问题一、概念（1）临界问题：某种物理现象（或物理状态）刚好要发生或刚好不发生的转折状态。

（2）极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。

二、关键词语在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。

有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类问题一般用假设法。

三、常见类型动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题；二是绳子的绷紧与松弛问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题。

四、解题关键解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件。

常见的三类临界问题的临界条：1、相互接触的两个物体将脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。

2、绳子松弛的临界条件是：绳子的拉力为零。

3、存在静摩擦的系统，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值。

五、例题解析【例题1】质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角为θ=60°的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图所示，不计摩擦，求在下列三种情况下，细线对小球的拉力（取g=10 m/s2）(1) 斜面体以23m/s2的加速度向右加速运动；(2) 斜面体以43m/s2，的加速度向右加速运动；【例题2】如图所示，轻绳AB与竖直方向的夹角θ=37°，绳BC水平，小球质量m=0.4 kg，取g=10m/s2。

试求：（1）小车以a1=2.5m/s2的加速度向右做匀加速运动时，绳AB的张力是多少？（2）小车以a2=8m/s2的加速度向右做匀加速运动时，绳AB的张力是多少？【例题3】如图所示，质量为2kg 的m1和质量为1kg 的m2两个物体叠放在一起，放在水平面，m1与m2、m1与水平面间的动摩擦因数都是0.3，现用水平拉力F拉m1，使m 1 和m 2一起沿水平面运动，要使m 1 和m 2之间没有相对滑动，水平拉力F 最大为多大？六、巩固练习【练习1】一个质量为m=0.1kg 的小球，用细线吊在倾角a =37°的斜面顶端，如图所示。

牛顿运动定律的应用之临界极值问题一、临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。

(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。

(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。

(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。

二、几种临界状态和其对应的临界条件如下表所示临界状态临界条件速度达到最大物体所受的合外力为零两物体刚好分离两物体间的弹力F N＝0绳刚好被拉直绳中张力为零绳刚好被拉断绳中张力等于绳能承受的最大拉力三、(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。

注意：挖掘临界条件是解题的关键。

【题型1】如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)．(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线上的拉力为多大？【题型2】日本大地震以及随后的海啸给日本造成了巨大的损失。

灾后某中学的部分学生组成了一个课题小组，对海啸的威力进行了模拟研究，他们设计了如下的模型：如图甲所示，在水平地面上放置一个质量为m＝4 kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移x变化的图象如图乙所示。

已知物体与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，g＝10 m/s2。

求：(1)运动过程中物体的最大加速度为多少？(2)距出发点多远时物体的速度达到最大？【题型3】跳伞运动员在下落过程中(如图所示)，假定伞所受空气阻力的大小跟下落速度的平方成正比，即F ＝kv 2，比例系数k ＝20 N·s 2/m 2，跳伞运动员与伞的总质量为72 kg ，跳下高度足够高，(g 取10 m/s 2)则：(1)跳伞运动员在空中做什么运动？收尾速度是多大？(2)当速度达到4 m/s 时，下落加速度是多大？【题型4】(多选)如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k ，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A 连接，两物块A 、B 质量均为m ，初始时均静止。

高一物理牛顿运动定律中的临界问题在应用牛顿定律解题时常遇来临界问题，它包括：平衡物体(a=0)的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间：动向物体(a≠0)的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间。

临界状态也可概括为加快度即将发生突变的状态。

加快度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变，物体处于临界状态，必定隐含着某些力(如弹力、摩擦力等)的突变。

抓住这些力突变的条件，是我们解题的重点。

一、和绳子拉力相联系的临界情况例1.小车在水平路面上加快向右运动，一质量为m的小球用一条水平线和一条斜线(与竖直方向成30°角) 把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力：(1)加快度a1=g3(2)加快度a2=2g3解析：小车处于平衡态(a=0) 对小球受力剖析如下列图所示：0.F T2当加快度a由0渐渐增大的过程中，开始阶段，因m在竖直方向的加快度为角不变，不变，那么，加快度增大(即合外力增大)，OA绳承受的拉力必减小，当哪2)而称在一个加快度，物体所受的合外力是的水平分FT1力，当时，当增大，(OA绳数可能抛状态)，在竖直方向的分FF1量不变，而其水平方向的分量必增加(因合外力增大)，角一定增大，设为 a.当即:0F3=tanθng,mz3=tanθng,a0=tanθg=√33ga 1=g3<a寸.F T2=0当F T1sinθ−P T2=ma1(1) Pₙcosθ=max(2)解得Fn =2√33mg,F n=√3−13mga2=2g3>a0时, Fn-0“P P1sinα=ma2①F P1cosα=mg②tanα=a2g ,解得P Fi=√133mg,点评：1.经过受力剖析和对运动过程的剖析找到本题中弹力发生突变的临界状态是绳子OA拉力恰巧为零：2.弹力是被动力，其大小和方向应由物体的状态和物体所受的其他力来确定。

二、和静摩擦力相联系的临界情况例2.质量为 m=1kg的物体,放在=39ⁿ的斜面上如下列图所示，物体与斜面的动摩擦因数，气候如物体与斜面体一同沿水平方向向左加快运动，则其加快度多大?。